初中数学北师大版八年级上册6 实数综合训练题

专题2.3 实数（知识解读）

【直击考点】

 【学习目标】

1. 了解无理数的含义；

2. 掌握实数的分类；掌握实数在数轴上的表示，熟练掌握实数的运算的方法

3.体会实数间关联

【知识点梳理】

考点 1 有理数与无理数

有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.

注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式

（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.

考点2   实数

有理数和无理数统称为实数.

1.实数的分类

按定义分：

   实数

按与0的大小关系分：

   实数

 2.实数与数轴上的点一一对应.

数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.

考点3   实数运算

1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。

2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的

【典例分析】

【考点1 无理数】

【典例1】（2022春•如皋市校级月考）下列各数﹣5，，4.1212112，0，，0.中，无理数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【变式1-1】（2021秋•梁溪区期末）在0、π、0.0101101110…（每两个0之间的1依次增加）、﹣3.14、中，无理数的个数有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【变式1-2】（2022春•南宁期中）下列说法中正确的是（　　）

A．带根号的数都是无理数 B．无理数都是无限小数 

C．无限小数都是无理数 D．分数都是无理数

【变式1-3】在中，无理数的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【考点2 实数的分类】

【典例2】（2022春•瑶海区期中）把下列各数写入相应的括号中：﹣、、0.618、、、、0、0.1212212221…（两个1之间依次增加一个2）．

（1）正实数：{　                                              　}；

（2）负实数：{　                      　}；

（3）有理数：{　                                     　}；

（4）无理数：{　                                     　}．

【变式2-1】（2022春•长葛市期中）把下列各数分别填入相应的集合里．

+5，，0，﹣3.14，，﹣12，﹣，﹣（﹣6），0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）

（1）整数集合：{　                    　…}

（2）正数集合：{　                                             　…}

（3）无理数集合：{　                               　…}

【变式2-2】（2021春•灵宝市期中）把下列各数填在相应的大括号里：

﹣|﹣2|，0，﹣1.0，﹣，﹣，﹣（﹣3），，，，，0.1010010001…（小数点后面两个1之间多一个0）．

分数：{　                    　}

整数：{　                               　}

负有理数：{　                                    　}

无理数：{　                                            　}

【考点3 实数与数轴】

【典例3】（2022春•长沙期中）如图，一条长度为的线段OA绕着O点旋转一周，当OA与数轴重合时，A点表示的数为 　     ．

【变式3-1】（2022春•西城区校级期中）如图，OA＝OB，则在数轴上点A表示的实数是 　    　．

【变式3-2】（2022春•海淀区校级期中）把无理数，，，﹣表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 　    　．

【考点4 实数运算】

【典例3】（2022春•东城区校级期中）的相反数是 　　；3.14﹣π绝对值是 　   　．

【变式3-1】（2021秋•成都期末）﹣的绝对值是（　　）

A．﹣ B．11 C． D．﹣11

【变式3-2】（2022•历城区一模）实数﹣3的绝对值是（　　）

A．﹣3 B． C．3 D．﹣

【变式3-3】（2022春•长垣市期中）﹣2的绝对值是（　　）

A．2﹣ B．﹣2 C． D．1

【典例4】（2022•克拉玛依模拟）计算：．

【变式4-1】（2022•三元区模拟）计算：．

【变式4-2】（2022春•朝阳区校级期中）计算：||+﹣（﹣1）0．

【变式4-3】（2022春•西城区校级期中）（1）计算：；

（2）计算：．

专题2.3 实数（知识解读）

【直击考点】

 【学习目标】

1. 了解无理数的含义；

2. 掌握实数的分类；掌握实数在数轴上的表示，熟练掌握实数的运算的方法

3.体会实数间关联

【知识点梳理】

考点 1 有理数与无理数

有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.

注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式

（3）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.

考点2   实数

有理数和无理数统称为实数.

1.实数的分类

按定义分：

   实数

按与0的大小关系分：

   实数

 2.实数与数轴上的点一一对应.

数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.

考点3   实数运算

1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。

2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的

【典例分析】

【考点1 无理数】

【典例1】（2022春•如皋市校级月考）下列各数﹣5，，4.1212112，0，，0.中，无理数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】A

【解答】解：﹣5，0是整数，属于有理数；

4.1212112是有限小数，属于有理数；

是分数，属于有理数；

0.是循环小数，属于有理数；

无理数有，共1个．

故选：A．

【变式1-1】（2021秋•梁溪区期末）在0、π、0.0101101110…（每两个0之间的1依次增加）、﹣3.14、中，无理数的个数有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【答案】C

【解答】解：0是整数 属于有理数；

﹣3.14是有限小数，属于有理数；

是分数，属于有理数；

无理数是π、0.0101101110…（每两个0之间的1依次增加），共2个．

故选：C．

【变式1-2】（2022春•南宁期中）下列说法中正确的是（　　）

A．带根号的数都是无理数 B．无理数都是无限小数 

C．无限小数都是无理数 D．分数都是无理数

【答案】B

【解答】解：A、＝2，是整数，是有理数，不符合题意；

B、无理数都是无限小数，符合题意；

C、无限循环小数是有理数，不符合题意；

D、分数都是有理数，不符合题意．

故选：B．

【变式1-3】在中，无理数的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【解答】解：﹣0.101101110111是有限小数，属于有理数；

