专题2.16 等边三角形的对称性（专项练习）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

这是一份专题2.16 等边三角形的对称性（专项练习）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版），共39页。试卷主要包含了等边三角形的性质，等边三角形的判定，等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形等内容，欢迎下载使用。

专题2.16 等边三角形的对称性（专项练习）
一、 单选题
知识点一、等边三角形的性质
1．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED为（　　）

A．45° B．15° C．10° D．125°
2．如图，是等边的中线，点E在上，，则的度数为（　　　）

A． B． C． D．
3．如图所示，已知，等边的顶点B在直线n上，，则∠2的度数是（ ）

A． B． C． D．
4．如图，是等边三角形，两个锐角都是的三角尺的一条直角边在上，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
知识点二、等边三角形的判定
5．如果一个三角形是轴对称图形，且有一个内角是60°，那么这个三角形是（　　）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．含30°角的直角三角形
6．如图，在△ABC中，直线MN为BC的垂直平分线，交BC于点E，点D在直线MN上，且在△ABC的外面，连接BD，CD，若CA平分∠BCD，∠A=65°，∠ABC=85°，则△BCD是（ ）

A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
7．在△ABC 中，①若 AB=BC=CA，则△ABC 为等边三角形；②若∠A=∠B=∠C，则△ABC 为等边三角形；③有两个角都是 60°的三角形是等边三角形；④一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
8．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是（ ）．

A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形 D．不等边三角形
知识点三、等边三角形的判定和性质
9．如图一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（ ）

A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里
10．如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠ACB＝90°，AD＝BD，∠BAD＝30°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA，若点M在DE上，且DC＝DM．则下列结论中：①∠ADB＝120°；②△ADC≌△BDC；③线段DC所在的直线垂直平分线AB；④ME＝BD；正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（　　）

A．△ABC的周长 B．△AFH的周长
C．四边形FBGH的周长 D．四边形ADEC的周长
12．如图，∠AOB=60°，OA=OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（　　）

A． 平行 B．相交 C．垂直 D．平行、相交或垂直
知识点四、含30度的直角三角形
13．如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（　　）

A．6 B．2 C．3 D．
14．如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．如果CE＝12，则ED的长为(　　)

A．3 B．4 C．5 D．6
15．等腰三角形的顶角是一个底角的4倍，如果腰长为10cm，那么底边上的高为( )
A．10cm B．5cm C．6cm D．8cm
16．如图，为等边三角形，，、相交于点，于点，且，，则的长为（ ）

A．7 B．8 C．9 D．10

二、 填空题
知识点一、等边三角形的性质
17．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=　　度．

18．如图，直线a，b过等边三角形顶点A和C，且，，则的度数为________．

19．在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若三角形ABC的边长为1，AE=2，则CD的长为________．
20．如图，等边△AOB，且OA＝OC，∠CAB＝20°，则∠ABC的大小是_____．

知识点二、等边三角形的判定
21．已知△ABC三边a、b、c满足（a﹣b）2+|b﹣c|=0，则△ABC的形状是_______．
22．已知一个三角形的三边长a、b、c，满足(a-b)2+|b-c|=0，则这个三角形是____ 三角形.
23．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=60°，BC=6，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在C′处，连接BC′，那么BC′的长为　　．

24．如图，△ABC为等边三角形，∠1＝∠2，BD＝CE，则△ADE是______三角形．

知识点三、等边三角形的判定和性质
25．如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）测得的相关数据为：米，则________米．

26．如图，为等边内一点，且，若，则__________度．

27．如图，是等边三角形，AB=6，AD是BC边上的中线．点E在AC边上，且，则ED的长为____________．

28．如图，已知△ABC．∠ACB=30°，CP为∠ACB的平分线，且CP=6，点M、N分别是边AC和BC上的动点，则△PMN周长的最小值为____．

知识点四、含30度的直角三角形
29．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若=14cm，则阴影部分的面积是___cm2

