专题1.10 探索三角形全等的条件3（专项练习）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

专题1.10  探索三角形全等的条件3（专项练习）

一、单选题

知识点一、用“HL”证明三角形全等

1．如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（　　）

A．AE=DF B．∠A=∠D C．∠B=∠C D．AB= CD

2．如图，点O是∠BAC内一点，且O到AB、AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是（　　）

A．SSS B．AAS C．HL D．ASA

3．如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=

A．40° B．50°

C．60° D．75°

4．如图，BP平分∠ABC，D为BP上一点，E，F分别在BA，BC上，且满足DE＝DF，若∠BED＝140°，则∠BFD的度数是（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°

知识点二、全等三角形性质与“HL”综合

5．已知，如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AB＝CE，则不正确的结论是（　　）

A．∠A与∠D互为余角 B．∠A＝∠2

C．△ABC≌△CED D．∠1＝∠2

6．如图，有两个长度相同的滑梯(即BC＝EF)，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则有下列结论：①AB＝DE；②∠ABC＝∠DEF；③∠ACB＝∠DFE；④∠ABC＋∠DFE＝90°.其中成立的是(           )

A．①②③④ B．①②③ C．①② D．②③

7．如图所示的正方形网格中，（ ）

A．330° B．315° C．310° D．320°

8．如图，，，平分，平分，以下结论，其中正确的是（    ）

①；②点是的中点；③；④.

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

二、填空题

知识点一、用“HL”证明三角形全等

9．下列条件中，能判定两个直角三角形全等的个数有_____个．①两条直角边对应相等；②斜边和一锐角对应相等；③斜边和一条直角边对应相等；④面积相等．

10．如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是__________．

11．如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝_______________时，△ABC与△QPA全等．

12．如图，∠C＝∠D＝90º，添加一个条件：______________ (写出一个条件即可)，可使 Rt△ABC 与Rt△ABD 全等．

知识点二、全等三角形性质与“HL”综合

13．如图,在△ABC中，∠C=,点D在AB上，BC=BD,DE⊥AB交AC于点E，△ABC的周长为12，△ADE的周长为6，则BC的长为_______

14．如图，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA=PB，∠MON=50°，∠OPC=30°，则∠PCA=________．

15．如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于点H，连接CH，则∠CHE=_______．

16．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠CAE=32°，则∠ACF的度数为__________°．

三、解答题

知识点一、用“HL”证明三角形全等

17．如图所示，点B、F、C、E在同一直线上，AB⊥BE，DE⊥BE，连接AC、DF，且AC=DF，BF=CE，求证：AB=DE．

18．已知：如图，AD、BC 相交于点 O，且 AD＝BC，∠C＝∠D＝90°.

（1）求证：Rt△ABC≌Rt△BAD；

（2）求证：CO＝DO.

知识点二、全等三角形性质与“HL”综合 

19．如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC．

20．已知：BE⊥CD于E，BE=DE，BC=DA，

（1）求证：△BEC≌△DEA；

（2）求证：BC⊥FD．

参考答案

1．D

【分析】

根据垂直定义求出∠CFD＝∠AEB＝90°，由已知，再根据全等三角形的判定定理推出即可．

【详解】

添加的条件是AB＝CD；理由如下：

∵AE⊥BC，DF⊥BC，

∴∠CFD＝∠AEB＝90°，

在Rt△ABE和Rt△DCF中，

，

∴ (HL)．

故选：D．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．

2．C

【解析】

【分析】

利用点O到AB，AC的距离OE=OF，可知△AEO和△AFO是直角三角形，然后可直接利用HL求证△AEO≌△AFO，即可得出答案．

【详解】

解：∵OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠AEO=∠AFO=90°，
又∵OE=OF，AO为公共边，∴△AEO≌△AFO(HL)
故选C．

【点拨】本题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是利用题目中给出的已知条件判定△AEO和△AFO是直角三角形．

3．B

【解析】

分析：本题要求∠2，先要证明Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），则可求得∠2=∠ACB=90°-∠1的值．

