数学3.1 椭圆一课一练

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3.1.2 椭圆性质（精练）
1 点与椭圆的位置关系
1．（2021·全国·高二专题练习）点在椭圆的内部，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为点在椭圆的内部，所以有，即，
解得，则的取值范围是．故选：B.
2．（2022·四川凉山 ）已知椭圆经过点，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为椭圆经过点，所以，所以，
则．
因为椭圆经过点，所以，即，
故的取值范围是．
故选：D．
3（2022·甘肃 ）已知椭圆C:，点，则点A与椭圆C的位置关系是（    ）．
A．点A在椭圆C上 B．点A在椭圆C内 C．点A在椭圆C外 D．无法判断
【答案】B
【解析】当时，代入椭圆得到 ，
故点在椭圆内
故选B
3（2022·山东·沂水县第一中学模拟预测）函数（，且）的图象恒过定点，若点在椭圆（，）上，则的最小值为（    ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】C
【解析】由，即，得，所以，
因为点在椭圆上，所以（，），
所以，
当且仅当时，等号成立.
故选：C
4．（2021·全国·高二专题练习）(多选)已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点M，设M的坐标为(x0，y0)，若l1⊥l2，则下列结论正确的有（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】由椭圆，可得：，，．
左、右焦点分别为，，
设，则，可得：，．
，直线与直线交点在椭圆的内部．
，A正确；
，B不正确；
直线与椭圆联立，可得：无解，
因此直线与椭圆无交点．
而点在椭圆的内部，在直线的左下方，满足，C正确．
，，，因此D正确．
故选：ACD.
5．（2022·江苏·高三专题练习）（多选）已知椭圆的离心率为，的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边，，的中点分别为，，，且三条边所在直线的斜率分别，，，且，，均不为0．为坐标原点，则（    ）
A．
B．直线与直线的斜率之积为
C．直线与直线的斜率之积为
D．若直线，，的斜率之和为1，则的值为
【答案】CD
【解析】椭圆的离心率为，，
，故错；
设，，，．，．
，，
两式相减可得：．
，
同理，，
故错，正确．
又，
故选：CD．

6．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知椭圆的离心率为，的三个顶点都在椭圆上，为坐标原点，设它的三条边，，的中点分别为，，，且三条边所在直线的斜率分别，，，且，，均不为，则（    ）
A．
B．直线与直线的斜率之积为
C．直线与直线的斜率之积为
D．若直线，，的斜率之和为，则的值为
【答案】ACD
【解析】对于A：因为椭圆的离心率，所以，因为，
所以，故选项A正确；
对于B：设，，，则，，
所以，，两式相减可得：，
即，所以，
，故选项B不正确；
对于C:由选项B同理可得，故选项C正确；
对于D：由选项B同理可知，
可得，，
由已知可得，即，
所以，故选项D正确；
故选：ACD.
7．（2022·全国·高二课时练习）若点在椭圆的内部，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】∵点在椭圆的内部，∴，整理得，解得．
故答案为：
8．（2022·全国·高二课时练习）已知点(3，2)在椭圆上，则点(-3，3)与椭圆的位置关系是__________.
【答案】点在椭圆外
【解析】因为点(3，2)在椭圆上，所以=1，又，所以，故点(-3，3)在椭圆外.
故答案为：点在椭圆外.

2 直线与椭圆的位置关系
1．（2022·全国·高二课时练习）若过点的直线l与椭圆只有一个公共点，则直线l的方程为______．
【答案】或y＝－5
【解析】椭圆标准方程为：，
右顶点坐标，下顶点坐标，
过作椭圆的切线，如图所示：

