专题2.10 角的的对称性（专项练习）（培优篇）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

这是一份专题2.10 角的的对称性（专项练习）（培优篇）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版），共58页。试卷主要包含了角平分线性质，角平分线判定，角平分线的应用，角平分线-作图等内容，欢迎下载使用。

专题2.10 角的对称性（专项练习）（培优篇）
一、 单选题
知识点一、角平分线性质
1．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF,给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．已知：如图，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF于H，若∠AFB=40°，∠BCF的度数为（　　）

A．40° B．50° C．55° D．60°
3．如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（ ）

A． ①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
知识点二、角平分线判定
4．如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，的外角的平分线相交于点，于，于，下列结论：（1）；（2）点在的平分线上；（3），其中正确的有 （ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．如图，在中，点D是BC边上一点，已知，，CE平分交AB于点E，连接DE，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
知识点三、角平分线的应用
7．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE平分∠ACB，AD交CE于点F，已知△AFC的面积为5，FD＝2，则AC长是（　　）

A．2.5 B．4 C．5 D．6
8．如图，是的角平分线，，分别是，的高，则下列结论错误的是（ ）

A． B．
B． C． D．
9．如图，，AD、BD、CD分别平分的、、，以下结论：①；②；③；④BD分；⑤。其中误的结论有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点四、角平分线-作图
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP，并廷长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　）
①AD是∠BAC的平分线
②∠ADC＝60°
③点D在AB的垂直平分线上
④若AD＝2dm，则点D到AB的距离是1dm
⑤S△DAC：S△DAB＝1：2

A．2 B．3 C．4 D．5
11．如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）

A． B．
C． D．
12．如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为（ ）

A．无法确定 B． C．1 D．2

二、 填空题
知识点一、角平分线性质
13．如图所示，的外角的平分线CP与的平分线相交于点P，若，则_______．

14．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝50，∠CAP＝______．

15．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AE与AC的中线BD交于点F，P为CE中点，连结PF，若CP=2，，则AB的长度为_______．

知识点二、角平分线判定
16．如图，，是、的角平分线交点，是、外角平分线交点，则______，_____，联结，则______，点____（选填“在”、“不在”或“不一定在”）直线上．

17．如图所示，I是△ABC三内角平分线的交点，IE⊥BC于E，AI延长线交BC于D，CI的延长线交AB于F，下列结论：①∠BIE=∠CID；②S△ABC=IE（AB+BC+AC）；③BE=（AB+BC﹣AC）；④AC=AF+DC．其中正确的结论是_____．

18．如图，在△ABC中，点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点，若∠A=60°，则∠BMN的度数是_____．

知识点三、角平分线的应用
19．如图，在锐角中，，，平分，、分别是 和上 的动点，则的最小值是__________．

20．如图，△ABC的三边AB、BC、CA的长分别为30、40、15，点P是三条角平分线的交点，将△ABC分成三个三角形，则︰︰等于____．

21．如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则________，_______，若，则为________．

知识点四、角平分线-作图
22．如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交于点和，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法①平分；②；③点在的垂直平分线上；④连接，则，其中正确的是__________．（填序号）

23．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=3，AC=10，则△ACD的面积是_____．

24．如图，在中，，，垂直平分，垂足为Q，交于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；⑤作射线．若与的夹角为，则________°．


三、 解答题
知识点一、角平分线性质
25．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF．

26．如图,中,,,AD平分交OB于D,交AB于E,垂足为F.

