初中数学北师大版八年级上册7 用二元一次方程组确定一次函数表达式练习题

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5.7 用二元一次方程组确定一次函数表达式
课堂知识梳理

先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法叫做待定系数法．
利用二元一次方程组确定一次函数表达式的一般步骤：
1．用含字母的系数设出一次函数的表达式：y＝kx＋b(k≠0)；
2．将已知条件代入上述表达式中得k，b的二元一次方程组；
3．解这个二元一次方程组得k，b的值，进而得到一次函数的表达式．
课后培优练级练

培优第一阶——基础过关练
1．直线y＝kx+2过点（﹣1，4），则k的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．﹣ D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
由直线y＝kx+2过点（﹣1，4），利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．
【详解】
解：∵直线y＝kx+2过点（﹣1，4），
∴4＝﹣k+2，
∴k＝﹣2．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b是解题的关键．
2．已知直线经过点和点，则m的值为（       ）
A． B． C． D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用点求出直线的表达式，再根据当时即可求解．
【详解】
解：由题意得：
，解得：，
直线的表达式为：，
当时，，
故选：C．
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数表达式、根据自变量的值求函数值，熟练掌握待定系数法求函数表达式方法是解题的关键．
3．已知一次函数的图象过点和点，则这个函数的解析式为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设一次函数的解析式为，把函数图象经过的两点代入解析式，解出，的值即可求解．
【详解】
解：设一次函数的解析式为，由题意得，
，解得，
这个函数的解析式为，
故选：A．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
4．一次函数的图象经过点，且与直线平行，则此函数解析式为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设所求的一次函数解析式为y= kx +b，根据两直线平行的问题得到k= 2，然后把A点坐标代入y = 2x + b求出b的值即可．
【详解】
解：设所求的一次函数解析式为y= kx + b，
∵直线y= kx + b与直线y= 2x-3平行，
∴k= 2，
把A(- 2，- 1)代入y= 2x + b得-4+b= -1，解得b= 3，
∴所求的一次函数解析式为y= 2x + 3．
故应选：C．
【点睛】
本题考查了两直线相交或平行的问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即k值相同，掌握两条直线平行，k的值相同是解题的关键．
5．（2022·全国·八年级）小张加工某种机器零件，工作一段时间后，提高了工作效率．小张加工的零件总数m（单位：个）与工作时间t（单位：时）之间的函数关系如图所示，则小张提高工作效率前每小时加工零件（       ）个

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
此题只要能求出3时之后的一次函数解析式，从而求出当x=3时的纵坐标，除以3即可．
【详解】
解：从图象可知3时之后的函数图象为一次函数且经过，
设该时段的一次函数解析式为：，
可列出方程组：，求解得：
一次函数解析式为：，
当时，，

故选：B．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，熟练掌握求解一次函数解析式和掌握图象中的关键拐点含义是解题的关键．
6．（2022·河北·平泉市教育局教研室二模）如图，是某航空公司规定旅客乘机所携带行李的质量x（kg）与其运费y（元）之间关系的函数图象，则旅客可携带的免费行李的的最大质量为（       ）

A．18kg B．20kg C．22kg D．25kg
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图象由待定系数法解得一次函数的解析式，再求当y=0时，x的值即可解答．
【详解】
解：由图象可知，一次函数经过点（40，600），（50，900）
设一次函数的解析式为，代入（40，600），（50，900）得



当y=0时，


即旅客可携带的免费行李的的最大质量为20kg
故选：B．
【点睛】
本题考查一次函数的实际应用，涉及待定系数法求一次函数解析式、一次函数与x轴的交点等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
7．已知y﹣2与x成正比例，且当x＝﹣1时y＝5，则y与x的函数关系式是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意设，将x＝﹣1，y＝5，待定系数法求解析式即可求解．
【详解】
解：∵y﹣2与x成正比例，
∴设，当x＝﹣1时y＝5，
则
解得

故答案为：
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，正比例的意义，根据题意设解析式，待定系数法求解析式是解题的关键．
8．如果一次函数的图象经过，且y随x的增大而增大，那么这个一次函数的解析式可以是______（写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据一次函数的性质，k＞0时，y随x的增大而增大，不妨令，把经过的点代入求出b的值即可．
【详解】
解：∵一次函数中，y随x的增大而增大，
∴k＞0，
不妨设，
则y=x+b，
把代入得，，
∴．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质，开放型题目，所写函数解析式必须满足k＞0．
9．如图，直线与x轴、y轴分别交于点B与点A，，点C是直线AB上的一点，且位于第二象限，当△OBC的面积为3时，点C的坐标为______．

【答案】
【解析】
【分析】
过点C作CH⊥x轴于点H，由题意易得，然后根据△OBC的面积可得点C的纵坐标，进而问题可求解．
【详解】
解：过点C作CH⊥x轴于点H，如图所示：


