人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.1 直线的倾斜角与斜率练习题

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2.1 直线的倾斜角与斜率（精练）
1 直线的倾斜角与斜率
1．（2021·山东济宁·高二期中）直线的倾斜角为，则（       ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】直线的斜率为.故选：A.
2．（2021·湖北·高二阶段练习）直线绕原点顺时针旋转后所对应的直线的斜率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由直线可得，所以该直线的斜率为，
设倾斜角为，则，因为，所以，
所以绕原点顺时针旋转后所对应的直线的倾斜角为，
所以斜率为．
故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）直线过点，其倾斜角为，现将直线绕原点O逆时针旋转得到直线，若直线的倾斜角为，则的值为（       ）
A． B． C．2 D．-2
【答案】B
【解析】由题，，直线的倾斜角为，故
故选：B
4．（2022·江苏·高二专题练习）已知直线与直线，若直线与直线的夹角是60°，则k的值为（       ）
A．或0 B．或0
C． D．
【答案】A
【解析】直线的斜率为，所以倾斜角为120°.要使直线与直线的夹角是60°，
只需直线的倾斜角为0°或60°，所以k的值为0或.故选：A
5．（2021·安徽·高二阶段练习）直线的倾斜角为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设直线的倾斜角为，则，因为，故.故选：D.
6．（2022·全国·高二专题练习）已知直线过两点且倾斜角为，则的值为_____.
【答案】
【解析】因直线的倾斜角为，则其斜率，
又由，，则的斜率，则有．故答案为：.
7．（2022·江苏·高二课时练习）分别求经过下列两点的直线的斜率和倾斜角；
(1)，；(2)，；(3)，；(4)，．
【答案】(1)1，；(2)，；(3)0，0；(4)－1，.
【解析】(1)斜率，倾斜角为，故，故；
(2)斜率，倾斜角为，故，故；
(3)斜率，倾斜角为，故，故；
(4)斜率，倾斜角为，故，故；
2 直线倾斜角与斜率的取值范围
1．（2022·江苏·高二）已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（       ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意，直线的倾斜角为，则，
因为，即，
结合正切函数的性质，可得．故选：B．
2．（2022·全国·高二课时练习）若直线l经过第二､三､四象限，其倾斜角为，斜率为k，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题设，，而，则，
所以，则，.故选：B
3．（2022·全国·高三专题练习）已知动直线的倾斜角的取值范围是，则实数m的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题设知：直线斜率范围为，即，可得.故选：B.
4．（2022·湖南师大附中高一期末）已知直线l：在x轴上的截距的取值范围是（，3），则其斜率的取值范围是（       ）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】D
【解析】已知直线l：(2+a)x+(a−1)y−3a=0，所以(x+y-3)a+2x-y=0
，所以直线过点，
由题知，在轴上的截距取值范围是，
所以直线端点的斜率分别为：，如图：
或.
故选：D.

5．（2022·全国·高三专题练习）已知，，过点且斜率为的直线l与线段AB有公共点，则的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为过点且斜率为的直线l与线段AB有公共点，所以由图可知，或，
因为或，所以或，故选：D

6．（2022·全国·高三专题练习）已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（       ）
A． B．或 C． D．
【答案】B
【解析】如下图示，

当直线过A时，，
当直线过B时，，
由图知：或.
故选：B
7．（2022·全国·高二专题练习）设点､，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（       ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】A
【解析】如图所示：

，要想直线l过点且与线段AB相交，
则或，
故选：A
8．（2022·全国·高二专题练习）直线的倾斜角的取值范围是_______.
【答案】
【解析】若，则直线方程为，即倾斜角；

若，则直线方程为，即，
∵，∴或，
即或，解得
综上可得.
故答案为：
9．（2022·全国·高二课时练习）当直线l的倾斜角时，则直线l的斜率的取值范围为______．
【答案】
【解析】当直线l的倾斜角时，
则直线l的斜率的取值范围为，
故答案为：﹒
10．（2022·江苏·高二单元测试）已知两条直线、，其中，当这两条直线的夹角在内变化时，a的取值范围为______．
【答案】
【解析】直线的倾斜角为，令直线的倾斜角为，则有
过原点的直线，的夹角在内变动时，可得直线的倾斜角的范围是，，．
的斜率的取值范围是，，，即，，，
故答案为：．

