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2022-2023学年河北省邯郸市永年区人教版八年级（上）期中数学试卷(解析版)
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这是一份2022-2023学年河北省邯郸市永年区人教版八年级（上）期中数学试卷(解析版)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河北省邯郸市永年区八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（16个小题，每题3分，共48分）
1．下列各数中：，3.1415926，，0.2020020002…（每两个2中间依次增加1个0），π，，无理数的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．下列图形中，是全等图形的是（ ）
A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c
3．若分式是最简分式，则△表示的是（ ）
A．2x+2y B．（x﹣y）2 C．x2+2xy+y2 D．x2+y2
4．下列命题中，其逆命题为真命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．两直线平行，内错角相等
C．全等三角形的对应角相等
D．如果a＝b，那么|a|＝|b|
5．下列说法错误的是（ ）
A．0.1是0.01的一个平方根
B．﹣1的立方根是﹣1
C．3的平方根是
D．算术平方根是本身的数只有0和1
6．某数学老师在课堂上设计了一个接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将计算结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示．对于三个人的接力过程判断正确的是（ ）
A．三个人都正确 B．甲有错误
C．乙有错误 D．丙有错误
7．若用我们数学课本上采用的A型计算器进行计算，其按键顺序如下：按键结果为m，按键结果为n，则下列判断正确的是（ ）
A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．m+n＝0
8．如图，是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ）
A．两角及夹边 B．两边及夹角
C．两角及一角的对边 D．两边及一边的对角
9．下列说法正确的是（ ）
A．近似数0.010精确到0.01
B．近似数43.0精确到个位
C．近似数2.8与2.80表示的意义相同
D．近似数4.3万精确到千位
10．若□的运算结果等于﹣1，则“□”内的运算符号应该是（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
11．的立方根与的平方根的积是（ ）
A．±6 B．﹣6 C．﹣18 D．±18
12．若关于x的方程﹣2＝有增根，则m的值应为多少．（ ）
A．2 B．﹣2 C．5 D．﹣5
13．如图，AC＝DC，∠1＝∠2，添加下面一个条件不能使△ABC≌△DEC的是（ ）
A．BC＝EC B．∠A＝∠D C．DE＝AB D．∠DEC＝∠ABC
14．某工程队经过招标，中标2500米的人才公园跑道翻修任务，但在实际开工时．……，求实际每天修路多少米？在这个题目中，若设实际每天翻修跑道x米，可得方程﹣＝10，则题目中用“……”表示的条件应是（ ）
A．每天比原计划多修50米的跑道，结果延期10天完成
B．每天比原计划少修50米的跑道，结果提前10天完成
C．每天比原计划少修50米的跑道，结果延期10天完成
D．每天比原计划多修50米的跑道，结果提前10天完成
15．如图，已知△ABC与△DEF，B，E，C，D四点在同一条直线上，其中AB＝DF，BC＝EF，AC＝DE，则∠ACB等于（ ）
A．∠EFD B．∠ABC C．2∠D D．∠AFE
16．定义运算m※n＝1+，如：1※2＝1＝．则方程x※（x+1）＝的解为（ ）
A． B． C．x＝1 D．x＝﹣1
二、填空题（四个小题，其中17-18每题3分，19-20每题4分，共14分）
17．分式的值为0，那么x的值为 ．
18．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是 ．
19．已知a，b分别是6+的整数部分和小数部分，则a+3b＝ ．
20．试卷上一个正确的式子（+）÷★＝，被小颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式★为 ．
三、解答题（6道题，共58分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．解方程：
（1）
（2）．
22．已知一个正数的两个平方根分别是1﹣2a和a+4，4a+2b﹣1的立方根是3．
（1）求a，b的值；
（2）求a+b的算术平方根．
23．问题探究：
尺规作图：作一个角等于已知角．
如图①，已知：∠AOB．
求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'＝∠AOB．
作法：（1）如图②，以点① 为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于点C、D；
（2）作射线O'A'，以点O'为圆心，② 长为半径画弧，交O'A'于点C'；
（3）以点C'为圆心，③ 长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D′；
（4）经过点D′画射线O'B'，则∠A'O'B'＝∠AOB．
连接CD、C′D′．根据以上作法证得△C'O'D'≌△COD（④ 填理论依据“SSS”、“SAS”、“ASA”或“AAS”）．
根据以上作图和求证过程完成以上填空：
① ；② ；③ ； ④ ．
实践应用：
已知：如图④，D是∠ABC的边AB上一点．求作：射线DE，使DE∥BC，交AC于E．（不写作法，但要保留作图痕迹）
24．某同学在解分式的化简求值题时，发现所得答案与参考答案不同．下面是他所解的题目和解答过程：
先化简÷（﹣1），再将x＝5代入求值．
解：原式＝÷﹣÷1……第1步
＝﹣……第2步
＝﹣……第3步
＝……第4步
＝……第5步
＝……第6步
当x＝5时，原式＝……第7步
（1）以上步骤中，第 步出现了错误，导致结果与答案不同，错误的原因是 ；
（2）请你把正确的解答过程写出来；
（3）请你提出一条解答这类题目的建议．
25．王师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
26．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，显然有：DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．
参考答案
一、选择题（16个小题，每题3分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列各数中：，3.1415926，，0.2020020002…（每两个2中间依次增加1个0），π，，无理数的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
