【期末满分冲刺】2022-2023学年-北师大版数学七年级上册——《基本平面图形》期末复习精讲精练（教案）

基本平面图形精讲

一、 双基目标

1、理解并熟记“直线、射线、线段”三类线的定义、表示方法、性质；

2、在了解“线段的中点，角的平分线”这两类基础的线段与角的和差倍分模型，结合“图形的平移、折叠（轴对称）、旋转”三种几何变换，熟练掌握各类“线段、角”的综合解题方法.

3、了解多边形与圆的相关概念和简单知识.

二、能力目标

通过本章内容的系统复习与训练，进一步夯实学生基本的识图能力，几何语言表达能力，观察、抽象概括、归纳，类比推理，识图、画图等的逻辑思维能力以及提升综合分析、解决问题的能力.

1、看课件，复习知识体系和基本方法；

2、学习例题，完成变式练习；

3、完成课后练习，巩固基础，提升能力。

本章知识结构梳理

【例1】如图，点 B 、 C 、 D 在同一条直线上，则下列说法正确的是（     ）

A. 射线 BD 和射线 DB 是同一条射线                   

B. 直线 BC 和直线 CD 是同一条直线

C. 图中只有 4条线段

D. 图中有4 条直线

【答案】 B  

【解析】【解答】解：A、射线BD和射线DB不是同一条射线，故不符合题意；

B、直线BC和直线CD是同一条直线，故符合题意；

C、图中有6条线段，故不符合题意；

D、图中有2条直线，故不符合题意；

故答案为：B．

  【分析】根据线段、射线和直线的定义逐项判断即可。

【例2】下列说法中正确的是（   ）           

A. 延长线段AB和延长线段BA的含义是相同的     B. 延长直线AB

C. 射线AB和射线BA是同一条射线               D. 直线AB和直线BA是同一条直线

【答案】 D  

【考点】直线、射线、线段   

【解析】【解答】解：A.延长线段AB是按照从A到B的方向延长的，而延长线段BA是按照从B到A的方向延长的，意义不相同，故此选项错误；

B.直线本身就是无限长的，不需要延长，故此选项错误；

C.射线用两个大写字母表示时，端点字母写在第一个位置，所以射线AB和射线BA不是同一条射线，此选项错误；

D.直线AB和直线BA是同一条直线，正确，故本选项符合题意.

故答案为：D.

【例3】如图：经过刨平的木板上的两个点.能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这实际应用的数学知识是（    ） 

【答案】 D  

【考点】直线的性质：两点确定一条直线   

【解析】【解答】解：∵经过两点有且只有一条直线，

∴经过木板上的A、B两个点，只能弹出一条笔直的墨线．

故答案为：D．

【变式训练】过平面上 A，B，C三点中的任意两点作直线，可作(     )           

1. 1条           B. 3条             C. 1条或3条      D. 无数条        

 【答案】 C  

【考点】直线、射线、线段   

【解析】【解答】解：如图所示：三点在一条直线上时可画一条，不在一条直线上时可画三条.

故答案为：C.