(1)求证:; 
(2)若,求的值.
知识点二、角平分线判定
27．如图1，点C为线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝30°，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接CP．
（1）线段AE与DB的数量关系为　 ；请直接写出∠APD＝　 ；
（2）将△BCE绕点C旋转到如图2所示的位置，其他条件不变，探究线段AE与DB的数量关系，并说明理由；求出此时∠APD的度数；
（3）在（2）的条件下求证：∠APC＝∠BPC．

28．如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连结CF，且∠ACF =∠CBG．
（1）证明：AF = CG；
（2）判断点G在BD上的位置，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若DE = 3，求CF的长．

知识点三、角平分线的应用
29．直线与相互垂直，垂足为点，点在射线上运动，点在射线上运动，点、点均不与点重合．

（1）如图1，平分，平分，若，求的度数；
（2）如图2，平分，平分，的反向延长线交于点．
①若，则______度（直接写出结果，不需说理）；
②点、在运动的过程中，是否发生变化，若不变，试求的度数：若变化，请说明变化规律．
（3）如图3，已知点在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于的点、，在中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出的度数．
30．如图，AD是△ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD．

（1）求证：∠B与∠AHD互补；
（2）若∠B+2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明．
知识点四、角平分线-作图
31．“西气东输“是造福子孙后代的创世纪工程.现有两条高速公路和两个城镇（如图），准备建立一个燃气中心站使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇距离相等，请你画出中心站位置.

32．如图，已知，请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）：

（1）在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点与点能重合，请在图①中作出点；
（2）在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点能落在边上的点处，且，请在图②中作出点.

参考答案
1．A
【详解】
∵BF∥AC，∴∠C=∠CBF， ∵BC平分∠ABF，∴∠ABC=∠CBF，∴∠C=∠ABC，
∴AB=AC，∵AD是△ABC的角平分线，∴BD=CD，AD⊥BC，故②③正确，
在△CDE与△DBF中，，∴△CDE≌△DBF，∴DE=DF，CE=BF，故①正确；
∵AE=2BF，∴AC=3BF，故④正确．
故选A．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．全等三角形的判定与性质．

2．B
【分析】
作FZ⊥AE于Z，FY⊥CB于Y，FW⊥AB于W，根据角平分线的性质得到FZ=FY，根据角平分线的判定定理得到∠FCZ=∠FCY，根据题意得到答案．
【详解】
作FZ⊥AE于Z，FY⊥CB于Y，FW⊥AB于W，
∵AF平分∠BAC，FZ⊥AE，FW⊥AB，∴FZ=FW，
同理FW=FY，∴FZ=FY．∵FZ⊥AE，FY⊥CB，∴∠FCZ=∠FCY，
∵∠AFB=40°，∴∠ACB=80°，∴∠ZCY=100°，∴∠BCF=50°．
故选B．

【点拨】本题考查的是角平分线的性质和判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
3．B
【分析】
如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．
【详解】
解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．

∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在△POE和△POF中，
，
∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴EM=NF，PM=PN，故①正确，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故④正确，
OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故②正确，
在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，顶角∠MPN是定值，因为腰PM的长度是变化的，所以底边MN的长度是变化的，故③错误，
故答案为：B．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是通过添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
4．C
【分析】
①证明△BAD≌△CAE,再利用全等三角形的性质即可判断；②由△BAD≌△CAE可得∠ABF=∠ACF，再由∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF证得∠BFC=90°即可判定；③分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE,根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN,即AF平分∠BFE,即可判定；④由AF平分∠BFE结合即可判定．
【详解】
解：∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中
AB=AC, ∠BAD=∠CAE,AD=AE
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE
故①正确；
∵△BAD≌△CAE
∴∠ABF=∠ACF
∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF
∴∠ACF+∠BGA=90°,
∴∠BFC=90°
故②正确；

分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N
∵△BAD≌△CAE
∴S△BAD=S△CAE,
∴
∵BD=CE
∴AM=AN
∴平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD．
故③错误；

∵平分∠BFE，
∴
故④正确．
故答案为C．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质以及角的和差等知识，其中正确应用角平分线定理是解答本题的关键．
5．C
【分析】
过点P作PG⊥AB，由角平分线的性质定理，得到，可判断（1）（2）正确；由，，得到，可判断（3）错误；即可得到答案．
【详解】
解：过点P作PG⊥AB，如图：

