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2022-2023学年湖北省十堰市郧阳区人教版九年级（上）期中数学试卷(解析版)
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这是一份2022-2023学年湖北省十堰市郧阳区人教版九年级（上）期中数学试卷(解析版)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省十堰市郧阳区九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于x的方程（m﹣1）x2+x﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠1 B．m＝1 C．m≥1 D．m≠0
3．将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x﹣2）2+3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x+2）2﹣3
4．下列结论正确的是（ ）
A．半径相等的两条弧是等弧
B．半圆是弧
C．半径是弦
D．弧是半圆
5．二次函数y＝ax2+bx+c图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝0的解是（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝3 C．x＝﹣1或x＝3 D．x＝3或x＝﹣3
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A1B1C，此时使点A的对应点A1恰好在AB边上，点B的对应点为B1，A1B1与BC交于点E，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AB＝EB1 B．CA1＝A1B
C．A1B1⊥BC D．∠CA1A＝∠CA1B1
7．一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意可列方程为（ ）
A．x+x（x+1）＝121 B．1+x+x（x+1）＝121
C．x+x2＝121 D．1+x+x2＝121
8．2019年在武汉市举行了军运会．在军运会比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝﹣x2+x+1的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1米，球落地点A到O点的距离是（ ）
A．1米 B．3米 C．4米 D．米
9．如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第n行有n个点…，若该三角点阵前n行的点数和为300，则n的值为（ ）
A．30 B．26 C．25 D．24
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y＝ax2+bx+c
…
t
m
﹣2
﹣2
n
…
且当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0．有下列结论：
①abc＞0；②﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；③0＜m+n＜．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为 ．
12．若m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则m2+4m+n的值是 ．
13．如图，在△OAB绕点O逆时针旋转70°得到△OCD，若∠A＝100°，∠D＝50°，则∠AOD的度数是 ．
14．如图，在⊙O中，弦AB⊥OC于E点，C在圆上，AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径AO＝ ．
15．对于实数p、q，我们用符号min{p，q}表示p、q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝ ．
16．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，D是AB上的一个动点，连接CD，将△BCD绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，连接DE，则△ADE面积的最大值等于 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．解方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．
18．如图，已知点A，B的坐标分别为（4，0），（3，2）．
（1）画出△AOB关于原点O对称的图形△COD；
（2）将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°得到△EOF，画出△EOF；
（3）点D的坐标是 ，点F的坐标是 ，此图中线段BF和DF的关系是 ．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x12+x22+3x1x2＝6，求k的值．
20．如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：1．如果要使彩条所占面积是图案面积的，应如何设计彩条的宽度？
21．近年来我国无人机设备发展迅猛，新型号无人机不断面世，科研单位为保障无人机设备能安全投产，现针对某种型号的无人机的降落情况进行测试，该型号无人机在跑道起点处着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间满足二次函数关系，其部分函数图象如图所示．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若跑道长度为900（m），是否够此无人机安全着陆？请说明理由．
22．如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，且BC∥OD，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若BC＝3，DE＝2，求⊙O的半径长．
23．某商家销售一种成本为20元的商品，销售一段时间后发现，每天的销量y（件）与当天的销售单价x（元/件）满足一次函数关系，并且当x＝25时，y＝550；当x＝30时y＝500．物价部门规定，该商品的销售单价不能超过52元/件．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润是8000元？
