专题4.13 《实数》全章复习与巩固（专项练习）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

专题4.13  《实数》全章复习与巩固（专项练习）

一、单选题

1．实数，，，，中，无理数的个数是（    ）

A． B． C． D．

2．若a＋1和－5是实数m的平方根，则a的值是（    ）．

A．1 B．2 C．3 D．4或－6

3．已知，则的值是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

4．无理数的值在（　　）

A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间

5．实数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示．如果，那么下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

6．下列二次根式中是最简二次根式的是（    ）

A． B． C． D．

7．若的两边长，满足，则第三边的长是（    ）

A．5 B． C．5或7 D．5或

8．的算术平方根等于（    ）

A．9 B． C．3 D．

9．若9﹣的整数部分为a，小数部分为b，则2a+b等于（　　）

A．12﹣ B．13﹣ C．14﹣ D．15﹣

10．已知表示取三个数中最小的那个数，例如：当，．当时，则的值为（    ）

A． B． C． D．

11．已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（    ）

A．a－b＝0 B．a＋b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2

12．化简的结果为（　　）

A． B．30 C． D．30

二、填空题

13．在中无理数的个数是_______个．

14．计算：_________．

15．方程的根是__________．

16．写出一个比大且比小的整数_____________

17．实数，，在数轴上的位置如图所示，化简__________．

18．计算的结果为______．

19．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形和矩形分别称为格点三角形和格点矩形．如图，已知是网格图形中的格点三角形，则在该网格图形中，与面积相等的格点矩形的周长所有可能值是_________．

20．的四次方根是__________．

21．一个正数a的两个平方根是和，则的立方根为_______．

22．公元3世纪，我过古代数学家就能利用近似公式得到无理数的近似值，例如：化为，再由近似公式得到，若利用此公式计算的近似值时，取正整数，且取尽可能大的正整数，则____________．

23．我们知道，同底数幂的除法法则为（其中a≠0，m，n为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：其中f（m），f（n）都为正数），请根据这种新运算填空：

（1）若f（2）＝4，f（3）＝8，则f（1）＝_______；

（2）若f（2000）＝k，f（2）＝4，那么f（500）＝______（用含k的代数式表示，其中k＞0）．

24．观察下列各等式：①；②；③…根据以上规律，请写出第5个等式：______．

三、解答题

25．对于一个实数（为非负实数），规定其整数部分为，小数部分为，例如：当时，则，；当时，则，．

（1）当时，          ；当时，          ；

（2）若，，则          ；

（3）当时，求的值．

26．计算：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）．

27．观察下列等式：

；

；

；

按照上述规律，回答以下问题：

（1）请写出第6个等式：________________；

（2）请写出第n个等式：________________；

（3）求的值．

28．阅读下面的解题过程:化简:

=-.

请回答下列问题.

(1)按上述方法化简;

(2)请认真分析化简过程,然后找出规律,写成一般形式.

参考答案

1．A

【分析】

分别根据无理数、有理数的定义即可判定各项．

【详解】

−1，是整数，不是无理数，

0.4，是小数，不是无理数，

，是分数，不是无理数，

，−π，是无理数，共2个，

故选：A．

【点拨】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008（每两个8之间依次多1个0）等形式．

2．D

【分析】

根据平方根的定义可得两个关于的一元一次方程，解方程即可得．

【详解】

解：由题意得：或，

解得或，

故选：D．

【点拨】本题考查了平方根、一元一次方程的应用，熟练掌握平方根的定义是解题关键．

3．C

【分析】

先根据立方根的定义求出的值，再根据算术平方根的定义即可得．

【详解】

解：，

，

解得，

则，

故选：C．

【点拨】本题考查了立方根与算术平方根、一元一次方程的应用，熟练掌握立方根与算术平方根的定义是解题关键．

4．C

【分析】

先计算出（）2的值为24，把24夹逼在两个相邻正整数的平方之间，再写出的范围即可．

【详解】

解：（）2=22×（）2=4×6=24，

∵16＜24＜25，

∴4＜＜5．

故选：C．

【点拨】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，求出（）2是解题的关键．

5．C

【分析】

根据a+b=0，确定原点的位置，根据实数与数轴即可解答．

【详解】

解：∵a+b=0，

∴原点在a，b的中间，

如图，

由图可得：|a|＜|c|，a+c＞0，abc＜0，，

故选：C．

【点拨】本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是确定原点的位置．

6．D

【分析】

根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式逐一判断即可得．

【详解】

解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；

B、，不是最简二次根式，不符合题意；

C、，不是最简二次根式，不符合题意；

D、是最简二次根式，符合题意；

故选：D．

【点拨】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．

7．D

【分析】

先求出a和b的值，再设第三边为x，讨论斜边情况，利用勾股定理建立方程求解即可．

【详解】

解：∵

又∵,

∴

∴

设第三边长为x，由则共有以下两种情况：

①当时，

②当时，由所以，

∴第三边长是5或；

故选：D．

【点拨】本题考查了平方和算术平方根的非负性特点、利用平方根解方程以及勾股定理的应用，解题关键是牢记它们的“非负性”，理解并能运用勾股定理求直角三角形的边等，该题属于中等难度题目，易错点是学生容易误选A，该题蕴含了分类讨论的思想方法等．

