2021-2022学年内蒙古霍林郭勒市第一中学高二上学期期中考试数学（理）Word版含答案

      霍市一中2021-20222学年度第一学期高二年级期中考试

数学试卷（理科）

命题人：

一.选择题（本题共12小题，每小题5分，满分60分，每小题只有一个选项是正确的.）

1．命题“若，则且”的否命题为（  ）

A．若，则且   B．若，则且

C．若，则或   D．若，则或

2、已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为4，则等于（    ）

A．4 B．5 C．7 D．8

3．下列命题错误的是（    ）

A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”

B．命题“，”的否定是“，”

C．若“且”为真命题，则，均为真命题

D．“”是“”的充分不必要条件

4．已知p，q为两个命题，则“p∨q是假命题”是“¬p为真命题”的(　　)

A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件

C．充分必要条件   D．既不充分也不必要条件

5. 顶点在原点，焦点是的抛物线的方程是(    )

A．       B．      C． D．

6．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，椭圆上的点P满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是(　　)

A．     B．     C．       D．

7、倾斜角为45°的直线通过抛物线y2=4x的焦点且与抛物线相交于M,N两点,则弦MN的长为 (    )                

   A．     B．     C． 16    D． 8

8．极坐标方程ρcos＝1表示直线的斜率为(　　)

A.     B．－  C．－  D.

9．双曲线的离心率为2，则k的值为(　)

A．-35      B．19         C．-5        D．12

10、已知，，则的最小值为（   ）

A.          B.         C.         D.  

11、在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若,

则下列向量中与相等的向量是     （     ）                           

A、 B、    C、     D、

12．已知椭圆的上焦点为，是椭圆上一点，点，当点在椭圆上运动时，的最大值为（    ）        

    A．4    B．6    C．8 D．10

二.填空题（本题共4小题，每题5分，满分20分， 把答案填在答题纸的横线上）

13．双曲线的渐近线为               .

14.在极坐标系中，点到直线的距离为      ．

15.已知二面角的大小为60°，其棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，，，则线段的长为          ．

16．圆锥曲线与空间几何体具有深刻而广泛的联系，如图所示，底面半径为1，高为3的圆柱内放有一个半径为1的球，球与圆柱下底而相切，作不与圆柱底面平行的平面与球相切于点，若平面与圆柱侧面相交所得曲线为封闭曲线，是以为一个焦点的椭圆，则的离心率的取值范围是________________

三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置.）

17．（10分）已知命题：，命题：.

（1）当时，求.

（2）若是的充分条件，求实数的取值范围；

18. （12分）在直角坐标系中，以O为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系。圆C1，直线C2的极坐标方程分别为.求：

（1）写出C1，C2的直角坐标方程.

（2）写出C1，C2的交点的极坐标。

19、如图，在底面是矩形的四棱锥中，⊥平面， ，.是的中点，

（Ⅰ）求证：平面⊥平面；              

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值。

20.（12分）已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点F，E上一点(3，m)到焦点的距离为4.

(1)求抛物线E的方程；

(2)过F作直线l，交抛物线E于A，B两点，若直线AB中点的纵坐标为－1，求直线l的方程．

21.（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点，以A为原点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：

（Ⅰ）证明：直线；

（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；

（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离 

22．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为，，且椭圆C上的点M满足，．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）点是椭圆的上顶点，点在椭圆C上，若直线，的斜率分别为，满足.

<ⅰ>证明直线QR恒过定点，并求出定点坐标；  

<ⅱ>求面积的最大值．

霍市一中2021-20222学年度第一学期高二年级期中考试

              数学试卷（理科）答案

一．          选择题。

1—6   DDBABA.      7—12 DBAAAD

二．填空题

13  .   14..   15..   16.

三、解答题

17. （1）由：为真，解得.

当时，则为：＜＜，所以

（2）：，

若是的充分条件，则是的子集，

所以，即，解得.

所以实数的取值范围是

18. 解：由得，

圆的直角坐标方程为

直线的直角坐标方程分别为

（2）由解得

所以圆，直线的交点直角坐标为

再由，将交点的直角坐标化为极坐标所以与的交点的极坐标

19、以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为 轴建立空间直角坐标系，则(0，0，0) ,   (2，0，0),    (2，4，0) ,   (0，4，0) ，

(0，2，1) ,   (0，0，2) .                              ……………………（1分）

∴＝(2，0，0) ,     ＝(0，4，0) ,      ＝(0，0，2) ,    ＝(－2，0，0) ,

＝(0，2，1) ,    ＝(2，4，0) .                     　　 ……………………（2分）

（Ⅰ）,  .

又, .    

, 

,   ………（4分）

 而,  

∴平面⊥平面.　………（5分）

（Ⅱ）设平面的法向量=,令，则.

由即

∴=.                              ………………………（7分）

平面的法向量＝(0，0，2) ,   .

所以二面角所成平面角的余弦值是.    ……………………（9分）

（Ⅲ）因为平面的法向量是=，而＝(－2，0，0) .

 所以 .       ………………………（11分）

 直线与平面所成角的正弦值 .      ………………………（12分）

20、（1）.3+=4，则p=2.          (2).y=2x-2

21.作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系

,（2分）

(1)   （3分）

设平面OCD的法向量为,则

即

取,解得    （5分）

  （6分）

(2)设与所成的角为,

  , 与所成角的大小为  （9分）

(3)设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,

 由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为 （12分）

22．（1）依题意得：，．

由椭圆定义知，又，则，

在中，，由余弦定理得：

即，解得

又

故所求椭圆方程为

（2）设，直线

联立方程组，得，

，得，

，，

，

由题意知，由，，代入化简得

，

故直线过定点，

（3）由，解得，

，

令，则，当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为．