2022-2023学年广东省深圳实验学校初中部九年级（上）期中数学试卷(解析版)

2022-2023学年广东省深圳实验学校初中部九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 在，，，中，是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A. 笛卡尔心形线 B. 阿基米德螺旋线
C. 科克曲线 D. 赵爽弦图

3. 下列运算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 在同一坐标系中水平方向是轴，函数和的图象大致是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 某厂家今年一月份的口罩产量是万个，三月份的口罩产量是万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为则所列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

6. 如图，在平面直角坐标系中，为的边上一点，：：，过作交于点，、两点纵坐标分别为、，则点的纵坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交于点，交于点，连接若，，，则的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连接、、，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是(    )
    

A.  B.  C.  D.

9. 一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、，其中点、的坐标为、，则的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点是轴上一点，连接若平分，反比例函数的图象经过上的两点，，且，的面积为，则的值为(    )
     

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共10.0分）

11. 因式分解：______．
12. 设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______．
13. 如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解．则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程．若方程是关于的不等式组的关联方程，则的取值范围是______．
14. 如图，已知直线与双曲线交于，两点，将线段绕点沿顺时针方向旋转后，点落在点处，双曲线经过点，则的值是______．

15. 如图，将矩形沿着、、翻折，使得点、、恰好都落在点处，且点、、在同一条直线上，同时点、、在另一条直线上，则的值是______．

三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    计算：．
17. 本小题分
    先化简，再求值：，其中．
18. 本小题分
    为喜迎中国共产党第二十次全国代表大公的召开，红星中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．
    
    请根据图中提供的信息，解答下列问题：
    本次调查的样本容量是______，圆心角______度；
    补全条形统计图；
    已知红星中学共有名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
    若在这次竞赛中有，，，四人成绩均为满分，现从中抽取人代表学校参加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到，两人同时参赛的概率．
19. 本小题分
    如图，在矩形中，，，点是边上的任一点不包括端点，，过点作交的延长线于点，设．
    求的长用含的代数式表示；
    连接交于点，连接，当时，求证：四边形是菱形．

20. 本小题分
    某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买、两种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台型机器人每天少搬运吨，且型机器人每天搬运吨货物与型机器人每天搬运吨货物所需台数相同．
    求每台型机器人和每台型机器人每天分别搬运货物多少吨？
    每台型机器人售价万元，每台型机器人售价万元，该公司计划采购、两种型号的机器人共台，必须满足每天搬运的货物不低于吨，购买金额不超过万元．
    请根据以上要求，完成如下问题：
    设购买型机器人台，购买总金额为万元，请写出与的函数关系式；
    请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？
21. 本小题分
    如图，在矩形中，，，分别以、所在的直线为轴、轴，建立如图所示的坐标系，连接，反比例函数的图象经过线段的中点，并与矩形的两边交于点和点，直线：经过点和点．
    求反比例函数的解析式；
    在第一象限内，请直接写出关于的不等式的解集：______．
    如图，将线段绕点顺时针旋转一定角度，使得点的对应点恰好落在轴的正半轴上，连接，作，点、点为线段上的动点，且．
    的值为______；
    求四边形周长的最小值．
     
22. 本小题分
    某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
    观察与猜想
    如图，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，，的值为______；
    如图，在矩形中，，点是上的一点，连接，，且，则的值为______；
    类比探究
    如图，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：；
    拓展延伸
    如图，在中，，，，将沿翻折，点落在点处得，点，分别在边，上，连接，，求的值．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，是有理数，是无理数，
故选：．
利用有理数，无理数的概念对每个选项进行判断即可得出结论．
本题主要考查了有理数，无理数的意义，掌握上述概念并熟练应用是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为，所以选项运算不正确，故A选项不符合题意；
B.因为，所以选项运算不正确，故B选项不符合题意；
C.因为与不是同类二次根式，不能进行合并计算，所以选项运算不正确，故C选项不符合题意；
D.因为，所以选项运算正确，故D选项符合题意．
故选：．
A.应用合并同类项法则进行计算即可得出答案；
B.应用同底数幂除法法则进行计算即可得出答案；
C.应用二次根式加减法则进行计算即可得出答案；
D.应用积的乘方法则进行计算即可得出答案．
本题主要考查了二次根式的加减，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂除法，熟练掌握二次根式的加减，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂除法法则进行求解是解决本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、由函数的图象可知与的图象一致，故A选项正确；
B、因为的图象交轴于正半轴，故B选项错误；
C、因为的图象交轴于正半轴，故C选项错误；
D、由函数的图象可知与的图象矛盾，故D选项错误．
故选：．
根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
 