直线的方程为：或y＝－5，
故答案为：或y＝－5
2．（2022·全国·高二课时练习）直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【解析】根据题意, 可得 过点 ，
要使直线与椭圆 总有公共点，只需使点 在椭圆内部或椭圆上, 则有 ，
又由椭圆 的焦点在轴上，则有；
综合可得 ，
故答案为：.
3．（2022·全国·高二专题练习）不论为何值，直线与椭圆有公共点，则实数的范围是__.
【答案】
【解析】方法一： 把直线代入椭圆1，
化为．其中．(注意这个坑)，
直线与椭圆1有公共点，
恒成立，
化简为．上式对于任意实数都成立，，解得．
实数的范围是．
方法二：因为直线恒过定点
所以代入得即
因为是椭圆，所以
故的取值范围是．
故答案为：．
4．（2022·全国·高二专题练习）椭圆上的点到直线的距离的最大值为______.
【答案】
【解析】设与直线平行的直线与椭圆相切，
由得，
由得，，解得
设直线与直线的距离为，
当时，直线为，则，
当时，直线为，则，
因为，
所以椭圆1上的点到直线的距离的最大值为.
故答案为：
5．（2022·全国·高二专题练习）如果直线l：与椭圆C：（）总有公共点，求实数a的取值范围 .
【答案】
【解析】由题知直线l：过定点，
因为直线l：与椭圆C：（）总有公共点，
所以点在椭圆上或椭圆内，
所以，由于，所以，
所以实数a的取值范围是

3 直线与椭圆的弦长
1．（2022·全国·高二课时练习）一条过原点的直线与椭圆的一个交点为，则它被椭圆截得的弦长等于（    ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】B
【解析】设过原点的直线的方程为：，直线与椭圆的一个两个交点分别设为，
则根据对称性可知两点关于原点对称，即，
而
直线被椭圆截得的弦长为,所以.
故选：B.

2．（2022·云南·丽江市教育科学研究所高二期末）已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求的方程；
(2)若是上两点，直线与圆相切，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由题意得，，解得，所以的方程为.
（2）圆的圆心为，半径圆.
①当直线的斜率不存在时，方程为或，
于是有或
解得，
所以.                 
②当直线的斜率为时，方程为或，
于是有或
解得，
所以.                    
③当直线的斜率不为时，设斜率为，方程为，
因为直线与圆相切，所以，得
建立方程组，消并化简得，
.
设,,则,，
所以=



而，当且仅当，即时，等号成立.
所以 ，
所以.
综上所述，的取值范围是.
3．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆：的离心率为且经过点1)，直线经过且与椭圆相交于两点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当求此时直线的方程；
【答案】(1)；(2)或为.
【解析】(1)，，即，，又经过点1)，，
解得，所以椭圆方程为.
(2)当直线的斜率不存在时，即直线的方程，此时，
直线的斜率存在，
不妨设直线的方程为，设，
联立方程组可得消可得，
其判别式，
，

，
整理可得，解得即
此时直线方程为或为.
4．（2021·云南文山·高二期末（理））已知椭圆过椭圆右焦点，且垂直于轴的直线与椭圆在第一象限交于点，已知椭圆的左焦点为，的面积是．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线与椭圆交与、两点，当时，求直线的方程．
【答案】(1)；(2)或或或.
【解析】（1）根据题意，椭圆的左焦点为，
联立，解得，
则过椭圆右焦点且垂直于轴的直线与椭圆在第一象限交于点，可得，
因为的面积是，即，解得，
所以，，所以，因此，椭圆的标准方程为.
（2）
设、，
由得，解得，，
所以，，整理可得，
解得或.
因此，直线的方程为或或或.
5．（2022·云南·高二期末）已知椭圆，直线经过椭圆C的一个焦点和一个顶点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若A，B是椭圆C上的两个动点，且AB的中点到原点O的距离为1，求面积的最大值.
【答案】(1)(2)最大值为1
【解析】(1)因为直线与x轴的交点为，与y轴的交点为（0，1），
所以，，，故椭圆C的方程为.
(2)当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为，此时，
的面积为.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，，，
联立方程组得，
则，.
因为，所以AB的中点为.
因为，
所以.
因为原点到直线AB的距离，