∵直线与x轴、y轴分别交于点B与点A，
∴令时，则有y=-3，即OA=3，
∵，
∴，即，代入直线解析式得：，解得：；
∴直线AB的解析式为，
∵△OBC的面积为3，
∴，
∴，即点C的纵坐标为6，
∴，解得：，
∴；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查一次函数与几何的综合，熟练掌握利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
10．小颖准备乘出租车到距家超过3km的图书馆读书，出租车的收费标准如下：
里程数/km
收费/元
3km以内(含3km)
7.00
3km以外每增加1km
1.50

则小颖应付车费y(元)与行驶里程数x(km)之间的关系式为_______．
【答案】y=1.5x+2.5
【解析】
【分析】
根据题意可以写出应付车费（元与行驶里程数之间的函数表达式．
【详解】
解：小颖应付车费（元与行驶里程数之间的关系式为：；
故答案为：．
【点睛】
本题考查函数关系式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，得出应付车费（元与行驶里程数之间的函数表达式．
11．在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图像经过点和．

(1)求该一次函数的解析式；
(2)在所给的坐标系中画出该一次函数图像，并求它的图像与坐标轴围成的三角形的面积．
【答案】(1)
(2)画图见解析；
【解析】
【分析】
（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据一次函数与坐标轴的交点画出函数图像，由交点坐标，根据三角形面积公式即可求解．
(1)
解：因为一次函数的图像经过点和，所以
解得所以一次函数的解析式是．
(2)
该一次函数的图像如图所示．令，则．
该一次函数的图像与x轴和y轴的交点坐标分别是和．
设所求的三角形的面积为S，
所以．

【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴交点，画一次函数，掌握一次函数的性质是解题的关键．
12．一次函数y=kx+b图象经过（2，3）和（1，1）两点．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当x=3时，求y的值．
【答案】(1)
(2)当x=3时，y的值为5
【解析】
【分析】
（1）把（2，3）和（1，1）代入解析式y=kx+b中即可得到关于k和b的方程组求得k、b的值；
（2）把x＝3代入解析式即可求解．
(1)
解：∵一次函数y=kx+b图象经过（2，3）和（1，1）两点
∴，
解得，
则一次函数的解析式为：；
(2)
当x＝3时．
【点睛】
本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式．先根据条件列出关于字母系数的方程，解方程求解即可得到函数解析式．当已知函数解析式时，求函数中字母的值就是求关于字母系数的方程的解．
13．已知变量与之间的函数关系如图所示，请用“待定系数法”求：

(1)当时，关于的函数解析式．
(2)当时，关于的函数解析式．
【答案】(1)y=5x（0≤x≤4）；
(2)．
【解析】
【分析】
（1）将点（4，20）代入直线方程y=kx列出方程，并解答；
（2）将点（4，20）和（12，30）分别代入直线方程y=kx+b列出方程组，并解答．
(1)
解：当0≤x≤4时，设y关于x的函数解析式为y=kx．
将点（4，20）代入，
得4k=20．
解得k=5．
故y关于x的函数解析式为y=5x（0≤x≤4）；
(2)
当4＜x≤12时，设y关于x的函数解析式为y=kx+b．
将点（4，20）和（12，30）分别代入，
得
解得
故y关于x的函数解析式为．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法确定函数解析式，此题属于分段函数，解题时，需要根据函数图象找到函数图象所经过的点的坐标．
14．某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其进价和售价如表：
商品名称
甲
乙
进价（元/件）
40
90
售价（元/件）
60
120

设其中甲种商品购进x件，商场售完这批商品的总利润为y元．
(1)写出y关于x的函数关系式；
(2)若获得的利润恰好为2800元，求该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
【答案】(1)
(2)甲20件，乙80件
【解析】
【分析】
（1）根据利润等于售价减去进价再乘以数量即可求解；
（2）根据（1）中的关系式，令，解关于的一元一次方程即可求解．
(1)
解： ，
即：．
(2)
解：当时，
即，
解得：，
∴（件）．
答：该商场购进甲种商品20件、乙种商品80件．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
15．“双减”政策下，孩子们的课余支配时间更多了．肖强每周都会去图书馆看课外书．这个周末，他早晨8时从家出发步行去图书馆．途中发现忘了带借书证，于是原路原速返回，同时电话联系爸爸．爸爸马上骑自行车送借书证并在路上遇见肖强．为了多一些阅读时间，爸爸按原速骑自行车送肖强去图书馆．肖强离家的距离s（m）与时间t（min）之间的关系如图所示．请根据图中所提供的信息，回答下列问题：