（3）当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，并求出最大利润．
24．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，把它们的底角顶点连接起来形成一组可证得全等的三角形，我们把连接的那两条线段叫做“友好”线段．例如：如图1，△ABC中，AB＝AC，△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接DB，EC，则可证得△ADB≌△AEC，此时线段DB和线段EC就是一对“友好”线段．
（1）如图2，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°．
①图中线段AE的“友好”线段是 ；
②连接AD，若AC＝4，AD＝2，∠DAC＝45°，求AE的长：
（2）如图3，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，P是△ACB外一点，∠APC＝75°，PC＝3，AP＝6，求线段BP的长．
25．二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．
（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；
（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接PC、PE、CE，当△CEP的面积为30时，求点P的坐标．
参考答案
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．若关于x的方程（m﹣1）x2+x﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠1 B．m＝1 C．m≥1 D．m≠0
【分析】根据一元二次方程的定义，可得m﹣1≠0，据此可得答案．
解：∵关于x的方程（m﹣1）x2+x﹣1＝0是一元二次方程，
∴m﹣1≠0，
∴m≠1，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
3．将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x﹣2）2+3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x+2）2﹣3
【分析】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．
解：将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝2（x﹣2）2+3，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
4．下列结论正确的是（ ）
A．半径相等的两条弧是等弧
B．半圆是弧
C．半径是弦
D．弧是半圆
【分析】根据圆的有关定义分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、在等圆或同圆中，半径相等的两条弧是等弧，原结论不正确；
B、半圆是弧，原结论正确；
C、半径只有一个端点位于圆上，不是弦，原结论不正确；
D、根据半圆的定义可知，半圆是弧，但弧不一定是半圆，原结论不正确；
故选：B．
【点评】本题考查了圆的认识及圆的有关定义，解题的关键是了解圆的有关概念，难度不大．
5．二次函数y＝ax2+bx+c图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝0的解是（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝3 C．x＝﹣1或x＝3 D．x＝3或x＝﹣3
【分析】由图象可知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点坐标为（﹣1，0 ）、（3，0），则当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，所以一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3，于是得到问题的答案．
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点坐标为（﹣，0 ）、（3，0），
∴当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3，
故选：C．
【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、二次函数的图象与x轴的交点坐标等知识，运用数形结合的数学思想得到当y＝0时的x的值是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A1B1C，此时使点A的对应点A1恰好在AB边上，点B的对应点为B1，A1B1与BC交于点E，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AB＝EB1 B．CA1＝A1B
C．A1B1⊥BC D．∠CA1A＝∠CA1B1
【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可．
解：∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A1B1C，
∴AB＝A1B1，B1C＝BC，不能得到AB＝B1E，故选项A不合题意；
CA1＝CA，不能得到CA1＝A1B，故选项B不合题意；
∵旋转角∠ACA1不一定等于∠A，
∴∠BCB1不一定等于∠A，
∴∠BCB1+∠B1不一定等于90°，故选项C不合题意；
∵CA1＝CA，
∴∠A＝∠CA1A，
由旋转可得∠A＝∠CA1B1，
∴∠CA1A＝∠CA1B1，故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质．旋转变换是全等变换，利用旋转不变性是解题的关键．
7．一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意可列方程为（ ）
A．x+x（x+1）＝121 B．1+x+x（x+1）＝121
C．x+x2＝121 D．1+x+x2＝121
【分析】由每轮传染中平均一个人传染了x个人，可得出第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染，根据经过两轮传染后共有121人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人，
