【期末满分冲刺】人教版数学八年级上册-专题07《因式分解的综合问题》期末重难点突破

专题07 因式分解的综合问题

1．分解因式：______．

【答案】（7x+3y）（3x+7y）

【分析】运用平方差公式进行因式分解即可．

【详解】解：

，

故答案为：（7x+3y）（3x+7y）．

【我思故我在】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握平方差公式进行因式分解是本题的关键．

2．分解因式：_____

【答案】

【分析】采用分组分解法分解因式即可．

【详解】

，

故答案为：.

【我思故我在】本题考查了分组分解法分解因式，熟记平方差公式，正确地分组是解题的关键．

3．已知，则的值为（   ）

A．12 B．4 C．﹣4 D．12或﹣4

【答案】A

【分析】由原方程可得：，可得，据此即可解答．

【详解】解：由原方程可得：，

，

，

，

故选：A．

【我思故我在】本题考查了利用因式分解法解方程，求代数式的值，利用因式分解法解方程是解决本题的关键．

4．下列分解因式结果正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据因式分解的步骤，先提公因式，再用公式法分解，即可求得答案．注意分解要彻底．

【详解】解：A、，故本选项错误；

B、，故本选项错误；

C、，故本选项错误；

D、，故本选项正确．

故选：D．

【我思故我在】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底．

5．设681×2019﹣681×2018=a，2015×2016﹣2013×2018=b，，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a

【答案】A

【详解】∵a=681×2019﹣681×2018=681×（2019﹣2018）=681×1=681，

b=2015×2016﹣2013×2018

=2015×2016﹣（2015﹣2）×（2016+2）=2015×2016﹣2015×2016﹣2×2015+2×2016+2×2

=﹣4030+4032+4

=6，

c===

==＜681，

∴b＜c＜a．

故选：A．

6．已知正方形的面积是，则正方形的周长是______cm．

【答案】

【分析】首先利用完全平方公式进行因式分解，即可得到正方形的边长，进而可计算出正方形的周长．

【详解】解：，

正方形的边长为cm，

正方形的周长为：，

故答案为：．

【我思故我在】此题主要考查了因式分解法的应用，解题的关键是利用完全平方公式进行因式分解，从而得到正方形的边长．

7．已知，则______．

【答案】2或

【分析】结合题意，对等式两边同除以y，根据因式分解的性质计算，即可得到答案.

【详解】∵，且，

∴

∴

解得：或，

∴或，

∴或

故答案为：或．

【我思故我在】本题主要考查的是利用因式分解法求解方程，要求学生能够熟练掌握这种解题方法．

8．化简：a+1+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）99=________．

【答案】（a+1）100．

【分析】原式提取公因式，计算即可得到结果．

【详解】原式=（a+1）[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）98]，

=（a+1）2[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）97]，

=（a+1）3[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）96]，

=…，

=（a+1）100．

故答案是：（a+1）100．

【我思故我在】考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．

9．分解因式：

(1)

(2)

(3)．

(4)（用十字相乘法）

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)

【分析】(1)利用提公因式法及公式法，即可分解因式；

(2)首先去括号，再利用提公因式法及公式法，即可分解因式

(3)利用提公因式法即可分解因式；

(4)利用十字相乘法即可分解因式．

【详解】（1）解：

（2）解：

（3）解：

（4）解：

【我思故我在】本题考查了分解因式的方法，熟练掌握和运用分解因式的方法是解决本题的关键．

10．分解因式：

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式因式分解即可．

（2）先利用多项式乘以多项式进行化简，再利用完全平方公式分解即可．

【详解】（1）解：

（2）

【我思故我在】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，解题本题的关键在于提取公因式后利用完全平方公式进行二次因式分解．

11．因式分解：

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先提公因式，然后根据完全平方公式因式分解即可；

（2）先根据平方差公式进行因式分解，整理后提公因式即可．

（1）

解：

；

（2）

．

【我思故我在】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式因式分解以及公式法因式分解是解本题的关键．