解：＝﹣2，
无理数有，0.2020020002…（每两个2中间依次增加1个0），π，共3个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．下列图形中，是全等图形的是（ ）
A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c
【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．
解：由图可得，图a平移可得图d，图a旋转90°可得图b，
不管三角形的颜色，图a旋转180°可得图c．
故选：A．
【点评】此题主要考查了全等形，关键是掌握全等形的形状相同，大小相等．与图形的颜色无关．
3．若分式是最简分式，则△表示的是（ ）
A．2x+2y B．（x﹣y）2 C．x2+2xy+y2 D．x2+y2
【分析】利用最简分式的意义（一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时（即分子与分母互素）叫最简分式最简分式）进行分析解答．
解：因为x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），且分式是最简分式，
所以△中肯定不含有（x+y）或（x﹣y）．
观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查最简分式的意义，要把分子与分母因式分解彻底，进一步判定即可．
4．下列命题中，其逆命题为真命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．两直线平行，内错角相等
C．全等三角形的对应角相等
D．如果a＝b，那么|a|＝|b|
【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可．
解：A、逆命题为相等的角为对顶角，错误，是假命题，不符合题意；
B、逆命题为内错角相等，两直线平行，正确，是真命题，符合题意；
C、逆命题为对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，不符合题意；
D、逆命题为如果|a|＝|b|，那么a＝b，错误，是假命题，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
5．下列说法错误的是（ ）
A．0.1是0.01的一个平方根
B．﹣1的立方根是﹣1
C．3的平方根是
D．算术平方根是本身的数只有0和1
【分析】分别根据平方根，立方根及算术平方根的定义解答即可．
解：A、∵0.12＝0.01，
∴0.1是0.01的一个平方根，不符合题意；
B、∵（﹣1）3＝﹣1，
∴﹣1的立方根是﹣1，不符合题意；
C、3的平方根是±，不符合题意；
D、算术平方根是本身的数只有0和1，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是平方根，立方根及算术平方根，熟知平方根，立方根及算术平方根的定义是解题的关键．
6．某数学老师在课堂上设计了一个接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将计算结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示．对于三个人的接力过程判断正确的是（ ）
A．三个人都正确 B．甲有错误
C．乙有错误 D．丙有错误
【分析】乙的分子由2﹣x变成了x﹣2，也就是分子乘了﹣1，而分母和分式本身的符号并没有发生变化，所以乙有错误．
解：乙的分子由2﹣x变成了x﹣2，也就是分子乘了﹣1，
而分母和分式本身的符号并没有发生变化，
所以乙有错误．
故选：C．
【点评】本题考查了分式的基本性质，分式的乘除法法则，考核学生的计算能力，熟记分式的基本性质是解题的关键．
7．若用我们数学课本上采用的A型计算器进行计算，其按键顺序如下：按键结果为m，按键结果为n，则下列判断正确的是（ ）
A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．m+n＝0
【分析】利用科学计算器计算出m和n，然后得出结论即可．
解：根据科学计算器计算可知，m＝﹣2，n＝4，
∴m＜n，
故选：C．
【点评】本题主要考查科学计算器的使用，熟练掌握科学计算器的使用是解题的关键．
8．如图，是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ）
A．两角及夹边 B．两边及夹角
C．两角及一角的对边 D．两边及一边的对角
【分析】根据作图痕迹判断即可．
解：由作图可知，这个作图的条件是两边夹角．
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是读懂作图痕迹，灵活运用所学知识解决问题．
9．下列说法正确的是（ ）
A．近似数0.010精确到0.01
B．近似数43.0精确到个位
C．近似数2.8与2.80表示的意义相同
D．近似数4.3万精确到千位
【分析】根据近似数的精确度的概念逐一判断即可．
解：A．近似数0.010精确到0.001，此选项错误；
B．近似数43.0精确到十分位，此选项错误；
C．近似数2.8与2.80精确度不同，其表示的意义也不相同，此选项错误；
D．近似数4.3万精确到千位，此选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查近似数，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
10．若□的运算结果等于﹣1，则“□”内的运算符号应该是（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【分析】把加减乘除运算法则放入“□”内计算得到结果，即可作出判断．
解：A、根据题意得：+＝＝0，不符合题意；
B、根据题意得：﹣＝＝，不符合题意；
C、根据题意得：×＝，不符合题意；
D、根据题意得：÷＝﹣•＝﹣1，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．的立方根与的平方根的积是（ ）
A．±6 B．﹣6 C．﹣18 D．±18
【分析】先求出﹣的立方根，再写出的平方根，求出两数的积即可．
解：﹣＝﹣8，＝9，
∵＝﹣2，±＝±3，
∴（﹣2）×3＝﹣6，（﹣2）×（﹣3）＝6，
∴﹣的立方根与的平方根的积是±6．
故选：A．
【点评】本题考查的是立方根与平方根，熟知立方根与平方根的定义是解题的关键．
12．若关于x的方程﹣2＝有增根，则m的值应为多少．（ ）
A．2 B．﹣2 C．5 D．﹣5
【分析】先解分式方程，可得x＝10﹣m，根据分式方程有增根可得10﹣m＝5，进一步即可求出m的值．
解：方程两边同时乘以x﹣5，
得x﹣2x+10＝m，
解得x＝10﹣m，
∵方程有增根，
∴10﹣m＝5，
∴m＝5，
故选：C．
【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，会求分式方程的增根是解题的关键．
13．如图，AC＝DC，∠1＝∠2，添加下面一个条件不能使△ABC≌△DEC的是（ ）
A．BC＝EC B．∠A＝∠D C．DE＝AB D．∠DEC＝∠ABC