，
所以.
因为，
当且仅当时，等号成立，
由解得，，
也满足，所以.
综上所述，面积的最大值为1.
4 中点弦
1．（2022·全国·高二课时练习）椭圆中，以点为中点的弦所在直线的斜率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2)，
代入椭圆得，
两式相减得，
即，
即，又
即，
即，
∴弦所在的直线的斜率为，
故选：C.
2．（2022·福建·厦门双十中学高二阶段练习）已知直线，椭圆．若直线l与椭圆C交于A，B两点，则线段AB的中点的坐标为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，
，消去y，得，
则，，
所以A、B两点中点的横坐标为：，
所以中点的纵坐标为：，
即线段AB的中点的坐标为.
故选：B
3．（2022·全国·高二）已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为，则E的方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设，则有①，②，
两式作差可得：，即，
又，
故，，
所以，
又，解得，
故的方程为.
故选：C
4．（2021·四川·攀枝花市第三高级中学校高二阶段练习（理））已知AB是椭圆一条弦，且弦AB与直线：垂直，P是AB的中点，O为椭圆的中心，则直线OP的斜率是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，弦AB不过点O，而弦AB与直线：垂直，则设直线AB： ，
由消去y得：，
，即，且，
设点，则，于是得弦AB中点，
所以直线OP的斜率是.
故选：D
5．（2022·全国·高二）点，在椭圆上，点，，则直线的方程是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，故为的中点.
设，故，
因此，故，
故，故即直线的斜率为-1，
故直线的方程为：，
故选：C.
6．（2022·贵州师大附中高二阶段练习（理））已知椭圆C：上存在两点M，N关于直线对称，且线段MN中点的纵坐标为，则的值是（    ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】设，，则，，
两式相减，得，
即，
，关于直线对称，，
又线段中点的纵坐标为，线段中点的横坐标为，所以
，解得．
故选：A．
7．（2022·山东济宁·高二期中）已知椭圆，其右焦点为，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点坐标为，则E的方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，过点的直线交椭圆于，两点，
若的中点坐标为，所以直线斜率，
代入椭圆方程得，
两式相减得，
，
所求的椭圆方程为.
故选：B.
8．（2022·河南 ）已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于，两点，直线与直线的交点恰好为线段的中点，则直线的斜率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得，整理可得．
设，，则，
两式相减可得．
因为直线与直线的交点恰好为线段的中点，所以，
则直线的斜率．
故选：C
9．（2022·山东枣庄 ）已知抛物线，的三个顶点都在抛物线上，O为坐标原点，设三条边AB，BC，AC的中点分别为M，N，Q，且M，N，Q的纵坐标分别为.若直线AB，BC，AC的斜率之和为，则的值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则，三个式子两两相减得
，即
即，所以.
故选：B
10．（2021·河南南阳·高二期末（理））已知椭圆上有三个点､､，，，的中点分别为､､，，，的斜率都存在且不为0，若(为坐标原点)，则（    ）
A．1 B．-1 C． D．
【答案】A
【解析】设，则，
两式作差，可得，
所以，即，
同理可得，
所以.
故选：A.
11．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：上有三点，，，线段，，的中点分别为，，，为坐标原点，直线，，的斜率都存在，分别记为，，，且，直线，，的斜率都存在，分别记为，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，，代入椭圆方程可得，两式相减，可得，即，故，即，即，同理可得：，．由，得，故．
故选：B．
5 椭圆的综合运用
1．（2022·四川·自贡成外高级中学有限公司高二阶段练习（文））已知椭圆C：内一点，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M是线段AB的中点，则下列不正确的是（    ）.
A．椭圆的焦点坐标为， B．椭圆C的长轴长为4
C．直线的方程为 D．
【答案】A
【解析】依题意椭圆C：，所以，
所以椭圆的焦点坐标为，A选项错误.
椭圆的长轴长为，B选项正确.
设，
则，
两式相减并化简得，
由于是的中点，
所以，即直线的斜率为，
所以直线的方程为，C选项正确.
消去并化简得，
，
所以，D选项正确.
故选：A
2．（2022·全国·高二课时练习）（多选）一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点，则下列结论正确的是（    ）

