北师大版八年级上册4 估算课堂检测

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2.4 ～2.5 估算与用计算器开方
课堂知识梳理


比较两数的大小常用方法有：①作差比较法；②求值比较法；③移因式于根号内，再比较大小；④利用平方法比较无理数的大小等．
课后培优练级练

培优第一阶——基础过关练
1．估计的取值范围是（       ）
A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间
【答案】B
【解析】
【分析】
先判断的取值范围，从而得出-1的取值范围．
【详解】
解：∵22<()2<32
∴2<<3，
∴1<-1<2，
即-1在1到2之间，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．
2．利用计算器求的值，正确的按键顺序为（       ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据用计算器算算术平方根的方法：先按键“”，再输入被开方数，按键“＝”即可得到结果．
【详解】
解：采用的科学计算器计算，按键顺序正确的是D选项中的顺序．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了计算器的使用方法．由于计算器的类型很多，可根据计算器的说明书使用．
3．下列各数中，介于＋1和之间的是（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
估算+1和的值即可得到问题的选项．
【详解】
解：∵1＜＜2，
∴2＜+1＜3，
∵＜＜，
∴3＜＜4，
∴介于+1和之间的数应该在2到4之间，
故选：B．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是能估算出每个数的范围．
4．设的整数部分是a，的整数部分是b，（       ）
A． B．7 C．6 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先估算出，从而求出a、b的值，然后代值计算即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了无理数的估算，与无理数整数部分有关的计算，正确求出a、b的值是解题的关键．
5．已知a为整数，且满足，则a等于（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
估算无理数和的大小，进而确定a的值即可．
【详解】
解：∵2＜＜3，3＜＜4，a为整数，且满足＜a＜，
∴a=3．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法进行求解是解决本题的关键．
6．一个正方形的面积是18，估计它的边长的大小在（       ）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正方形的面积是18，可得它的边长是，然后再估算的大小，即可求解．
【详解】
解：∵正方形的面积是18，
∴它的边长是，
∵，
∴，
即它的边长的大小在4与5之间．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了无理数的估算，求算术平方根，熟练掌握估算无理数的大小时要用有理数逼近无理数，求无理数的近似值是解题的关键．
7．若的整数部分为，小数部分为，则的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先判断出在那两个整数之间，从而得出8-的整数部分和小数部分，再把x、y的值代入xy式子计算即可．
【详解】
解：∵9<15<16，
∴3<<4，
∴4<8-<5，
∴x=4，y=8--4=4-，
∴xy=4(4-)=16-4．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了估算无理数的大小，掌握估算的能力，用逼近法确定无理数的整数部分是解题的关键．
8．用计算器计算（精确到0.0001）：≈__________；__________；__________；±≈__________．
【答案】     1.7889     5.6569     -2.9103     ±1.2166
【解析】
【分析】
利用计算器计算可得．
【详解】
解：≈1.7889，5.6569，﹣2.9103，±≈±1.2166，
故答案为：1.7889，5.6569，﹣2.9103，±1.2166．
【点睛】
此题考查了利用计算器求一个数的算术平方根及平方根，正确掌握计算器求平方根按键的顺序是解题的关键．
9．大于﹣小于的整数有 _____个．
【答案】
【解析】
【分析】
先估算两个无理数的大小，再找整数个数．
【详解】
解：∵﹣5＜＜﹣4，2＜＜3，
∴大于﹣小于的整数有：﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，共有7个．
∴答案为：7
【点睛】
本题考查无理数的估计，正确估计两个无理数的范围是求解本题的关键．
10．若，且a、b为两个连续的整数，c为这四个数，，，中的唯一有理数，则__________．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据题意分别求出a，b，c的值，再代入求值即可．
【详解】
解：∵，且a、b为两个连续的整数，
∴a=3，b=4，
∵，，，中有理数是，
∴c=，
则3×4×=4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查无理数比大小，无理数的定义，能够根据条件判断无理数是解决本题的关键．
11．已知，是两个连续整数，且，则___________．
【答案】7
【解析】
【分析】
根据，为连续的整数，，即可求得，可以求出，的值，再代入代数式求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，
即，
，为连续的整数，，
，，
．
故答案为：7．
【点睛】
本题主要考查了估计无理数的大小，代数式求值，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键．
12．（2022·上海市七宝中学七年级期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，则的平方根为___________．
【答案】±4
【解析】
【分析】
利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．
【详解】
∵5a＋2的立方根是3，3a＋b-1的算术平方根是4，
∴5a＋2＝27，3a＋b-1＝16，
∴a＝5，b＝2，
∵c是的整数部分，
∴c＝3，
∴