【变式训练2】根据直线、射线、线段的性质，图中的各组直线、射线、线段一定能相交的是（   ）

2. A.                                 B. 
   C.                                           D. 

【答案】 C  

【考点】直线、射线、线段   

【解析】【解答】解：A. 是以 为端点的射线，故不相交；

B. 为线段 是以C为端点的射线，故不相交；

C. 为直线，故一定能相交；

D. 是直线， 是以C为端点的射线，故不相交，

故答案为：C．

【例4】如图，平面上有四个点A、B、C、D，根据下列语句画图．

⑴画直线AB；

⑵作射线BC；

⑶画线段CD；

⑷连接AD，并将其反向延长至E，使DE=2AD；

⑸找到一点F，使点F到A、B、C、D四点距离和最短．

【答案】 解：如图所示画出

 【解析】【分析】（1）根据直线向两端无限延伸；

 （2）射线向一方无限延伸；

 （3）线段有两个端点画出图形即可；

 （4）连接AD，并将其反向延长至E，使DE=2AD；

 （5）找到一点F，使点F到A、B、C、D四点距离和最短。

【例5】往返于甲、乙两地的客车，中途停靠4个车站（来回票价一样），且任意两站间的票价都不同，共有      种不同的票价，需准备      种车票．   

【答案】 15；30  

【考点】直线、射线、线段   

【解析】【解答】根据线段的定义：可知图中共有线段有AC，AD，AE，AF，AB，CD、CE，CF、CB、DE，DF、DB、EF，EB，FB共15条，有15种不同的票价；

因车票需要考虑方向性，如，“A→C”与“C→A”票价相同，但车票不同，故需要准备30种车票．

故答案为：15；30．

【例6】如图，下列说法中错误的是（      ）

A. OA的方向是东北方向            B. OB的方向是北偏西30°

C. OC的方向是南偏西60°           D. OD的方向是南偏东30° 

【分析】用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西，偏多少度（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南）．依此判断即可．

【答案】 B  

【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题   

【解析】【解答】解：A、OA的方向是北偏东45度即东北方向，故正确；

B、OB的方向是北偏西60°，故错误；

C、OC的方向是南偏西60°，故正确；

D、OD的方向是南偏东30°，故正确．

故选B．

【例7】如图，李强和同事驾驶快艇执行巡逻任务，他们从岛屿A处向正南方向航行到B处时，向右转60°航行到C处，再向左转80°继续航行，此时快艇的航行方向为（    ）

A．南偏东20°    B．南偏东80°   C．南偏西20°    D．南偏西80°

【分析】

过点C作DC∥AB，根据平行线的性质，可得∠HCF的度数，根据角的和差，可得∠ECF，从而得到答案．

【详解】

解：过点C作DC∥AB，如图，点H在BC延长线上，点F在DC延长线上，点G在AB延长线上，∵DC∥AB，∠GBH=60°，∴∠HCF=∠GBH=60°．∵∠HCE=80°，

∴∠ECF=∠HCE-∠HCF=80°-60°=20°，

此时快艇的航行方向为南偏东20°，故选：A．

【变式训练1】如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东60°的方向上，观测到小岛B在它南偏东40°的方向上，则∠AOB的度数大小是______．

【答案】

【分析】

由方位角及平角的定义可得的度数大小.

【详解】

解：如图，

由题意得

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了角，正确理解方位角是解题的关键.

【变式训练2】如图，A看B的方向是北偏东60°，B看A的方向是（    ）

A. 南偏东30°    B. 南偏西30°   C. 南偏东60°    D. 南偏西60°

【分析】根据A看B的方向是北偏东60°，是以A为参照物；反之B看A的方向是以B为参照物

解析】【解答】解：∵A看B的方向是北偏东60°，那么B看A的方向是南偏西60°．

故答案为：D．

【变式训练3】如图所示，射线OB 与点O 的正西方向所夹的角是50°，射线OA 的方向是东北方向，则 ∠AOB的度数是       ．  

【分析】根据题意可知：∠AOC=45º，∠BOD=50º,再利用角的运算可求出∠AOB。

【解答】解：依题意，∠AOC=45º，∠BOD=50º,

∴∠BOC=90º-∠BOD=90º-50º=40º,

∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=45º+40º=85º,

故答案为：85º

【变式训练3】如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是北偏西40°，若∠AOC=∠AOB，则OC的方向是______________．

北偏东70°．

【分析】

根据角的和差，方向角的表示方法，可得答案．

【详解】

解：如图，由题意可知

∵∠BOD=40°，∠AOD=15°，

∴∠AOC=∠AOB=∠AOD+BOD=55°，

∴∠COD=∠AOC+∠AOD=15+55=70°，

故答案为：北偏东70°．

【例8】（1）过一个多边形的一个顶点可作12条对角线，则这个多边形的边数为      .