30．如图所示，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N再分别以MN为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的有________．
①AD是的平分线；②；③点D在AB的中垂线上；④

31．如图，在等边△ABC中，F是AB的中点，FE⊥AC于E；如果△ABC的边长是12，则AE=_____；

32．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则_____．


三、 解答题
知识点一、等边三角形的性质
33．如图，在等边三角形ABC中，AD＝BE．求证：CD＝AE．




知识点二、等边三角形的判定
34．如图，点E在△ABC的外部，点D边BC上，DE交AC于点F，若∠1=∠2，AE=AC，BC=DE，
（1）求证：AB=AD；
（2）若∠1=60°，判断△ABD的形状，并说明理由．


知识点三、等边三角形的判定和性质
35．如图，和均为等边三角形，，，在同一条直线上，连接，，点，分别为，的中点，顺次连接，，．

知识点四、含30度的直角三角形
36． 如图所示，已知，是中线，．
（1）求证：；
（2）当时，过的中点G，作，求证：．


参考答案
1．A
【分析】由等边三角形的性质可得，进而可得，又因为，结合等腰三角形的性质，易得的大小，进而可求出的度数.
解：是等边三角形，
，，
四边形是正方形，
，，
，，
，
.
故选：.
【点拨】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出的度数，难度适中.
2．D
【分析】由等边三角形三线合一即可求出，．再由等腰三角形的性质可求出，最后即可求出．
解：∵是等边三角形，且AD为中线．
∴，，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
【点拨】本题考查等边三角形和等腰三角形的性质．掌握等边三角形三线合一是解答本题的关键．
3．B
【分析】先根据平行线的性质得出，，再根据等边三角形的性质和∠1的度数求出∠2的度数即可．
解：过点C作

∵，
∴

∵
∴
∵是等边三角形
∴
∴
∴
故选：B．
【点拨】本题主要考查等边三角形的性质和平行线的性质，掌握等边三角形的性质和平行线的性质是解题的关键．
4．D
【分析】根据等边三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
解：∠1=∠3=180°-∠2-∠B=180°-45°-60°=75°，

