专题05 截长补短模型-八年级数学上册全等三角形基本模型探究（人教版）

专题05 截长补短模型

【模型说明】

【例题精讲】

例1．（基本模型）如图①，和是等腰三角形，且，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交边，于点、，连接．

（1）探究、、之间的关系，并说明理由；

（2）若点、分别在、CA延长线上，其他条件不变，如图②所示，则、、之间存在什么样的关系？并说明理由．

【答案】（1）EF=BE+FC；（2）EF=FC-BE．

【详解】（1）和是等腰三角形，

延长AB至G，使得BG=CF，连接DG

在和中，BG=CF，

，

在和中，

DE=DE，

，

（2）在CA上截取CG=BE,连接DG

是等腰三角形，

在和中，

CG=BE，

在和中，

FD=FD，

例2.（培优综合）如图1，在四边形中，，，它的两边分别交点．且．

求证：

如图2，当的两边分别交的延长线于点，其余条件均不变时，中的结论是否成立？如果成立，请证明．如果不成立，线段又有怎样的数量关系？并证明你的结论．

【答案】（1）证明见解析；（2）不成立，AE=CF+EF，理由见详解

【详解】证明：延长到，使，连接，如图所示：

，

，

在和中

，

，

，

，

，

，

在和中

，

，

；

（2）不成立，AE=CF+EF，理由如下：

在AE上截取AH=CF，连接BH，如图所示：

，

，

∵AB=CB，

∴△ABH≌△CBF（SAS），

∴BH=BF，∠ABH=∠CBF，

∵，∠EBF=∠CBF+∠CBE，∠ABC=∠CBE+∠EBH+∠ABH，

∴∠EBF=∠EBH，

∵EB=EB，

∴△EBF≌△EBH（SAS），

∴CF=AH，EF=EH，

∵AE=AH+HE，

∴AE=CF+EF．

例3．（培优综合）在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点．

（1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为 　 　．

（2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明．

（3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）．

【答案】（1）；（2），见解析；（3）44°或104°；详见解析．

【详解】解：（1）∵AE＝AD＝DC，

∴，，

∵，，

∴，

∵AD为△ABC的角平分线，即，

∴；

∴

（2）如图2，

在AC边上取一点M使AM=AB，连接MP，

在和中，

，

∴（SAS），

∴，

∵，，

∴，

∴；

（3）如图，点E在射线CB延长线上，延长CA到G，使AG=AB，

∵AB+AC＝EC，

∴AG+AC＝EC，即，

∴，

设，则；

又∠BAC＝24°，AD为△ABC的角平分线，

∴，

又∵，

∴，，

∴，

在和中，

，

∴（SAS），

∴，

又∵，

∴，

解得：，

∴；

当点E在BD上时，∠EAD＜90°，不成立；

当点E在CD上时，∠EAD＜90°，不成立；

如图，点E在BC延长线上，延长CA到G，使AG=AB，

∵AB+AC＝EC，

∴AG+AC＝EC，即，

∴，

设，则；

又∵∠BAC＝24°，AD为△ABC的角平分线，

∴，

又∵，

∴，，∴，

在和中， ，

∴（SAS），∴，

∴，解得：，∴．

∴∠ACB的度数为44°或104°．

【变式训练1】如图，已知中，，D为上一点，且，则的度数是_________．

【答案】20°

【详解】解：如图，延长至点E使，连接．

∴．

∵，∴．

∵，∴是等边三角形，∴．

∵，∴设，则．在与中，

∵∴，∴．

∵，∴，∴，

∴．

【变式训练2】在四边形中，是边的中点．

（1）如图（1），若平分，，则线段、、的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）

（2）如图（2），平分，平分，若，则线段、、、的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．

【答案】（1）AE＝AB＋DE；（2）AE＝AB＋DE＋BD，证明见解析．

【详解】解：（1）如图（1），在AE上取一点F，使AF＝AB．

∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC．

在△ACB和△ACF中，

∴△ACB≌△ACF（SAS）．

∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF．

∵C是BD边的中点，∴BC＝CD．∴CF＝CD．

∵∠ACE＝90°，∴∠ACB＋∠DCE＝90°，∠ACF＋∠ECF＝90°．

∴∠ECF＝∠ECD．

在△CEF和△CED中，

∴△CEF≌△CED（SAS）．∴EF＝ED．

∵AE＝AF＋EF，∴AE＝AB＋DE．故答案为：AE＝AB＋DE；

（2）AE＝AB＋DE＋BD．

证明：如图（2），在AE上取点F，使AF＝AB，连结CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连结CG．

