2023年九年级数学中考复习:几何探究题--线段问题附答案
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1.如图1,在等腰三角形中,,,,连接,点、、分别为、、的中点.
(1)当时,
①观察猜想:图1中,点、分别在边、上,线段、的数量关系是___________,的大小为___________;
②探究证明:把绕点顺时针方向旋转到如图2所示的位置,连接、、,判断的形状,并说明理由;
(2)拓展延伸:当时,,时,把绕点在平面内自由旋转,如图3,请求出面积的最大值.
2.在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D在BC上方,连接CD,将CD绕点D顺时针旋转90°到ED.
(1)如图1,点D在AC左侧且在点A上方,连接AE,CE,若∠ACD=15°,AB=2,CE=1+3,求AE的长.
(2)如图2,点D在AC左侧且在点A上方,连接BE交CD于点M,F为BE上一点,连接DF,过点F作FG∥AC交BC延长线于点G,连接GM,EG,AD.若∠EDF+∠EBG=∠DEB,GM=BM.求证:AD=EF.
(3)如图3,已知BC=3,CD=6,连接BE交CD于点M,连接CE,将△CEM沿直线EM翻折至△ABC所在平面内,得△C′EM,当AM+C′M最小时,求C′到BC的距离.
3.如图,等边△ABC与等腰三角形△EDC有公共顶点C,其中∠EDC=120°,AB=CE=2,连接BE,P为BE的中点,连接PD、AD
(1)为了研究线段AD与PD的数量关系,将图1中的△EDC绕点C旋转一个适当的角度,使CE与CA重合,如图2,请直接写出AD与PD的数量关系;
(2)如图1,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)如图3,若∠ACD=45°,求△PAD的面积.
4.如图①,在中,,,,,点是边上(不与底,重合)的一个动点,连接.
(1)当线段把分成两个周长相等的三角形时,的长是多少?
(2)将沿直线折叠,当点恰好落在边上的处时,的长是多少?动手折一折并在图②中画出符合题意的图形.
(3)当时,将绕点顺时针旋转的度数至的位置,连接,如图③,试判断线段和的位置关系并说明理由.
5.已知△ABC是等边三角形,点P为射线AD上任意一点(点P与点A不重合).连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ,连接QB并延长交直线AD于点E.
(1)如图1.当∠DAC=90°时,试猜想BC与QE的位置关系,并说明理由.
(2)如图2.当∠DAC是锐角时.求∠QEP的度数.
(3)如图3.当∠DAC=120°,且∠ACP=15°,点E恰好与点A重合.若AC=6.求BQ的长.
6.如图1,矩形中,,将矩形绕着点A顺时针旋转,得到矩形.
(1)当点E落在上时,则线段的长度等于________;
(2)如图2,当点E落在上时,求的面积;
(3)如图3,连接,判断线段与的位置关系且说明理由,并求的值;
(4)在旋转过程中,请直接写出的最大值.
7.如图所示,正方形中,点、、分别是边、、的中点,连接,.
(1)如图1,直接写出与的关系______;
(2)如图2,若点为延长线上一动点,连接,将线段以点为旋转中心,逆时针旋转90°,得到线段,连接.
①求证:≌;
②直接写出、、三者之间的关系;
8.有如下一道作业题:
如图1,四边形是菱形,且,以为顶点作顶角为120°的等腰,且,,在一条直线上,连结,.
求证:.
(1)请你完成这道题的证明.
(2)如图2,在菱形中,,点是边上一点,,且,连结,延长交于点,连结.
①求证:.
②把绕点顺时针旋转120°得到,连结(如图3).求证:.
9.已知:和均为等腰直角三角形,,连接,,点为中点,连接.
(1)如图1所示,点、分别在边、上,求证:且;
(2)将绕点旋转到图2所示位置时,线段与又有怎样的关系,证明你的结论.
(3)如图3所示,当,时,求长的取值范围.
10.已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=4,点G在AB边上,∠ACG=∠B,点D在AB边上,BD=AC,过点D作DE⊥AB交BC于点E.
(1)如图1,
①CG与DE的位置关系是 ;
②求证:△BDE~△BGC.
(2)将图1中的△BDE绕点B顺时针旋转,连接EC、DG,
①如图2,的值为 ;
②当点D到直线BC的距离等于2时,DG的长为 ;
③当以点A、C、D、B为顶点的四边形时矩形时,点P在线段DG上,且∠CPG与∠A互余,连接CP,则直线CP与AB所夹锐角的正切值为 .
11.有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置,点E,F分别在边AB和AD上,DE,M是BF的中点
【观察猜想】
(1)线段DE与AM之间的数量关系是 ,位置关系是 ;
【探究证明】
(2)将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°,点G恰好落在边AB上,如图2,线段DE与AM之间的关系是否仍然成立?并说明理由.
(3) 若正方形ABCD的边长为4,将其沿EF翻折,点D的对应点G恰好落在BC边上,直接写出DG+DH的最小值
12.已知△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90,点D是BC的中点,作正方形DEFG使点A、C分别在DG和DE上,连接AE,BG.
(1)猜想线段AE和BG的关系,请直接写出你的结论;
(2)将正方形DEFG绕点D顺时针方向旋转一定角度后(旋转角大于0°,小于或等于360°),如图2,判断(1)中的结论是否仍然成立?如果成立,请予以证明;如果不成立,请说明理由.
(3)若BC=DE=4,在(2)的旋转过程中,当AE取最大值时,直接写出AF的长
13.将两块含角且大小相同的直角三角板如图1摆放.