故选：D．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．
5．A
【解析】
∵这个三角形是轴对称图形 ，
∴一定有两个角相等，
∴这是一个等腰三角形.
∵有一个内角是60°，
∴这个三角形是等边三角形.
故选A.
6．A
【分析】根据三角形的内角和得到∠ACB=30°，由角平分线的定义得到∠BCD=2∠ACB=60°，根据线段垂直平分线的性质得到BD=CD，于是得到结论．
解：∵∠A=65°，∠ABC=85°，∴∠ACB=30°．
∵CA平分∠BCD，∴∠BCD=2∠ACB=60°．
∵直线MN为BC的垂直平分线，∴BD=CD，∴△BCD是等边三角形．
故选A．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
7．D
解：试题分析：①根据等边三角形的定义可得△ABC为等边三角形，结论正确；
②根据判定定理1可得△ABC为等边三角形，结论正确；
③一个三角形中有两个角都是60°时，根据三角形内角和定理可得第三个角也是60°，那么这个三角形的三个角都相等，根据判定定理1可得△ABC为等边三角形，结论正确；
④根据判定定理2可得△ABC为等边三角形，结论正确．
故选D．
考点：等边三角形的判定．
8．A
【分析】根据等边△ABC中AD=BE=CF，证得△ADF≌△BED≌△CFE即可得出：△DEF是等边三角形．
解：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF，
∴AE=BF=CD，
又∵∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF是等边三角形，
故选A.
【点拨】考点：本题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形判定；根据已知得出△ADE≌△BEF≌△CFD是解答此题的关键．
9．B
【分析】由已知可得△ABC是等边三角形，从而不难求得AC的距离．
解：由题意得∠ABC=60°，AB=BC=40
∴△ABC是等边三角形
∴AC=AB=40海里．
故选B．
10．D
【解析】
【分析】由等腰三角形的性质可判断①，由“SSS”可证△ADC≌△BDC，可判断②，由全等三角形的性质和等腰三角形的性质可判断③，由“AAS”可证△ACD≌△ECM，可判断④．
解：∵AD=BD，∠BAD=30°，
∴∠BAD=∠ABD=30°，
∴∠ADB=120°,
故①正确;
∵AC=BC，AD=BD，CD=CD,
∴△ADC≌△BDC（SSS）,
故②正确;
∵△ADC≌△BDC
∴∠ACD=∠BCD，且AC=BC
∴线段DC所在的直线垂直平分线AB,
故③正确;
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠CAB=∠CBA,
∴∠CAD=∠CBD=15°,
∵CA=CE,
∴∠E=∠CAD=15°,
∵∠EDC=∠DAC+∠DCA=60°，且CD=CM,
∴∠CDE=∠CMD=60°,
∴∠ADC=∠CME=120°，且∠E=∠CAD，AC=CE,
∴△ACD≌△ECM（AAS）,
∴AD=ME=BD,
故④正确,
故选：D．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
11．A
【分析】由等边三角形的性质和三角形的内角和定理可得：FH＝GH，∠ACB＝∠A＝60°，∠AHF＝∠HGC，进而可根据AAS证明△AFH≌△CHG，可得AF＝CH，然后根据等量代换和线段间的和差关系即可推出五边形DECHF的周长＝AB+BC，从而可得结论．
解：∵△GFH为等边三角形，
∴FH＝GH，∠FHG＝60°，
∴∠AHF+∠GHC＝120°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，
∴∠GHC+∠HGC＝120°，
∴∠AHF＝∠HGC，
∴△AFH≌△CHG（AAS），
∴AF＝CH．
∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，
∴BE＝FH，
∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF
＝BD+CE+AF+BE+DF
＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），
＝AB+BC．
∴只需知道△ABC的周长即可．
故选：A．

【点拨】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及多边形的周长问题，熟练掌握等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
12．A
【分析】先判断出OA=OB，∠OAB=∠ABO，分两种情况判断出△AOC≌△ABD，进而判断出∠ABD=∠AOB=60°，即可得出结论．
【详解】∵∠AOB=60°，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB，∠OAB=∠ABO=60°
①当点C在线段OB上时，如图1，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60°，
∴∠OAC=∠BAD，
在△AOC和△ABD中，，
∴△AOC≌△ABD，
∴∠ABD=∠AOC=60°，
∴∠ABE=180°﹣∠ABO﹣∠ABD=60°=∠AOB，
∴BD∥OA；
②当点C在OB的延长线上时，如图2，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60°，
∴∠OAC=∠BAD，
在△AOC和△ABD中，，
∴△AOC≌△ABD，
∴∠ABD=∠AOC=60°，
∴∠ABE=180°﹣∠ABO﹣∠ABD=60°=∠AOB，
∴BD∥OA，
故选A．

【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，求出∠ABD=60°是解本题的关键．
13．C
【分析】直接利用角平分线的作法得出OP是∠AOB的角平分线，再利用直角三角形的性质得出答案．
【详解】如图，过点M作ME⊥OB于点E，
由题意可得：OP是∠AOB的角平分线，
则∠POB=×60°=30°，
∴ME=OM=3，
故选C．

【点睛】本题考查了基本作图——作角平分线、含30度角的直角三角形的性质，正确得出OP是∠AOB的角平分线是解题关键．
14．D
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EC＝12，根据直角三角形30度角的性质解答即可．
解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴EB＝EC＝12，
∵∠B＝30°，∠EDB＝90°，
∴DE＝EB＝6，
故选D．
【点拨】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和直角三角形30度角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
15．B
【分析】先设此三角形的底角是x，则顶角是4x，根据三角形内角和定理，可得2x+4x=180°，易求底角．在Rt△ABD中，由于AB=10，∠B=30°，易求AD．
解：设此三角形的底角是x，则顶角是4x，则：
2x+4x=180°
解得：x=30°．
当x=30°时，则顶角=4x=120°．
如图，在Rt△ABD中，AB=10，∠B=30°，∴ADAB=5．
故选B．

