2022年中考数学考前知识点补漏最后一练 二次函数的综合应用 专题

2022年中考数学考前知识点补漏最后一练

（《二次函数的综合应用》专题）

类型一：二次函数与存在性问题

1. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点N(2，－5)，过点N作x轴的平行线交此抛物线左侧于点M，MN＝6.

(1)求此抛物线的表达式；

(2)点P(x，y)为此抛物线上一动点，连接MP交此抛物线的对称轴于点D，当△DMN为直角三角形时，求点P的坐标；

(3)设此抛物线与y轴交于点C，在此抛物线上是否存在点Q，使∠QMN＝∠CNM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

2. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B.

(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求抛物线和直线BC的表达式；

(2)在抛物线的对称轴为直线x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；

(3)设点P为抛物线的对称轴为直线x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

3. 如图，一次函数y＝x－的图象与坐标轴交于点A，B，二次函数y＝x2＋bx＋c图象过A，B两点．

(1)求二次函数表达式；

(2)点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

4. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋x＋(m＞0)与x轴交于A(－1，0)，B(m，0)两点，与y轴交于点C，连接BC.

(1)若OC＝2OA，求抛物线对应的函数表达式；

(2)在(1)的条件下，点P位于直线BC上方的抛物线上，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；

(3)设直线y＝x＋b与抛物线交于B，G两点，问是否存在点E(在抛物线上)，点F(在抛物线的对称轴上)，使得以B，G，E，F为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点E，F的坐标；若不存在，说明理由．

类型二：二次函数与线段长度、周长问题

1. 二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接、，交于点Q，过点P作轴于点D．

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接，当时，求直线的表达式；

（3）请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由．

2.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴交于经过A(－3，0)，C(4，0)两点，其与y轴的交点为点B.

(1)求抛物线的表达式；

(2)已知AD＝AB(点D在线段AC上)，有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；

3. 如图，二次函数y＝x2－(m＋1)x＋m(m是实数，且－1＜m＜0)的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，其对称轴与x轴交于点C.已知点D位于第一象限，且在对称轴上，OD⊥BD，点E在x轴的正半轴上，OC＝EC，连接ED并延长交y轴于点F，连接AF.

(1)求A，B，C三点的坐标(用数字或含m的式子表示)；

(2)已知点Q在抛物线的对称轴上，当△AFQ的周长的最小值等于时，求m的值．

4. 抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点P是抛物线上位于直线上方的一点，与相交于点E，当时，求点P的坐标；

（3）如图2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿方向平移，使点D落在点处，且，点M是平移后所得抛物线上位于左侧的一点，轴交直线于点N，连结．当的值最小时，求的长．

类型三：二次函数与图形面积问题

1. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝x2＋bx＋c经过坐标原点和点A，顶点为M.

(1)求抛物线的关系式及点M的坐标；

(2)点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当△EAB的面积等于时，求E点的坐标；

2. 如图，抛物线y＝mx2＋(m2＋3)x－(6m＋9)与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知B(3，0)．

(1)求m的值和直线BC对应的函数表达式；

(2)P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，请直接写出点P的坐标；

(3)Q为抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标．

3. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C.

(1)b＝________，c＝________；

(2)若点D在该二次函数的图象上，且S△ABD＝2S△ABC，求点D的坐标；

(3)若P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且S△APC＝S△APB，直接写出点P的坐标．

4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的AB边与y轴交于点E，点F是AD的中点，B，C，D的坐标分别为(－2，0)，(8，0)，(13，10)．

(1)求过B，E，C三点的抛物线的表达式；

(2)试判断抛物线的顶点是否在直线EF上；

(3)设过F与AB平行的直线交y轴于点Q，点M是线段EQ之间的动点，射线BM与抛物线交于另一点P，当△PBQ的面积最大时，求P的坐标．

类型四：二次函数与动点、最值问题

1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(0，－1)，B(4，1)．直线AB交x轴于点C，点P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PE∥x轴，交AB于点E.

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值．

2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于、、三点，其中点坐标为，点坐标为，连接、．动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒．

（1）求、的值；

（2）在、运动的过程中，当为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？

3. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴交于经过A(－3，0)，C(4，0)两点，其与y轴的交点为点B.

(1)求抛物线的表达式；

(2)已知AD＝AB(点D在线段AC上)，有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；

(3)在(2)的情况下，在抛物线的对称轴上求一点M，使MQ＋MC的值最小

4. 若一次函数y＝－3x－3的图象与x轴、y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为(3，0)，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A，B，C三点，如图1.

(1)求二次函数的表达式；

(2)如图1，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点E在抛物线上(y轴左侧)，若BC恰好平分∠DBE.求直线BE的表达式；

(3)如图2，若点P在抛物线上(点P在y轴右侧)，连接AP交BC于点F，连接BP，S△BFP＝mS△BAF.

①当m＝时，求点P的坐标；

②求m的最大值．