5.【答案】 

【解析】解：设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为，
由题意得，．
故选：．
若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为，某厂家今年一月份的口罩产量是万个，则二月份的口罩产量是万个，三月份的口罩产量是万个，根据三月份的口罩产量是万个，列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出各月的产值是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
：：，
，
、两点纵坐标分别为、，
，
，
解得：，
点的纵坐标为，
故选：．
根据得出，根据：：，得出，根据、两点纵坐标分别为、，得出，即可得出答案．
本题主要考查了平行线的性质，平面直角坐标系中点的坐标，根据题意得出，是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
垂直平分，
，
的周长是，
，
，，
，
的周长是，
故选：．
根据题意可知垂直平分，即可得到，然后即可得到，从而可以求得的周长．
本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的周长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】先证明四边形为平行四边形，再根据矩形的判定定理进行解答．
本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定，首先判定四边形为平行四边形是解题的关键．
【解答】
解：四边形为平行四边形，
，，
又，
，且，
四边形为平行四边形，
A、，，
，
平行四边形为矩形，故本选项不符合题意；
B、因为对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项符合题意；
C、，
，
平行四边形为矩形，故本选项不符合题意；
D、，
，
平行四边形为矩形，故本选项不符合题意．
故选B．  

9.【答案】 

【解析】解：点在反比例函数上，
，
解得：，
点的坐标为：，点的坐标为，
，
故选：．
根据反比例函数图象上点的坐标特征求出，进而求出点、的坐标，根据三角形的面积公式计算即可．
本题考查的是一次函数与反比例函数的交点、反比例函数图象上点的坐标特征，求出点、的坐标是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，过点作于，过点作于，

，，
，
，
点，在反比例函数的图象上，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选B．
本题考查反比例函数的性质，矩形的性质，平行线的判定和性质．
连接，，过点作于，过点作于，证明，推出，推出，可得，由此即可解决问题．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接把公因式提出来即可．
本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
则．
故答案为：．
利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入计算即可求出值．
此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．一元二次方程的根与系数的关系为：，．
 

13.【答案】 

【解析】解：解方程得，
为不等式组的解，
，
解得，
即的取值范围为：，
故答案为：．
先解方程得，再利用新定义得到，然后解的不等式组即可．
本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．也考查了解一元一次方程的解．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接、，作轴于，轴于，
，，
是等边三角形，
直线与双曲线交于，两点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，
故答案为．
连接、，作轴于，轴于，根据旋转的性质得到是等边三角形，根据反比例函数和正比例函数的对称性得出，即可得出，，即可得到，证得∽，得到，根据反比例函数系数的几何意义得到，，从而求得．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了旋转的性质，反比例函数与正比例函数的对称性，三角形相似的判定和性质，反比例函数系数的几何意义，证得是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设，，
将矩形沿着、、翻折，使得点、、恰好都落在点处，
，，，，
，
，
∽，
，
，
，，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，，
解得，
，
，
故答案为：．
设，，由折叠的性质得，，，，利用∽，得，设，则，在中，由勾股定理列方程，得出的值，进而得出答案．
本题主要考查了翻折变换，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用参数表示线段与的长是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式
． 

【解析】根据零指数幂，绝对值，负整数指数幂，二次根式的化简计算即可．
本题考查了实数的运算，零指数幂，绝对值，负整数指数幂，考查学生的运算能力，掌握，是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