3 斜率比较大小
1．（2022·全国·高二课时练习）下列说法中正确的是(       )
A．一条直线的斜率随着倾斜角的增大而增大
B．直线的倾斜角的取值范围是锐角或钝角
C．和轴平行的直线，它的倾斜角为
D．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率
【答案】D
【解析】直线倾斜角的范围是[0，π)，当倾斜角是时直线无斜率，故A错误；
直线倾斜角的范围是[0，π)，0和既不是锐角也不是钝角，故B错误；
和轴平行的直线，它的倾斜角为0，故C错误；
每一条直线都存在倾斜角，但倾斜角为的直线不存在斜率，故D正确．
故选：D﹒
2．（2021·全国·高二课前预习）如图，设直线的斜率分别为，则的大小关系为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】直线的斜率是由直线的倾斜角决定的，.
当时，斜率是非负数，倾斜角越大，斜率越大；
当时，斜率是负数，倾斜角越大，斜率也越大.
通过图形判断可得三条直线的倾斜角均在范围内，
又根据“当时，直线的倾斜角越大，斜率越大”可知，.
故选：A
3．（2022·全国·高二课时练习）根据图中提供的信息，按从大到小的顺序排列图中各条直线的斜率，并写出各条直线的斜率.

【答案】答案见解析
【解析】由已知可得，，，
，，
所以，.
4．（2022·全国·高二课时练习）已知三条直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，且，探索其倾斜角，，的大小关系．
【答案】分类讨论，答案见解析
【解析】由直线斜率与直线倾斜角的关系：
由于在分别单调递增，
且时，；时，
（1）当时，有，，
由在单调递增，有
（2）当时，有，，
由在单调递增，有
（3）当，有，，
由在单调递增，有
（4）当，有，
由在单调递增，有