∵C是BD边的中点，∴CB＝CD＝BD．

∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC．

在△ACB和△ACF中，

∴△ACB≌△ACF（SAS）．

∴CF＝CB，∠BCA＝∠FCA．

同理可证：△ECD≌△ECG

∴CD＝CG，∠DCE＝∠GCE．

∵CB＝CD，∴CG＝CF．

∵∠ACE＝120°，∴∠BCA＋∠DCE＝180°−120°＝60°．

∴∠FCA＋∠GCE＝60°．∴∠FCG＝60°．

∴△FGC是等边三角形．∴FG＝FC＝BD．

∵AE＝AF＋EG＋FG，∴AE＝AB＋DE＋BD．

【课后作业】

1．如图，为等边三角形，若，则__________（用含的式子表示）．

【答案】

【详解】解：如图，在BD上截取BE=AD，连结CE，

∵为等边三角形，

∴BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，

∵，BE=AD，

∴ ，

∴CE=CD，∠BCE=∠ACD，

∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，

∴∠DCE=∠ACB=60°，

∵CE=CD，

∴是等边三角形，∴∠BDC=60°，

∴．

故答案为：

2．如图，正方形中，是的中点，交外角的平分线于．  

（1）求证：；

（2）如图，当是上任意一点，而其它条件不变，是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析

【详解】（1）证明：取的中点，连接，如图；

是正方形，

；

，

，

，

∴，

又∵，

，

在和中

，

，

；

（2）解：成立．

在上取，连接，如图，

为正方形，

，

∵BE=BH ，

，，

又∵，

∴，

在和中

，

，

．

3．如图，四边形中，， ，，M、N分别为AB、AD上的动点，且．求证： ．

【答案】见解析

【详解】证明：延长至点，使得，连接，

四边形中，，，

，

在和中，

，

，

，，

，，

，

，

在和中，

，

，

．

4．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线段BD与直线AP的交点．

（1）若∠DAE＝15°，求证：△ABD是等腰直角三角形；

（2）连CE，求证：BE＝AE+CE．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【详解】证明：（1）∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AC＝AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，

∵线段AC与AD关于直线AP对称，

∴∠CAE＝∠DAE＝15°，AD＝AC，

∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝75°，

∴∠BAD＝90°，

∵AB＝AC＝AD，

∴△ABD是等腰直角三角形；

（2）在BE上取点F，使BF＝CE，连接AF，

∵线段AC与AD关于直线AP对称，

∴∠ACE＝∠ADE，AD＝AC，

∵AD＝AC＝AB，

∴∠ADB＝∠ABD=∠ACE，

在△ABF与△ACE中，

∴△ABF≌△ACE（SAS），

∴AF＝AE，

∵AD＝AB，

∴∠D＝∠ABD，

又∠CAE＝∠DAE，

∴，

∴在△AFE中，AF＝AE，∠AEF＝60°，

∴△AFE是等边三角形，

∴AF＝FE，

∴BE＝BF+FE＝CE+AE．

5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC于点D，过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF．

（1）求证：AC＝AE；

（2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求线段BE的长．

【答案】（1）见解析；（2）3

【详解】解：（1）证明：∵AD平分∠BAC，

∴∠DAC=∠DAE，

∵DE⊥BA，

∴∠DEA=∠DEB=90°，

∵∠C=90°，

∴∠C=∠DEA=90°，

在△ACD和△AED中，

，

∴△ACD≌△AED（AAS），

∴AC=AE；

（2）在AB上截取AM=AF，连接MD，

在△FAD和△MAD中，

，

∴△FAD≌△MAD（SAS），

∴FD=MD，∠ADF=∠ADM，

∵BD=DF，

∴BD=MD，

在Rt△MDE和Rt△BDE中，

，

∴Rt△MDE≌Rt△BDE（HL），

∴ME=BE，

∵AF=AM，且AF=1.4，

∴AM=1.4，

∵AB=7.4，

∴MB=AB-AM=7.4-1.4=6，

∴BE＝BM＝3，

即BE的长为3．

6．如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．

【答案】证明见解析

【详解】证明：如图，在上截取

平分

平分

7．如图，△ABC为等边三角形，直线l过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°

（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，求证：△AEC≌△CDB；

（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求证：HG+BD＝CF；

（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为 　 　．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CF=EF-BD．

【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴AC=BC，∠ACB=60°，

∴∠ACE+∠BCD=180°-∠ACB=120°，

∵∠BDC=60°，

∴∠BCD+∠CBD=180°-∠BDC=120°，

∴∠ACE=∠CBD，

在△AEC和△CDB中，

，

∴△AEC≌△CDB（AAS）

（2）如图所示，在直线l上位于C点左侧取一点E，使得∠AEC=60°，连接AE，

由（1）可知△AEC≌△CDB，

∴CE=BD，

∵∠ACE=60°，

∴∠AEF=120°，

∴∠AEF=∠AFH=120°，

∴∠AFE+∠FAE=180°-∠AEF=60°，∠AFE+∠HFG=180°-∠AFH=60°，

∴∠FAE=∠HFG，

在△FAE和△HFG中，

，

∴△FAE≌△HFG（AAS），

∴GH=EF，

∴CF=EF+CE=GH+BD即HG+BD=CF；

（3）如图所示，在直线l上位于C点右侧取一点E使得∠AED=60°，连接AE，在直线l上位于D点左侧取一点M使得BM=BD，设AB与直线l交于N

∵∠BDC=60°，BM=BD，

∴△BDM是等边三角形，

∴∠DBM=∠DMB=60°，

∵三角形ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠BAC=60°，AC=BC

∴∠ABM+∠CBM=∠ABM+∠ABD，

∴∠ABD=∠CBM，

∵∠BAC=∠BDC=60°，∠ANE=∠DNB，

∴∠ACE=∠ABD=∠CBM，

∵∠CMB=180°-∠DMB=120°，∠AEC=180°-∠AED=120°，

∴∠CMB=∠AEC，

在△AEC和△CMB中，

，

∴△AEC≌△CMB（AAS），

∴CE=BM=BD；

∵∠AFH=120°，

∴∠AFC+∠GFH=60°，

∵∠GFH+∠FHG=180°-∠HGF=60°，

∴∠AFC=∠FHG，

在△AEF和△FGH中，

，

∴△AEF≌△FGH（AAS），

∴HG=EF，

∴EF=CE+CF=CF+BD即CF=EF-BD．

故答案为：CF=EF-BD．