（2）若某一个顶点与和它不相邻的其他各顶点连接，可将多边形分成七个三角形，则这个多边形是________边形   

（1）【答案】 15  

【考点】多边形的对角线   

【解析】【解答】解：∵多边形从每一个顶点出发都有12条对角线，

∴多边形的边数为12＋3＝15，

∴这个多边形是十五边形.

故答案为：15.

（2）【分析】经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n-2） 个三角形，根据此关系式求边数.

【解答】解：设多边形有n条边，

则 n-2=7 ，解得 n=9 .

故这个多边形是九边形.

故答案为：九 .

【例9】已知：如图，C为线段AB上一点，D为AC的中点，E为BC的中点，F为DE的中点．

（1）若AC=4，BC=6，求CF的长；

（2）若AB=8CF，探究线段AC，BC之间的数量关系，并说明理由.

分析 （1）根据线段中点的性质得到DC=AC=2，EC=BC=3，求出DE的长，根据CF=DF-DC计算即可；
（2）根据（1）的结论可知DE=AB，根据中点的性质得到DF=AB，DC=AC，结合图形列式计算得到AB=4AC，得到答案．

解答 解：（1）∵D为AC的中点，
∴AD=DC=AC=2，
∵E为BC的中点，
∴BE=EC=BC=3，
∴DE=DC+CE=5，
∵F为DE的中点，
∴DF=DE=，
∴CF=DF-DC=；
（2）BC=3AC，
∵D为AC的中点，E为BC的中点，
∴DC=AC，EC=BC，
∴DE=AB，
∵F为DE的中点，
∴DF=DE=AB，
∴CF=DF-DC=AB-AC，
∵AB=8CF，
∴CF=AB，
则AB=AB-AC，
整理得，AB=4AC，
∴BC=3AC．

点评 本题考查的是两点间的距离和线段中点的概念，掌握线段的和差计算、灵活运用数形结合思想是解题的关键．

【例10】如图，已知线段AB=12cm，点C为AB上的一个动点，点D,E分别是AC和BC的中点．

(1)若点C恰好是AB中点，求DE的长=        cm：

(2)若AC=4cm，求DE的长．

【解析】（1）∵点D，E分别是AC和BC的中点，∴DC=12AC，CE=12CB，∴DC+CE=12（AC+CB）=6cm；故答案为：6．

（2）∵AC=4cm，∴CD=2cm，∵AB=12cm，AC=4cm，∴BC=8cm，∴CE=4cm，DE=DC+CE=6cm；

【例11】点C在线段 AB 上，共有三条线段  AB 、  AC 和  BC ，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段 AB 的“巧点”，若  AB=15 ，点C是线段  AB 的“巧点”，则 AC 的长是       ． 

【答案】 5或10或7.5  

【考点】两点间的距离   

【解析】【解答】解：当点C是线段AB的“巧点”时，可能有BC=2AC、AC=2BC，AB=2AC=2BC三种情况：

【例12】时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，则经过15分钟后，分针旋转了      度；  

【答案】 90  

【考点】钟面角、方位角，角的运算   

【解析】【解答】解：∵时钟上的分针匀速旋转一周的度数为360°，时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟， ∴时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为360÷60=6°， ∴ 经过15分钟后，分针旋转了15×6°=90°.

【例13】（1）时钟在14点30分时，这时刻钟面上时针与分针夹角的度数为       ．

（2）时钟显示为8：20时，时针与分针所夹角的度数是       °   

（1）【答案】 105°  

【解析】【解答】解：14点30分时即下午2点30分时，时针和分针中间相差3.5大格．

∵钟表12个数，每相邻两个数字之间的夹角为30°，

∴2点30分时分针与时针的夹角是3.5×30°=105°．

故答案是：105°．

（2）【分析】通常把时针和分针都以零时（12时）为角的始边，分针转的角度为分钟数×6°；时针转的角度为小时数×30°+分钟数×0.5°。求时针与分针的夹角，即可求分针和时针所转的角度的差的绝对值。

