初中7 用二元一次方程组确定一次函数表达式教学设计及反思

教学目标

1.掌握利用待定系数法确定一次函数表达式.

2.在对图象法与代数法的对比中，体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化，灵活运用数形结合的思想.

3.通过对二元一次方程组与一次函数的探究,培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力.

教学重难点

重点：利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.

难点：理解并掌握数形结合思想.

教学过程

导入新课

师:同学们还记得二元一次方程组有哪些解法吗?

生:代入消元法、加减消元法、用一次函数的图象求解二元一次方程组.

师:很好!在同一直角坐标系中,两个一次函数交点的坐标就是这两个一次函数的表达式组成的二元一次方程组的解,也就是说通过两个一次函数的图象的交点坐标就可以得到相应的二元一次方程组的解,那么反过来,我们能不能根据二元一次方程组确定一次函数的表达式呢?今天这节课我们就一起来探究这个问题.

探究新知

一、预习新知

请同学们自主预习课本126~127页.

A ,B两地相距100 km，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行.假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离 s(km)都是骑车时间   t (h)的一次函数.1 h后乙距A地80 km；2 h后甲距A地30 km.

问：经过多长时间两人将相遇？

教师利用多媒体出示三位同学的做法.

小明：可以分别画出两人之间的距离s与骑行的时间t之间的图象(如图所示)，找出交点的横坐标即可.

小颖：对于乙，s是t的一次函数，可以设s＝kt+b.当t＝0时，s＝100；当t＝1时，s＝80.将它们分别代入s＝kt+b中，可以求出k，b的值，也即可以求出乙的s与t之间的函数表达式.同样可以求出甲的s与t之间的函数表达式，再联立这两个表达式，求解方程组就行了!

小亮：1 h后乙距离A地80 km，即乙的速度是20 km/h；2 h后甲距离A地30 km，也即甲的速度是15 km/h，由此可以求出甲、乙两人的速度和……

师：同学们能理解他们的做法吗？小明的方法求出的结果准确吗？

请大家用他们三个人的方法做一做，看看和你的结果是否一致.

学生尝试用上面三位同学的方法解题,然后交流讨论.

设计意图：通过实际问题情景，进一步加强函数与方程的联系，让学生在多种方法解决问题的思考和比较中体会图象法与代数法各自的特点，为讲解待定系数法确定一次函数的表达式做好铺垫，同时理解知识之间有着广泛的联系.

二、合作探究

教师提出问题：通过以上的解题过程你受到什么启发？

师：三人是用什么方法解决问题的？

生：小明是用图象法解决问题，小颖是用方程组的方法解决问题，小亮是用一元一次方程的方法解决问题.

师：这些方法有什么优缺点？（学生小组内讨论，然后找学生代表发表本小组见解）

图象法比较直观，但有时难以准确获得问题的结果，为了获得准确的结果，我们一般用代数法，但代数法抽象不易理解.

典型例题

例1　某市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取按月用水量分段收费办法，若某户居民应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图所示.

（1）分别写出当0≤x≤15和x＞15时，y与x的函数关系式；

（2）若某用户十月份用水量为10吨，则应交水费多少元？若该用户十一月份交了51元的水费，则他该月用水多少吨？

【问题探索】这是一个分段函数，要想求函数表达式只需要找到两段函数上所需点的坐标，代入所设的表达式中，解方程组即可.

【解】（1）当０≤x≤15时，设，根据题意，得

    ，解得

所以当0≤x≤15时，

当x＞15时，设，根据题意，得方程组

解这个方程组，得

所以当x＞15时，

（２）把x＝10代入中，得y＝18.

把y＝51代入中，得x＝25.

【总结】此题的易错点在第（2）问，先找到自变量为10是在第一段函数上，所以代入第一个函数关系式，经分析函数值为51是在第二段函数上，要代入第二个函数关系式.

学生总结，教师指导：像本例这样,先设出函数表达式,再根据所给条件确定表达式中未知的系数,从而得到函数表达式的方法,叫做待定系数法.

例2　已知一次函数的图象过点（3，5）与（-4，-9），求这个一次函数的表达式.

【问题探索】要求函数表达式，只需要代入两个点的坐标进行求解.

【解】设这个一次函数的解析式为y＝kx+b.

把点（3，5）与（-4，-9）的坐标分别代入，得

解方程组得

所以这个一次函数的表达式为y＝2x-1.

【总结】求一次函数表达式的步骤：

（1）用含字母的系数设一次函数的表达式为y＝kx+b（k≠0）；

（2）将已知条件代入上述表达式中得到关于k，b的二元一次方程组；

（3）解这个二元一次方程组得k，b；

（4）写出一次函数的表达式.

课堂练习

1.一次函数y＝kx+b的图象经过点（2，-1）和（1，1），那么这个一次函数的表达式为（    ）

A.          B.         

C.           D.

2.图中的折线是某电信局规定打长途电话所需付的电话费y（元）与通话时间t（min）之间的函数关系图象，请根据图象填空：

（1）通话2 min需付电话费            元；

（2）当min时，电话费（元）与通话时间（min）之间的函数表达式是            .

3.如图表示两辆汽车A，B行驶的路程s与时间t的关系(汽车B在汽车A后出发)，试回答下列问题：

(1)图中l1，l2分别表示哪一辆汽车的路程与时间的关系？

(2)写出汽车A和汽车B的路程与时间的函数关系式.

(3)图中交点的含义是什么？

参考答案

1.A　

2.(1)3.6  (2)y＝1.2x

3.解：(1)l1表示汽车A的路程与时间的关系，l2表示汽车B的路程与时间的关系.

(2)汽车A的路程与时间的函数关系式是s＝t，汽车B的路程与时间的函数关系式是s＝100t-200.

(3)汽车A出发3 h(或汽车B出发1 h)时，两车相遇，此时两车的行驶路程都是100 km.

课堂小结

(学生总结，老师点评)

1.待定系数法的定义；

2.利用二元一次方程组确定一次函数表达式的步骤.

布置作业

习题5.8第1，3题

板书设计

第五章 二元一次方程组

7 用二元一次方程组确定一次函数表达式

1.待定系数法的定义：先设出函数表达式,再根据所给条件确定表达式中未知的系数,从而得到函数表达式的方法,叫做待定系数法.

2.利用二元一次方程组确定一次函数表达式的步骤：

（1）用含字母的系数设一次函数的表达式为y＝kx+b（k≠0）；

（2）将已知条件代入上述表达式中得关于k，b的二元一次方程组；

（3）解这个二元一次方程组得k，b的值;

（4）写出一次函数的表达式.