∵AP平分∠CAB，BP平分∠DBA，，，PG⊥AB，
∴；故（1）正确；
∴点在的平分线上；故（2）正确；
∵，
又，
∴；故（3）错误；
∴正确的选项有2个；
故选：C．
【点拨】本题考查了角平分线的判定定理和性质定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定和性质进行解题．
6．B
【分析】
过点E作于M，于N，于H，如图，先计算出，则AE平分，根据角平分线的性质得，再由CE平分得到，则，于是根据角平分线定理的逆定理可判断DE平分，再根据三角形外角性质解答即可．
【详解】
解：过点E作于M，于N，于H，如图，
，，
，
平分，
，
平分，
，
，
平分，
，
由三角形外角可得：，
，
，
而，
，
故选：B．

【点拨】本题考查了角平分线的性质和判定定理，三角形的外角性质定理，解决本题的关键是运用角平分线定理的逆定理证明DE平分．
7．C
【分析】
根据已知作FH⊥AC，先求出FH，再利用面积法，便可求出AC.
【详解】
解：过F作FH⊥AC，
∵AD⊥BC，CE平分∠ACB，
∴FH＝DF，
∵FD＝2，
∴FH＝2，
∵△AFC的面积为5，
∴AC•FH＝×2×AC＝5，
∴AC＝5，
故选：C．

【点拨】考查了角平分线性质和用面积法求三角形的低，也属于常考题目，希望重点掌握.
8．D
【分析】

根据角平分线的性质定理，得到PM=PN，由HL证明△APM≌△APN，即可判断A；由三角形的面积公式，得到，即可判断B；由三角形的面积公式，得到，即可判断C；由，即可判断D．
【详解】

解：如图：作AD⊥BC与点D，

∵是的角平分线，，分别是，的高，
∴PM=PN，
∵∠AMP=∠ANP=90°，AP为公共边，
∴△APM≌△APN，
∴；故A正确；
∵，，
∴，
∵PM=PN，
∴，
∴，故B正确；
∵，故C正确；
∵，
∴，故D错误；
故选：D．
【点拨】
本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定，三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理和三角形的面积公式进行解题．
9．B
【解析】
【分析】
根据角平分线定义得出∠ABC=2∠ABD=2∠DBC，∠EAC=2∠EAD，∠ACF=2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，根据三角形外角性质得出∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠EAC=∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
【详解】
解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC=2∠EAD，
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC=∠ACB，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，∴①正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC，
∴∠ACB=2∠ADB，∴②正确；
在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB
∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，
∴∠ADC+∠ABD=90°
∴∠ADC=90°-∠ABD，∴③正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠ADB=∠DBC，，
∴∠ADB不等于∠CDB，∴④错误；
∵∠ACF=2∠DCF，∠ACF=∠BAC+∠ABC，∠ABC=2∠DBC，∠DCF=∠DBC+∠BDC，
∴∠BAC=2∠BDC，∴⑤错误；
综上所述，错误的是④⑤
即错误的有2个，
故选：B．
【点拨】考查了三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理的应用，主要考察学生的推理能力．
10．D
【分析】
①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；
②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；
③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三线合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上；
④作DH⊥AB于H，由∠1=∠2，DC⊥AC，DH⊥AB，推出DC=DH即可解决问题；
⑤利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．
【详解】
解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线，故①正确；
②如图，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠2＝∠CAB＝30°，
∴∠3＝90°﹣∠2＝60°，即∠ADC＝60°．故②正确；
③∵∠1＝∠B＝30°，
∴AD＝BD，
∴点D在AB的中垂线上．故③正确；
④作DH⊥AB于H，

