【期末综合复习】2022-2023学年 沪教版数学八年级上册：专题02《一元二次方程》期末备考专题

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专题02一元二次方程

一、单选题
1．下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B．（其中、、是常数）
C． D．
【答案】A
【解析】
先将各选项一元二次方程不是一般形式的化为一般形式，然后根据一元二次方程的定义逐一判断即可．解：A．，整理，得，是一元二次方程，故符合题意；
B．当a=0时，（其中、、是常数）不是一元二次方程，故不符合题意；
C．不是整式方程，所以不是一元二次方程，故不符合题意；
D．，整理，得，不是一元二次方程，故不符合题意．
故选A．
【点睛】
此题考查的是一元二次方程的判断，掌握一元二次方程的定义及一般形式是解题关键．
2．下列方程中，一元二次方程有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
含有一个未知数，并且未知数的次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，根据定义解答.①整理后为4x=20，故不符合定义；
②，不符合定义；
③，不符合定义；
④，符合定义；
⑤，符合定义；
故选：B.
【点睛】
此题考查一元二次方程的定义，注意一元二次方程的特点：含有一个未知数，次数为2，是整式方程，一定是判断整理后的方程.
3．用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
将二次项系数化为1，在两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式，从而得出答案．解：2x2﹣3x﹣1＝0，
2x2﹣3x＝1，
，
，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程--配方法．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
4．方程（x+1）（x﹣3）＝﹣4的解是（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝x2＝1 C．x1＝1，x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝0
【答案】B
【解析】
把原方程整理后，再根据因式分解法即可求出答案．解：∵（x+1）（x-3）=-4，
∴x2-2x+1=0，
∴（x-1）2=0，
∴x1=x2=1，
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
5．若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．
【答案】A
【解析】
把x=0代入方程得出a的值，再根据一元二次方程的定义进行取舍即可．把x=0代入方程得：a2－1=0，
解得：a=±1，
方程为一元二次方程，
a+1≠0，
a≠－1，
a=1．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法，本题关键在于求出a的值并根据一元二次方程的定义进行取舍．
6．解分式方程时，利用换元法设，把原方程变形成整式方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
先通过设元，然后把用倒数法转换为，把方程变为y的方程，再整理去分母即可．设，，原方程变为y-+3=0，
方程两边都乘以y得，，
把原方程变形成整式方程为：．
故选：D．
【点睛】
本题考查高次方程的解法，掌握换元的方法，有倒数换元法，平方换元法，根据方程的特点选取适当的换元方法，会用换元法进行判断，选择，或解方程是解题关键．
7．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】D
【解析】
先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．∵△=62-4×（-1）×（-10）=36-40=-4＜0，
∴方程没有实数根．
故选D．
【点睛】
此题考查一元二次方程的根的判别式，解题关键在于掌握方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
8．常凯申公司一月份利润是1万元，二月份、三月份平均每月增长10％，则第一季度的总利润是（ ）
A．（1＋10％）2万元： B．（1＋10％）10％万元：
C．[（1＋10％）＋（1＋10％）2]万元： D．[1＋（1＋10％）＋（1＋10％）2]万元．
【答案】D
【解析】
首先表示出二月份的利润：1月份的利润×(1+10%)，再表示出三月份利润：2月份的利润×(1+10%)，然后把三个月的利润加起来即可．解：由题意得：二月份的利润为：1×(1+10%)=(1+10%)
三月份的利润为：1×(1+10%)(1+10%)=(1+10%)2
故第一季度的利润为：1+(1+10%)+(1+10%)2万元.
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用--增长率问题，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．得到三月份的产量的等量关系是解决本题的关键．
9．二次三项式2x2-8x+5在实数范围内因式分解为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
令二次三项式等于0，求出x的值，即可得到分解因式的结果．令2x2-8x+5=0，解得：x1=，x2=，则2x2-8x+5=．
故选D．
【点睛】
本题考查了实数范围内分解因式-求根公式法．当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号．注意当无法用十字相乘法的方法时用求根公式法可分解因式．
10．已知三角形的两条边分别是2和4，第三边是方程的根，则这个三角形的周长为（ ）
A．9或12 B．9 C．12 D．不能确定
【答案】B
【解析】
先利用因式分解法解方程x2-9x+18=0，然后根据三角形三边的关系确定第三边的长，再计算三角形周长．解：x2-9x+18=0
（x-3）（x-6）=0，
所以x1=3，x2=6，
当x=3时，三角形的周长为2+4+3=9；
当x=6时，4+2=6，不符合三角形三边的关系，应舍去．
故选：B．
【点睛】
本题考查解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．
11．已知=1，则ax2+bx+c=0（　　）
A．无实根
B．有两个相等实根
C．有相异的两实根
D．有实根，但不能确定是否一定是相等两实根
【答案】D
【解析】
将已知方程整理可得c=b﹣2003a（a≠0），要判断一元二次方程根的情况，即要计算Δ的正负，将c=b﹣2003a代入Δ=b2﹣4ac中，结合完全平方公式判断Δ的正负即可.∵=1，
∴c=b﹣2003a（a≠0），
∴Δ=b2﹣4ac= b2﹣4a（b﹣2003a）= b2﹣4ab+4×2003a2=（b﹣2a）2≥0，
∴方程有实数根，但不能确定是否一定是相等的两个实数根.
故选D.
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式以及完全平方公式.
12．我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若我们规定一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，从而对于任意正整数，我们可以得到，同理可得，，．那么的值为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．
【答案】D
【解析】
原式利用题中的新定义化简，四项结合计算即可得到结果．解：根据题中的新定义得：原式=（i-1-i+1）+…+（i-1-i+1）+i=i，
故答案为：D.
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-直接开平方法，弄清题中的新定义是解本题的关键．

