人教A版 (2019)第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆精练

3.1.1 椭圆（精练）

1  椭圆的定义及其应用

1．（2021·湖南）若椭圆上一点A到焦点的距离为3，则点A到焦点的距离为（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】B

【解析】由椭圆的定义知，。 故选：B

2．（2022内江）椭圆的长轴长是（　　）

A．2 B． C．4 D．

【答案】D

【解析】椭圆方程变形为，，∴，长轴长为. 故答案为：D.

3．（2022·湖州）已知椭圆 的右焦点为 ，则正数 的值是（　　） 

A．3 B．4 C．9 D．21

【答案】A

【解析】由题知 ，所以 ，因为 ，所以 .故答案为：A

4．（2022奉贤期中）已知椭圆 则（　　）

A．C1与C2顶点相同 B．C1与C2长轴长相同

C．C1与C2短轴长相同 D．C1与C2焦距相等

【答案】D

【解析】椭圆 中，，则

 则C1的顶点为，长轴长为，短轴长为4，焦距为；

 同理，椭圆 中，，则

 则C1的顶点为，长轴长为4，短轴长为4，焦距为；

 故ABC错误，D正确. 故答案为：D

5（2022·江西模拟）“ ， ”是“方程 表示的曲线为椭圆”的（　　） 

A．充要条件 B．必要不充分条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】【解答】[解法一]

方程 即方程 ，表示椭圆的充分必要条件是 ，

显然“ ， ”是“ ”既不充分也不必要条件，

故“ ， ”是“方程 表示的曲线为椭圆”的既不充分也不必要条件，

[解法二]

当 时，满足“ ， ”，此时题中方程可化为： ，表示的曲线是圆而不是椭圆，当 时，不满足“ ， ”，只是题中方程可化为： ，表示中心在原点，半长轴为1，半短轴为 的椭圆，

故：“ ， ”是“方程 表示的曲线为椭圆”的既不充分也不必要条件，

故答案为：D

6．（2022高二下·洛阳月考）若方程表示椭圆，复数z满足，则复数z的共轭复数是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为方程表示椭圆，所以解得，

因为，所以，所以，所以，

所以，所以复数z的共轭复数为。

故答案为：A．

7．（2022·湖北月考）已知，分别是双曲线的左，右焦点，若是双曲线左支上的点，且．则的面积为（　　）

A．8 B．16 C．24 D．

【答案】C

【解析】因为是双曲线左支上的点，所以，．

在中，

，即，所以，，故的面积为．故答案为：C．

8．（2022·柳州模拟）已知A（3，1），B（－3，0），P是椭圆 上的一点，则 的最大值为　     　．

【答案】9

【解析】根据题意可得： a=4，b=，c=3， 则点B为椭圆的左焦点，取椭圆的右焦点F(3，0)，

∴|PB|+|PF|=8，即|PB| =8-|PF|，

∵，即点A在椭圆内， |PA|+ |PB|= |PA|-|PF|+8<|AF|+8=9，

 当且仅当点P在AF的延长线上时，等号成立. 故答案为： 9

9．（2022·郑州 ）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，椭圆上一点P满足|OP|＝3，则△F1PF2的面积为　     　．

【答案】7

【解析】由题意得：，解得：，所以，设出，则，解得：，故故答案为：7

10（2022 ·虹口期末）已知为椭圆上的一点，若，分别是圆和上的点，则的最大值为　     　．

【答案】

【解析】由题， 设圆和圆的圆心分别为，半径分别为.

则椭圆的焦点为.又，.

故，当且仅当分别在的延长线上时取等号.

此时最大值为.

故答案为：.

11．（2022高二下·嫩江月考）椭圆 的左右焦点分别是 ， ，椭圆上有一点 ， ，则三角形 的面积为　     　． 

【答案】

【解析】∵椭圆   ，∴a=4 ，b=3 ， ．

 又P为椭圆上一点， ，F1 、F2 为左右焦点，

∴|PF1|+|PF2|=2a=8，

∴ ，

∴|PF1|·|PF2|=12

∴

 故答案为： ．

2  椭圆的标准方程

1．（2022·长沙）在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为 ，过的直线交椭圆于两点，且的周长为16，则椭圆的方程为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设椭圆方程为由椭圆定义知：的周长为即，解得：

椭圆的方程为故答案为：D

2．（2022高二下·河南月考）已知椭圆：经过点，且的离心率为，则的方程是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】依题意可得，解得， 故椭圆的标准方程是。

故答案为：A.