【分析】本题要判定△ABC≌△DEC，已知AC＝DC，∠1＝∠2，具备了一组边对和一组角应相等，故添加CB＝CE、∠A＝∠D、∠DEC＝∠ABC后可分别根据SAS、ASA、ASA能判定△ABC≌△DEC，而添加DE＝AB后则不能．
解：A、若添BC＝EC即可根据SAS判定全等；
B、若添∠A＝∠D即可根据ASA判定全等；
C、若添DE＝AB则是SSA，不能判定全等；
D、若添∠DEC＝∠ABC即可根据AAS判定全等．
故选：C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时要按判定全等的方法逐个验证．
14．某工程队经过招标，中标2500米的人才公园跑道翻修任务，但在实际开工时．……，求实际每天修路多少米？在这个题目中，若设实际每天翻修跑道x米，可得方程﹣＝10，则题目中用“……”表示的条件应是（ ）
A．每天比原计划多修50米的跑道，结果延期10天完成
B．每天比原计划少修50米的跑道，结果提前10天完成
C．每天比原计划少修50米的跑道，结果延期10天完成
D．每天比原计划多修50米的跑道，结果提前10天完成
【分析】由x表示实际每天翻修跑道的长度可得出（x﹣50）表示原计划每天翻修跑道的长度，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合所列方程可得出结果提前10天完成，总上，即可得出题目中用“……”表示的条件应是：每天比原计划多修50米的跑道，结果提前10天完成．
解：∵实际每天翻修跑道x米，
∴（x﹣50）表示原计划每天翻修跑道的长度；
∵所列方程为﹣＝10，
∴实际比原计划少用10天，即结果提前10天完成．
∴题目中用“……”表示的条件应是：每天比原计划多修50米的跑道，结果提前10天完成．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据给定的方程，找出省略的条件是解题的关键．
15．如图，已知△ABC与△DEF，B，E，C，D四点在同一条直线上，其中AB＝DF，BC＝EF，AC＝DE，则∠ACB等于（ ）
A．∠EFD B．∠ABC C．2∠D D．∠AFE
【分析】先利用“SSS”证明△ABC≌△DFE，据此得∠ACB＝∠DEF，再结合∠AFE＝∠ACB+∠DEF得∠AFE＝2∠ACB，据此可得答案．
解：在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SSS），
∴∠ACB＝∠DEF，
又∵∠AFE＝∠ACB+∠DEF，
∴∠AFE＝2∠ACB，
∴∠ACB＝∠AFE，
故选：D．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
16．定义运算m※n＝1+，如：1※2＝1＝．则方程x※（x+1）＝的解为（ ）
A． B． C．x＝1 D．x＝﹣1
【分析】先根据新运算得出1+＝，求出＝，再方程两边都乘2（2x+1）得出2＝2x+1，求出方程的解，再进行检验即可．
解：∵x※（x+1）＝，
∴1+＝，
∴＝，
方程两边都乘2（2x+1），得2＝2x+1，
解得：x＝，
检验：当x＝时，2（2x+1）≠0，
所以x＝是原方程的解，
即原方程的解是x＝，
故选：B．
【点评】本题考查了解分式方程和有理数的混合运算，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
二、填空题（四个小题，其中17-18每题3分，19-20每题4分，共14分）
17．分式的值为0，那么x的值为 3 ．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
解：由题意可得：x2﹣9＝0且x+3≠0，
解得x＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
18．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是 ASA ．
【分析】亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，这部分是∠ABC，边AB，边BC，而没被污染的还有两个角和一个边，所以可根据ASA画一个与其全等得三角形即可．
解：如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，
这部分是∠ABC，边AB，边BC，而此时亮亮可以量取∠A和∠C度数，AC的长度，
利用ASA画一个和书上完全一样的三角形．
故答案为：ASA．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定这一知识点的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．
19．已知a，b分别是6+的整数部分和小数部分，则a+3b＝ 3 ．
【分析】先估算无理数的大小，从而表示出6+的整数部分和和小数部分；再把a、b的值代入代数式a+3b中计算，即可得到答案．
解：∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∴9＜6+＜10，
∴6+的整数部分a＝9，小数部分b＝6+﹣9＝﹣3，
∴a+3b＝9+3×（﹣3）＝3．
故答案为：3．
【点评】此题考查了用有理数估计无理数，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法，是解决此题的关键．
20．试卷上一个正确的式子（+）÷★＝，被小颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式★为 ． ．
【分析】根据已知分式得出被墨汁遮住部分的代数式是（+）÷，再根据分式的运算法则进行计算即可．
解：∵（+）÷★＝，
∴被墨汁遮住部分的代数式是：
（+）÷，
＝•
＝•
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
三、解答题（6道题，共58分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．解方程：
（1）
（2）．
【分析】（1）方程两边乘以（2x﹣1）得到整式方程，再解整式方程求出x，然后进行检验确定原方程的解；
（2）方程两边乘以（x+2）（x﹣2）得到整式方程，再解整式方程求出x，然后进行检验确定原方程的解．
解：（1）去分母得2﹣5＝2x﹣1，
解得x＝1，
检验：x＝1时，2x﹣1≠0，则x＝﹣1是原方程的解，
所以原方程的解为x＝1；
（2）去分母得（x﹣2）2﹣16＝（x+2）2，
解得x＝﹣2，
检验：x＝﹣2时，（x+2）（x﹣2）＝0，则x＝﹣2是原方程的增解，
所以原方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程：解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．注意解分式方程时，一定要检验．
22．已知一个正数的两个平方根分别是1﹣2a和a+4，4a+2b﹣1的立方根是3．
（1）求a，b的值；
（2）求a+b的算术平方根．
【分析】（1）先求出a的值，再根据4a+2b﹣1的立方根是3求出b的值即可；
（2）先求出a+b的值，再求出其算术平方根即可．
解：（1）∵一个正数的两个平方根分别是1﹣2a和a+4，