12．因式分解：

（1）；

（2）；

（3）．

【答案】（1）；（2）；（3）

【分析】（1）先变号，再运用提公因式法分解计算；

（2）直接运用提公因式法分解计算即可；

（3）先变号，再运用提公因式法分解计算．

【详解】解：（1）

；

（2）

；

（3）

．

【我思故我在】本题考查提公因式法分解因式，正确找出题中的公因式是解题的关键．

13．因式分解：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

【分析】（1）直接提公因式分解，可得答案；

（2）直接提公因式分解，可得答案；

（3）根据平方差公式分解，可得答案；

（4）根据十字相乘法分解可得答案；

（5）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，可得答案；

（6）根据整式的乘法、合并同类项整理，再利用完全平方公式分解，可得答案；

（7）先提公因式，再根据平方差公式继续分解，可得答案；

（8）先提公因式，再根据十字相乘法分解可得答案；

（9）先利用平方差公式分解，再提公因式，可得答案；

（10）根据整式的乘法、合并同类项整理，再根据完全平方公式分解，可得答案．

【详解】（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）

；

（5）

；

（6）

；

（7）

；

（8）

；

（9）

；

（10）

．

【我思故我在】本题考查了因式分解，一提，二套，三检查，分解要彻底，掌握因式分解的方法是解题的关键．

14．阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．

(1)如图1所示，用两块型长方形和一块型、一块型正方形硬纸片拼成一个新的正方形．用两种不同的方法计算图1中正方形的面积，可以写出一个熟悉的数学公式：___________：如图2所示，用若干块型长方形和型型正方形硬纸片拼成一个新的长方形，可以写出因式分解的结果等于：___________；

(2)如图3，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形．就可以得到一个等式，这个等式是___________；

请利用这个等式解答下列问题：

①若三个实数a，b，c满足，求的值

②若三个实数x，y，z满足，求的值．

【答案】(1)，

(2)，①28 ②33

【分析】（1）从整体看，图形为矩形，面积=长×宽，从部分看，图形为若干小矩形，面积等于各部分的和，将图形的面积用两种方式表示即可解答；

（2）先根据图形，得到一个等式，再根据这个等式，①将代入即可解答；②根据积的乘方的逆运算，将整理为，得出，再结合前面的等式即可进行解答．

【详解】（1）解：由图可知：图一面积=，

由图可知：图二面积=，

故答案为：，．

（2）由图可知：图三面积=．

①，

∴=28，

②，

，

，

，

，

，

，

．

【我思故我在】本题主要考查了根据几何面积进行因式分解，解题的关键是熟练掌握整式的乘法和因式分解的方法，将图形的面积用两种不同的方法表示出来．

15．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料：

阅读材料：若，求m、n的值．

解：∵，

∴，

∴，

∴，，

∴，．

根据你的观察，探究下面的问题：

(1)已知，求a、b的值；

(2)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求c的值；

(3)若，，试比较A与B的大小关系，并说明理由．

【答案】(1)，

(2)

(3)，详见解析

【分析】（1）将多项式拆分为完全平方展开式的形式，最后配凑为完全平方，再根据平方的性质求解．

（2）先配凑完全平方公式求出a，b值，再根据三角形三边关系求出第三边．

（3）利用作差法比较大小，配凑完全平方公式并根据平方的性质判断．

【详解】（1）解：∵，

∴，

∴，

∴，，

∴，．

（2）解：∵，

∴

∴，

∴，，

解得，，

∵a、b、c是的三边长，

∴，

∵c是正整数，

∴；

（3）解：，理由如下：

∵，，

∴

，

∵，

∴，

∴．

【我思故我在】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是合理配凑完全平方公式．

16．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：

．

(1)上述分解因式的方法是______，共应用了______次．

(2)若分解，则需应用上述方法______次，结果是______．

(3)分解因式：（n为正整数）．

【答案】(1)提公因式，2

(2)100，

(3)