详解：∵∠B=∠D=90°

在Rt△ABC和Rt△ADC中

，

∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）

∴∠2=∠ACB=90°-∠1=50°．

故选B．

点拨：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．

4．A

【分析】

作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到DH=DG，证明Rt△DEG≌Rt△DFH，得到∠DEG=∠DFH，根据互为邻补角的性质得到答案．

【详解】

作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，

∵D是∠ABC平分线上一点，DG⊥AB，DH⊥BC，

∴DH=DG，

在Rt△DEG和Rt△DFH中，

∴Rt△DEG≌Rt△DFH（HL），

∴∠DEG=∠DFH，又∠DEG+∠BED=180°，

∴∠BFD+∠BED=180°，

∴∠BFD的度数=180°-140°=40°，

故选A．

【点拨】此题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，邻补角的性质，解题关键在于作辅助线

5．D

【分析】

根据HL证，根据全等三角形的性质即可求出答案.

【详解】

∵∠B＝∠E＝90°，

∴在和中

，

∴（HL），故C正确，

∴∠A＝∠2，∠1＝∠D，

∵∠1+∠A＝90°，

∴∠A+∠D＝90°，∠1+∠2＝90°，

∴∠A与∠D互为余角，故A、B正确；D 错误，

故选：D．

【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，关键是推出．

6．A

【解析】

【分析】

利用HL证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质，可判断各结论．

【详解】

∵在Rt△ABC和Rt△DEF中，

，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．
则①AB＝DE,正确；
②∠ABC＝∠DEF,正确；
③∠ACB＝∠DFE, 正确；

∵∠DEF+∠DFE=90°

④∠ABC＋∠DFE＝90°正确；

故选A．

【点拨】本题考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是判断△ABC≌△DEF，注意掌握全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等．

7．B

【分析】

根据正方形的轴对称性得∠1+∠7=90°，∠2+∠6=90°，∠3+∠5=90°，∠4=45°．

【详解】

解：由图可知，∠1所在的三角形与∠7所在的三角形全等，
可得，， ，，

则

故选B．

8．D

【解析】

【分析】

如图作EH⊥AD于H．利用角平分线的性质定理，证明三角形全等即可解决问题；

【详解】

解：如图作EH⊥AD于H．

∵平分，，EH⊥AD，

∴EH=BE，

∵DE＞EH，

∴DE＞BE，故①错误，

∵EA平分∠BAD，EB⊥BA，EH⊥AD，

∴BE=EH，

同法可证：EH=EC，

∴EB=EC，故②正确，

∵∠B=∠EHA=90°，AE=AE，EB=EH，

∴Rt△EAB≌Rt△EAH（HL），

∴AH=AB，∠AEB=∠AEH，

同理可证：△EDH≌△EDC（HL），

∴DH=DC，∠DEH=∠DEC，

∴AD=AH+DH=AB+CD，∠AED=（∠BEH+∠CEH）=90°，故③④正确，

故选D．

【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

9．3

【解析】

【分析】

根据已知及直角三角形全等的判定方法进行分析，从而得到答案．

【详解】

①两条直角边对应相等，利用SAS，故本选项正确；

②斜边和一锐角对应相等，符合判定AAS或ASA，故本选项正确；

③斜边和一条直角边对应相等，符合判定HL；

④面积相等不一定全等，故本选项错误．

故答案为：3．

【点拨】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

10．AC=DE

【解析】

用“HL”判定△ABC≌△DBE，已知BC=BE，再添加斜边DE=AC即可.

11．5或10

【分析】

分两种情况：①当AP=BC=5时；②当AP=CA=10时；由HL证明Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；即可得出结果．

【详解】

解：∵AX⊥AC，
∴∠PAQ=90°，
∴∠C=∠PAQ=90°，
分两种情况：
①当AP=BC=5时，
在Rt△ABC和Rt△QPA中，

，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；
②当AP=CA=10时，
在△ABC和△PQA中，

，
∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；
综上所述：当点P运动到AP=5或10时，△ABC与△APQ全等；
故答案为5或10．

【点拨】本题考查了直角三角形全等的判定方法；熟练掌握直角三角形全等的判定方法，本题需要分类讨论，难度适中．

12．AC＝AD 等(答案不唯一)

【解析】

已知条件有：∠C=∠D=90°，AB=AB，

所以添加条件AC＝AD可以根据HL判定Rt△ABC 与Rt△ABD 全等．

故答案为AC＝AD.