3．（2022·石景山）已知椭圆的焦点为，．过点的直线与交于，两点．若的周长为8，则椭圆的标准方程为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为椭圆的焦点为，，所以；

又过点的直线与交于，两点，的周长为8，

则根据椭圆定义可得，，解得，

因此，所以椭圆的标准方程为.故答案为：C.

4．（2022·邢台）已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，过的直线l交C与A，B两点，若△的周长为，则C的方程为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题设，，且，

所以三角形△的周长为，即，

又因为，可得，则，

综上所述，C的方程为。故答案为：B

5．（2021高二上·齐齐哈尔期末）如图所示，已知是椭圆的左､右焦点，为椭圆的上顶点，在轴上，，且是的中点，为坐标原点，若点到直线的距离为3，则椭圆的方程为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】且，则△是等边三角形，

设，则①，

∴直线的方程为，即，

∴到直线的距离为②，

又③，

联立①②③，解得，，故椭圆的标准方程为。

故答案为：D.

6．（2021高二上·湖北月考）已知椭圆的两个焦点分别为，P是椭圆上一点，，且C的短半轴长等于焦距，则椭圆C的标准方程为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，所以，因为，所以，，故椭圆C的标准方程为。 故答案为：D.

7．（2022·西青）已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆在第二象限的交点为M，与轴的交点为N，是椭圆的右焦点，且，则椭圆的方程为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意，直线与轴的交点，

又直线过椭圆的左焦点，

所以，即，

因为直线与椭圆在第二象限的交点为M，与y轴的交点为，

且，

所以，即，

又由，

所以椭圆的方程为。

故答案为：D.

8．（2022奉贤）已知双曲线 的中心为原点， 是 的焦点，过 的直线 与 相交于A，B两点，且AB的中点为 ，则 的方程为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意可设直线l为：，即y=x-3，

由，得(b2-a2)x2+6a2x-a2(9+b2)=0，

 因为 AB的中点为 ，所以，即5a2=4b2，

又a2+b2=9， 解得a2=4，b2=5， 则 的方程为 .故答案为：B

3  椭圆的离心率

1．（2022·临洮开学考）如果椭圆的离心率为，则（　　）

A．4 B．或 C． D．4或

【答案】B

【解析】因为椭圆的离心率为，

当时，椭圆焦点在轴上，可得：，解得，

当时，椭圆焦点在轴上，可得：，解得．

或.故答案为：B．

2．（2022·南京）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，P为C上的一点，且，，则椭圆C的离心率为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意，，，

在中，由余弦定理得

，所以．故答案为：B．

3．（2022·自贡）设、分别是椭圆C：的左、右焦点，直线过交椭圆C于A，B两点，交y轴于C点，若满足且，则椭圆的离心率为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设点坐标为， ，，，

所以有，解得，

因为，所以直线的方程为，所以有点坐标为，

所以有，，

所以，所以，故答案为：A.

4．（2022高二下·金山期中）国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设内层椭圆方程为，因为内外椭圆离心率相同，

外层椭圆可设成 ，

设切线A C的方程为， 与联立得：

，由， 则，

同理可得，， 则，

因此．

故答案为：D.

5．（2022·辽宁模拟）已知分别为椭圆的左，右焦点，直线与椭圆C的一个交点为M，若，则椭圆的离心率为　     　．

【答案】

【解析】由题可知，为直角三角形，，直线过原点，，故，

又，则，

在中，，即，

又，解得：或（舍去）.故答案为：.

6．（2022·四川双流中学 ）设椭圆的两焦点为，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为       。

【答案】

【解析】当P是椭圆的上下顶点时,最大, 则椭圆的离心率的取值范围为,故选C.

7．（2022·湖南 ）点为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在点使（为坐标原点）为正三角形，则椭圆的离心率为           。

【答案】

【解析】由题意，可设椭圆的焦点坐标为，因为为正三角形，则点在椭圆上，代入得，即，得，解得，

8．（2021高二上·雅安期末）直线过椭圆内一点，若点为弦的中点，设为直线的斜率，为直线的斜率，则的值为                

【答案】

【解析】设点与， 则，，

所以，，

又点与在椭圆上，所以，，

作差可得，即，

所以。