高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.3 空间向量及其运算的坐标表示当堂检测题

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1.3 空间向量及其运算的坐标表示（精讲）  考点一 空间向量坐标的表示【例1-1】（2022·广东）在正方体中，若点是侧面的中心，则在基底下的坐标为（       ） A． B． C． D．【答案】D【解析】由题可知，为的中点，∴，∴坐标为.故选：D【例1-2】（2022·全国·高二课时练习）已知是空间的一个单位正交基底，若向量在基底下的坐标为，则它在基底下的坐标为（       ）．A． B．C． D．【答案】D【解析】由于是空间的一个单位正交基底，可设向量，，，则向量，，又向量在基底下的坐标为，不妨设，则，即，解得：，所以向量在基底下的坐标为．故选：D.【例1-3】（2022·吉林白山）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M是的中点，，，，若，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系.不妨令，则，，，，，.因为，所以，则，，，，则解得，，，故.故选：C【一隅三反】1．（2022·广东·高二阶段练习）如图所示的空间直角坐标系中，四棱锥的底面是正方形，平面，且，若，则点的空间直角坐标为（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意得，，所以，所以，所以的坐标为．故选：B．2．（2022·江苏常州·高二期中）平行六面体中，，则点的坐标为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，∵，又，∴，解得，即.故选：B.3．（2022·河北）（多选）如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】在等边中，，所以，则，，则.故选：ABC考点二 空间向量坐标的运算【例2-1】（2022·浙江宁波·高一期中）已知向量，，则的坐标为（          ）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，∴．故选：B．【例2-2】（2022·四川）已知空间向量，，若，则（       ）A． B． C．1 D．2【答案】A【解析】由，解得，则.故选：A.【例2-3】（2022·广东·潮州市绵德中学高二阶段练习）已知，若，则m的值为（       ）A．3 B． C． D．4【答案】A【解析】由题意可得，故 ，则 ，故选：A【例2-4】（2022·全国·高二）已知空间三点，，，在直线上有一点满足，则点的坐标为.A． B． C． D．【答案】B【解析】由O（0，0，0），A（﹣1，1，0），B（0，1，1），∴（﹣1，1，0），且点H在直线OA上，可设H（﹣λ，λ，0），则（﹣λ，λ﹣1，﹣1），又BH⊥OA，∴•0，即（﹣λ，λ﹣1，﹣1）•（﹣1，1，0）＝0，即λ+λ﹣1＝0，解得λ，∴点H（，，0）．故选B．【一隅三反】1．（2022·黑龙江）已知向量＝（3，0，1），＝（﹣2，4，0），则3+2等于（　　）A．（5，8，3） B．（5，﹣6，4）C．（8，16，4） D．（16，0，4）【答案】A【解析】，故选：A2．（2022·山东淄博·高二期末）已知向量，，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，，所以故选：B3．（2022·全国·高二课时练习）已知，，，则下列结论正确的是（       ）A．， B．，C．， D．以上都不对【答案】C【解析】由题意知：，，故，.故选：C.4．（2022·全国·高二课时练习）已知向量，，则在的方向上的数量投影为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知：在的方向上的数量投影为.故选：C.5．（2022·四川省蒲江县蒲江中学）设、，向量，，且，，则（          ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，则，解得，则，因为，则，解得，即，所以，，因此，.故选：D. 考点三 空间向量在几何中运用【例3】（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题：(1)求的模；(2)求的值；(3)求证：平面.【答案】(1)(2)(3)证明见解析【解析】(1)解：因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则，，所以，，则.(2)解：依题意得、、、，所以，，，，又，，所以，.(3)证明：依题意得、、、、，则，，，所以，，，则，，即，，又因为，所以，平面.【一隅三反】1．（2022·福建宁德·高二期中）已知空间三点，，，则与的夹角的大小是______．【答案】【解析】因为，，所以所以，所以因为，所以故答案为：2．（2022·辽宁）（多选）已知正方体的边长为2，为的中点，为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（     ）A． B．平面C．动点的轨迹长为 D．