点拨：掌握直角三角形全等的判定定理.

13．3

【分析】

连接BE，由斜边直角边判定Rt Rt，从而,再由△ABC的周长

△ADE的周长即可求得BC的长．

【详解】

如图：连接BE，

DE⊥AB，

，

在Rt和Rt中，

，

Rt Rt，

,

△ABC的周长=AB+BC+AC=2BC+AD+AE+DE=12，

△ADE的周长= AD+AE+DE =6，

BC=3，

故答案为3．

【点拨】本题考查三角形全等的判定和性质以及和三角形有关的线段，连接BE构造全等三角形是解答此题的关键.

14．55°

【分析】

由“HL”可证Rt△OAP≌Rt△OBP，可得∠AOP＝∠BOP＝∠AOB＝25°，由外角可求解．

【详解】

解：∵PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，

∴∠PAO＝∠PBO＝90°，

∵PA＝PB，OP＝OP，

∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），

∴∠AOP＝∠BOP＝∠AOB＝25°，

∴∠PCA＝∠AOP+∠OPC＝55°，

故答案为：55°．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明Rt△OAP≌Rt△OBP是本题的关键．

15．65°

【分析】

先判断出，再判断出即可得到平分，即可得出结论．

【详解】

解：如图，，

，

在和中，

；

过点作于，于，

，

，

在和中，

，

，

在与中

，

，

平分；

，

，

，

，

，

，

故答案为：．

【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

16．58

【解析】

【分析】

根据HL证明Rt△CBF≌Rt△ABE，推出∠FCB=∠EAB，求出∠CAB=∠ACB=45°，

求出∠BCF=∠BAE=13°，即可求出答案．

【详解】

解：∵∠ABC=90°，

∴∠ABE=∠CBF=90°，

在Rt△CBF和Rt△ABE中

∴Rt△CBF≌Rt△ABE（HL），

∴∠FCB=∠EAB，

∵AB=BC，∠ABC=90°，

∴∠CAB=∠ACB=45°．

∵∠BAE=∠CAB﹣∠CAE=45°﹣32°=13°，

∴∠BCF=∠BAE=13°，

∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+13°=58°

故答案为58

【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等．

17．证明见解析

【详解】

试题分析：证明三角形△ABC△DEF,可得＝.

试题解析：

证明：∵＝，

∴BC=EF,

∵⊥，⊥，

∴∠B=∠E=90°，AC=DF,

∴△ABC△DEF,

∴AB=DE.

18．（1）证明见详解；

（2）证明见详解.

【分析】

（1）根据HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD；
（2）利用全等三角形的性质证明即可．

【详解】

（1）证明：∵∠D=∠C=90°，
∴△ABC和△BAD都是Rt△，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）；
（2）证明：∵Rt△ABC≌Rt△BAD，
∴∠BAD=∠ABC，BC=AD，
∴AO=BO，
∴BC-BO=AD-AO，
∴CO=DO．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，“HL”；全等三角形的对应边相等．

19．证明见解析.

【详解】

分析：因为∠A=∠D=90°，AC=BD，BC=BC，知Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），所以∠ACB=∠DBC，故OB=OC．

【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中

，

∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），

∴∠OBC=∠OCB，

∴BO=CO．

点拨：此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．

20．（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】

（1）根据已知利用HL即可判定△BEC≌△DEA；
（2）根据第（1）问的结论，利用全等三角形的对应角相等可得到∠B=∠D，从而不难求得DF⊥BC．

【详解】

证明：（1）∵BE⊥CD，

∴∠BEC＝∠DEA＝90°，

在Rt△BEC与Rt△DEA中，

∵，

∴△BEC≌△DEA（HL）；

（2）∵由（1）知，△BEC≌△DEA，

∴∠B＝∠D．

∵∠D+∠DAE＝90°，∠DAE＝∠BAF，

∴∠BAF+∠B＝90°，即DF⊥BC．

【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，余角的性质定理，（1）熟练掌握三角形的判定定理，能根据题意筛选出合适的定理去证明是解决此问的关键；（2）本题主要应用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”.