8．C

【分析】

根据立方根、算术平方根的定义求解即可．

【详解】

解：因为，

所以=9，

因此的算术平方根就是9的算术平方根，

又因为9的算术平方根为3，即，

所以的算术平方根是3，

答案：C．

【点拨】本题考查了立方根、算术平方根的定义，理解立方根、算术平方根的意义是得出答案的关键．

9．C

【分析】

先估算的大小，再估算9﹣的大小，进而确定a、b的值，最后代入计算即可．

【详解】

解：∵3＜＜4，

∴﹣4＜﹣＜﹣3，

∴5＜9﹣＜6，

又∵9﹣的整数部分为a，小数部分为b，

∴a＝5，b＝9﹣﹣5＝4﹣，

∴2a+b＝10+（4﹣）＝14﹣，

故选：C．

【点拨】本题考查估算无理数，掌握无理数估算的方法是解决问题的前提，理解无理数的整数部分和小数部分的表示方法是得出正确答案的关键．

10．B

【分析】

分别计算，，的值，找到满足条件的值即可．

【详解】

解：当时，，，不合题意；

当时，，当时，，不合题意；当时，，，符合题意；

当时，，，不合题意，

故选B．

【点拨】本题主要考查实数大小比较，算术平方根及其最值问题，解决此题时，注意分类思想的运用．

11．C

【分析】

先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、a-b、a2、b2各个式子的值，即可得出选项．

【详解】

解：分母有理化，可得a=2+，b=2-，

∴a-b=（2+）-（2-）=2，故A选项错误，不符合题意；

a+b=（2+）+（2-）=4，故B选项错误，不符合题意；

ab=（2+）×（2-）=4-3=1，故C选项正确，符合题意；

∵a2=（2+）2=4+4+3=7+4，b2=（2-）2=4-4+3=7-4，

∴a2≠b2，故D选项错误，不符合题意；

故选：C．

【点拨】本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键．

12．C

【详解】

先把根号里因式通分，然后分母有理化，可得==，

故选C．

点睛：此题主要考查了二次根式的化简，解题关键是利用分数的通分求和，然后把其分母有理化即可求解，比较简单，但是易出错，是常考题.

13．1

【分析】

根据无理数的概念结合有理数的概念逐一进行判断即可．

【详解】

解：0整数，是有理数；是分数，是有理数；是有限小数，是有理数；是无限不循环小数，是无理数；是有理数，

所以无理数有1个．

故答案为：1

【点拨】本题考查了无理数的定义，辨析无理数通常要结合有理数的概念进行：初中范围内学习的无理数主要有三类：①含的一部分数，如等；②开方开不尽的数，如等；③虽有规律但是无限不循环的数，如0.1010010001…，等．

14．1

【分析】

根据负整数指数幂运算法则、算术平方根的运算进行计算即可．

【详解】

解：﹣2+3=1，

故答案为：1．

【点拨】本题考查负整数指数幂、算术平方根，熟练掌握运算法则是解答的关键．

15．x=2

【分析】

首先整理方程得出x3=8，进而利用立方根的性质求出x的值．

【详解】

解：x3-8=0，

x3=8，

解得：x=2．

故答案为：x=2．

【点拨】此题主要考查了立方根的性质，正确由立方根定义求出是解题关键．

16．答案不唯一，2或3均可

【分析】

先确定和的整数部分，在选择符合条件的整数即可．

【详解】

解：，，

比大比小的整数是2或3，

故答案为：2或3．

【点拨】本题主要考查估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法．思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．

17．

【分析】

结合数轴判断a-b和a+c的正负，去根号和绝对值化简即可．

【详解】

由题意可得：，，

∴

；

故答案为：-b-c；

【点拨】此题考查的是算术平方根和绝对值的性质，掌握绝对值的性质和算术平方根的非负性是解题的关键．

18．

【分析】

先计算乘方，再计算减法即可得到答案．

【详解】

解：=，

故答案为：．

【点拨】此题考查二次根式的化简，正确掌握有理数的乘方计算法则是解题的关键．

19．10或

【分析】

由图可得AB、BC、AC的长度，判定三角形ABC是直角三角形，在计算面积，再求格点矩形长和宽，再计算出周长.