(1)将图1中绕点C顺时针旋转得图2,点是与的交点,求证:;
(2)将图2中绕点C顺时针旋转到(如图3),点是与的交点,线段与之间存在一个确定的等量关系,请你写出这个关系式并说明理由;
(3)将图3中线段绕点C顺时针旋转到(如图4),连结,求证:.
14.阅读理解:如图1,已知四边形ABCD是正方形,点E、F分别在边CD、DA上,且∠EBF=45°,连接EF,则线段AF、CE、EF之间存在着一定的数量关系.
(1)我们可以通过将∆ABF绕点B顺时针旋转90°或者延长EC至点G使得CG=AF并连接BG,这两种方法来判断线段AF、CE、EF之间的数量关系,请你写出它们的数量关系,并完成证明;
延伸拓展:
(2)如图2,四边形ABCD是正方形,∠EBF=45°,交边CD、DA的延长线与点E、F,连接EF,请你直接写出这种情况下线段AF、CE、EF之间的数量关系;
知识运用:
(3)如图3,在平面直角坐标系xOy中, 边长为5的正方形OABC的顶点A、C分别在x、y轴上,现在将正方形绕点O逆时针旋转α(0°<α<90°),当点C坐标为(x,y),且整数x、y满足xy=12时,设直线AB与直线y=x相交于点D,直线BC与y轴相交于点E,请直接写出DE的长度.
15.在锐角△ABC中,AB=AC,D是线段BC上的一点,连接AD,将AD绕着点A顺时针旋转至AE,使得∠EAD=2∠BAC,连接DE交AB于点F.
(1)如图1,若∠BAC=60°,∠DAC=15°,BD=4,求AB的长;
(2)如图2,点G是线段AC的一点,连接DG,FG,若DA平分∠EDG,求证:FE=DG+FG;
(3)在(1)的条件下,将△BFD绕D点顺时针旋转∠α(0°<α<180°)得△B'F'D,直线B'F'交AB于点M,交AC于点N.在旋转过程中,是否存在△AMN为直角三角形?若存在,请直接写出AM的长度;若不存在,请说明理由.
16.已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,直线l经过点A(不经过点B或点C),点C关于直线l的对称点为点D,连接BD,CD.
(1)如图1,求∠BDC的度数(用含α的式子表示).
(2)如图2,当α=60°时,过点D作BD的垂线与直线l交于点E,求证:AE=BD;
(3)如图3,当α=90°时,记直线l与CD的交点为F,连接.将直线l绕点A旋转,当线段BF的长取得最大值时,直接写出tan∠FBC的值..
17.(1)发现问题:如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,点F为BC上一点,以BF为边作正方形BFED,点E在AB上,若AC=BC=2,BF=,则= ;
(2)类比探究:如图2,在(1)的条件下,将正方形BFED绕点B旋转,连接AE,BE,CF,求的值;
(3)拓展延伸:在(2)的条件下,当A,E,F三点共线时,直接写出线段CF的长.
18.在RtABC中,∠BAC=90°,∠ABC=30°,AC=2,将ABC绕点C顺时针旋转α(0°<α≤360°)得到,其中点A,B的对应点分别为点,.
(1)如图1,当落在CA的延长线上时,
①连接,求线段的长.
②求从初始状态到此位置时,线段AB扫过的面积.
(2)如图2,连接,,所在直线与所在直线交于点M,所在直线与交于点N,当0°<α≤180°时,是否存在α使得=2MN,若存在,请求出α;若不存在,请说明理由.
(3)如图3,所在直线与所在直线交于点M,K为边AB的中点,连接MK,请直接写出在旋转过程中,MK长度的取值范围.
19.如图,在△ABC中,,点在上,以点为中心,将线段顺时针旋转得到线段,连接.
(1)按要求作出图形;
(2)若=90°,用等式表示线段大小关系,并证明;
(3)若=120°,,为的中点,求的最小值.
20.综合与实践,已知:如图1和图2,四边形ABCD中,,,点E、F分别在BC、CD上,.
问题探究:
(1)如图1,若、都是直角,把绕点A逆时针旋转90°至,使AB与AD重合,则______度,线段BE、DF和EF之间的数量关系为______;
问题再探:
(2)如图2,若、都不是直角,但满足,线段BE、DF和EF之间的数量关系是否仍然成立,若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由.
拓展应用:
(3)如图3,在中,,.点D、E均在边BC边上,且,若,则DE的长为______.
参考答案:
1.(1)①MN=NP;;②是等边三角形,理由见解析
(2)32
2.(1)
(3)
3.(1)AD=2PD
(2)成立
(3)
4.(1)6;(2)3,(3)线段AB垂直平分线段EF
5.(1)BC⊥EQ.理由见解析;(2)∠QEP=60°;(3)BQ=3﹣3.
6.(1)10;(2)42;(3) AE⊥CG, ;(4)300
7.(1),;(2)②
9.(2)且;(3)
10.(1)①;;(2)①;②或;③
11.(1)DE=2AM,DE⊥AM;(2)成立,(3)
12.(1)BG=AE且BG⊥AE,;(2)成立;(3).
13.(1)见解析;(2)CP1=P1P2.,
14.(1)EF=AF+CE,(2)EF=CE-AF;(3)或.
15.(1);(3)存在,
16.(1)α;(3)
17.(1);(2);(3)或
18.(1)4;②2π;(2)存在,α=60°;(3)1≤MK≤3
19.(2)(3)
20.(1)45,; (2)成立(3)
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