【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、含有30°的直角三角形的性质，解题的关键是求出底角．
16．C
【分析】分析：由已知条件，先证明△ABE≌△CAD得∠BPQ＝60°，可得BP＝2PQ＝8，AD＝BE．则易求．
解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝CA，∠BAE＝∠ACD＝60°；
又∵AE＝CD，
在△ABE和△CAD中，

∴△ABE≌△CAD（SAS）；
∴BE＝AD，∠CAD＝∠ABE；
∴∠BPQ＝∠ABE＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAE＝60°；
∵BQ⊥AD，
∴∠AQB＝90°，则∠PBQ＝90°−60°＝30°
∵PQ＝3，
∴在Rt△BPQ中，BP＝2PQ＝8；
又∵PE＝1，
∴AD＝BE＝BP＋PE＝9．
故选：C．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、含有30°的直角三角形的性质，解题的关键是证明△BAE≌△ACD．
17．：
【分析】根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，
∵CG=CD，
∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，
∵DF=DE，
∴∠E=15°．
故答案为15．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质，熟练运用等边对等角是关键.
18．102°
【分析】根据题意可求出的度数，再根据两直线平行内错角相等即可得出答案．
解：三角形ABC为等边三角形



故答案为：．
【点拨】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
19．1或3
解：
当E在线段BA的延长线上，D在线段BC的延长线上时，如图1所示，
过E作EF⊥BD,垂足为F点,可得∠EFB=90°，
∵EC=ED,
∴F为CD的中点,即CF=DF=CD，
∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=60°，
∴∠BEF=30°，
∵BE=AB+AE=1+2=3，
∴FB=EB=，
∴CF=FB−BC=，
则CD=2CF=1；
当E在线段AB的延长线上，D在线段CB的延长线上时，如图2所示，
过E作EF⊥BD,垂足为F点,可得∠EFC=90°，
∵EC=ED,
∴F为CD的中点,即CF=DF=CD，
∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=∠EBF=60°，
∴∠BEF=30°，
∵BE=AE−AB=2−1=1，
∴FB=BE=，
∴CF=BC+FB=，
则CD=2CF=3，
综上，CD的值为1或3.
故答案为：1或3
20．130°．
【分析】由等腰三角形的性质可求∠ACO＝60°﹣，由外角性质可求∠BOC＝40°，即可求解．
解：∵△AOB是等边三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠AOB＝60°，OA＝OB＝AB，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠OAC＝＝＝60°﹣，
∵∠CAB+∠OBA＝∠COB+∠ACO，
∴20°+60°＝∠COB+60°﹣，
∴∠BOC＝40°，
∵OC＝OA＝OB，
∴∠OBC＝70°，
∴∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝130°，
故答案为：130°．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质、等边三角形的性质和外角的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、等边三角形的性质和外角的性质.
21．等边三角形
【解析】
试题解析：由题意可知：a-b=0，b-c=0，
∴a=b=c，
∴△ABC的形状是等边三角形
【点睛】本题考查了非负数的性质，等边三角形的判断．关键是利用非负数的性质解题．属于基础题型．
22．等边
【分析】根据任意一个数的绝对值都是非负数和偶次方具有非负性可得：，再根据三角形的判断方法即可知道该三角形的形状．
解：∵(a-b)2+|b-c|=0
∴(a-b)2=0，|b-c|=0
∴a=b，b=c
∴a=b=c
∴这个三角形是等边三角形．
【点拨】本题考查了任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0、偶次方的非负性以及等边三角形的判定．
23．3
【解析】
根据中点的性质得BD=DC=3，再根据对称的性质得∠ADC′=60°，判定三角形为等边三角形即可求．
解：根据题意：BC=6，D为BC的中点；
故BD=DC=3．
有轴对称的性质可得：∠ADC=∠ADC′=60°，
DC=DC′=3，∠BDC′=60°，
故△BDC′为等边三角形，
故BC′=3．
故答案为3．
24．等边
【解析】
【分析】由条件可证明△ABE≌△ACD，从而AE=AD，∠BAC=∠CAE=60°,所以可知△DAE是等边三角形．
证明：∵三角形ABC为等边三角形
∴AB=AC，
在△ABD和△ACE中,
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AE=AD，∠BAD=∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形．
【点拨】本题主要考查三角形全等的判定和性质及等边三角形的判定，解题的关键是证△ABD≌△ACE．
25．48
【分析】先说明△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可解答．
解：∵
∴∠BAC=180°-60°-60°=60°
∴∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°
∴△ABC是等边三角形
∴AC=BC=48米．
故答案为48．