＝2，0是整数，属于有理数；

故在中，无理数有，，共2个．

故选：B．

【考点2 实数的分类】

【典例2】（2022春•瑶海区期中）把下列各数写入相应的括号中：﹣、、0.618、、、、0、0.1212212221…（两个1之间依次增加一个2）．

（1）正实数：{　                                              　}；

（2）负实数：{　                      　}；

（3）有理数：{　                                     　}；

（4）无理数：{　                                     　}．

【解答】解：把下列各数写入相应的括号中：﹣、、0.618、、、、0、0.1212212221…（两个1之间依次增加一个2）．

（1）正实数：{、、、0.1212212221…（两个1之间依次增加一个2）}；

（2）负实数：{﹣、}；

（3）有理数：{﹣、0.618、、、0}；

（4）无理数：{、、0.1212212221…（两个1之间依次增加一个2）}，

故答案为：（1）、、、0.1212212221…（两个1之间依次增加一个2）；

（2）﹣、；

（3）﹣、0.618、、、0；

（4）、、0.1212212221…（两个1之间依次增加一个2）．

【变式2-1】（2022春•长葛市期中）把下列各数分别填入相应的集合里．

+5，，0，﹣3.14，，﹣12，﹣，﹣（﹣6），0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）

（1）整数集合：{　                    　…}

（2）正数集合：{　                                             　…}

（3）无理数集合：{　                               　…}

【解答】解：（1）整数集合：{+5，0，﹣12，﹣（﹣6）…}，

故答案为：+5，0，﹣12，﹣（﹣6）；

（2）正数集合：{+5，，，﹣（﹣6），0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）…}，

故答案为：+5，，，﹣（﹣6），0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）；

（3）无理数集合：{，﹣，0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）…}，

故答案为：，﹣，0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）．

【变式2-2】（2021春•灵宝市期中）把下列各数填在相应的大括号里：

﹣|﹣2|，0，﹣1.0，﹣，﹣，﹣（﹣3），，，，，0.1010010001…（小数点后面两个1之间多一个0）．

分数：{　                    　}

整数：{　                               　}

负有理数：{　                                    　}

无理数：{　                                            　}

【解答】解：分数：{﹣1.0，}

整数：{﹣|﹣2|，0，﹣（﹣3），}

负有理数：{﹣|﹣2|，，﹣1.0}

无理数：{，，，，0.1010010001…（每两个1之间多一个0）}，

故答案为：﹣1.0，；﹣|﹣2|，0，﹣（﹣3），；﹣|﹣2|，，﹣1.0；，，，，0.1010010001…（每两个1之间多一个0）．

【考点3 实数与数轴】

【典例3】（2022春•长沙期中）如图，一条长度为的线段OA绕着O点旋转一周，当OA与数轴重合时，A点表示的数为 　     ．

【答案】﹣2　

【解答】解：∵当OA与数轴重合时，点A到原点的距离是，

且点A在原点的右侧，

∴点A表示的数是﹣2．

【变式3-1】（2022春•西城区校级期中）如图，OA＝OB，则在数轴上点A表示的实数是 　    　．

【答案】﹣

【解答】解：∵OB＝＝，

∴OA＝OB＝，

∵点A在原点的左侧，到原点的距离是，

∴点A表示的实数是﹣．

故答案为：﹣．

【变式3-2】（2022春•海淀区校级期中）把无理数，，，﹣表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 　    　．

【答案】

【解答】解：设被墨迹覆盖住的无理数为x．

由图可知：3＜x＜4．

∵4＜＜5.3＜＜4，2＜＜3，﹣2＜﹣＜﹣1，

∴被墨迹覆盖住的无理数是．

故答案为：．

【考点4 实数运算】

【典例3】（2022春•东城区校级期中）的相反数是 　　；3.14﹣π绝对值是 　   　．

【答案】﹣，π﹣3.14．

【解答】解：的相反数是：﹣；3.14﹣π绝对值是：π﹣3.14．

故答案为：﹣，π﹣3.14．

【变式3-1】（2021秋•成都期末）﹣的绝对值是（　　）

A．﹣ B．11 C． D．﹣11

【答案】C

【解答】解：﹣的绝对值是．

故选：C．

【变式3-2】（2022•历城区一模）实数﹣3的绝对值是（　　）

A．﹣3 B． C．3 D．﹣

【答案】C

【解答】解：实数﹣3的绝对值是：3．

故选：C．

【变式3-3】（2022春•长垣市期中）﹣2的绝对值是（　　）

A．2﹣ B．﹣2 C． D．1

【答案】A

【解答】解：∵1＜＜2，

∴﹣2的绝对值是2﹣．

故选：A．

【典例4】（2022•克拉玛依模拟）计算：．

【解答】解：原式＝2﹣2+（2﹣）﹣1

＝2﹣2+2﹣﹣1

＝3﹣3．

【变式4-1】（2022•三元区模拟）计算：．

【解答】解：

＝﹣8+（2﹣）+2+1

＝﹣8+2﹣+2+1

＝﹣5+．

【变式4-2】（2022春•朝阳区校级期中）计算：||+﹣（﹣1）0．

【解答】解：原式＝﹣1+2﹣6×﹣1

＝﹣1+2﹣3﹣1

＝﹣2．

【变式4-3】（2022春•西城区校级期中）（1）计算：；

（2）计算：．

【解答】解：（1）

＝9+（﹣3）+

＝9﹣3+

＝；

（2）

＝4﹣2﹣2+2﹣

＝2﹣．