数学选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理精练

1.2 空间向量的基本定理（精讲）

考点一  空间向量的基底

【例1】（2022·重庆八中模拟预测）若构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】选项A：令，则，，A正确；

选项B：因为，所以不能构成基底；

选项C：因为，所以不能构成基底；

选项D：因为，所以不能构成基底．

故选：A.

【一隅三反】

1．（2022·全国·高二课时练习）设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】如图，作平行六面体，，，，

则，，，，

由平行六面体知，共面，不共面，不共面，不共面，

因此可以作为空间的基底的有3组．

故选：C．

2．（2022·湖南·高二课时练习）已知，，是不共面的三个向量，下列能构成一组基的是（       ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

【答案】C

【解析】A. 因为=，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底；

B. 因为=，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底；

C. 假设，，共面，则必存在x，y，有，因为，，是不共面，则，不成立，则三个向量不共面，所以三个向量能构成一组基底；

D. 因为，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底；

故选：C

3．（2022·江苏·高二课时练习）设向量是空间一个基底，则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是　　

A． B． C． D．或

【答案】C

【解析】由题意和空间向量的共面定理，结合，得与、是共面向量，

同理与、是共面向量，所以与不能与、构成空间的一个基底；

又与和不共面，所以与、构成空间的一个基底．故选：．

考点二 用基底表示向量

【例2-1】（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（       ）

A． B．=

C．= D．=

【答案】B

【解析】连接AG并延长交BC于N，连接ON，

由G是的重心，可得，

则

则故选：B

【例2-2】（2022·河北省唐县第一中学高一期中）如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC.M，N分别是对边OB，AC的中点，点G在线段MN上，，现用基向量表示向量，设，则的值分别是（       ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

【答案】C

【解析】连结ON.

因为M，N分别是对边OB，AC的中点，所以，，

所以.

又，所以.

.

故选：C

【一隅三反】

1．（2022·广东·佛山市南海区桂城中学）在四面体中，，，，点在上，且，是的中点，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由已知，

所以，，故选：D.

2．（2022·江苏南通·高二期中）如图所示，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，M为OA中点，N为BC中点，则等于（          ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意得：，故选：A

3．（2022·江苏·泰州中学高二期中）在四棱柱中，，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为，所以，

所以，所以A错误

因为，所以，

所以,故选：D

4．（2021·安徽省六安中学高二期中（文））如图，已知空间四边形，其对角线为，分别为的中点，点在线段上，，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意，

又，所以，．故选：C．

考点三 空间向量的基本定理

【例3-1】（2022·江苏·高二课时练习）已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：

（1）、、、四点共面，、、、四点共面；

（2）．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】（1）因为，所以，、、为共面向量，

因为、、有公共点，故、、、四点共面，

因为，则、、为共面向量，

因为、、有公共点，故、、、四点共面；

（2），，，

，，

因为、无公共点，故.

【例3-2】（2021·全国·高二课时练习）已知空间四边形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．

【答案】证明见解析

【解析】在空间四边形OABC中，令，则，

令，G是MN的中点，如图，

则，，

于是得

，

因此，，所以OG⊥BC.

【一隅三反】

1．（2021·全国·高二专题练习）已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，.

（1）证明：；

（2）求异面直线与夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见详解；（2）

【解析】设，，

由题可知：两两之间的夹角均为，且，

（1）由

所以即证.

（2）由，又

所以，

又

则

又异面直线夹角范围为

所以异面直线夹角的余弦值为.

2．（2022·陕西·西北农林科技大学附中高二期末（理））在所有棱长均为2的三棱柱ABC-A1B1C1中，∠B1BC=60°，求证:

（1）AB1⊥BC；

（2）A1C⊥平面AB1C1.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】证明：（1）易知<>=120°，=+，

则·=(+)·=·+·=2×2×+2×2×=0.

所以AB1⊥BC.

（2）易知四边形AA1C1C为菱形，所以A1C⊥AC1.

因为·=(-)·(-)

=(-)·(--)

=·-·-·-·+·+·

=·-·-·+·

=2×2×-4-2×2×+4

=0，

所以AB1⊥A1C，又AC1∩AB1=A，所以A1C⊥平面AB1C1.

3．（2021·全国·高二课时练习）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，求证：平面．

【答案】证明见解析

【解析】设，，，

由于四边形为菱形，则，即，

所以，，同理可得，

由题意可得，，

所以，，所以，，

同理可证，

因为，因此，平面.