∴1﹣2a＝﹣a﹣4，解得a＝5；
∴4a+2b﹣1可化为19+2b，
∵4a+2b﹣1的立方根是3，
∴19+2b＝27，解得b＝4．
（2）∵a＝5，b＝4，
∴a+b＝5+4＝9，
∴a+b的算术平方根是3．
【点评】本题考查的是平方根，立方根及算术平方根，熟知一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．
23．问题探究：
尺规作图：作一个角等于已知角．
如图①，已知：∠AOB．
求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'＝∠AOB．
作法：（1）如图②，以点① O 为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于点C、D；
（2）作射线O'A'，以点O'为圆心，② OC 长为半径画弧，交O'A'于点C'；
（3）以点C'为圆心，③ CD 长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D′；
（4）经过点D′画射线O'B'，则∠A'O'B'＝∠AOB．
连接CD、C′D′．根据以上作法证得△C'O'D'≌△COD（④ SSS 填理论依据“SSS”、“SAS”、“ASA”或“AAS”）．
根据以上作图和求证过程完成以上填空：
① O ；② OC ；③ CD ； ④ SSS ．
实践应用：
已知：如图④，D是∠ABC的边AB上一点．求作：射线DE，使DE∥BC，交AC于E．（不写作法，但要保留作图痕迹）
【分析】问题探究：根据作图步骤解答即可；
实践应用：利用同位角相等，两直线平行解决问题即可．
解：问题探究：作法：（1）如图②，以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于点C、D；
（2）作射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；
（3）以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D′；
（4）经过点D′画射线O'B'，则∠A'O'B'＝∠AOB．
连接CD、C′D′．根据以上作法证得△C'O'D'≌△COD（SSS）．
故答案为：O，OC，CD，SSS；O，OC，OD，SSS；
实践应用：如图，射线DE即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．某同学在解分式的化简求值题时，发现所得答案与参考答案不同．下面是他所解的题目和解答过程：
先化简÷（﹣1），再将x＝5代入求值．
解：原式＝÷﹣÷1……第1步
＝﹣……第2步
＝﹣……第3步
＝……第4步
＝……第5步
＝……第6步
当x＝5时，原式＝……第7步
（1）以上步骤中，第 一 步出现了错误，导致结果与答案不同，错误的原因是 没按照正确的运算顺序计算 ；
（2）请你把正确的解答过程写出来；
（3）请你提出一条解答这类题目的建议．
【分析】（1）根据分式的混合运算顺序即可判断；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可；
（3）答案不唯一．
解：（1）第一步出现了错误，没按照正确的运算顺序计算，
故答案为：一、没按照正确的运算顺序计算；
（2）原式＝÷[﹣1]
＝÷（﹣）
＝•
＝﹣，
当x＝5时，原式＝＝﹣；
（3）解题反思（不唯一）：要正确应用运算律．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
25．王师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
【分析】（1）用费用除以续航里程即可得新能源车的每千米行驶费用；
（2）①根据“燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元“列方程，解方程并检验，可得答案；
②由已知列不等式可解得答案．
解：（1）新能源车的每千米行驶费用为＝（元）；
（2）①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，
∴﹣＝0.54，
解得a＝600，
经检验，a＝600是原方程的解，
∴＝＝0.6，
＝＝0.06，
答：新能源车的每千米行驶费用为0.06元，燃油车的每千米行驶费为0.6元；
②设每年行驶里程为x千米时，买新能源车的年费用更低，
根据题意得0.06x+7500＜0.6x+4800，
解得x＞5000，
答：每年行驶里程大于5000千米时，买新能源车的年费用更低．
【点评】本题考查列代数式，分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和不等式．
26．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，显然有：DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．
【分析】（1）由于△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，由此即可证明△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性质即可解决问题；
（2）由于△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，由此仍然可以证明△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性质也可以解决问题；
（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，仍然△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性质可以得到DE＝BE﹣AD．
解：（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
又直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CD＝BE，CE＝AD，
∴DE＝CD+CE＝AD+BE；
（2）∵△ABC中，∠ACB＝90°，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠ACD+∠BCE＝∠BCE+∠CBE＝90°，
而AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴CD＝BE，CE＝AD，
∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；
（3）如图3，
∵△ABC中，∠ACB＝90°，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠ACD+∠BCE＝∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
∵AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴CD＝BE，CE＝AD，
∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD；