【例14】如图，将一张长方形纸片 ABCD 分别沿着 BE,BF 折叠，使边AB,CB 均落在 BD上，得到折痕 BE,BF ，如果∠ABE=15°  ，那么 ∠DBF=        ．  

【答案】 30°  

【考点】角的运算，翻折变换（折叠问题）   

【解析】【解答】根据折叠的性质， 得∠ABE=∠GBE，∠CBF=∠DBF，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，

∵ ∠ABE-15°

∴∠DBC=60°，

∴∠DBF=30°．

故答案为：30°．

 【分析】先求出∠ABC=90°，再求出∠DBC=60°，最后计算求解即可。

【例15】如图，将长方形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若∠BFE＝3∠BFH，∠BFH＝20°，则∠GFH的度数是（　　）

A．85° B．90° C．95° D．100°

【答案】D

【分析】

根据折叠求出∠CFG＝∠EFG＝∠CFE，根据∠BFE＝3∠BFH，∠BFH＝20°，即可求出∠GFH＝∠GFE+∠HFE的度数．

【详解】

解：∵将长方形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，使点C落在长方形内部点E处，

∴∠CFG＝∠EFG＝∠CFE，

∵∠BFE＝3∠BFH，∠BFH＝20°，

∴∠BFE＝60°，

∴∠CFE＝120°，

∴∠GFE＝60°，

∵∠EFH＝∠EFB﹣∠BFH，

∴∠EFH＝＝40°，

∴∠GFH＝∠GFE+∠EFH＝60°+40°＝100°．

故选：D．

【点睛】

本题考查了角的计算，折叠的性质，角度的倍数关系，主要考查学生的推理和计算能力．

【例16】如图，长方形ABCD沿直线EF、EG折叠后，点A和点D分别落在直线l上的点A/和点D/处，若∠1=30°，则∠2的度数为（    ）

A．30° B．60° C．50° D．55°

【答案】B

【分析】

根据折叠的性质得到∠AEF=，，根据得到，即可求出答案．

【详解】

解：由折叠得：∠AEF=，，

∵，

∴，

∴

故选：B．

【点睛】

此题考查折叠的性质，平角有关的计算，正确理解折叠性质得到∠AEF=，是解题的关键．

【例17】在所给的：①15°；②65°；③75°；④115°；⑤135°的角中，可以用一副三角板画出来的是（    ）           

1. ②④⑤     B. ①②④      C. ①③⑤     D. ①③④      

【解答】解：①45°- 30°=15°，可以用一副三角板画出来；

②65°不可以用一副三角板画出来；

③45°+30°=75°，可以用一副三角板画出来；

④115°不可以用一副三角板画出来；

⑤90°+45°=135°，可以用一副三角板画出来；

故答案为：C．

【反思】本题要熟记三角尺的度数，再利用和差关系求解是解答此题的关键，

可以用一副三角尺画出来的度数有：15°，30°，45°，75°，90°，105°，135°，150°，180°

【例18】如图，小明同学在参加“几何小能手”社团活动时，制作了一副与众不同的三角板，用它们可以画出一些特殊的角度．在①9°；②18°；③55°；④117°中，能用这副三角板画出的角度是__     _．（填写序号）

【答案】①②④

【分析】

根据给定三角板的各角组合，通过角度的加减即可找出用这副三角板可以画出的角度．

【详解】

，，，

能用这副三角板画出的角度是①9°；②18°；④117°．

故答案为：①②④．

【点睛】

本题考查了角的和差计算，通过角度的计算找出画出的角度是解题的关键．

【变式训练】利用一副三角板上已知度数的角，不能画出的角是（   ）           

A. 15°                     B. 100°                C. 165°               D. 135°

【分析】三角板画的角只能是15°的整数倍.   故选B

【例19】如图，已知∠BAE＝∠CAF＝110°，∠CAE＝60°，AD是∠BAF的平分线，则∠BAD的度数为___°．

【分析】

由∠BAE=110°，∠CAE=60°，可得∠BAC=110°﹣60°=50°，结合∠CAF=110°，可得∠BAF=110°+50°=160°，再由AD平分∠BAF即可得∠BAD=80°．