【详解】

解：由题干可得：， , ，

即 , ,

令矩形的长为a（0＜a＜5），宽为b（0＜b＜5），即ab=6,

当a=1时，则b=6，不符合题意；

当a=2时，则b=3，符合题意，格点矩形的周长=2+2+3+3=10；

当a=3时，则b=2，符合题意，格点矩形的周长=2+2+3+3=10；

当a=4时，则b=1.5，不符合题意；

当a=时，则b=3，符合题意，格点矩形的周长=++3+3=8；

当a=5时，则b=1.2，不符合题意.

故答案为：10或．

【点拨】本题考查了勾股定理和格点矩形的周长，理解格点矩形的含义是解题的关键．

20．

【分析】

根据分数指数幂的定义直接求解即可

【详解】

解：∵

∴的四次方根是：

故答案为：

【点拨】本题考查开方运算的概念，乘方与开方的关系，熟练进行乘方的计算是关键

21．2

【分析】

根据一个正数的平方根互为相反数，将和相加等于0，列出方程，解出b，再将b代入任意一个平方根中，进行平方运算求出这个正数a，将算出后，求立方根即可．

【详解】

∵和是正数a的平方根，

∴，

解得 ，

将b代入，

∴正数 ，

∴，

∴的立方根为：，

故填：2．

【点拨】本题考查正数的平方根的性质，求一个数的立方根，解题关键是知道一个正数的两个平方根互为相反数．

22．4.125

【分析】

先把化为，再根据近似公式得出，然后进行计算即可得出答案．

【详解】

解：根据题意得：化为，

由近似公式得到

故答案为：．

【点拨】本题考查了无理数的估算，熟练掌握近似公式是解题的关键．

23．       

【分析】

（1）由新运算法则直接求解；

（2）同过新定义的运算法则，推导出前几项的结果，同过前几项发现规律，利用规律来解答．

【详解】

解：（1）根据新运算：，

，

故答案是：．

（2）

根据规律得：

，

故答案是：．

【点拨】本题考查了新定义运算法则，解题的关键是：理解新定义的运算法则，从运算中找到规律，用来解答．

24．

【分析】

根据左边根号外的因数与根号内的分子相同，根号内的分母为分子平方与1的差，右边根号内为左边根号外与根号内两数之和，即可找到其中规律，从而写出第n个等式，再将n=6代入即可求出答案．

【详解】

解：猜想第n个为：

（n为大于等于2的自然数）；

理由如下：

∵n≥2，

∴

添项得：

，

提取公因式得：

分解分子得：

；

即：

；

第5个式子，即n=6，代入得：

，

故填：．

【点拨】本题考查二次根式的计算，需要通过观察分析和寻求规律、归纳和论证的抽象思维能力，得出一般性的结论；解答此题的关键是仔细观察、细致分析，局部找规律，整体找关系．

25．（1）；；（2）；（3）．

【分析】

（1）由，可得=3，b=π，由，可得，可求，可得=3，b=3；

（2）由，， 可得；

（3）由， 可得，可求，可求，代入计算即可．

【详解】

解：（1）当m=π时，

∵，

∴=3，b=π，

当 m＝ 时，

∵，

∴，

∴，

∴=3，b=3，

故答案为：b=π；3；

（2）当，，

∴，

故答案为：；

（3）当 m＝9 + 时，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

【点拨】本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求出各无理数的范围．

26．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）

【分析】

（1）利用二次根式的加减乘除运算法则计算即可；

（2）先计算负整指数幂、绝对值、化简二次根式然后合并即可；

（3）先计算负整指数幂、绝对值、立方根然后合并即可；

（4）利用二次根式的加减乘除运算法则计算即可；

（5）利用平方差公式计算即可；

【详解】

解：（1）原式=3 -6 -3 =-6；

（2）

；

（3）

；

（4）原式＝4--

＝4-；

（5）原式＝

=

＝

【点拨】本题考查了二次根式的加减乘除运算、负整指数幂、平方差公式等知识，熟练掌握法则是解题的关键．

27．（1）；（2）；（3）

【分析】

（1）（2）从等式中找出规律，比如第三个等式：3×2-1=5，3×2+1=7，3就是a3的3，5就是，7就是，即可得出答案；

（3）根据上面的规律得出通分，观察分子中的项，互为相反数相加得0便可解出．

【详解】

解：（1）观察，如的下标3，与中被开方数，5和7得出：3×2-1=5，3×2+1=7，即7等于下标的2倍加1，5等于下标的2倍减1；

，

故答案是：；

（2）由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为2n+1，2n-1，所以第n个等式

，

故答案是：；

（3）

．

【点拨】本题主要考查二次根式的运算和化简，掌握分母有理化是解题的关键．

28．(1);(2)见解析.

【分析】

（1）参照例子进行化简;

(2) 根据上面的解题思路分析可得出这个式子的值．

【详解】

(1)原式=

-.

　(2)由题意可得

-(a>0,b>0).

【点拨】考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．