4 直线的位置关系
1．（多选）（2021·全国·高二课时练习）满足下列条件的直线与一定平行的是（       ）
A．经过点，，经过点，
B．的斜率为1，经过点，
C．经过点，，经过点，
D．经过点，，经过点，
【答案】CD
【解析】设直线的斜率为，直线的斜率为．
对于A．，，，与不平行．
对于B，，，，故或与重合
对于C，，，则有．又，则A，B，M不共线．故.
对于D，由已知点的坐标，得与均与x轴垂直且不重合，故有．
故选：CD
2．（2022·全国·高二课时练习）判断下列各组直线是否平行，并说明理由：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【答案】(1)平行，理由见解析
(2)平行，理由见解析
(3)平行，理由见解析
【解析】(1)解：设两条直线、的斜率分别为、，在轴上的截距分别为、，
则由、的方程可知，且，所以．
(2)解：设两条直线、的斜率分别为、，在轴上的截距分别为、．
因为、的方程分别可化为，，
所以，且，所以．
(3)解：由、的方程可知，轴，轴，且两条直线、在轴上的截距不相同，所以．
3．（2021·全国·高二课时练习）下列各组直线中，两直线相交的为（       ）
A．和
B．和
C．和
D．和
【答案】A
【解析】对于A中，直线和，显然两直线相交，所以A正确；
对于B中，直线和，可得两直线的斜率都为，所以两直线平行，
所以B错误；
对于C中，直线和，
当时，两直线重合；当时，两直线相交，所以C错误；
对于D中，直线和，可得两直线的斜率都是，
所以两直线平行，所以D错误.
故选：A.
4．（2022·江苏·高二课时练习）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由：
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
【答案】(1)与垂直；
(2)与垂直；
(3)与不垂直；
(4)与不垂直.
【解析】(1)因为，，
所以直线的斜率为，直线的斜率为，
因为，所以与垂直，
(2)因为，，
所以直线的斜率为，直线的斜率为，
因为，所以与垂直，
(3)因为，，
所以直线的斜率为，直线的斜率为，
因为，所以与不垂直，
(4)因为，，
所以与平行，不垂直.
5．（2021·全国·高二专题练习）判断下列各小题中的每对直线是否垂直
(1)l1的斜率为，l2经过点A（1，1），B（0，）
(2)l1的倾斜角为45°，l2经过点P（﹣2，﹣1），Q（3，﹣6）
(3)l1经过点M（1，0），N（4，﹣5），l2经过点R（﹣6，0），S（﹣1，3）
【答案】(1)垂直
(2)不垂直
(3)垂直
【解析】(1)∵l2经过点A（1，1），B（0，），∴l2的斜率为，
又∵l1的斜率为，且，∴l1与l2垂直.
(2)∵l1的倾斜角为45°，∴l1的斜率为，∵l2经过点P（﹣2，﹣1），Q（3，﹣6），∴l2的斜率为，而，∴l1与l2不垂直.
(3)∵l1经过点M（1，0），N（4，﹣5），∴l1的斜率为，
∵l2经过点R（﹣6，0），S（﹣1，3），∴l2的斜率为，又∵，
∴l1与l2垂直.
5 已知直线的位置关系求参
1．（2023·全国·高三专题练习）设为实数，若直线与直线平行，则值为（       ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解析】由题意，，
时，，两直线重合，舍去，时，，，满足两直线平行．所以．
故选：A．
2．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知直线与直线互相平行，则实数的值为(       )
A． B．2或 C．2 D．
【答案】D
【解析】直线斜率必存在，故两直线平行，则，即，解得，
当时，两直线重合，∴．故选：D．
3．（2022·天津红桥·高二期末）已知直线与平行，则的值为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】直线与平行 故选：C.
4．（2022·湖北孝感·高二期末）“”是“直线与直线垂直”的（       ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】直线与直线垂直,
则，解得：或，
所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件.
故选：B.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知条件：直线与直线垂直，条件：，则是的（       ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】直线与直线垂直，所以，则，所以是的充要条件.故选：A.
6．（2022·全国·高二课时练习）直线和直线平行，则直线和直线的位置关系是（       ）
A．重合 B．平行 C．平行或重合 D．相交
【答案】B
【解析】因为直线和直线平行，所以，
故直线为，与直线平行故选：B
7．（2021·山西·怀仁市大地学校高中部高二阶段练习）直线，，则“”是“”的（       ）条件
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】①充分性：当时，，，所以与斜率相等，且截距不相等，故，所以充分；
②必要性：，，当时，
则，解得：或，
当时，两直线重合，所以舍去，
当时，两直线斜率相等且截距不相等，符合题意，所以必要.
所以“”是“”的充要条件
故选：C.
8．（2022·江苏·高二）已知直线，，且，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，则，∴，
所以，
二次函数的抛物线的对称轴为，
当时，取最小值.
故选：A．
9．（2022·全国·高二课时练习）已知集合，，且，则实数a的值为___________.
【答案】1
【解析】集合，，且，
直线与直线平行，即，且，解得.故答案为：1.
6 直线斜率的运用
1（2022·江苏·高二）已知A(0，8)，B(－4，0)，C(m，－4)三点共线，则m的值是（       ）
A．－6 B．－2 C．2 D．6
【答案】A
【解析】由三点共线，可得，即，得.选：A
2．（2022·江苏·高二专题练习）下列各组点在同一条直线上的是（       ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【解析】A选项：过，的直线的斜率，过点，的直线斜率，两者不相等，故三点不在同一条直线上，A选项错误；
B选项：过，的直线斜率，过点，的直线斜率，两者不相等，故三点不在同一条直线上，B选项错误；
C选项：过点，的直线的斜率．过点，的直线的斜率，，两者相等，故此三点共线．C选项正确
D选项：过点，的直线的斜率，过点，的直线斜率，两者不相等，故三点不在同一条直线上，D选项错误.
故选：C
3．（2022·全国·高二专题练习）以点，，为顶点的三角形是（       ）．
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【解析】由题意，同理，，，，
三角形是直角三角形．故选：B．
4．（2021·全国·高二课时练习）以，，为顶点的三角形是（       ）
A．以点为直角顶点的直角三角形 B．以点为直角顶点的直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
【答案】A
【解析】由，，，
，，
由，所以直线与直线垂直，
所以以点为直角顶点的直角三角形.
故选：A
5．（2022·全国·高二专题练习）顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是（       ）
A．平行四边形 B．直角梯形
C．等腰梯形 D．以上都不对
【答案】B
【解析】，，则，
所以,与不平行，因此故构成的图形为直角梯形.故选：B.
6．（2022·全国·高二专题练习）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设D(x，y)，∵AD⊥BC，∴·＝－1，∴x＋5y－9＝0，
∵AB∥CD，∴＝，∴x－2y－4＝0，由得，，
故选：D.
7．（2022·内蒙古·呼和浩特市第十四中学）已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】正的顶点，且顶点在第一象限，故顶点的坐标为，，
可看作内部及其边界上一点与点的连线斜率，
当运动到点时，直线的斜率最大，故的最大值为
故选：B.

8．（2022·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，，其中且.试判断四边形的形状.
【答案】矩形
【解析】由斜率公式，得，
，
，
，
，
.
∴，，
∴，，
∴四边形为平行四边形.
又，∴.
又，∴与不垂直，
∴四边形为矩形.