专题1.11 《探索三角形全等》作辅助线（一）-连接两点（或延长相交）（专项练习）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

专题1.11 《探索三角形全等》作辅助线（一）-连接两点

（或延长相交）（专项练习）

一、单选题

1．如图，已知：，，，，则（    ）

A． B． C．或 D．

2．如图：△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE＝3，AC＝6，若连按BD，则

A．120 B．90 C．105 D．60

3．如图，在等腰△ABC中，，，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持,连接DE、DF、EF在此运动变化的过程中，下列结论：(1)是等腰直角三角形；四边形CDFE不可能为正方形，（3）长度的最小值为4；（4）连接CF，CF恰好把四边形CDFE的面积分成1：2两部分，则或其中正确的结论个数是   

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题

4．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是____________．

三、解答题

5．（1）求证：等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长.（提示：添加辅助线证明）

（2）如图所示，在三角形ABC中，点D是三角形内一点，连接DA、DB、DC，若，求证：AD平分.

6．已知等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，点E在AC边的延长线上，且∠DEC=45°，点M、N分别是DE、AE的中点，连接MN交直线BE于点F．当点D在CB边上时，如图1所示，易证MF+FN=BE

（1）当点D在CB边上时，如图2所示，上述结论是否成立？若成立，请给与证明；若不成立，请写出你的猜想，并说明理由．

（2）当点D在BC边的延长线上时，如图3所示，请直接写出你的结论．（不需要证明）

7．已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．

（Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；

（Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数．

8．（1）如图①，四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点，且BE+FD=EF．试探究图中∠EAF与∠BAD之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长FD到G，使DG=BE，连结AG．先证明，再证明，从而得出∠EAF=∠GAF，最后得出∠EAF与∠BAD之间的数量关系是　　．

（2）将（1）中的条件“∠B=∠ADC=90°”改为“∠B+∠D=180°”（如图②），其余条件不变，上述数量关系是否成立，成立，请证明；不成立，说明理由

（3）如图③，中俄两国海军在南海举行联合军事演习，中国舰艇在指挥中心（O）北偏西30°的A处，俄罗斯舰艇在指挥中心南偏东70°的B处，两舰艇到指挥中心距离相等．接到行动指令后，中国舰艇向正东方向以60海里/小时的速度前进，俄罗斯舰艇沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到两舰艇分别到达E，F处且相距280海里．求此时两舰艇的位置与指挥中心（O处）形成的夹角∠EOF的大小．

9．已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E为△ABC内一点，连接AE，CE，CE⊥AE，过点B作BD⊥AE，交AE的延长线于D．

（1）如图1，求证BD=AE；

（2）如图2，点H为BC中点，分别连接EH，DH，求∠EDH的度数；

（3）如图3，在（2）的条件下，点M为CH上的一点，连接EM，点F为EM的中点，连接FH，过点D作DG⊥FH，交FH的延长线于点G，若GH：FH=6：5，△FHM的面积为30，∠EHB=∠BHG，求线段EH的长．

参考答案

1．B

【分析】

连接，可证≌，根据全等三角形对应角相等可以得到，，代入角度即可求出和的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解．

【详解】

连接，如图，

在与中

，

≌，

，，

，

，

，

，

，

．

故选：B．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加正确的辅助线是解题的关键．

2．A

【分析】

首先证明，再利用勾股定理即可求解．

【详解】

如图连接BD，

，

，

，

，

故选：A．

【点拨】本题主要考查三角形全等的证明，解题的关键是能通过已知的条件结合三角形全等的判定方法来证明三角形全等，

3．A

【分析】

连接CF，证明△ADF≌△CEF，根据全等三角形的性质判断①，根据正方形的判定定理判断②，根据勾股定理判断③，根据面积判断④．

【详解】

连接CF，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠FCB=∠A= ，CF=AF=FB；

∵AD=CE，

∴△ADF≌△CEF(SAS)；

∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；

∵∠AFD+∠CFD=90∘，

∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90∘，

又∵EF=DF

∴△EDF是等腰直角三角形(故(1)正确).

当D. E分别为AC、BC中点时,四边形CDFE是正方形(故(2)错误).

由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；

即当DF⊥AC时,DE最小,此时 .

∴  (故(3)错误).

∵△ADF≌△CEF，

∴S△CEF=S△ADF

∴S四边形CDFE=S△AFC,

∵CF恰好把四边形CDFE的面积分成1：2两部分

∴S△CEF：S△CDF=1:2 或S△CEF：S△CDF=2:1

即S△ADF：S△CDF=1:2 或S△ADF：S△CDF=2:1

当S△ADF：S△CDF=1:2时，S△ADF=S△ACF=

又∵S△ADF=

∴2AD=

∴AD=(故(4)错误).

故选：A.

【点拨】本题考查了全等三角形，等腰直角三角形，以及勾股定理，掌握全等三角形，等腰直角三角形，以及勾股定理是解题的关键.