(1)图象中自变量是______，因变量是______；
(2)肖强步行的速度是______m/min，爸爸骑自行车的速度是______m/min；
(3)肖强离家______m时遇到爸爸，图书馆离肖强家有______m；
(4)写出爸爸骑自行车送肖强去图书馆时肖强离家的距离s与时间t之间的关系式．
【答案】(1)时间，肖强离家的距离
(2)80，160
(3)800，2400
(4)
【解析】
【分析】
（1）图象中横轴为自变量，纵轴为因变量，由此可解；
（2）根据速度＝路程÷时间，即可求解；
（3）根据路程＝速度×时间，即可求解；
（4）利用待定系数法即可求解．
(1)
解：由题意，图象中自变量是时间，因变量是肖强离家的距离，
故答案为：时间，肖强离家的距离；
(2)
解：观察图象可知，肖强步行15分钟离家1200米，
∴肖强步行的速度是1200÷15＝80m/min，
观察图象可知，爸爸从第15到第20分钟骑行了5分钟，离家800米，
∴爸爸骑自行车的速度是800÷5＝160m/min，
故答案为：80，160；
(3)
解：观察图象可知，肖强离家800m时遇到爸爸，从第20到第30分钟骑行10分钟，到达图书馆，
∴图书馆离肖强家的距离为：，
故答案为：800，2400；
(4)
解：由（3）知，当时，，当时，，
设s与时间t之间的关系式为：，
将和代入得，
，
解得，
∴s与时间t之间的关系式为．
【点睛】
本题考查一次函数的实际应用，读懂题意，从图象中获取相关信息是解题的关键．
16．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，已知甲对应的函数关系式为，根据图象提供的信息，解决下列问题：


(1)求乙离开A城的距离y与x的关系式；
(2)求乙出发后几小时追上甲车？
(3)从图象上看，x为何值时，两车之间的路程最大？通过计算说明，最大路程是多少千米？
【答案】(1)
(2)乙车出发后1.5小时追上甲车
(3)相遇前、相遇后时两车之间的路程最大,最大路程60千米
【解析】
【分析】
（1）设乙对应的函数关系式为，利用待定系数法求解即可确定函数解析式；
（2）联立甲乙两车对应的函数解析式求解即可；
（3）结合图象，相遇前、相遇后时两车之间的路程最大，代入求解即可．
(1)
解：设乙对应的函数关系式为
将点（4，300），（1，0）代入得：
解得：
∴乙对应的函数关系式；
(2)
联立两个函数得：
解得：
（小时）
∴乙车出发后1．5小时追上甲车；
(3)
从图上看，相遇前、相遇后时两车之间的路程最大
当时，两车之间的路程是（千米）
当时，两车之间的路程是（60千米）．
【点睛】
题目主要考查利用待定系数法确定一次函数解析式，从函数图象获取相关信息，求函数值等，理解题意，从函数图象获取相关信息是解题关键．
培优第二阶——拓展培优练
17．不论为何实数，直线恒过定点（     ）
A． ，  B． ，  C． ，  D． ，
【答案】C
【解析】
【分析】
令k=m2+2m+2，则直线的解析式为y=kx-3k+5=k（x-3）+5，代入x=3求出与之对应的y值，进而可得出直线恒过的顶点坐标．
【详解】
解：令k=m2+2m+2，则-3m2-6m-1=-3k+5，
∴直线的解析式为y=kx-3k+5=k（x-3）+5，
∴当x-3=0，即x=3时，y=k（3-3）+5=5．
∴直线y=（m2+2m+2）x-3m2-6m-1恒过定点（3，5）．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的性质解题的关键．
18．已知三点 ，，，当 的值最大时，的值为（       ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
由点M的坐标可知：点M在直线y=x上，作点B关于直线y=x的对称点，则点的坐标为(1,0)，直线与直线y=x的交点，即为所求的点M，此时的值最大，根据点A、的坐标可求得直线的解析式，据此即可求得m的值．
【详解】
解：由点M的坐标可知：点M在直线y=x上，作点B关于直线y=x的对称点，
则点的坐标为(1,0)，
直线与直线y=x的交点，即为所求的点M，
如图：设点N是直线y=x上异于点M的点，连接NA、，

，
此时的值最大，
设直线的解析式为y=kx+b，
把点A、的坐标分别代入，得

解得
故直线的解析式为，
把代入解析式，
得，解得，
故选：A．
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，两条直线的交点问题，轴对称最大问题，准确找到点M的位置是解决本题的关键．
19．如图，是平面直角坐标系中的两点，若一次函数的图象与线段AB有交点，则k的取值范围是_______．

【答案】k2
【解析】
【分析】
将A、B点坐标分别代入计算出对应的k值，然后利用一次函数图象与系数的关系确定k的范围．
【详解】
解：当直线y=kx-1过点A时，得-2k-1=1，解得k=-1，
当直线y=kx-1过点B时，得2k-1=3，解得k=2，
∵一次函数的图象与线段AB有交点，
∴k2，
故答案为：k2．
【点睛】
此题考查了一次函数图象与系数的关系：当k>0时，图象过第一、三象限，y随x的增大而增大，越靠近y轴正半轴k值越大；当k