2022-2023学年河南省郑州外国语中学人教版九年级（上）期中数学试卷(解析版)

2022-2023学年河南省郑州外国语中学九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 将一元二次方程写成一般形式，下列等式正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 如图，下列图形能反映其左视图的是(    )

A.
B.
C.
D.

3. 如图，小明和小刚分别设计了两个转盘每一个转盘中的扇形面积均相等，两人利用设计出的两个转盘进行“配紫色”游戏，即每人将两个转盘各转动一次，如果红色和蓝色分别出现在两个转盘上，那就说明可以配成紫色，那么小明转出紫色的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知：如图，，是正方形的对角线上的两点，且那么四边形不具备的条件是(    )

A. 对角线相等
B. 四边相等
C. 对角线互相垂直
D. 对边平行

5. 已知，那么的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子图中的所有点，线同一平面内，图中相似而不全等的三角形有几对(    )

A.
B.
C.
D.

7. 下列关于投影的描述，不正确的描述有(    )

A. 在阳光下，同一时刻同一物体的高度与影长的比值是一个定值
B. 一个矩形的纸板在阳光下的投影可以是平行四边形
C. 物体在光线下的投影大小只和物体本身的大小有关
D. 物体在平行投影下可以得到自己的主视图

8. 某公司今年月份的营业额为万元，按计划第四季度的总营业额要达到万元，若设该公司、两个月营业额的月平均增长率为，那么下列方程正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点将其吊起来在中点的左侧，距离中点处挂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．如果把弹簧秤与中点的距离单位：记作，弹簧秤的示数单位：记作，下表中有几对数值满足与的函数关系式(    )

A. 对 B. 对 C. 对 D. 对

10. 如图，正方形边长为，以为边作第个正方形，再以为边作第个正方形，，按照这样的规律作下去，第个正方形的边长为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 请写出一个图象位于第一、三象限的反比例函数的关系式：______答案不唯一
12. 在一个不透明的袋子中装有个蓝色小球、若干个红色小球和个黄色小球，这些球除颜色不同外其余均相同，小李通过多次摸取小球试验后发现，摸取到红色小球的频率稳定在左右，若小明在袋子中随机摸取一个小球，则摸到黄色小球的概率为______．
13. 某几何体的三视图如图所示，俯视图是长、宽分别为和的矩形，主视图相邻两边长分别为与，则这个几何体的表面积为______．

14. 如图，四边形和四边形都是平行四边形，点为的中点，分别交和于点，，则______．

15. 已知，正方形的边长为，点是边上的一个动点，连接，将沿折叠，使点落在点上，延长，交于，当点与的中点的距离为时，则此时的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    下面是杨老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程，请认真阅读并完成任务．
    解：第一步
    第二步
    第三步
    第四步
    ，第五步
    任务一：小颖解方程的方法是______．
    A.直接开平方法配方法公式法因式分解法
    第二步变形的依据是______；
    任务二：请你按要求解下列方程：
    ；公式法因式分解法
17. 本小题分
    如图，在四边形纸片中，，，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，连接．
    请确定四边形的形状，并说明理由；
    若，，过点作于，连接交于点，连接：
    四边形的面积为______；
    ______．

18. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，且．
    点的坐标为______；
    直线的解析式为______；
    求点的坐标和反比例函数的解析式；
    在轴上存在点，使的面积为，直接写出点的坐标．

19. 本小题分
    已知关于的一元二次方程．
    求证：方程总有两个实数根；
    若该方程有一实数根大于，求的取值范围．
20. 本小题分
    小玉和小武学习完第四章图形的相似以后，根据所学知识利用阳光下的影子去测量我校附近一幢建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为米，的影长为米，若此时小武的影长为米，其中、、、、五点在同一直线上，、、三点在同一直线上，且，已知小武的身高为米，求旗杆的高．

21. 本小题分
    如图，在中，，，，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿方向向终点运动；动点同时从点出发，以每秒个单位的速度沿方向向终点运动，点、同时出发，当有一个点到达终点时，另一个点也停止运动．如果点，的运动的时间为；
    当为时，，两点之间的距离是______；
    用含的代数式表示的面积，并写出此时的取值范围；
    当为多少时，的值为？

22. 本小题分
    党的“二十大”期间，某网店直接从工厂购进、两款纪念“二十大”的钥匙扣，进货价和销售价如下表：注：利润销售价进货价

网店第一次用元购进、两款钥匙扣共件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
第一次购进的两款钥匙扣售完后，该网店计划再次购进、两款钥匙扣共件进货价和销售价都不变，且进货总价不高于元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
“二十大”临近结束时，款钥匙扣还有大量剩余，网店打算把款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售件．经调查发现，每降价元，平均每天可多售件，为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使款钥匙扣平均每天销售利润为元？