∵∠1＝∠2，DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DC＝DH，
在Rt△ACD中，CD＝AD＝1dm，
∴点D到AB的距离是1dm；故④正确，
⑤在Rt△ACB中，∵∠B＝30°，
∴AB＝2AC，
∴S△DAC：S△DAB＝AC•CD：•AB•DH＝1：2；故⑤正确．
综上所述，正确的结论是：①②③④⑤，共有5个．
故选：D．
【点拨】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
11．B
【分析】
先通过作图过程可得AD平分∠BAC,DE⊥AB,然后证明△ACD≌△AED说明C、D正确，再根据直角三角形的性质说明选项A正确，最后发现只有AE=EB时才符合题意．
【详解】
解：由题意可得：AD平分∠BAC,DE⊥AB,
在△ACD和△AED中
∠AED=∠C，∠EAD=∠CAD,AD=AD
∴△ACD≌△AED（AAS）
∴DE=DC,AE=AC,即C、D正确；
在Rt△BED中，∠BDE=90°-∠B
在Rt△BED中，∠BAC=90°-∠B
∴∠BDE=∠BAC，即选项A正确；
选项B，只有AE=EB时，才符合题意．
故选B．
【点拨】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，正确理解尺规作图成为解答本题的关键．
12．C
【分析】
当GP⊥AB时，GP的值最小，根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线，再根据角平分线的性质可知，当GP⊥AB时，GP=CG=1．
【详解】
解：由题意可知，当GP⊥AB时，GP的值最小，
根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线，
∵∠C=90°，
∴当GP⊥AB时，GP=CG=1，
故答案为：C．
【点拨】本题考查了角平分线的尺规作图以及角平分线的性质，难度不大，解题的关键是根据题意得到GB是∠ABC的角平分线，并熟悉角平分线的性质定理．
13．
【分析】
如图（见解析），设，从而可得，先根据三角形的外角性质可求出，再根据角平分线的性质可得，从而可得，然后根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据平角的定义即可得．
【详解】
如图，过点P分别作于点M，于点N，于点E，
设，则，
，
，
是的平分线，
，
，
是的平分线，，，
，
同理可得：，
，
在和中，，
，
，即，
又，
，
解得，
故答案为：．

【点拨】本题考查了角平分线的定义与性质、三角形的外角性质、直角三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，利用角平分线的性质是解题关键．
14．40°
【分析】
过点P作PF⊥AB于F，PM⊥AC于M，PN⊥CD于N，根据三角形的外角性质和内角和定理，得到∠BAC度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得到答案．
【详解】
解：过点P作PF⊥AB于F，PM⊥AC于M，PN⊥CD于N，如图：

设∠PCD=x，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x，PM=PN，
∴∠ACD=2x，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PM=PN，
∵∠BPC＝50°，
∴∠ABP=∠PBC=，
∴,
∴，
∴，
在Rt△APF和Rt△APM中，
∵PF=PM，AP为公共边，
∴Rt△APF≌Rt△APM（HL），
∴∠FAP=∠CAP，
∴；
故答案为：40°；
【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质，以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题，正确求出是关键．
15．15
【分析】
作辅助线交AB于H，再利用等量关系用△BFP的面积来表示△BEA的面积，利用三角形的面积公式来求解底边AB的长度
【详解】
作
∵AE平分∠BAC


∵P为CE中点

∵D为AC中点，P为CE中点








【点拨】本题考查了辅助线的运用以及三角形的中线平分三角形的面积，解题的关键在于如何利用△BFP的面积来表示△BEA的面积
16．116 64 26 在
【分析】
∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）, ∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB），据此可求∠BOC的度数；
∠BCP= ∠BCE= （∠A+∠ABC），∠PBC= ∠CBF= （∠A+∠ACB），由三角形内角和定理得：∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC，据此可求∠BPC的度数；
作PG⊥AB于G，PH⊥AC于H，PK⊥BC于K，利用角平分线的性质定理可证明PG=PH，于是可证得AP平分∠BAC，据此可求∠PAB的度数；
同理可证OA平分∠BAC，故点在直线上．
【详解】
解：∵O点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）
= （180°-∠A）
=90°- ∠A，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-90°+ ∠A
=90°+ ∠A
=90°+26°
=116°；
如图，