二、填空题
13．关于x的方程kx2+3x+1＝0有实数根，则实数k的取值范围是_____．
【答案】k
【解析】
分类讨论，当k≠0时与当k＝0时即可．解：当k≠0时，△＝9﹣4k≥0，
∴k，
∴k且k≠0，
当k＝0时，
此时方程为3x+1＝0，满足题意，
故答案为：k．
【点睛】
本题考查方程有根的情况,关键在于分类讨论．
14．若关于的一元二次方程的两根为，其中、为两数，则______，______．
【答案】4
【解析】
先移项，利用直接开方法解一元二次方程，根据方程的两根即可求出结论．解：
移项，得
∴
解得：
∵关于的一元二次方程的两根为
∴，=
解得：a=4
故答案为：4；．
【点睛】
此题考查的是根据一元二次方程的根，求方程中的参数，掌握利用直接开方法解一元二次方程是解题关键．
15．如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是______．
【答案】
【解析】
根据判别式的意义得到＝(-1)2﹣4a+4＞0，然后解不等式即可．解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴＝(-1)2﹣4a+4＞0，
解得
故答案为：．
【点睛】
此题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式＝b2﹣4ac：当＞0，方程有两个不相等的实数根；当＝0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根．
16．在实数范围内分解因式：__________________．
【答案】
【解析】
先提取公因式3，再求出方程的解即可求解．解：，
解方程，得
x1=，x2=，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了在实数范围内分解因式，以及一元二次方程的解法，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
17．某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_________．
【答案】20%
【解析】
分析：本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案．
解答：解：设这个增长率是x，根据题意得：
2000×（1+x）2=2880
解得：x1=20%，x2=-220%（舍去）
故答案为20%．
18．如果关于的多项式在实数范围内因式分解，那么实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
原多项式在实数范围内能因式分解，说明方程=0有实数根，即转换为 不小于0，再代入求值即可．由题意知：∵关于的多项式在实数范围内因式分解，
∴=0有实数根，
∴a=1，b=-2，c=m，
则，
解得：；
故答案为：．
【点睛】
本题考查因式分解，其实是考查一元二次方程根与判别式的关系，能够转换思维解题是关键．
19．我区某校举行冬季运动会，其中一个项目是乒乓球比赛，比赛为单循环制，即所有参赛选手彼此恰好比赛一场. 记分规则是：每场比赛胜者得3分、负者得0分、平局各得1分. 赛后统计，所有参赛者的得分总知为210分，且平局数不超过比赛总场数的，本次友谊赛共有参赛选手__________人.
【答案】13
【解析】
所有场数中，设分出胜负有x场，平局y场，可知分出胜负的x场里，只有胜利一队即3分，总得分为3x；平局里两队各得1分，总得分为2y；所以有3x+2y=210．又根据“平局数不超过比赛场数的”可求出x与y之间的关系，进而得到满足的9组非负整数解．又设有a人参赛，每人要与其余的（a-1）人比赛，即共a（a-1）场，但这样每两人之间是比赛了两场的，所以单循环即场，即＝x+y，找出x与y的9组解中满足关于a的方程有正整数解，即求出a的值．设所有比赛中分出胜负的有x场，平局y场，得：
由①得：2y=210-3x
由②得：2y≤x
∴210-3x≤x
解得：x≥，
∵x、y均为非负整数
∴，，，……，
设参赛选手有a人，得：＝x+y
化简得：a2-a-2（x+y）=0
∵此关于a的一元二次方程有正整数解
∴△=1+8（x+y）必须为平方数
由得：1+8×（54+24）=625，为25的平方
∴解得：a1=-12（舍去），a2=13
∴共参赛选手有13人．
故答案为：13．
【点睛】
本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用．由于要求的参赛人数与条件给出的等量关系没有直接联系，故可大胆多设个未知数列方程或不等式，再逐步推导到要求的方向．
20．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可 盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，采取了降价措施，经调查发现如果每件计划降价1元，那么商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要赢利1200元，则每件衬衫应降价________．
【答案】10元或20元
【解析】设商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价x元，（40﹣x）（20+2x）=1200，解得x1=10，x2=20，即商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价10元或20元.
故答案为：10元或20元．