4．全等三角形的对应边相等

【分析】

连接AB，，可以证△AOB≌△COD（SAS），依所据全等三角形对就边相等得所以测量CD的长也就等于测量了工件内槽AB的长．

【详解】

解：连接AB，，如图，

∵点O分别是AC、BD的中点，

∴OA＝OC，OB＝OD．

在△AOB和△COD中，

OA＝OC，∠AOB＝∠COD（对顶角相等），OB＝OD，

∴△AOB≌△COD（SAS）．

∴CD＝AB（全等三角形的对应边相等）．

故答案为：全等三角形的对应边相等．

【点拨】本题考查全等三角形的应用，在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．

5．（1）详见解析；（2）详见解析.

【分析】

（1）已知点P是等边三角形ABC内的任意一点，过点P分别作三边的垂线，分别交三边于点D、点E、点F.求证为定长,即可完成证明；

（2）（面积法）过点A作交BD延长线于点E，再过点A作交CD延长线于点F.因为，所以，因此，得到.进而，得到，因此，即AD平分.

【详解】

（1）    已知：等边如图三角形ABC，P为三角形ABC内任意一点，PD⊥AB, PF⊥AC, PE⊥BC,

求证：PD+PE+PF为定值.

证明：如图：过点A作，垂足为点G，分别连接AP、BP、CP.

∵，

∴

又∵BC=AB=AC

∴AG=PE+PF+PD,即定长.

∴等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长.

（2）

过点A作交BD延长线于点E，再过点A作交CD延长线于点F.

∵，

∴，

又∵AD=AD

∴，

∴

∴，

∴，

∴，即AD平分.

【点拨】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的性质和判定，其中做出辅助线是解答本题的关键．

6．（1）不成立．猜想：FN﹣MF=BE．理由见解析

（2）MF﹣FN=BE．

【解析】

试题分析：（1）对结论作出否定，猜想FN﹣MF=BE，连接AD，根据M、N分别是DE、AE的中点，可得MN=AD，再根据题干条件证明△ACD≌△BCE，得出AD=BE，结合MN=FN﹣MF，于是证明出猜想．

（1）不成立．猜想：FN﹣MF=BE．理由如下：

如图，连接AD，.

∵M、N分别是DE、AE的中点，∴MN=AD．

∵在△ACD与△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD=BE．

∵MN=FN﹣MF，∴FN﹣MF=BE．

（2）结论：MF﹣FN=BE，证明如下：

连接AD，

∵M、N分别是DE、AE的中点，∴MN=AD．

∵在△ACD与△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD=BE．∴MN=BE．

∵MN=FM﹣FN，∴MF﹣FN=BE．

7．（1）BM＝AN，BM⊥AN．（2）结论成立.（3）90°．

【分析】

(1)根据已知条件可证△MBP≌△ANP，得出MB＝AN，∠PAN＝∠PMB，再延长MB交AN于点C，得出,因此有BM⊥AN；

(2)根据所给条件可证△MPB≌△APN，得出结论BM＝AN；

(3) 取PB的中点C，连接AC，AB，通过已知条件推出△APC为等边三角形，∠PAC＝∠PCA＝60°，再由CA＝CB，进一步得出∠PAB的度数.

【详解】

解：（Ⅰ）结论：BM＝AN，BM⊥AN．

理由：如图1中，

∵MP＝AP，∠APM＝∠BPN＝90°，PB＝PN，

∴△MBP≌△ANP（SAS），

∴MB＝AN．

延长MB交AN于点C．

∵△MBP≌△ANP，

∴∠PAN＝∠PMB，

∵∠PAN+∠PNA＝90°，

∴∠PMB+∠PNA＝90°，

∴∠MCN＝180°﹣∠PMB﹣∠PNA＝90°，

∴BM⊥AN．

（Ⅱ）结论成立

理由：如图2中，

∵△APM，△BPN，都是等边三角形

∴∠APM＝∠BPN＝60°

∴∠MPB＝∠APN＝120°，

又∵PM＝PA，PB＝PN，

∴△MPB≌△APN（SAS）

∴MB＝AN．

（Ⅲ）如图3中，取PB的中点C，连接AC，AB．

∵△APM，△PBN都是等边三角形

∴∠APM＝∠BPN＝60°，PB＝PN

∵点C是PB的中点，且PN＝2PM，

∴2PC＝2PA＝2PM＝PB＝PN，

∵∠APC＝60°，

∴△APC为等边三角形，

∴∠PAC＝∠PCA＝60°，

又∵CA＝CB，

∴∠CAB＝∠ABC＝30°，

∴∠PAB＝∠PAC+∠CAB＝90°．

【点拨】本题是一道关于全等三角形的综合性题目，充分考查了学生对全等三角形的判定定理及其性质的应用的能力，此类题目常常需要数形结合，借助辅助线才得以解决，因此，作出合理正确的辅助线是解题的关键.