【详解】

∵∠BAE=110°，∠CAE=60°，

∴∠BAC=110°﹣60°=50°，

又∵∠CAF=110°，

∴∠BAF=110°+50°=160°，

又∵AD是∠BAF的角平分线，

∴∠BAD= ∠BAF=×160°=80°．

故答案为：80．

【例20】如图：点A，O，B在一条直线上，∠AOC=3∠COD， OE平分∠BOD．

（1）若∠COD=10°，求∠BOE的度数；

（2）若∠COE=75°，求∠COD的度数．

【分析】

（1）先后求得∠AOC、∠AOD的度数，再利用角平分线的定义即可求得∠BOE的度数；

（2）设∠COD的度数为x，则∠AOC=3x，∠EOD=∠COE-∠COD=75°-x，利用平角的定义列方程即可求得∠COD的度数．

解：（1）∵∠COD=10°，

∴∠AOC=3∠COD=30°，∠AOD=∠AOC+∠COD=40°，

∵点A，O，B在一条直线上，

∴∠BOD=180°-∠AOD=140°，

又OE平分∠BOD，

∴∠BOE= ∠BOD=70°；

（2）设∠COD的度数为x，则∠AOC=3x，∠EOD=∠COE-∠COD=75°-x，

∴∠BOD=2∠EOD=150°-2x，

∵点A，O，B在一条直线上，

∴∠BOD+∠AOD=180°，

即150°-2x+3x+x=180°，

解得x=15°，即∠COD=15°．

【例21】如图，O为直线AB上的一点，且∠COD为直角，OE平分∠BOD，OF平分∠AOE，若∠BOC＝54°，求∠COE和∠DOF的度数．

【分析】

先利用角的和差关系得∠BOD=36°，再利用角平分线的定义得出∠COE以及∠DOF的度数．

【详解】

解：∵∠COD=90°，∠BOC=54°，∴∠BOD=90°-54°=36°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=∠BOE=18°，∴∠COE=∠BOC+∠BOE=54°+18°=72°，

∠AOE=180°-∠BOE=180°-18°=162°．

∵OF平分∠AOE，

∴

∴∠DOF=∠EOF-∠DOE=81°-18°=63°，

【例22】如图所示，已知 ∠ABC=140° ， BD 平分∠ABC， BE 把∠ABC分为2：5的两部分，求 ∠DBE 的度数． 

【答案】 解：∵ 平分 ，    

∴  

由题意

∴设 的度数为2x，则 的度数为5x

∵

∴  

解得：  

∴ =40°， =70°

∴ =

【考点】角的运算，角平分线的定义   

【解析】【分析】由角平分线的定义可得  ， 由题意可设=2x°，则=5x°，由  ， 列出方程求出x值，利用角的和差求出∠DBE的度数即可.

【例23】已知点O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，并在∠MON内部作射线OC．

（1）如图1，三角板的一边ON与射线OB重合，且∠AOC＝150°．若以点O为观察中心，射线OM表示正北方向，求射线OC表示的方向；

（2）如图2，将三角板放置到如图位置，使OC恰好平分∠MOB，且∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度数；

【分析】

（1）根据角的和差求出∠MOC的度数后再根据方位角的表示方法解答即可；

（2）根据角平分线的定义和已知条件可得∠MOC＝3∠NOC，然后由∠MON=90°即可求出∠NOC，再根据平角的定义和角的和差计算即可．

【详解】

解：（1）∵∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝150°﹣90°＝60°，

∴射线OC表示的方向为北偏东60°；

（2）∵∠BON＝2∠NOC，OC平分∠MOB，

∴∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC，

∵∠MOC+∠NOC＝∠MON＝90°，

∴3∠NOC+∠NOC＝90°，

∴∠NOC＝22.5°，

∴∠BON＝2∠NOC＝45°，

∴∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON＝180°﹣90°﹣45°＝45°．