∴第一轮传染有x人被传染，第二轮传染有x（1+x）人被传染，
依题意得：1+x+x（1+x）＝121．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．2019年在武汉市举行了军运会．在军运会比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝﹣x2+x+1的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1米，球落地点A到O点的距离是（ ）
A．1米 B．3米 C．4米 D．米
【分析】根据解析式的顶点式得出函数最大值即可．
解：令y＝0，则﹣x2+x+1＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣1（舍去），
∴球落地点A到O点的距离是4米．
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，利用函数的性质求最值是解题的关键．
9．如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第n行有n个点…，若该三角点阵前n行的点数和为300，则n的值为（ ）
A．30 B．26 C．25 D．24
【分析】由于第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…，则前五行共有（1+2+3+4+5）个点，前10行共有（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）个点，前n行共有1+2+3+4+5+…+n＝n（n+1）个点，然后建立方程求出n的数值即可．
解：由题意得：
n（n+1）＝300
解得：n＝24．
故选：D．
【点评】本题考查了图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y＝ax2+bx+c
…
t
m
﹣2
﹣2
n
…
且当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0．有下列结论：
①abc＞0；②﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；③0＜m+n＜．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】①当x＝0时，c＝﹣2，当x＝1时，a+b＝0，abc＞0，①正确；
②x＝是对称轴，x＝﹣2时y＝t，则x＝3时，y＝t，②正确；
③m+n＝4a﹣4；当x＝﹣时，y＞0，a＞，m+n＞，③错误；
解：当x＝0时，c＝﹣2，
当x＝1时，a+b﹣2＝﹣2，
∴a+b＝0，
∴y＝ax2﹣ax﹣2，
∴abc＞0，
①正确；
x＝是对称轴，
x＝﹣2时y＝t，则x＝3时，y＝t，
∴﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；
②正确；
m＝a+a﹣2，n＝4a﹣2a﹣2，
∴m＝n＝2a﹣2，
∴m+n＝4a﹣4，
∵当x＝﹣时，y＞0，
∴a＞，
∴m+n＞，
③错误；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出对称轴是解题的关键．
二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为 （1，8） ．
【分析】已知抛物线顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．
解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+8是顶点式，
∴顶点坐标是（1，8）．
故答案为：（1，8）．
【点评】本题考查由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．
12．若m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则m2+4m+n的值是 6 ．
【分析】利用一元二次方程的解，可得出m2+3m＝9，利用根与系数的关系，可得出m+n＝﹣3，再将其代入m2+4m+n＝（m2+3m）+（m+n）中，即可求出结论．
解：∵m是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的根，
∴m2+3m﹣9＝0，
∴m2+3m＝9．
∵m，n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，
∴m+n＝﹣3，
∴m2+4m+n＝（m2+3m）+（m+n）＝9﹣3＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解答本题的关键．
13．如图，在△OAB绕点O逆时针旋转70°得到△OCD，若∠A＝100°，∠D＝50°，则∠AOD的度数是 40° ．
【分析】根据旋转的性质得出∠A＝∠C，∠D＝∠B，∠BOA＝∠COD，∠BOD＝70°，进而得出∠AOB以及∠AOD的度数即可．
解：∵△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，
∴∠A＝∠C，∠D＝∠B，∠BOA＝∠COD，∠BOD＝70°，
∵∠A＝100°，∠D＝50°，
∴∠B＝50°，
∴∠AOB＝180°﹣50°﹣100°＝30°，
∴∠AOD＝70°﹣30°＝40°．
故答案为：40°．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及三角形的内角和定理，根据已知得出∠BOD＝80°，∠AOB＝30°是解题关键．
14．如图，在⊙O中，弦AB⊥OC于E点，C在圆上，AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径AO＝ 5 ．
【分析】设OA＝OC＝r，利用勾股定理构建方程求解．
解：设OA＝OC＝r，
∵OC⊥AB，OC是半径，
∴AE＝EB＝4，
在Rt△AEO中，OA2＝AE2+OE2，
∴r2＝42+（r﹣2）2，
∴r＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
15．对于实数p、q，我们用符号min{p，q}表示p、q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝ 2或﹣1 ．
【分析】首先理解题意，进而可得min{（x﹣1）2，x2}＝1时分情况讨论：当（x﹣1）2＝1时；x2＝1时；进而可得答案．
解：∵min{（x﹣1）2，x2}＝1，
当（x﹣1）2＝1时，解得x＝2或0，