∴的平方根是±4．
故答案为：±4．
【点睛】
本题主要考查的知识点是立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值，解题关键是读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．
13．用计算器求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）直接根据计算器的开方运算顺序计算即可．
（２）同（1）方法．
（３）同（1）方法．
(1)
按键顺序：


2
7
4
4
=

显示结果为：14，所以．
(2)
按键顺序：


1
2
1
6
7
=

显示结果为：23，所以．
(3)
按键顺序：



5
8
3
2
=

显示结果为：，所以．
【点睛】
本题考查计算器的开方运算，能够准确使用计算器是解题的关键．
14．利用计算器，比较下列各组数的大小：
（1），；
（2），．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用计算器分别计算出数值进行比较即可；
（2）利用计算器分别计算出数值进行比较即可．
【详解】
解：（1）按键顺序为：“”、“5”、“=”，显示结果为：2.23606798，
按键顺序为：“SHIFT”、“”、“11”、“=”，显示结果为：2.22398009，
∴＜；
（2）按键顺序为：“”、“5”、“=”，显示结果为：2.23606798，
∴=0.61803399，
∵=0.625，
∴．
【点睛】
本题考查了利用计算器比较数的大小关系，正确计算各个数的近似值是解决本题的关键．
15．通过估算，比较下面各组数的大小：
（1），；                                        
（2），．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）首先得出小于2，进而得出答案；
（2）首先求出，进而比较即可．
【详解】
解：（1）因为，
所以，因此；
（2）因为，
所以．
【点睛】
本题主要考查了估算无理数大小，解题的关键是正确估算的近似值是解题关键．
16．已知，，，，……
(1)填空：________；
(2)已知，用含的代数式表示，则________；
(3)根据规律写出与的大小情况．
【答案】(1)0.01
(2)10000x
(3)当01时， 【解析】
【分析】
（1）根据被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律即可求解；
（2）根据被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律即可得出x、y的关系，进而求解．
（3）分三种情况：①当01时，分别求解即可．
(1)
解：∵，，，，
∴0.01，
故答案为：0.01；
(2)
解：∵，，
又∵，
∴y=10000x，
故答案为：10000x；
(3)
解：分三种情况：①当0 ∵，
∴＞a；
②当a=1或a=0时，
∵
∴=a；
③当a>1时，
∵，，
∴ 【点睛】
本题考查了估算无理数的大小、规律型-数字的变化，算术平方根，解决本题的关键是观察被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律，并运用规律．
17．生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定．现有一长度为的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到高的墙头吗？