，
当时，
原式
． 

【解析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
 

18.【答案】   

【解析】解：本次调查的样本容量是：，
则圆心角，
故答案为：，；
成绩优秀的人数为：人，
补全条形统计图如下：

人，
答：估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为人；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好抽到，两人同时参赛的结果有种，
恰好抽到，两人同时参赛的概率为．
由成绩良好的学生人数除以所占百分比得出本次调查的样本容量，即可解决问题；
求出成绩优秀的人数，即可解决问题；
由红星中学共有学生人数乘以此次竞赛该校获优异等级的学生人数所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好抽到，两人同时参赛的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查了树状图法、条形统计图和扇形统计图等知识．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

19.【答案】解：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
，
证明：四边形是矩形，
，
，
四边形是平行四边形．
，
，
在中，，
在中，，
在中，，
如图，过点作于点，

，
∽，
，
，
，
，
，
又，，
是的角平分线，
，
平行四边形是菱形． 

【解析】根据矩形的性质可得，，结合题干可得，进而可得，进而可得∽，利用相似三角形的性质可得的长度；
先根据，进而可得四边形是平行四边形，通过勾股定理可得、、，再过点作于点，易得∽，进而利用相似三角形的性质可得的长，即可得，进而可得是的角平分线，最后利用角平分线得性质可得，即可得平行四边形是菱形．
本题主要考查相似三角形的判定与性质、菱形的判定、矩形性质等，解题关键是熟练掌握相关性质与判定．
 

20.【答案】解：设每台型机器人每天搬运货物吨，则每台型机器人每天搬运货物吨，
由题意得：，
解得：，
当时，，
是分式方程的根，
吨，
答：每台型机器人每天搬运货物吨，则每台型机器人每天搬运货物吨；
由题意得：；
由题意得：，
解得：，
，
随的增大而减小，
当时，最小，此时，
购买型机器人台，型机器人台时，购买总金额最低是万元． 

【解析】设每台型机器人每天搬运货物吨，则每台型机器人每天搬运货物吨，根据题意列出分式方程，解方程检验后即可得出答案；
根据题意列出一次函数解析式即可；
先根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组求出的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求出答案．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意找出题目中的相等关系，不等关系列出分式方程，一元一次不等式组及列出一次函数关系式是解决问题的关键．
 

21.【答案】或  

【解析】解：由题意可得为，
为中点，
为，
，即，
反比例函数的解析式为：；
在中令可得，
，
在中令可得，
，
由图象可得不等式在第一象限内的解集为：或，
故答案为或；
由勾股定理可得，
，，
，
故答案为；
如图，过作垂直于于，交于，过作的垂线交于，在上截取，连接交于，在上截取，连接，此时满足题意，

由作图可知，四边形为平行四边形，则，
四边形的周长，
当、、三点共线时，四边形的周长最小，为，
在中，由勾股定理可得，，
，，，
，，
在中，由勾股定理可得，
四边形周长的最小值为．
由题意求出坐标，再求出坐标，然后求出中的，即可得解；
由可求出、的坐标，然后根据图象即可得到不等式的解集；
由勾股定理可得的值，从而可得、，即可得解；
过作垂直于于，交于，过作的垂线交于，在上截取，连接交于，在上截取，连接，则当、、三点共线时，四边形的周长最小，为，然后由勾股定理和平行线截线段成比例定理可以得到的值，即可得解．
本题考查反比例函数和四边形的综合应用，熟练掌握反比例函数解析式的求法、图象法解不等式的方法、勾股定理和旋转性质的应用、平行线分线段成比例定理的应用等是解题关键．
 

22.【答案】  

【解析】解：如图，设与交于点，

四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
即，
故答案为：；
解：如图，设与交于点，

四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，
∽，
，
故答案为：；
证明：如图，过点作交的延长线于点，

，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
∽，
，
，
；
解：如图，过点作于点，连接交于点，与相交于点，

，，
，
，
，
∽，
，
在中，，
，
即，
设，则，
，
，
负值已舍去，
，，
，
，
，
，
．
证明≌，根据全等三角形的性质得到，得到答案；
证明∽，根据相似三角形的性质计算即可；
过点作交的延长线于点，证明∽，列出比例式，证明结论；
过点作于点，连接交于点，与相交于点，根据正切的定义得到，根据勾股定理分别求出、，根据三角形的面积公式求出，计算即可．
本题是相似综合题，考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及正方形的性质、矩形的性质，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理及作出合理的辅助线是解题的关键．