∵BP、CP为△ABC两外角的平分线，
∴∠BCP= ∠BCE= （∠A+∠ABC），
∠PBC= ∠CBF= （∠A+∠ACB），
由三角形内角和定理得：
∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC
=180°- [∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]
=180°- （∠A+180°）
=90°- ∠A
=90°-26°
=64°．
如图，作PG⊥AB于G，PH⊥AC于H，PK⊥BC于K，连接AP，

∵BP、CP为△ABC两外角的平分线，PG⊥AB，PH⊥AC，PK⊥BC，
∴PG=PK，PK=PH，
∴PG=PH，
∴AP平分∠BAC，
∴26°
同理可证OA平分∠BAC，
点在直线上．
故答案是：(1) 116 ；(2) 64；(3) 26；(4) 在.
【点拨】此题主要考查了角平分线的性质定理和判定定理及三角形内角和定理，熟知定理并正确作出辅助线是解题关键．
17．①②③．
【详解】
①∵I为△ABC三条角平分线的交点，IE⊥BC于E，
∴∠ABI=∠IBD，
∵∠DIC=∠DAC+∠ACI=（∠BAC+∠ACB），∠ABI=∠ABC，
∴∠CID+∠ABI=90°，
∵IE⊥BC于E，
∴∠BIE+∠IBE=90°，
∵∠ABI=∠IBE，
∴∠BIE=∠CID；
即①成立；
②∵I是△ABC三内角平分线的交点，
∴点I到△ABC三边的距离相等，
∴S△ABC=S△ABI+S△BCI+S△ACI=•AB•IE+BC•IE+AC•IE=IE（AB+BC+AC），
即②成立；
③如图，过I作IH⊥AB于H，IG⊥AC于G，

∵I是△ABC三内角平分线的交点，
∴IE=IH=IG，
在Rt△AHI与Rt△AGI中，
，
∴Rt△AHT≌Rt△AGI（HL），
∴AH=AG，同理BE=BH，CE=CG，
∴BE+BH=AB+BC﹣AH﹣CE=AB+BC﹣AC，
∴BE=（AB+BC﹣AC）；
即③成立；
④由③证得IH=IE，
∵∠FHI=∠IED=90°，
∴△IHF与△DEI不一定全等，
∴HF不一定等于DE，
∴AC=AG+CG=AH+CE≠AF+CD，
即④错误．
故答案为①②③．
【点拨】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解答此类题目的关键是要熟练掌握三角形内角与外角的关系．
18．50°．
【分析】
过点N作NG⊥BC于G，NE⊥BM于E，NF⊥CM于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得NE=NG=NF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出MN平分∠BMC，然后根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再根据角的三等分求出∠MBC+∠MCB的度数，然后利用三角形内角和定理求出∠BMC的度数，从而得解．
【详解】
如图，过点N作NG⊥BC于G，NE⊥BM于E，NF⊥CM于F，

∵∠ABC的三等分线与∠ACB的三等分线分别交于点M、N，
∴BN平分∠MBC，CN平分∠MCB，
∴NE=NG，NF=NG，
∴NE=NF，
∴MN平分∠BMC，
∴∠BMN=∠BMC，
∵∠A=60，
∴∠ABC+∠ACB=180−∠A=180−60=120，
根据三等分,∠MBC+∠MCB= (∠ABC+∠ACB)=×120=80
在△BMC中,∠BMC=180−(∠MBC+∠MCB)=180−80=100
∴∠BMN=×100=50.
【点拨】本题考查的知识点是三角形内角和定理，解题的关键是熟练的掌握三角形内角和定理.
19．
【分析】
根据题意画出符合题意的图形，作N关于AD的对称点R，作AC边上的高BE（E在AC上），求出BM+MN=BR，根据垂线段最短得出BM+MN≥BE，求出BE即可得出BM+MN的最小值.
【详解】