与所成角的余弦值为【答案】BC【解析】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，则，，，，，所以，，，由平面，得，即，化简可得，所以动点在直线上，A选项：，，，所以与不垂直，所以A选项错误；B选项：，平面，平面，所以平面，B选项正确；C选项：动点在直线上，且为侧面上的动点，则在线段上，，所以，C选项正确；D选项：，，D选项错误；故选：BC.3．（2022·全国·高二课时练习）在直三棱柱中，，，，．(1)在上是否存在点，使得？(2)在上是否存在点，使得平面？【答案】(1)存在(2)存在【解析】(1)直三棱柱中，，，，则、、 两两垂直如图，以为坐标原点，射线、、分别为轴的正向建立空间直角坐标系，则，，，，．（1）假设在AB上存在点D，使得，则，其中，则，于是，由于，且，所以，得，所以在AB上存在点D，使得，且这时点D与点B重合．(2)假设在AB上存在点D，使得平面，则，其中，则，．又，，平面，所以存在实数，使成立，∴，，．所以，所以在上存在点使得平面，且是的中点．考点四 空间向量数量积取值范围【例4】（2021·浙江·绍兴一中高二期中）点是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以 所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示；则点设点的坐标为，由题意可得 ， ， 由二次函数的性质可得，当时取得最小值为；当或1，且或1时，取得最大值为0，则的取值范围是故选D．【一隅三反】1．（2022·江苏南通）已知正六棱柱的底面边长为1，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，且，由正六边形的性质可得，，设，其中，所以，，所以，所以的取值范围.故选：A.2．（2022·全国·高二课时练习）已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，则＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝.所以当λ＝时，取得最小值，此时＝＝，即点Q的坐标为.故选：C3．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为4，P是的中点，点M在侧面（含边界）内，若.则△BCM面积的最小值为（　　）A．8 B．4 C． D．【答案】D【解析】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则 ，，，，设 ，则 ，，因为 ，所以 ，得 ，所以 ，所以 ，当 时， 取最小值 ，易知，且平面，平面故，故所以的最小值为．故选：D.考点五 空间几何中的轨迹问题【例5-1】（2022·江苏徐州·高二期中）如图，正方体的棱长为6，点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】分别以，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设，，则，，由得，即，由于，所以，，所以点的轨迹为面上的直线：，，即图中的线段，由图知：，故选：B.【一隅三反】1．（2022·全国·高二课时练习）如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周).若，则点S与P距离的最小值是___________．【答案】【解析】如图，以O为原点，OB为y轴，OS为z轴建立空间直角坐标系，则，，，，设，则，，∵，∴，解得，∴知，当时，点与距离的最小，其最小值为．故答案为：．2．（2022·湖南·高二期中）（多选）已知正方体ABCD－EFGH棱长为2，M为棱CG的中点，P为底面EFGH上的动点，则（       ） A．存在点P，使得B．存在唯一点P，使得C．当，此时点P的轨迹长度为D．当P为底面EFGH的中心时，三棱锥P－ABM的外接球体积为【答案】BCD【解析】以D为原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz．A（2，0，0），M（0，2，1），设P点坐标为（x，y，2）（），，为求的最小值，找出点A关于平面EFGH的对称点，设该点为，则点坐标为∴故A选项错误．由可得故B选项正确．时，即，此时由点P坐标为得到点P轨迹是连接棱EF中点与棱EH中点的线段，其长度为线段HF的一半，即长为．故C选项正确．当P为底面EFGH的中心时，由B选项知．易得．∴外接球球心为棱AM的中点，从而求得球半径为．故D选项正确．故选：BCD．3．（2022·湖南·高二期中）（多选）已知正方体ABCD－EFGH棱长为2，M为棱CG的中点，P为底面EFGH上的动点，则（       ）A．存在点P，使得B．存在唯一点P，使得C．当，此时点P的轨迹长度为D．当P为底面EFGH的中心时，三棱锥P－ABM的外接球体积为【答案】BCD【解析】以D为原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz．A（2，0，0），M（0，2，1），设P点坐标为（x，y，2）（），，为求的最小值，找出点A关于平面EFGH的对称点，设该点为，则点坐标为∴故A选项错误．由可得故B选项正确．时，即，此时由点P坐标为得到点P轨迹是连接棱EF中点与棱EH中点的线段，其长度为线段HF的一半，即长为．故C选项正确．当P为底面EFGH的中心时，由B选项知．易得．∴外接球球心为棱AM的中点，从而求得球半径为．故D选项正确．故选：BCD．