23. 本小题分
    已知，，点为直线上的一个动点点不与点重合，连接，以为一边构造，使，连接．
    如图，当时，直接写出线段与线段的数量关系与位置关系：
    数量关系：______；
    位置关系：______；
    如图，当时，请猜想线段与线段的数量关系与位置关系，并说明理由；
    如图，在的条件下，连接，分别取线段，的中点，，连接，，，若，，请直接写出的面积．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
移项得：，
即一元二次方程的一般形式是，
故选：．
根据等式的性质进行变形即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式和等式的性质，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是、、为常数，．
 

2.【答案】 

【解析】解：从左边看，是一个矩形，矩形内部有两条横向的虚线．
故选：．
左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．
此题考查了简单几何体的三视图，解答本题的关键是掌握左视图的观察位置．
 

3.【答案】 

【解析】解：列表得：

由表知，共有种等可能结果，其中配成紫色的有种结果，
能配成紫色的概率是，
故选：．
首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果，继而得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

4.【答案】 

【解析】解：连接，与交于点，

四边形是正方形，
，，
，
，
四边形是菱形，
选项B、、都正确；
，，
，
选项A错误；
故选：．
连接，与交于点，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分，得出，四边形的对角线互相垂直平分，得四边形为菱形，便可判断各选项的正误．
本题考查了正方形的性质，菱形的性质与判定，关键是证明四边形是菱形．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
先根据分式的性质得到，然后根据等比性质计算．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质是解决问题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：图中相似而不全等的三角形有：∽，∽，∽．
和都是等腰直角三角形，
，
；
和中，是公共角，
∽；
同理，可得∽．
∽．
故选：．
根据相似不包括全等三角形的判定可以得出结论．
本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰直角三角形的性质．
 

7.【答案】 

【解析】解：、在阳光下，同一时刻同一物体的高度与影长的比值是一个定值，说法正确，不符合题意；
B、一个矩形的纸板在阳光下的投影可以是平行四边形，说法正确，不符合题意；
C、物体在光线下的投影大小与物体本身的大小有关，还与光线的投射角度有关，说法不正确，符合题意；
D、物体在平行投影下可以得到自己的主视图，说法正确，不符合题意．
故选：．
直接利用投影的定义判定、、、的结论．
本题考查的知识要点：投影的定义，平行线的和投影的关系，主要考查学生对基础知识的理解和应用，
 

8.【答案】 

【解析】解：该公司今年月份的营业额为万元，且该公司、两个月营业额的月平均增长率为，
该公司今年月份的营业额为万元，月份的营业额为万元，
又按计划第四季度的总营业额要达到万元，
所列方程为．
故选：．
由该公司今年月份的营业额及该公司、两个月营业额的月平均增长率，可得出该公司今年月份的营业额为万元，月份的营业额为万元，再根据按计划第四季度的总营业额要达到万元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是掌握杠杆原理，能得出与的函数关系式．
根据杠杆原理得出与的函数关系式，再检验各数对是否满足函数解析式即可．
【解答】
解：根据杠杆原理可得，，
把弹簧秤与中点的距离记作，弹簧秤的示数记作，
；
，
，
，
，
满足与的函数关系式有，，，共对，
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：由题知，第个正方形的边长，
根据勾股定理得，第个正方形的边长，
根据勾股定理得，第个正方形的边长，
根据勾股定理得，第个正方形的边长，
根据勾股定理得，第个正方形的边长，
根据勾股定理得，第个正方形的边长，

根据勾股定理得，第个正方形的边长．
故选：．
根据勾股定理得出正方形的对角线是边长的，从而得到正方形的边长，找到规律即可得出答案．
本题考查了算术平方根、勾股定理、探索图形变化规律，由一般情况探索出规律是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据反比例函数的性质，图象位于第一、三象限，只要即可，如：答案不唯一．
利用反比例函数的性质解答．
本题主要考查反比例函数的性质：当时，图象位于第一、三象限；当时，图象位于第二、四象限．
 

12.【答案】 

【解析】解：设袋子中红色小球有个，
根据题意，得：，
解得，
经检验是分式方程的解，
则在袋子中随机摸取一个小球，摸到黄色小球的概率，
故答案为：．
设袋子中红色小球有个，根据摸取到红色小球的频率稳定在左右列出关于的分式方程，解之求得的值即可得出红色小球的个数，再利用概率公式计算可得．
本题主要熬成利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据三视图知该几何体为长方体，其长、宽、高分别为，，，
所以其表面积为，
故答案为：．
首先确定该几何体的形状，然后计算其表面积即可．
本题考化成了有三视图判断几何体的知识，解题的关键是确定几何体的尺寸，难度不大．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形和四边形都是平行四边形，
，，
，：：，，
又，
∽，
又点是中点，
，
：：：：，
，
又，
：：：：，
故答案为：．
利用平行四边形的性质得到平行，可得到，：：，且，代入可得到和之间的关系，结合，可得到答案．
本题主要考查平行线分线段成比例的性质及平行四边形的性质，由条件得到、是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：连接，