【分析】（1）根据分解过程即可填空；

（2）将多项式提公因式即可进行因式分解；

（3）按照上面规律即可求解．

（1）

根据分解过程，可知采用的是提取公因式的方法，共应用了2次，

故答案为：提公因式，2；

（2）

按照（1）中的方法，

，

∴应用了100次，结果是，

故答案为：100，；

（3）

按照上面规律，可知．

【我思故我在】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．

17．根据学过的数学知识我们知道：任何数的平方都是一个非负数，即：对于任何数a，都成立，据此请回答下列问题：

(1)应用：代数式有______值（填“最大”或“最小”），这个值是______．

(2)探究：求代数式的最小值，小明是这样做的：

∴当n=-2时，代数式有最小值，最小值为1

请你按照小明的方法，求代数式的最小值，并求此时x的值．

(3)拓展：求多项式的最小值及此时x，y的值．

【答案】(1)最小，

(2)时，最小值为

(3)时，最小值为

【分析】（1）据非负数的性质即可得出答案；

（2）先把给出的式子化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案；

（3）先把给出的式子化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案．

（1）

代数式有最小值，这个值是，此时m=0；

故答案为：最小，；

（2）

，

∴当时，取得最小值，最小值为；

（3）

∵

∴当x-2y=0，y-6=0时，即x=12，y=6，多项式的最小值是-21．

【我思故我在】本题考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．

18．观察等式，回答问题：

1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（x+1）]

＝（1+x）2（1+x）

＝（1+x）3

（1）上述分解因式的方法是　　，共应用了　　次；

（2）若分解因式1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2015，则需应用上述方法　　次，结果是　   ；

（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n．

【答案】（1）提取公因式法，3；（2）2016，（1+x）2016；（3）（1+x）n+1．

【分析】（1）根据已知计算过程直接得出因式分解的方法即可；

（2）根据已知分解因式的方法可以得出答案；

（3）由（1）中计算发现规律进而得出答案．

【详解】解：（1）1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（x+1）]

=（1+x）2（1+x）

=（1+x）3，

上述分解因式的方法是提取公因式法，共应用了3次；

故答案为：提取公因式法，3；

（2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2015，

=（1+x）[1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2014]

=（1+x）2[1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2013]

……

=（1+x）2016

则需应用上述方法2016次，结果是（1+x）2016；

故答案为：2016，（1+x）2016；

（3）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n

=(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n－1]

=(1＋x)2[1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n－2]

=(1＋x)3[1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n－3]

……

=(1＋x)n(1＋x)

=(1＋x)n＋1．

【我思故我在】本题考查的知识点是因式分解-提公因式法，解题的关键是熟练的掌握因式分解-提公因式法.

19．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．

①分组分解法：

例如：＝(x﹣y﹣2)(x﹣y+2)．

②拆项法：

例如：＝(x+1﹣2)(x+1+2)＝(x﹣1)(x+3)

③十字相乘法：

例如： +6x﹣7

解：原式=（x+7）（x﹣1）

(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：

①（分组分解法）；

②（拆项法）﹣6x+8；

③（十字相乘法）﹣5x+6＝______．

(2)已知：a、b、c为△ABC的三条边，﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0，求△ABC的周长．

【答案】(1)①(2x+y+1)(2x-y+1)

②(x-4)(x-2)

③(x-2)(x-3)

(2)7

【分析】（1）①将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；

②将原式化为-6x+9-1，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；

③直接利用十字相乘法分解即可；

（2）先利用完全平方公式对等式-4a-4b-6c+17=0的左边变形，再根据偶次方的非负性可得出a，b，c的值，然后求和即可得出答案．

【详解】（1）解：①

=

=

=(2x+y+1)(2x-y+1)；

②-6x+8

=-6x+9-1

=-1

=(x-3-1)(x-3+1)

=(x-4)(x-2)；

③-5x+6=(x-2)(x-3)；

故答案为(x-2)(x-3)

（2）解：∵-4a-4b-6c+17=0，

∴(-4a+4)+( -4b+4)+(-6c+9)=0，

∴=0，

∴a=2，b=2，c=3，

∴a+b+c=2+2+3=7．

∴△ABC的周长为7．

【我思故我在】本题考查了因式分解的方法及其在几何图形问题中的应用，读懂题中的分解方法并熟练掌握整式乘法公式是解题的关键．