DE、AD、BE之间的关系为DE＝BE﹣AD．
【点评】此题需要考查了全等三角形的判定与性质，也利用了直角三角形的性质，是一个探究性题目，对于学生的能力要求比较高．
2022-2023学年河北省邯郸市永年区八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（16个小题，每题3分，共48分）
1．下列各数中：，3.1415926，，0.2020020002…（每两个2中间依次增加1个0），π，，无理数的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．下列图形中，是全等图形的是（ ）
A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c
3．若分式是最简分式，则△表示的是（ ）
A．2x+2y B．（x﹣y）2 C．x2+2xy+y2 D．x2+y2
4．下列命题中，其逆命题为真命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．两直线平行，内错角相等
C．全等三角形的对应角相等
D．如果a＝b，那么|a|＝|b|
5．下列说法错误的是（ ）
A．0.1是0.01的一个平方根
B．﹣1的立方根是﹣1
C．3的平方根是
D．算术平方根是本身的数只有0和1
6．某数学老师在课堂上设计了一个接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将计算结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示．对于三个人的接力过程判断正确的是（ ）
A．三个人都正确 B．甲有错误
C．乙有错误 D．丙有错误
7．若用我们数学课本上采用的A型计算器进行计算，其按键顺序如下：按键结果为m，按键结果为n，则下列判断正确的是（ ）
A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．m+n＝0
8．如图，是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ）
A．两角及夹边 B．两边及夹角
C．两角及一角的对边 D．两边及一边的对角
9．下列说法正确的是（ ）
A．近似数0.010精确到0.01
B．近似数43.0精确到个位
C．近似数2.8与2.80表示的意义相同
D．近似数4.3万精确到千位
10．若□的运算结果等于﹣1，则“□”内的运算符号应该是（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
11．的立方根与的平方根的积是（ ）
A．±6 B．﹣6 C．﹣18 D．±18
12．若关于x的方程﹣2＝有增根，则m的值应为多少．（ ）
A．2 B．﹣2 C．5 D．﹣5
13．如图，AC＝DC，∠1＝∠2，添加下面一个条件不能使△ABC≌△DEC的是（ ）
A．BC＝EC B．∠A＝∠D C．DE＝AB D．∠DEC＝∠ABC
14．某工程队经过招标，中标2500米的人才公园跑道翻修任务，但在实际开工时．……，求实际每天修路多少米？在这个题目中，若设实际每天翻修跑道x米，可得方程﹣＝10，则题目中用“……”表示的条件应是（ ）
A．每天比原计划多修50米的跑道，结果延期10天完成
B．每天比原计划少修50米的跑道，结果提前10天完成
C．每天比原计划少修50米的跑道，结果延期10天完成
D．每天比原计划多修50米的跑道，结果提前10天完成
15．如图，已知△ABC与△DEF，B，E，C，D四点在同一条直线上，其中AB＝DF，BC＝EF，AC＝DE，则∠ACB等于（ ）
A．∠EFD B．∠ABC C．2∠D D．∠AFE
16．定义运算m※n＝1+，如：1※2＝1＝．则方程x※（x+1）＝的解为（ ）
A． B． C．x＝1 D．x＝﹣1
二、填空题（四个小题，其中17-18每题3分，19-20每题4分，共14分）
17．分式的值为0，那么x的值为 ．
18．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是 ．
19．已知a，b分别是6+的整数部分和小数部分，则a+3b＝ ．
20．试卷上一个正确的式子（+）÷★＝，被小颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式★为 ．
三、解答题（6道题，共58分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．解方程：
（1）
（2）．
22．已知一个正数的两个平方根分别是1﹣2a和a+4，4a+2b﹣1的立方根是3．
（1）求a，b的值；
（2）求a+b的算术平方根．
23．问题探究：
尺规作图：作一个角等于已知角．
如图①，已知：∠AOB．
求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'＝∠AOB．
作法：（1）如图②，以点① 为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于点C、D；
（2）作射线O'A'，以点O'为圆心，② 长为半径画弧，交O'A'于点C'；
（3）以点C'为圆心，③ 长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D′；
（4）经过点D′画射线O'B'，则∠A'O'B'＝∠AOB．
连接CD、C′D′．根据以上作法证得△C'O'D'≌△COD（④ 填理论依据“SSS”、“SAS”、“ASA”或“AAS”）．
根据以上作图和求证过程完成以上填空：
① ；② ；③ ； ④ ．
实践应用：
已知：如图④，D是∠ABC的边AB上一点．求作：射线DE，使DE∥BC，交AC于E．（不写作法，但要保留作图痕迹）
24．某同学在解分式的化简求值题时，发现所得答案与参考答案不同．下面是他所解的题目和解答过程：
先化简÷（﹣1），再将x＝5代入求值．
解：原式＝÷﹣÷1……第1步
＝﹣……第2步
＝﹣……第3步
＝……第4步
＝……第5步
＝……第6步
当x＝5时，原式＝……第7步
（1）以上步骤中，第 步出现了错误，导致结果与答案不同，错误的原因是 ；
（2）请你把正确的解答过程写出来；
（3）请你提出一条解答这类题目的建议．
25．王师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
26．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，显然有：DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．
参考答案
一、选择题（16个小题，每题3分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列各数中：，3.1415926，，0.2020020002…（每两个2中间依次增加1个0），π，，无理数的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
解：＝﹣2，
无理数有，0.2020020002…（每两个2中间依次增加1个0），π，共3个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．下列图形中，是全等图形的是（ ）