将沿折叠，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
点是的中点，
，
当点在点的下方时，
，
，，
，
，
；
当点在点的上方时，
，
，，
，
，
；
综上所述：的长为或．
故答案为：或．
由“”可证≌，可得，由勾股定理可求解．
本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
 

16.【答案】  等式的基本性质 

【解析】解：小颖解方程的方法为配方法；
故答案为：；
第二步变形的依据是等式的基本性质；
故答案为：等式的基本性质；
，
，，，
，
，
所以，；
，
，
，
或，
所以，．
利用配方法解方程的方法可以判断；
根据等边的基本性质求解；
先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；
先把方程变形为，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法和公式法．
 

17.【答案】   

【解析】解：四边形是菱形，理由如下：
根据折叠的性质可得：，，，
，
，
，
，
，
四边形为菱形；
四边形是菱形，
，，，
，
，
，，
四边形的面积，
故答案为：；
，，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
由折叠的性质可得，，，由平行线的性质可得，可得结论；
由直角三角形的性质可得的长，由菱形的面积公式可求解；
由勾股定理和直角三角形的性质可求解．
本题考查了翻折变换，菱形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：过点作轴于，
，，
，
；
故答案为：；
直线过点、，
，
解得：，
直线的解析式为：；
故答案为：；
的坐标为，
，
，
，
，
反比例函数表达式为：；
，
，
，
，
的坐标或．
根据点，得到，即可得到；
利用待定系数法即可求解；
的坐标为，代入一次函数的解析式得到，然后把点的坐标代入即可得到结论；
利用三角形面积公式求得，进一步即可求得点的坐标．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了点的坐标的求法以及待定系数法求函数解析式的知识，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力．
 

19.【答案】证明：，
无论为何值，方程总有两个实数根；

设方程的两个根分别是，，
解方程得，
，，
由题意可知，即．
的取值范围为． 

【解析】求出方程的判别式的值，利用配方法得出，根据判别式的意义即可证明；
设方程的两个根分别是，，利用公式法求方程的解，然后根据题意求得的取值范围．
本题考查了根的判别式，解题的关键是：牢记“当时，方程总有两个实数根”，正确找出不等量关系列不等式，求解即可．
 

20.【答案】解：，
，
，
∽，
，即．
米．
同理得∽，
，即．
米，
米
答：旗杆的高是米． 

【解析】根据同一时刻，物高与影长成比例得，，，代入计算可得和的长，从而解决问题．
本题主要考查了相似三角形的应用平行投影问题，熟练掌握在太阳光线下，同一时刻，物高与影长成比例是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：当时，，，
，
故答案为：；
由题可知：在中，，，秒以后，，，，
，；
当时，则，
舍去，，
当为时，的值为．
由勾股定理可求解；
由路程速度时间，可求，，，由三角形的面积公式可求解；
将代入关系式可求解．
本题是三角形综合题，考查了勾股定理，三角形面积公式，一元二次方程的应用，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

22.【答案】解：设购进款钥匙扣件，款钥匙扣件，
根据题意得：，
解得：．
答：购进款钥匙扣件，款钥匙扣件．
设购进件款钥匙扣，则购进件款钥匙扣，
根据题意得：，
解得：．
设再次购进的、两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为元，则．
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值，此时．
答：当购进件款钥匙扣，件款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是元．
设款钥匙扣的售价定为元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
又要尽快减少库存，
．
答：款钥匙扣的售价应定为元． 

【解析】设购进款钥匙扣件，款钥匙扣件，利用总价单价数量，结合该网店第一次用元购进、两款钥匙扣共件，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购进件款钥匙扣，则购进件款钥匙扣，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设再次购进的、两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为元，利用总利润每件的销售利润销售数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题；
设款钥匙扣的售价定为元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件，利用平均每天销售款钥匙扣获得的总利润每件的销售利润平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合要尽快减少库存，即可得出销售价应定为每件元．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
 

23.【答案】   

【解析】解：，
，，
，
，
≌，
，
故答案为：；
由可知≌，
，
，
，
，
，
故答案为：；
，，理由如下：
，
，，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
综上所述，，；
当点在线段上时，如图，
过点作交于点，
由知，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
、分别是、的中点，
，，
，
，
，，
，，
≌，
，
；
当点在的延长线上时，如图，
过点作交于点，
同理可得，
，
，
，
，
；
综上所述：的面积为或．
通过证明≌，即可求解；
通过证明∽，即可求解；
分两种情况讨论：当点在线段上时，过点作交于点，根据的条件先求出，再证明≌，得到，即可求；当点在的延长线上时，过点作交于点，同理可得．
本题考查三角形相似的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．