【点拨】本题考查了等边三角形的判定和性质，证得△ABC是等边三角形是解答本题的关键．
26．105°
【分析】由等边三角形性质和已知可证明△BPC≌△APC，可得∠BCP=∠ACP=30°，由可得∠PBC=45°，根据三角形内角和可得∠BPC的度数.
解：在等边三角形中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AC=BC，
又∵，，
∴，
∴∠PBC=∠PAC=45°，
∴△BPC≌△APC（SAS），
∴∠BCP=∠ACP=∠ACB=30°，
∴
故答案为：105°.
【点拨】本题主要考查等边三角形性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
27．3
【分析】根据题意易得，BD=DC，，从而得到，所以得到AE=ED，再根据直角三角形斜边中线定理得AE=EC，由三角形中位线得出答案．
解： 是等边三角形，AD是BC边上的中线
，，BD=DC


AE=ED


ED=EC
DE=AE=EC

故答案为3．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形斜边中线及三角形中位线，关键是根据等边三角形的性质得到角的度数，进而得到边的等量关系，最后利用三角形中位线得到答案．
28．6
【分析】作点P关于AC的对称点E，点P关于BC的对称点F，连接EF交AC于M，交BC于N，连接CE、CF．此时△PMN的周长最小．
解：作点P关于AC的对称点E，点P关于BC的对称点F，连接EF交AC于M，交BC于N，连接CE、CF．此时△PMN的周长最小．

由对称的性质可知，∠ACP=∠ACE，∠PCB=∠BCF，CP=CE=CF=6，
∵∠ACB=30°，
∴∠ECF=60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF=CE=6，
∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=EM+MN+NF=EF=6，
故答案为：6．
【点拨】本题考查轴对称-最短问题、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
29．
解：∵∠B=30°，∠ACB=90°，=14cm，
∴AC=AB=7cm,
在ΔAFC中，∠AFC=∠D=45°，
∴CF=AC=7cm，
则阴影部分的面积是(cm)
故答案为：
30．①②③④
【分析】①根据题目中尺规作图的步骤即可判断出AD是的平分线；

②利用直角三角形两锐角互余求出的度数，然后根据角平分线的定义求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余即可得出结论；

③通过角平分线的定义能够得出，则然后根据垂直平分线性质定理的逆定理即可得出结论；

④根据含30°的直角三角形的性质得出，则，又因为和高相同，则和面积之间的关系可求．
解：由题干可知，AD是的平分线，故①正确；
∵，
∴
∵AD平分∠BAC
∴
, 故②正确；