A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c
【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．
解：由图可得，图a平移可得图d，图a旋转90°可得图b，
不管三角形的颜色，图a旋转180°可得图c．
故选：A．
【点评】此题主要考查了全等形，关键是掌握全等形的形状相同，大小相等．与图形的颜色无关．
3．若分式是最简分式，则△表示的是（ ）
A．2x+2y B．（x﹣y）2 C．x2+2xy+y2 D．x2+y2
【分析】利用最简分式的意义（一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时（即分子与分母互素）叫最简分式最简分式）进行分析解答．
解：因为x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），且分式是最简分式，
所以△中肯定不含有（x+y）或（x﹣y）．
观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查最简分式的意义，要把分子与分母因式分解彻底，进一步判定即可．
4．下列命题中，其逆命题为真命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．两直线平行，内错角相等
C．全等三角形的对应角相等
D．如果a＝b，那么|a|＝|b|
【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可．
解：A、逆命题为相等的角为对顶角，错误，是假命题，不符合题意；
B、逆命题为内错角相等，两直线平行，正确，是真命题，符合题意；
C、逆命题为对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，不符合题意；
D、逆命题为如果|a|＝|b|，那么a＝b，错误，是假命题，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
5．下列说法错误的是（ ）
A．0.1是0.01的一个平方根
B．﹣1的立方根是﹣1
C．3的平方根是
D．算术平方根是本身的数只有0和1
【分析】分别根据平方根，立方根及算术平方根的定义解答即可．
解：A、∵0.12＝0.01，
∴0.1是0.01的一个平方根，不符合题意；
B、∵（﹣1）3＝﹣1，
∴﹣1的立方根是﹣1，不符合题意；
C、3的平方根是±，不符合题意；
D、算术平方根是本身的数只有0和1，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是平方根，立方根及算术平方根，熟知平方根，立方根及算术平方根的定义是解题的关键．
6．某数学老师在课堂上设计了一个接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将计算结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示．对于三个人的接力过程判断正确的是（ ）
A．三个人都正确 B．甲有错误
C．乙有错误 D．丙有错误
【分析】乙的分子由2﹣x变成了x﹣2，也就是分子乘了﹣1，而分母和分式本身的符号并没有发生变化，所以乙有错误．
解：乙的分子由2﹣x变成了x﹣2，也就是分子乘了﹣1，
而分母和分式本身的符号并没有发生变化，
所以乙有错误．
故选：C．
【点评】本题考查了分式的基本性质，分式的乘除法法则，考核学生的计算能力，熟记分式的基本性质是解题的关键．
7．若用我们数学课本上采用的A型计算器进行计算，其按键顺序如下：按键结果为m，按键结果为n，则下列判断正确的是（ ）
A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．m+n＝0
【分析】利用科学计算器计算出m和n，然后得出结论即可．
解：根据科学计算器计算可知，m＝﹣2，n＝4，
∴m＜n，
故选：C．
【点评】本题主要考查科学计算器的使用，熟练掌握科学计算器的使用是解题的关键．
8．如图，是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ）
A．两角及夹边 B．两边及夹角
C．两角及一角的对边 D．两边及一边的对角
【分析】根据作图痕迹判断即可．
解：由作图可知，这个作图的条件是两边夹角．
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是读懂作图痕迹，灵活运用所学知识解决问题．
9．下列说法正确的是（ ）
A．近似数0.010精确到0.01
B．近似数43.0精确到个位
C．近似数2.8与2.80表示的意义相同
D．近似数4.3万精确到千位
【分析】根据近似数的精确度的概念逐一判断即可．
解：A．近似数0.010精确到0.001，此选项错误；
B．近似数43.0精确到十分位，此选项错误；
C．近似数2.8与2.80精确度不同，其表示的意义也不相同，此选项错误；
D．近似数4.3万精确到千位，此选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查近似数，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
10．若□的运算结果等于﹣1，则“□”内的运算符号应该是（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【分析】把加减乘除运算法则放入“□”内计算得到结果，即可作出判断．
解：A、根据题意得：+＝＝0，不符合题意；
B、根据题意得：﹣＝＝，不符合题意；
C、根据题意得：×＝，不符合题意；
D、根据题意得：÷＝﹣•＝﹣1，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．的立方根与的平方根的积是（ ）
A．±6 B．﹣6 C．﹣18 D．±18
【分析】先求出﹣的立方根，再写出的平方根，求出两数的积即可．
解：﹣＝﹣8，＝9，
∵＝﹣2，±＝±3，
∴（﹣2）×3＝﹣6，（﹣2）×（﹣3）＝6，
∴﹣的立方根与的平方根的积是±6．
故选：A．
【点评】本题考查的是立方根与平方根，熟知立方根与平方根的定义是解题的关键．
12．若关于x的方程﹣2＝有增根，则m的值应为多少．（ ）
A．2 B．﹣2 C．5 D．﹣5
【分析】先解分式方程，可得x＝10﹣m，根据分式方程有增根可得10﹣m＝5，进一步即可求出m的值．
解：方程两边同时乘以x﹣5，
得x﹣2x+10＝m，
解得x＝10﹣m，
∵方程有增根，
∴10﹣m＝5，
∴m＝5，
故选：C．
【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，会求分式方程的增根是解题的关键．
13．如图，AC＝DC，∠1＝∠2，添加下面一个条件不能使△ABC≌△DEC的是（ ）
A．BC＝EC B．∠A＝∠D C．DE＝AB D．∠DEC＝∠ABC
【分析】本题要判定△ABC≌△DEC，已知AC＝DC，∠1＝∠2，具备了一组边对和一组角应相等，故添加CB＝CE、∠A＝∠D、∠DEC＝∠ABC后可分别根据SAS、ASA、ASA能判定△ABC≌△DEC，而添加DE＝AB后则不能．
解：A、若添BC＝EC即可根据SAS判定全等；