解：作N关于AD的对称点R，作AC边上的高BE（E在AC上）
∵平分，△ABC是锐角三角形
∴R必在AC上
∵N关于AD的对称点是R
∴MN=MR
∴BM+MN=BM+MR
∴BM+MN=BR≥BE（垂线段最短）
∵，
∴=18
∴BE=cm
即BM+MN的最小值是cm.
故答案为.
【点拨】本题考查了轴对称——最短路径问题. 解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值.
20．6：8：3
【分析】
由角平分线性质可知，点P到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB、BC、CA边上的高相等，利用面积公式即可求解.
【详解】

解：过点P作PD⊥BC于D，PE⊥CA于E，PF⊥AB于F
∵P是三条角平分线的交点
∴PD=PE=PF
∵AB=30，BC=40，CA=15
∴︰︰=30∶40∶15=6∶8∶3
故答案为6∶8∶3.
【点拨】本题主要考查了角平分线的性质和三角形面积的求法. 角平分线上的点到两边的距离相等.
难度不大，作辅助线是关键.
21．
【分析】
根据角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解，同理求出∠A2，∠A3，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解．
【详解】
∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，
∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，
∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1，
∴∠A1=∠A=32°，
同理可得∠A2=16°，∠A3=8°，
∵∠A=α．
同理可得∠A1=∠A=α，∠A2=∠A1=α，
根据规律推导，
∴∠A2018=，
故答案为32°，8°，．
【点拨】本题主要考查的是三角形外角性质，角平分线定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键．
22．①②③④
【分析】
①根据作图的过程可以判断是的角平分线；
②由可以先求到∠BAC的度数，结合①可以求到∠CAD的度数，因为∠C=90°即可求到∠ADC的度数；
③结合①和②可以求到，判断出为等腰三角形即可解答；
④依题意直接由SAS判断出，即可得到DM=DN．
【详解】
解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线，
故①正确；
②在中，，
，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴,
,
故②正确；
③,
为等腰三角形，
∴顶点D在底边AB的垂直平分线上，
故③正确；
④如图，连接DN、DM，

由题意知AM=AN，
在和中，
，
∴≌，
故④正确；
故答案为：①②③④．
【点拨】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及基本作图，解题的时候，要熟悉等腰三角形的判定和性质．
23．15
【分析】
作DQ⊥AC，由角平分线的性质知DB=DQ=3，再根据三角形的面积公式计算可得．
【详解】
解：如图，过点D作DQ⊥AC于点Q，

由作图知CP是∠ACB的平分线，
∵∠B=90°，BD=3，
∴DB=DQ=3，
∵AC=10，
∴S△ACD=•AC•DQ=×10×3=15，
故答案为15．
【点拨】本题主要考查作图-基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质．
24．55°．
【分析】
根据直角三角形两锐角互余得∠BAC=70°，由角平分线的定义得∠2=35°，由线段垂直平分线可得△AQM是直角三角形，故可得∠1+∠2=90°，从而可得∠1=55°，最后根据对顶角相等求出．
【详解】
如图，

∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，
，
，
，
∵是的平分线，
，
是的垂直平分线，
是直角三角形，
，
，
∵∠α与∠1是对顶角，
．
故答案为：55°．
【点拨】此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，对顶角相等等知识，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键．
25．证明见解析.
【分析】
过D作DM⊥AB，于M，DN⊥AC于N，根据角平分线性质求出DN=DM，继而可推导得出∠MED=∠NFD，根据全等三角形的判定AAS推出△EMD≌△FND即可．
【详解】
过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，

即∠EMD=∠FND=90°，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN（角平分线性质），
∵∠EAF+∠EDF=180°，
∴∠MED+∠AFD=360°-180°=180°，
∵∠AFD+∠NFD=180°，
∴∠MED=∠NFD，
在△EMD和△FND中
，
∴△EMD≌△FND（AAS），
∴DE=DF．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和角平分线性质的应用，解题的关键是正确作辅助线，推出△EMD和△FND全等.
26．（1）见解析；（2）AD-OE= 2.
【分析】
（1）由题意可证△EAF≌△OAF，连接DE，可证AD为EO的垂直平分线，则ED=DO，又可证△BED为等腰直角三角形，则可证得BE=OD；
（2）在AD上截AM=OE，可证得△AMO≌△OEB，可得OD=OM，又因为AD⊥EO，则可得MF=FD，则可得AD-OE=2DF=2.
【详解】
（1）证明：连接DE，