A．椭圆的离心率是
B．线段长度的取值范围是
C．面积的最大值是
D．的周长存在最大值
【答案】AC
【解析】由题意得半圆的方程为，
设半椭圆的方程为，由题意知，∴，
∴半椭圆的方程为．
对于A，，A正确；
对于B，由图可知，当时，；当时，，
所以线段长度的取值范围是，B错误．
对于C，，设，则，
∴，设，∴，∴，
∴，
∴，
当且仅当时等号成立，C正确．
对于D，的周长为，
所以当时，的周长最大，但是不能取零，
所以的周长没有最大值，D错误，
故选：AC
3．（2022·湖南益阳·高二期末）（多选）若是椭圆上的三个不同的点，为坐标原点，，则（    ）
A．若直线的斜率为，则直线的斜率为2
B．记的中点为，若，则
C．若，则
D．存在，满足
【答案】ABC
【解析】设，，则，
，，两式相减，得①，
因直线的斜率为，所以且不同时为0，
所以，，
，故A正确；
当AB斜率不存在时，易得P在左右顶点，此时不符合题意，
所以AB斜率存在，且不同时为0，
，，，
由①，
，
当且仅当时等号成立，故B正确；
若，，所以，
，即，
又，，所以，，
当时，，，此时，
将P代入椭圆方程得，此时，，
当时，，，此时，
将P代入椭圆方程得，此时，，
故C正确；
假设存在，满足，则为等边三角形，，
由选项C知，面积为或与选项C矛盾.
故选：ABC
4（2022·湖北武汉·高二期中）（多选）已知椭圆：的左，右两焦点分别是，，其中.直线：与椭圆交于，两点，则下列说法中正确的有（    ）
A．的周长为
B．若的中点为，则
C．若的最小值为，则椭圆的离心率
D．若，则椭圆的离心率的取值范围是
【答案】ABD
【解析】由直线l∶y=k(x+c)过点，即弦过椭圆的左焦点.
，所以A正确；
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则M
有，，所以
由作差得∶，所以
则有，所以B正确；
由过焦点的弦中通径最短，则AB的最小值为通径，则有，
即，解得a=2c，所以，C错误.
，
所以，
则有，可得，所以D正确；
故选：ABD
5．（2021·湖北省武昌实验中学高二阶段练习）（多选）已知椭圆的左，右两焦点分别是，，其中.直线与椭圆交于A，B两点.则下列说法中正确的有（    ）
A．当时，的周长为4a
B．当时，若AB的中点为M，则
C．若，则椭圆的离心率的取值范围是
D．若AB的最小值为3c，则椭圆的离心率
【答案】AC
【解析】对于A，由椭圆定义得：的周长，A正确；
对于B，由消去y并整理得：，
则弦AB中点，而，则，即，B不正确；
对于C，设，则，，而，
于是得，
由得，解得，C正确；
对于D，由椭圆的性质知，椭圆的通径是过焦点的椭圆的最短弦，当时，即，
即，解得，因直线l不垂直于x轴，则弦AB不能取到，即，D不正确.
故选：AC
6．（2022·河北 ）（多选）已知P是椭圆：上的动点，过直线与椭圆交于两点，则（    ）
A．的焦距为 B．当为中点时，直线的斜率为
C．的离心率为 D．若，则的面积为1
【答案】CD
【解析】由题知，所以，故焦距为，故A选项错误；
对于B选项，当为中点时，由中点弦公式得，故B选项错误；
对于C选项，椭圆的离心率为，故C选项正确；
对于D选项，，则，即，代入数据得，
所以的面积为，故D选项正确；
故选：CD
7．（2022·福建福州·高二期末）（多选）已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ）
A．存在P使得 B．的最小值为
C．，则的面积为9 D．直线与直线斜率乘积为定值
【答案】ABC
【解析】设椭圆短轴顶点为，由题知椭圆：中，，
所以，，，，，
对于A选项，由于，，所以的最大角为钝角，故存在P使得，正确；
对于B选项，记，则，
由余弦定理：
，当且仅当时取“=”，B正确；
对于C选项，由于，故 ，所以，C正确；
对于D选项，设，则，，于是,故错误.
故选：ABC