x＝0时，不符合题意，
∴x＝2．
当x2＝1时，解得x＝1或﹣1，
x＝1不符合题意，
∴x＝﹣1，
故答案为：2或﹣1．
【点评】此题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，实数的比较大小，以及分类思想的运用，关键是正确理解题意．
16．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，D是AB上的一个动点，连接CD，将△BCD绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，连接DE，则△ADE面积的最大值等于 ．
【分析】由旋转的性质可得△BDC≌△ACE，由等腰直角三角形的性质可求AB＝2，由三角形的面积公式可求S＝x（2﹣x）＝﹣（x﹣1）2+，由二次函数的性质可求解．
解：∵将△BCD绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，
∴△BDC≌△ACE，
∴∠B＝∠BAC＝45°＝∠CAE，
∴∠DAE＝90°，
∵BC＝AC＝，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝2，
设BD＝AE＝x，则AD＝（2﹣x），
∴S＝x（2﹣x）＝﹣（x﹣1）2+，
当x＝1时，△ADE面积的最大值＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，二次函数的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．解方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
解：（1）x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
x﹣3＝0或x+1＝0，
x1＝3，x2＝﹣1；
（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10，
x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，
（2x﹣5）（x﹣2）＝0，
2x﹣5＝0或x﹣2＝0，
x1＝2.5，x2＝2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键．
18．如图，已知点A，B的坐标分别为（4，0），（3，2）．
（1）画出△AOB关于原点O对称的图形△COD；
（2）将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°得到△EOF，画出△EOF；
（3）点D的坐标是 （﹣3，﹣2 ） ，点F的坐标是 （﹣2，3 ） ，此图中线段BF和DF的关系是 垂直且相等 ．
【分析】（1）利用图形△AOB关于原点O对称的图形△COD分别延长BO，AO，再截取DO＝BO，CO＝AO，即可得出答案；
（2）将A，B绕点O按逆时针方向旋转90°得到对应点E，F，即可得出△EOF；
（3）利用图象即可得出点的坐标，以及线段BF和DF的关系．
解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）结合图象即可得出：D（﹣3，﹣2），F（﹣2，3），
线段BF和DF的关系是：垂直且相等．
【点评】此题考查了图形的旋转变换以及图形旋转的性质，难度不大，注意掌握解答此类题目的关键步骤．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x12+x22+3x1x2＝6，求k的值．
【分析】（1）根据方程有实数根得出Δ＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2+k）≥0，解之即可得出答案；
（2）根据韦达定理得出x1+x2＝2k，x1x2＝k2+k，代入x12+x22+3x1x2＝6，即（x1+x2）2+x1x2＝6可得（2k2）+（k2+k）＝6，解之即可得出k的值，再结合（1）中条件取舍即可．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2+k）≥0，
解得k≤0；
（2）根据题意，得：x1+x2＝2k，x1x2＝k2+k，
∵x12+x22+3x1x2＝6，
∴（x1+x2）2+x1x2＝6，
∴（2k）2+（k2+k）＝6，
解得k＝1或k＝﹣，
∵k≤0，
∴k＝﹣．
【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的定义，解题的关键是：（1）利用二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于k的一元一次不等式组；（2）牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”．
20．如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：1．如果要使彩条所占面积是图案面积的，应如何设计彩条的宽度？
【分析】设竖彩条的宽度为xcm，则横彩条的宽度为2xcm，除彩条之外的部分可合成长为（30﹣2x）cm，宽为（20﹣2×2x）cm的长方形，根据除彩条之外的部分所占面积是图案面积的（1﹣），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出竖彩条的宽度，再将其代入2x中，即可求出横彩条的宽度．
解：设竖彩条的宽度为xcm，则横彩条的宽度为2xcm，除彩条之外的部分可合成长为（30﹣2x）cm，宽为（20﹣2×2x）cm的长方形，
根据题意得：（30﹣2x）（20﹣2×2x）＝30×20×（1﹣），
整理得：x2﹣20x+19＝0，
解得：x1＝1，x2＝19（不符合题意，舍去），
∴2x＝2×1＝2．
答：横彩条的宽度是2cm，竖彩条的宽度是1cm．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．近年来我国无人机设备发展迅猛，新型号无人机不断面世，科研单位为保障无人机设备能安全投产，现针对某种型号的无人机的降落情况进行测试，该型号无人机在跑道起点处着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间满足二次函数关系，其部分函数图象如图所示．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若跑道长度为900（m），是否够此无人机安全着陆？请说明理由．
【分析】（1）由图象可知抛物线过点（10，600），（15，750）分别代入解析式求解方程组即可得出结论；