∵OE⊥AD，
∴∠AFE=∠AFO=90°，
∵AD平分∠EAO，
∴∠EAF=∠OAF，
在△EAF和△OAF中
，
∴△EAF≌△OAF（ASA），
∴AE=AO，∠AEO=∠AOE，
∵AD⊥OE，
∴EF=FO，
∴DE=DO，
∴∠DEO=∠DOE，
∵∠AEO=∠AOE，
∴∠AED=∠AOB=90°，
∵∠AOB=90°，AO=BO，
∴∠B=45°，
∴∠EDB=∠AEO-∠B=90°-45°=45°=∠B，
∴BE=DE，
∴OD=BE；
（2）解：在AD上截AM=OE，连接OM，

∵∠OAB=∠B=45°，AD平分∠OAB，
∴∠OAM=22.5°，
∵OD=DE，
∴∠DEO=∠DOE，
∵∠EDB=45°=∠DEO+∠DOE，
∴∠EOB=22.5°=∠OAM，
在△AMO和△OEB中，
，
∴△AMO≌△OEB（SAS），
∴MO=BE=OD，
∵OE⊥AD，
∴DF=MF，
​∴AD-OE=DM=2DF=2.
【点拨】往往出现线段和差的时候都需要用到截长补短法，而证明线段相等通常用全等证.
27．（1）AE＝BD，30°；（2）结论：AE＝BD，∠APD＝30°．理由见解析；（3）见解析.
【分析】
（1）只要证明△ACE≌△DCB，即可解决问题；
（2）只要证明△ACE≌△DCB，即可解决问题；
（3）如图2-1中，分别过C作CH⊥AE，垂足为H，过点C作CG⊥BD，垂足为G，利用面积法证明CG=CH，再利用角平分线的判定定理证明∠DPC=∠EPC即可解决问题；
【详解】
（1）解：如图1中，

∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE＝∠DCB，
又∵CA＝CD，CE＝CB，
∴△ACE≌△DCB．
∴AE＝BD，∴CAE＝∠CDB，
∵∠AMC＝∠DMP，
∴∠APD＝∠ACD＝30°，
故答案为AE＝BD，30°
（2）如图2中，结论：AE＝BD，∠APD＝30°．

理由：∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE＝∠DCB，
又∵CA＝CD，CE＝CB，
∴△ACE≌△DCB．
∴AE＝BD，∴CAE＝∠CDB，
∵∠AMP＝∠DMC，
∴∠APD＝∠ACD＝30°．
（3）如图2﹣1中，分别过C作CH⊥AE，垂足为H，过点C作CG⊥BD，垂足为G，

∵△ACE≌△DCB．
∴AE＝BD，
∵S△ACE＝S△DCB
∴CH＝CG，
∴∠DPC＝∠EPC
∵∠APD＝∠BPE，
∴∠APC＝∠BPC．
【点拨】本题考查几何变换综合题、旋转变换、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用面积法证明高相等，属于中考压轴题．
28．（1）证明见解析；（2）点G是BD的中点，理由见解析；（3）CF = 6．
【详解】
试题分析：(1)利用角平分线性质得∠BCG =∠CAF，AC = BC，∠ACF =∠CBG，利用ASA证明 △ACF≌△BCG.
(2)连接AG, 证明△ACG≌△BCG，AG=BG,BG=GD,G是中点.
(3) 延长CG交AB于点H，先证明△ADE≌△CGE, 再证明△ACF≌△BCG，CF = BG = DG = 6．
试题解析：
（1）证明：∵ ∠ACB = 90°，AC = BC，CG平分∠ACB．
∴ ∠CAF =∠CBA = 45°，∠BCG =∠ACG = 45°，
∴ ∠BCG =∠CAF = 45° ，
又 AC = BC，∠ACF =∠CBG，
∴ △ACF≌△BCG（ASA）.
∴ AF = CG；
（2）解：点G是BD的中点；理由如下：连结AG，如图所示