∴点D在AB的中垂线上，故③正确；


∵和高相同，
∴，故④正确；
故答案为：①②③④．
【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，角平分线的定义，掌握等腰三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，角平分线的定义是解题的关键．
31．3；
【分析】根据等边三角形的性质及EF⊥AC，可推出AE=AF=AB=3．
解：∵等边△ABC
∴∠A=60°
∵EF⊥AC
∴∠AFE=30°
∴AE=AF=AB=3，故答案为3.
【点拨】本题考查了等边三角形的性质的应用及含30度角的直角三角形的性质，关键是熟练掌握这些性质．
32．．
【分析】利用基本作图得BD平分，再计算出，所以，利用得到，然后根据三角形面积公式可得到的值．
解：由作法得平分，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴.
故答案为．
【点拨】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．
33．见解析
【分析】根据等边三角形的性质可得出∠B=∠DAC=60°、AC=AB，结合AD=BE即可证出△DAC≌△EBA（SAS），再根据全等三角形的性质即可得出CD=AE．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠DAC=60°，AC=AB．
在△DAC和△EBA中，

∴△DAC≌△EBA（SAS），
∴CD=AE．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，利用全等三角形的判定定理SAS证出△DAC≌△EBC是解题的关键．
34．（1）见解析；（2）△ABD是等边三角形．理由见解析.
解：分析：
（1）由∠1=∠2结合∠AFE=∠DFC可得∠E=∠C，这样结合AE=AC，BC=DE即可证得△ABC≌△ADE，由此即可得到AB=AD；
（2）由∠1=∠2=60°可得∠BDE=120°，由△ABC≌△ADE可得∠B=∠ADE，AB=AD，进而可得∠B=∠ADB=∠ADE，由此即可得到∠ADB=∠BDE=60°，这样结合AB=AD即可得到△ABD是等边三角形.
详解：
（1）∵∠1+∠AFE+∠E=180°，∠2+∠CFD+∠C=180°，∠1=∠2，∠AFE=∠CFD，
∴∠E=∠C，
∵AC=AE，∠C=∠E，BC=DE，
∴△ABC≌△ADE，
∴AB=AD．
（2）△ABD是等边三角形．理由如下：
∵∠1=∠2=60°，
∴∠BDE=180°﹣∠2=120°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠B=∠ADE，AB=AD，
∴∠B=∠ADB，
∴∠ADB=∠ADE，
∴∠ADB=∠BDE=60°，
∴△ABD是等边三角形．
点睛：（1）解第1小题的关键是：由∠1=∠2结合∠AFE=∠DFC得到∠E=∠C；（2）解第2小题的关键是：由第1小题所得的△ABC≌△ADE证得∠B=∠ADB=∠ADE.
35．（1）见解析；（2）是等边三角形，理由见解析．
【分析】（1）由“SAS”可证，可得BD=CE；
（2）由“SAS”可证，可得AM=AN，∠BAM=∠CAN，可证是等边三角形．
证明：（1）∵和均为等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
在和中，
，
∴（SAS），
∴BD=CE；
（2）是等边三角形，
理由如下： ∵点M，N分别为BD，CE的中点，BD=CE，
∴BM=CN，
∵，
∴∠ABM=∠ACN，
在和中，
，
∴（SAS），
∴AM=AN，∠BAM=∠CAN，
∴∠MAN=∠BAC-∠BAM+∠CAN=60°，
∴是等边三角形．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，证明是本题的关键．
36．（1）见详解；（2）见详解．
【分析】（1）由AB=AC，AD是中线，得到∠B=∠C，BD=CD，即可得到结论；
（2）由等腰三角形的性质得到AD⊥BC，根据平行线的性质得到∠AHG=90°，再根据三角形的中位线定理即可得到结果．
解：证明（1）如图：

∵AB=AC，AD是中线，
∴∠B=∠C，BD=CD，
在△BDE与△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF；
（2）∵GH∥BD，∠B=60°，
∴∠AGH=60°，
∵AB=AC，AD是中线，
∴AD⊥BC，
∴∠BAD=30°∠AHG=90°，
∴GH=AG，
∵AG=AB，
∴GH=AB．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，掌握定理是解题的关键．