【答案】当梯子稳定摆放时，它的顶端能够达到高的墙头．
【解析】
【分析】
设梯子稳定摆放时，它的顶端离地面的高度为，先利用勾股定理求出的值，再根据无理数的估算即可得出结论．
【详解】
解：设梯子稳定摆放时，它的顶端离地面的高度为，此时梯子底端离墙的距离恰为梯子长度的，
由勾股定理得：，即，
解得或（不符题意，舍去），
因为，
所以，
答：当梯子稳定摆放时，它的顶端能够达到高的墙头．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用、无理数的估算、利用平方根解方程，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．
培优第二阶——拓展培优练
18．已知342＝1156，352＝1225，362＝1296，372＝1369，若n为整数且n＜＜n＋1，则n的值为（       ）
A．34 B．35 C．36 D．37
【答案】C
【解析】
【分析】
根据算术平方根的定义，估算无理数的大小即可．
【详解】
解：∵362＝1296，372＝1369，且1296＜1334＜1369，
∴36＜＜37，
∵n为整数且n＜＜n+1，
∴n=36，
故选：C．
【点睛】
本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
19．阅读下面的文字，解答问题大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来， 而由于，所以的整数部分为，将 减去其整数部分，所得的差就是其小数部分，根据以上内容，解答下面的问题：
的整数部分是 ；小数部分是 ．
的整数部分是 ，小数部分是 ．
若设整数部分为，小数部分为，求的值．
【答案】（1）2，；（2）2，；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据的取值范围，即可求出答案；
（2）根据的取值范围，即可求出答案；
（3）求出的取值范围，推出的范围，求出x，y的值，代入即可．
【详解】
解：（1）∵
∴的整数部分是2，小数部分是；
故答案为：2，；
（2）∵
∴
∴的整数部分是2，小数部分是；
故答案为：2，；
（3）∵
∴
∴
∴．
【点睛】
本题考查的知识点是估算无理数的大小以及代数式的求值，掌握夹逼法求解无理数的取值范围是解此题的关键．
20．阅读下面的文字，解答问题．
对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a的最大整数；用{a}表示a减去[a]所得的差．
例如：[]＝1，[2.2]＝2，{}＝﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2．
（1）仿照以上方法计算：[]＝　 　{5﹣}＝　 　；
（2）若[]＝1，写出所有满足题意的整数x的值：　 　．
（3）已知y0是一个不大于280的非负数，且满足{}＝0．我们规定：y1＝[]，y2＝[]，y3＝[]，…，以此类推，直到yn第一次等于1时停止计算．当y0是符合条件的所有数中的最大数时，此时y0＝　 　，n＝　 　．
【答案】（1）2；3﹣；（2）1、2、3；（3）256，4
【解析】
【分析】
（1）依照定义进行计算即可；
（2）由题可知，，则可得满足题意的整数的的值为1、2、3；
（3）由，可知，是某个整数的平方，又是符合条件的所有数中最大的数，则，再依次进行计算．
【详解】
解：（1）由定义可得，，，
．
故答案为：2；．
（2），
，即，
整数的值为1、2、3．
故答案为：1、2、3．
（3），即，
可设，且是自然数，
是符合条件的所有数中的最大数，
，
，
，
，
，
即．
故答案为：256，4．
【点睛】
本题属于新定义类问题，主要考查估算无理数大小，无理数的整数部分和小数部分，理解定义内容是解题关键．
培优第三阶——中考沙场点兵
21．（2022·江苏泰州·中考真题）下列判断正确的是(     )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据即可求解．
【详解】
解：由题意可知：，
故选：B．
【点睛】
本题考查了无理数的估值，属于基础题．
22．（2022·浙江舟山·中考真题）估计的值在（       ）
A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间
【答案】C
【解析】
【分析】
根据无理数的估算方法估算即可．
【详解】
∵
∴
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了无理数的估算能力，要求掌握无理数的基本估算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
23．（2022·重庆·中考真题）估计的值在（       ）
A．6到7之间 B．5到6之间 C．4到5之间 D．3到4之间
【答案】D
【解析】
【分析】
根据49<54<64，得到，进而得到，即可得到答案．
【详解】
解：∵49<54<64，
∴，
∴，即的值在3到4之间，
故选：D．
【点睛】
此题考查了无理数的估算，正确掌握无理数的估算方法是解题的关键．
24．（2020·山东烟台·中考真题）利用如图所示的计算器进行计算，按键操作不正确的是（       ）

A．按键即可进入统计计算状态
B．计算的值，按键顺序为：
C．计算结果以“度”为单位，按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果
D．计算器显示结果为时，若按键，则结果切换为小数格式0.333333333
【答案】B
【解析】
【分析】
根据计算器的按键写出计算的式子．然后求值．
【详解】
解：A、按键即可进入统计计算状态是正确的，故选项A不符合题意；
B、计算的值，按键顺序为：，故选项B符合题意；
C、计算结果以“度”为单位，按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果是正确的，故选项C不符合题意；
D、计算器显示结果为时，若按键，则结果切换为小数格式0．333333333是正确的，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了科学计算器，熟练了解按键的含义是解题的关键．
25．（2022·江苏宿迁·中考真题）满足的最大整数是_______．
【答案】3
【解析】
【分析】
先判断从而可得答案．
【详解】
解：

满足的最大整数是3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查的是无理数的估算，掌握“无理数的估算方法”是解本题的关键．
26．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）若两个连续的整数、满足，则的值为__________ ．
【答案】
【解析】
【分析】
求出在哪两个连续整数之间即可求得两个连续整数，，进而求得的值．
【详解】
∵，
∴，
即，
∵，
∴，，
∴，
故答案为：
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，属于基础题，熟练掌握“夹逼法”的应用是解答本题的关键．
27．（2022·湖北荆州·中考真题）若的整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值是______．
【答案】2
【解析】
【分析】
先由得到，进而得出a和b，代入求解即可．
【详解】
解：∵ ，
∴，
∵ 的整数部分为a，小数部分为b，
∴，．
∴，
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查无理数及代数式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数整数和小数部分的求解方法．
28．（2022·湖北随州·中考真题）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为______，最大值为______．
【答案】     3     75
【解析】
【分析】
根据n为正整数， 是大于1的整数，先求出n的值可以为3、12、75，300，再结合是大于1的整数来求解．
【详解】
解：∵，是大于1的整数，
∴．
∵n为正整数
∴n的值可以为3、12、75，
n的最小值是3，最大值是75．
故答案为：3；75．
【点睛】
本题考查了无理数的估算，理解无理数的估算方法是解答关键．