专题17 存在性-正方形-中考数学压轴题满分突破之二次函数篇（全国通用）

中考数学压轴题--二次函数--存在性问题

第17节  正方形的存在性

方法点拨

正方形ABCD，M为对角线AC与BD的交点，则M的坐标为（）或者（）

解题方法：（在平行四边形的基础上增加对角线垂直且相等）

（1）选一定点，再将这一定点与另外点的连线作为对角线，分类讨论；

（2）利用中点坐标公式列方程：；

（3）对角线垂直：，

       例题演练

1．如图，在平面直角坐标系．xOy中，直线y＝x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C（﹣2，0）．

（1）求抛物线解析式；

（2）如图1，点F是直线AB下方抛物线上一动点，连接FA，FB，求出四边形FAOB面积最大值及此时点F的坐标．

（3）如图2，在（2）问的条件下，点Q为平面内y轴右侧的一点，是否存在点Q及平面内任意一点M使得以A，F，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

2．如图所示，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，直线BC下方的抛物线上有一点D，过点D作DE⊥BC于点E，作DF平行x轴交直线BC点F，求△DEF周长的最大值；

（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线对称轴的右侧，是否存在以点P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c关于直线x＝1对称，与坐标轴交于A，B，C三点，且AB＝4，点D（2，）在抛物线上，直线l是一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象，点O是坐标原点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若直线l平分四边形OBDC的面积，求k的值；

（3）在抛物线上是否存在一点P，使得点Q在x轴上，点M在坐标平面内，四边形CQPM是正方形，若存在求点P的横坐标，若不存在，请说明理由．

4．如图所示，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC于点F，求△PEF周长的最大值；

（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．

5．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0）、B（0，2）且Rt△AOB≌Rt△CDA，抛物线y＝ax2+ax﹣2经过点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P是x轴上一点，且PC⊥PB，求P点的坐标；

（3）在抛物线上是否存在两点E、F，使四边形ABEF是正方形？若存在，求点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．

6．如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0），交y轴于点C（0，4）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）直线y＝x+与抛物线交于A、D两点，与直线BC交于点E．若点M（m，0）是线段AB上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线BC于点H．

①当SEOG＝S△AOE时，求m的值；

②在平面内是否存在点P，使四边形EFHP为正方形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

7．如图，点B、C分别在x，y轴的正半轴上，OB，OC的长分别为x2﹣8x+12＝0的两个根，且OC＞OB，将△COB绕点O逆时针旋转90°，点C落在x轴负半轴上的点A处，点B落在y轴正半轴的点D处，连接AC．

（1）求过A，B，C三点的抛物线的函数解析式；

（2）直接写出tan∠CAD的值；

（3）点P从点C以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A，点Q从点O以每秒1个单位长度的速度沿OC运动到点C，连接PQ．求S△CPQ的最大值，及此时点P的坐标；

（4）M是第二象限内一点，在平面内是否存在点N，使得以A，D，M，N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

8．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图，直线y＝与抛物线交于A，D两点，与直线BC交于点E．若M（m，0）是线段AB上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线BC于点H．

①当点F在直线AD上方的抛物线上，且S△EFG＝S△OEG时，求m的值；

②在平面内是否存在点P，使四边形EFHP为正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．