∵ AC = BC，∠ACG =∠BCG，CG = CG,
∴ △ACG≌△BCG（SAS）.
∴ AG = BG,
∴ ∠GAB =∠GBA,
∵ AD⊥AB,
∴ ∠D = 90° -∠GBA = 90° -∠GAB =∠GAD,
∴ AG = DG,
∴ BG = DG.
（3）解：延长CG交AB于点H，如图所示

∵ CG平分∠ACB，AC = BC,
∴ CH⊥AB，CH平分AB,
∵ AD⊥AB ∴ AD∥CG ,
∴ ∠D =∠EGC,
∵ E为AC边的中点 ,
∴ AE = CE.
又 ∠AED =∠CEG,
∴ △ADE≌△CGE（AAS）.
∴ DE = GE，即DG = 2DE = 6
∵ △ACF≌△BCG，BG = DG,
∴ CF = BG = DG = 6．

29．（1）135°；（2）①45°；②不变；45°；（3）45°或36°
【分析】
灵活运用三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角和；
（1）求出，，根据，即可解决问题；
（2）①求出，，根据，即可求出的值；
②根据即可得出结论；
（3）首先证明，，再分四种情况讨论①当时，②时， ③时，④时， 分别计算，符合题意得保留即可．
【详解】
解：（1）如图1中，，
，
，
，
又平分，平分，
，，
，
（2）如图2中：
①（三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角和），


平分，平分，
，，
，
；
②结论：点A、B在运动过程中，，
理由：





点A、B在运动过程中，的角度不变，；
（3）如图3中，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于的点、，
，，
又为平角，
，
，
，
又在中：，
﹤，
在中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，则：
①当时，，
此时，
②时，，，
此时（不符合题意舍去），
③时，，
此时，
④时，，
此时（不符合题意舍去），
综上所述，当或时，在中，有一个角的度数是另一个角的4倍．
【点拨】本题主要考查角平分线的定义，三角形内角和定理，以及分类讨论的数学思想的理解及应用，分类讨论时，没有讨论完全是本题的易错点．
30．（1）见解析；（2）AG＝AH+HD，证明见解析
【分析】
（1）在上取一点，使得，连接，则利用可得出，从而得出，即有，通过这样的转化可证明与互补．
（2）由（1）的结论中得出的，结合三角形的外角可得，可将转化为，从而在线段上可解决问题．
【详解】
证明：（1）在上取一点，使得，连接
∵
∴
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
即与互补．
（2）由（1）
∵
∴
又∵
∴即
∴
∴
∵
∴．

【点拨】本题考查角平分线的性质，应用角平分线构造全等是常用的构造全等的方法，遇到角平分线常有“翻折构造全等”“作角边的垂线段”两种辅助线方法．
31．见解析
【解析】
【分析】
到两条公路的距离相等，则要画两条公路的夹角的角平分线，到C，D两点的距离相等又要画线段CD的垂直平分线，两线的交点就是点M的位置.
【详解】

解：如图：（1）做出∠AOB的平分线OE；
(2)连接CD，作CD的垂直平分线FG；
（3）FG和OE的交点，即为所求点M.
【点拨】本题主要考查了角平分线的性质及垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图.
32．（1）见详解；（2）见详解．
【分析】
（1）作线段BC的垂直平分线，交BC于点M，即可；
（2）过点B作BO⊥BC，交CA的延长线于点O，作∠BOC的平分线交BC于点N，即可．
【详解】
（1）作线段BC的垂直平分线，交BC于点M，即为所求．点M如图①所示：
（2）过点B作BO⊥BC，交CA的延长线于点O，作∠BOC的平分线交BC于点N，即为所求．点N如图②所示：

【点拨】本题主要考查尺规作图，掌握尺规作线段的中垂线和角平分线，是解题的关键．