B、若添∠A＝∠D即可根据ASA判定全等；
C、若添DE＝AB则是SSA，不能判定全等；
D、若添∠DEC＝∠ABC即可根据AAS判定全等．
故选：C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时要按判定全等的方法逐个验证．
14．某工程队经过招标，中标2500米的人才公园跑道翻修任务，但在实际开工时．……，求实际每天修路多少米？在这个题目中，若设实际每天翻修跑道x米，可得方程﹣＝10，则题目中用“……”表示的条件应是（ ）
A．每天比原计划多修50米的跑道，结果延期10天完成
B．每天比原计划少修50米的跑道，结果提前10天完成
C．每天比原计划少修50米的跑道，结果延期10天完成
D．每天比原计划多修50米的跑道，结果提前10天完成
【分析】由x表示实际每天翻修跑道的长度可得出（x﹣50）表示原计划每天翻修跑道的长度，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合所列方程可得出结果提前10天完成，总上，即可得出题目中用“……”表示的条件应是：每天比原计划多修50米的跑道，结果提前10天完成．
解：∵实际每天翻修跑道x米，
∴（x﹣50）表示原计划每天翻修跑道的长度；
∵所列方程为﹣＝10，
∴实际比原计划少用10天，即结果提前10天完成．
∴题目中用“……”表示的条件应是：每天比原计划多修50米的跑道，结果提前10天完成．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据给定的方程，找出省略的条件是解题的关键．
15．如图，已知△ABC与△DEF，B，E，C，D四点在同一条直线上，其中AB＝DF，BC＝EF，AC＝DE，则∠ACB等于（ ）
A．∠EFD B．∠ABC C．2∠D D．∠AFE
【分析】先利用“SSS”证明△ABC≌△DFE，据此得∠ACB＝∠DEF，再结合∠AFE＝∠ACB+∠DEF得∠AFE＝2∠ACB，据此可得答案．
解：在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SSS），
∴∠ACB＝∠DEF，
又∵∠AFE＝∠ACB+∠DEF，
∴∠AFE＝2∠ACB，
∴∠ACB＝∠AFE，
故选：D．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
16．定义运算m※n＝1+，如：1※2＝1＝．则方程x※（x+1）＝的解为（ ）
A． B． C．x＝1 D．x＝﹣1
【分析】先根据新运算得出1+＝，求出＝，再方程两边都乘2（2x+1）得出2＝2x+1，求出方程的解，再进行检验即可．
解：∵x※（x+1）＝，
∴1+＝，
∴＝，
方程两边都乘2（2x+1），得2＝2x+1，
解得：x＝，
检验：当x＝时，2（2x+1）≠0，
所以x＝是原方程的解，
即原方程的解是x＝，
故选：B．
【点评】本题考查了解分式方程和有理数的混合运算，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
二、填空题（四个小题，其中17-18每题3分，19-20每题4分，共14分）
17．分式的值为0，那么x的值为 3 ．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
解：由题意可得：x2﹣9＝0且x+3≠0，
解得x＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
18．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是 ASA ．
【分析】亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，这部分是∠ABC，边AB，边BC，而没被污染的还有两个角和一个边，所以可根据ASA画一个与其全等得三角形即可．
解：如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，
这部分是∠ABC，边AB，边BC，而此时亮亮可以量取∠A和∠C度数，AC的长度，
利用ASA画一个和书上完全一样的三角形．
故答案为：ASA．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定这一知识点的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．
19．已知a，b分别是6+的整数部分和小数部分，则a+3b＝ 3 ．
【分析】先估算无理数的大小，从而表示出6+的整数部分和和小数部分；再把a、b的值代入代数式a+3b中计算，即可得到答案．
解：∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∴9＜6+＜10，
∴6+的整数部分a＝9，小数部分b＝6+﹣9＝﹣3，
∴a+3b＝9+3×（﹣3）＝3．
故答案为：3．
【点评】此题考查了用有理数估计无理数，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法，是解决此题的关键．
20．试卷上一个正确的式子（+）÷★＝，被小颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式★为 ． ．
【分析】根据已知分式得出被墨汁遮住部分的代数式是（+）÷，再根据分式的运算法则进行计算即可．
解：∵（+）÷★＝，
∴被墨汁遮住部分的代数式是：
（+）÷，
＝•
＝•
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
三、解答题（6道题，共58分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．解方程：
（1）
（2）．
【分析】（1）方程两边乘以（2x﹣1）得到整式方程，再解整式方程求出x，然后进行检验确定原方程的解；
（2）方程两边乘以（x+2）（x﹣2）得到整式方程，再解整式方程求出x，然后进行检验确定原方程的解．
解：（1）去分母得2﹣5＝2x﹣1，
解得x＝1，
检验：x＝1时，2x﹣1≠0，则x＝﹣1是原方程的解，
所以原方程的解为x＝1；
（2）去分母得（x﹣2）2﹣16＝（x+2）2，
解得x＝﹣2，
检验：x＝﹣2时，（x+2）（x﹣2）＝0，则x＝﹣2是原方程的增解，
所以原方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程：解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．注意解分式方程时，一定要检验．
22．已知一个正数的两个平方根分别是1﹣2a和a+4，4a+2b﹣1的立方根是3．
（1）求a，b的值；
（2）求a+b的算术平方根．
【分析】（1）先求出a的值，再根据4a+2b﹣1的立方根是3求出b的值即可；
（2）先求出a+b的值，再求出其算术平方根即可．
解：（1）∵一个正数的两个平方根分别是1﹣2a和a+4，
∴1﹣2a＝﹣a﹣4，解得a＝5；
∴4a+2b﹣1可化为19+2b，
∵4a+2b﹣1的立方根是3，
∴19+2b＝27，解得b＝4．
（2）∵a＝5，b＝4，
∴a+b＝5+4＝9，
∴a+b的算术平方根是3．