8．（1）∠EAF=∠BAD；（2）仍然成立，见解析；（3）70°

【分析】

（1）根据小明同学的探究方法不难得到∠EAF= ∠BAD；
（2）延长FD到G，使DG=BE，连接AG，根据同角的补角相等求出∠B=∠ADG，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得 AE=AG ，∠BAE=∠DAG，再求出∠EAF=∠GAF，然后利用“边角边”证明△AEF和△GAF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GF，然后求解即可；
（3）连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后求出∠OAC+∠OBC=180°，判断出符合探索延伸的条件，再根据探索延伸的结论解答即可．

【详解】

解：(1)如图①，延长FD到G，使DG=BE，连结AG．
在△ABE和△ADG中，AB=AD，BE=DG，∠B=∠ADG=90°，
∴△ABE≌△ADG，∴AE=AG，
在△AEF和△AGF中，AE=AG，AF=AF，EF=BE+FD=DG+FD=GF，
∴△AEF≌△AGF，∴∠EAF=∠GAF=∠GAD+∠DAF=∠EAB+∠DAF
∴∠BAD=∠EAF+∠EAB+∠DAF=2∠EAF
∴∠EAF=∠BAD

(2)∠EAF=∠BAD仍然成立．

证明：如图②，延长FD到G，使DG=BE，连接AG．

∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，∴∠B=∠ADG，

∴△ABE≌△ADG（SAS）．∴AE=AG，∠BAE=∠DAG．

又∵EF=BE+DF，DG=BE，∴EF=DG+DF=GF．

∴△AEF≌△AGF（SSS）．∴∠EAF=∠GAF．      

又∵∠GAF=∠DAG+∠DAF，∴∠EAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF．

而∠EAF+∠BAE+∠DAF=∠BAD，

∴∠EAF=∠BAD

(3)如图③，连接EF，延长AE、BF相交于点C．

∵2小时后，舰艇甲行驶了120海里，舰艇乙行驶了160海里，

即AE=120，BF=160．而EF=280，∴在四边形AOBC中，有EF=AE+BF，

又∵OA=OB，且∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°，

∴符合(2)中的条件． 

又∵∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°，∴∠EOF=∠AOB =70°．

答：此时两舰艇的位置与指挥中心（O处）形成的夹角∠EOF的大小为70°．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，读懂问题背景的求解思路，作辅助线构造出全等三角形并两次证明三角形全等是解题的关键，也是本题的难点．

9．（1）见解析；（2）∠EDH＝45°；（3）EH＝10．

【分析】

（1）根据全等三角形的判定得出△CAE≌△ABD，进而利用全等三角形的性质得出AE＝BD即可；

（2）根据全等三角形的判定得出△AEH≌△BDH，进而利用全等三角形的性质解答即可；

（3）过点M作MS⊥FH于点S，过点E作ER⊥FH，交HF的延长线于点R，过点E作ET∥BC，根据全等三角形判定和性质解答即可．

【详解】

证明：（1）∵CE⊥AE，BD⊥AE，

∴∠AEC＝∠ADB＝90°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠ACE+CAE＝∠CAE+∠BAD＝90°，

∴∠ACE＝∠BAD，

在△CAE与△ABD中

∴△CAE≌△ABD（AAS），

∴AE＝BD；

（2）连接AH

∵AB＝AC，BH＝CH，

∴∠BAH＝，∠AHB＝90°，

∴∠ABH＝∠BAH＝45°，

∴AH＝BH，

∵∠EAH＝∠BAH﹣∠BAD＝45°﹣∠BAD，

∠DBH＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD﹣∠ABH＝45°﹣∠BAD，

∴∠EAH＝∠DBH，

在△AEH与△BDH中

∴△AEH≌△BDH（SAS），

∴EH＝DH，∠AHE＝∠BHD，

∴∠AHE+∠EHB＝∠BHD+∠EHB＝90°

即∠EHD＝90°，

∴∠EDH＝∠DEH＝；

（3）过点M作MS⊥FH于点S，过点E作ER⊥FH，交HF的延长线于点R，过点E作ET∥BC，交HR的延长线于点T．

∵DG⊥FH，ER⊥FH，

∴∠DGH＝∠ERH＝90°，

∴∠HDG+∠DHG＝90°

∵∠DHE＝90°，

∴∠EHR+∠DHG＝90°，

∴∠HDG＝∠HER

在△DHG与△HER中

∴△DHG≌△HER （AAS），

∴HG＝ER，

∵ET∥BC，

∴∠ETF＝∠BHG，∠EHB＝∠HET，

∠ETF＝∠FHM，

∵∠EHB＝∠BHG，

∴∠HET＝∠ETF，

∴HE＝HT，

在△EFT与△MFH中

，

∴△EFT≌△MFH（AAS），

∴HF＝FT，

∴，

∴ER＝MS，

∴HG＝ER＝MS，

设GH＝6k，FH＝5k，则HG＝ER＝MS＝6k，

，k＝，

∴FH＝5，∴HE＝HT＝2HF＝10．

【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，属于压轴题．