三、解答题
21．解方程
【答案】
【解析】
运用直接开方法进行求解即可．解：或
解得： 或x=0
∴原方程的根是．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，掌握方程解法是解题关键．
22．解方程
【答案】
【解析】
用去分母法解方程，先去分母，去括号，移项，合并同类项化一元二次方程为一般形式，再用因式分解法求解即可求解．解：，
，
∴，
∴，
∴原方程的解为．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，用去分母法解方程是解决本题的关键．
23．解方程：
【答案】
【解析】
将原方程整理，移项，令，然后解关于t的一元二次方程，获得t的值，代回原方程即可求解．
移项，整理得：
令，原式变为
解得，（舍去）
∴，即
解得，
故答案为 ，．
【点睛】
本题考查了换元法解一元二次方程，问题的关键是令，然后解关于t的一元二次方程，一定要注意舍去不合理的根．
24．用配方法解方程：．
【答案】
【解析】
先移项，然后系数化为1，进而根据配方法进行求解一元二次方程即可．解：
，
，
，
，
解得．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握用配方法求解一元二次方程是解题的关键．
25．已知求的值．
【答案】
【解析】
首先将和分别化简，再将所求式子进行转化变形，代入即可得解.解：由已知条件可得，


原式=
=
=
=
=
故答案为.
【点睛】
此题主要考查分母有理化，关键是观察分子分母特点，选择合适的数据，逐步化简，即可解题.
26．已知关于的一元二次方程，若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围.
【答案】
【解析】
根据题意及一元二次方程根的判别式直接进行求解即可．解：由关于的一元二次方程，若该方程有两个不相等的实数根，可得：
，且k-2不等于0；
解得：．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
27．某中学读书社对全校600名学生图书阅读量（单位：本）进行了调查，第一季度全校学生人均阅读量是6本，读书社人均阅读量是15本．读书社人均阅读量在第二季度、第三季度保持一个相同的增长率，全校学生人均阅读量第三季度和第一季度相比，增长率也是，己知第三季度读书社全部40名成员的阅读总量将达到第三季度全校学生阅读总量的25%，求增长率的值．
【答案】增长率的值为50%
【解析】
根据“第三季度读书社全部40名成员的阅读总量将达到第三季度全校学生阅读总量的25%”列出方程即可求出结论．解：由题意可得40×15（1＋）2=600×6（1＋）×25%
整理，得（＋1）（－）=0
解得：=50%，（不符合实际，舍去）
答：增长率的值为50%．
【点睛】
此题考查的是一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解题关键．
28．利用25米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形菜地，并在中间用篱笆分割成三个面积相等的三个小长方形，总共用去篱笆48米。如果围成的菜地面积是128m²，求菜地的宽AB．

【答案】菜地的宽AB为8米.
【解析】
设AB的长为x米，则BE的长为（48-4x）米，利用面积列出方程，求解，再根据墙的长为25米，进行取舍，即可完成.解：设AB的长为x米，则BE的长为（48-4x）米

解得：
当时，BE的长为48-4×4=32（米）＞25，故舍去.
∴
答：菜地的宽AB为8米.
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，审清题意，找出等量关系，列出方程是解题关键.
29．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．
（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8cm2？
（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？

【答案】（1）2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2；（2）不存在使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半的时刻，理由见解析；
【解析】
（1）设点P、Q同时出发，x秒钟后，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，此时△PCQ的面积为：×2x（6-x），令该式=8，由此等量关系列出方程求出符合题意的值；
（2）△ABC的面积的一半等于××AC×BC=12cm2，令×2x（6-x）=12，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2．
由题意得，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，
则•(6−x)•2x＝8．
整理，得x2-6x+8=0，解得x1=2，x2=4．
所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2．
（2）由题意得：
S△ABC=×AC•BC=×6×8=24，
即：×2x×（6-x）=×24，
x2-6x+12=0，
△=62-4×12=-12＜0，该方程无实数解，
所以，不存在使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半的时刻．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，解题关键关键在于根据题意找出等量关系列出方程求解．
30．某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完．该公司的年产量为6000件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润与国内销售量的关系如下表：
销售量（千件）