【点评】本题考查的是平方根，立方根及算术平方根，熟知一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．
23．问题探究：
尺规作图：作一个角等于已知角．
如图①，已知：∠AOB．
求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'＝∠AOB．
作法：（1）如图②，以点① O 为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于点C、D；
（2）作射线O'A'，以点O'为圆心，② OC 长为半径画弧，交O'A'于点C'；
（3）以点C'为圆心，③ CD 长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D′；
（4）经过点D′画射线O'B'，则∠A'O'B'＝∠AOB．
连接CD、C′D′．根据以上作法证得△C'O'D'≌△COD（④ SSS 填理论依据“SSS”、“SAS”、“ASA”或“AAS”）．
根据以上作图和求证过程完成以上填空：
① O ；② OC ；③ CD ； ④ SSS ．
实践应用：
已知：如图④，D是∠ABC的边AB上一点．求作：射线DE，使DE∥BC，交AC于E．（不写作法，但要保留作图痕迹）
【分析】问题探究：根据作图步骤解答即可；
实践应用：利用同位角相等，两直线平行解决问题即可．
解：问题探究：作法：（1）如图②，以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于点C、D；
（2）作射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；
（3）以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D′；
（4）经过点D′画射线O'B'，则∠A'O'B'＝∠AOB．
连接CD、C′D′．根据以上作法证得△C'O'D'≌△COD（SSS）．
故答案为：O，OC，CD，SSS；O，OC，OD，SSS；
实践应用：如图，射线DE即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．某同学在解分式的化简求值题时，发现所得答案与参考答案不同．下面是他所解的题目和解答过程：
先化简÷（﹣1），再将x＝5代入求值．
解：原式＝÷﹣÷1……第1步
＝﹣……第2步
＝﹣……第3步
＝……第4步
＝……第5步
＝……第6步
当x＝5时，原式＝……第7步
（1）以上步骤中，第 一 步出现了错误，导致结果与答案不同，错误的原因是 没按照正确的运算顺序计算 ；
（2）请你把正确的解答过程写出来；
（3）请你提出一条解答这类题目的建议．
【分析】（1）根据分式的混合运算顺序即可判断；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可；
（3）答案不唯一．
解：（1）第一步出现了错误，没按照正确的运算顺序计算，
故答案为：一、没按照正确的运算顺序计算；
（2）原式＝÷[﹣1]
＝÷（﹣）
＝•
＝﹣，
当x＝5时，原式＝＝﹣；
（3）解题反思（不唯一）：要正确应用运算律．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
25．王师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
【分析】（1）用费用除以续航里程即可得新能源车的每千米行驶费用；
（2）①根据“燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元“列方程，解方程并检验，可得答案；
②由已知列不等式可解得答案．
解：（1）新能源车的每千米行驶费用为＝（元）；
（2）①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，
∴﹣＝0.54，
解得a＝600，
经检验，a＝600是原方程的解，
∴＝＝0.6，
＝＝0.06，
答：新能源车的每千米行驶费用为0.06元，燃油车的每千米行驶费为0.6元；
②设每年行驶里程为x千米时，买新能源车的年费用更低，
根据题意得0.06x+7500＜0.6x+4800，
解得x＞5000，
答：每年行驶里程大于5000千米时，买新能源车的年费用更低．
【点评】本题考查列代数式，分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和不等式．
26．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，显然有：DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．
【分析】（1）由于△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，由此即可证明△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性质即可解决问题；
（2）由于△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，由此仍然可以证明△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性质也可以解决问题；
（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，仍然△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性质可以得到DE＝BE﹣AD．
解：（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
又直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CD＝BE，CE＝AD，
∴DE＝CD+CE＝AD+BE；
（2）∵△ABC中，∠ACB＝90°，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠ACD+∠BCE＝∠BCE+∠CBE＝90°，
而AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴CD＝BE，CE＝AD，
∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；
（3）如图3，
∵△ABC中，∠ACB＝90°，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠ACD+∠BCE＝∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
∵AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴CD＝BE，CE＝AD，
∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD；
DE、AD、BE之间的关系为DE＝BE﹣AD．
【点评】此题需要考查了全等三角形的判定与性质，也利用了直角三角形的性质，是一个探究性题目，对于学生的能力要求比较高．
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