单件利润（元）



若在国外销售，平均每件产品的利润与国外的销售数量的关系如下表：
销售量（千件）


单件利润（元）
100


（1）用的代数式表示为：=  ；
（2）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润为60万元？
【答案】（1）6-x；（2）公司每年国内销售量为2千件，国外的销售量为4千件或国内销售量为6千件，国外的销售量为0件时，可使公司每年的总利润为60万元.
【解析】
（1）由于该公司的年产量为6000件，每年可在国内、国外市场上全部售完，可得国内销售量+国外销售量=6千件，即x+t=6，变形即为t=6-x；
（2）根据平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系y2＝及t=6-x即可求出y2与x的函数关系：当0≤x≤3时，y2=5x+80；当3＜x≤6时，y2=100；根据总利润=国内销售的利润+国外销售的利润，结合函数解析式，分二种情况讨论：①；②即可.（1）由题意，得x+t=6，
∴t=6-x；
（2）设国内平均每件产品的利润为y1，则有y1=
设平均每件产品的利润为y2则有y2＝且t=6-x，
∴y2＝，
分两种情况：
①当0≤x≤3时，（15x+90）x+（5x+80）（6-x）=600；
解得，，（舍去）
∴t=6-x=4，
所以，公司每年国内销售量为2千件，国外的销售量为4千件时，可使公司每年的总利润为60万元.
②当3＜x≤6时，（-5x+130）x+100（6-x）=600
解得，，（舍去）
∴t=6-x=0，
所以，公司每年国内销售量为6千件，国外的销售量为0件时，可使公司每年的总利润为60万元.
【点睛】
本题考查的是函数在实际生活中的应用，有一定难度．涉及到一次函数、一元二次方程，分段函数等知识，进行分类讨论是解题的关键．
31．（1）课本情境:如图，已知矩形AOBC，AB＝6cm，BC＝16cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点B运动，与点P同时结束运动，出发　 　时，点P和点Q之间的距离是10cm；
（2）逆向发散:当运动时间为2s时，P，Q两点的距离为多少？当运动时间为4s时，P，Q两点的距离为多少？
（3）拓展应用：若点P沿着AO→OC→CB移动，点P，Q分别从A，C同时出发，点Q从点C移动到点B停止时，点P随点Q的停止而停止移动，求经过多长时间△POQ的面积为12cm2？
【答案】（1）或 （2）； （3）或
【解析】(1)过点P作PE⊥BC于E，得到AP＝3t，CQ＝2t，PE＝6，EQ＝16﹣3t﹣2t＝16﹣5t，利用勾股定理得到方程，故可求解；
（2）根据运动时间求出EQ、PE，利用勾股定理即可求解；
(3) 分当点P在AO上时，当点P在OC上时和当点P在CB上时，根据三角形的面积公式列出方程即可求解．
解：（1）设运动时间为t秒时，如图，过点P作PE⊥BC于E，
由运动知，AP＝3t，CQ＝2t，PE＝6，EQ＝16﹣3t﹣2t＝16﹣5t，
∵点P和点Q之间的距离是10 cm，
∴62+（16﹣5t）2＝100，
解得t1=，t2=，
∴t＝或.
故答案为或

（2）t=2时，由运动知AP＝3×2＝6 cm，CQ＝2×2＝4 cm，
∴四边形APEB是矩形，
∴PE＝AB＝6，BE＝6，
∴EQ＝BC﹣BE﹣CQ＝16﹣6﹣4＝6，
根据勾股定理得PQ=,
∴当t＝2 s时，P，Q两点的距离为6 cm；
当t＝4 s时，由运动知AP＝3×4＝12 cm，CQ＝2×4＝8cm，
∴四边形APEB是矩形，
∴PE＝AB＝6，BQ＝8，CE=OP=4
∴EQ＝BC﹣CE﹣BQ＝16﹣4﹣8＝4，
根据勾股定理得PQ=,
P，Q两点的距离为2cm.

（3）点Q从C点移动到B点所花的时间为16÷2=8s，
当点P在AO上时，S△POQ＝＝＝12，
解得t＝4．
当点P在OC上时，S△POQ＝＝＝12，
解得t＝6或﹣（舍弃）．
当点P在CB上时，S△POQ＝＝＝12，
解得t＝18＞8（不符合题意舍弃），
综上所述，经过4 s或6 s时，△POQ的面积为12 cm2．
【点睛】此题主要考查勾股定理的应用、一元二次方程与动点问题，解题的关键是熟知勾股定理的应用，根据三角形的面积公式找到等量关系列出方程求解．