（2）将（1）中求出解析式化为顶点式，确定出无人机滑行需要的最远距离，然后与900比较大小即可得出结论．
解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx（a≠0），
由图象可知抛物线过点（10，600），（15，750）依次代入解析式得，
，
解得：，
所以抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+80x；
（2）可以安全着陆，理由如下：
y＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800，
∵该抛物线开口向下，
∴当x＝20时，y取得最大值800，
即该无人机从跑道起点开始滑行至停下，需要800m，
∵跑道长900＞800，
∴该无人机可以安全着陆．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，理解题意，准确求出函数解析式是解题关键．
22．如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，且BC∥OD，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若BC＝3，DE＝2，求⊙O的半径长．
【分析】（1）利用平行线的性质得到∠ODB＝∠CBD，加上∠ODB＝∠OBD，所以∠OBD＝∠CBD；
（2）过O点作OH⊥BC于H，如图，根据垂径定理得到BH＝CH＝，再证明△ODE≌△BOH得到DE＝OH＝2，然后利用勾股定理计算OB的长即可．
【解答】（1）证明：∵OD∥BC，
∴∠ODB＝∠CBD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠OBD＝∠CBD，
∴BD平分∠ABC；
（2）解：过O点作OH⊥BC于H，如图，则BH＝CH＝BC＝，
∵DE⊥AB，OH⊥BC，
∴∠DEO＝90°，∠OHB＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠DOE＝∠OBH，
在△ODE和△BOH中，
，
∴△ODE≌△BOH（AAS），
∴DE＝OH＝2，
在Rt△OBH中，OB＝＝＝，
即⊙O的半径长为．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和全等三角形的判定与性质．
23．某商家销售一种成本为20元的商品，销售一段时间后发现，每天的销量y（件）与当天的销售单价x（元/件）满足一次函数关系，并且当x＝25时，y＝550；当x＝30时y＝500．物价部门规定，该商品的销售单价不能超过52元/件．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润是8000元？
（3）当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，并求出最大利润．
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润＝单件利润×销售量”可得关于x的一元二次方程，解之即可得；
（3）利润w＝（x﹣20）（﹣10x+800）＝﹣10（x﹣80）（x﹣20），即可求解．
解：（1）设y＝kx+b，
根据题意可得，
解得，
则y＝﹣10x+800（0＜x≤52）；
（2）根据题意，得（x﹣20）（﹣10x+800）＝8000，
整理，得x2﹣100x+2400＝0，
解得x1＝40，x2＝60，
∵销售单价最高不能超过52元/件，
∴x＝40，
答：销售单价定为40元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元；
（3）利润w＝（x﹣20）（﹣10x+800）＝﹣10（x﹣50）2+9000
∵﹣10＜0，
∴当x＝50时，w取最大值为：9000，
故当销售单价定为50元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，其最大利润为9000元．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
24．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，把它们的底角顶点连接起来形成一组可证得全等的三角形，我们把连接的那两条线段叫做“友好”线段．例如：如图1，△ABC中，AB＝AC，△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接DB，EC，则可证得△ADB≌△AEC，此时线段DB和线段EC就是一对“友好”线段．
（1）如图2，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°．
①图中线段AE的“友好”线段是 BD和AE ；
②连接AD，若AC＝4，AD＝2，∠DAC＝45°，求AE的长：
（2）如图3，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，P是△ACB外一点，∠APC＝75°，PC＝3，AP＝6，求线段BP的长．
【分析】（1）①如图2，根据等腰直角三角形的性质得到AC＝BC，CD＝CE，求得∠ACE＝∠BCD，根据全等三角形的性质即可得到结论；
②连接AD，根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB＝45°，求得AB＝AC＝4，根据勾股定理即可得到结论；
（2）以PC为直角边在CP的下面作等腰直角三角形PCE，是∠PCE＝90°，PC＝CE，得到PE＝PC＝6，根据等腰三角形的性质得到∠PAE＝∠AEP＝30°，根据全等三角形的性质得到AE＝BP，∠EAC＝∠PBC，根据直角三角形的性质即可得到结论．
解：（1）①如图2，∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴AC＝BC，CD＝CE，
∴∠ACE＝∠BCD，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE＝BD，
∴图中线段AE的“友好”线段是BD和AE，
故答案为：BD和AE；
②连接AD，
∵△ACB是等腰直角三角形，
∴∠CAB＝45°，
∵AC＝4，
∴AB＝AC＝4，
∵∠DAC＝45°，
∴∠DAB＝90°，
∵AD＝2，
∴BD＝＝＝6，
由①知，AE＝BD，
∴AE＝6；
（2）以PC为直角边在CP的下面作等腰直角三角形PCE，是∠PCE＝90°，PC＝CE，
∵PC＝3，
∴PE＝PC＝6，
∵PA＝6，∠APC＝75°，
∴∠APE＝120°，PA＝PE，
∴∠PAE＝∠AEP＝30°，
∵AC＝BC，PC＝CE，∠ACB＝∠PCE＝90°，
∴∠ACE＝∠BCP，
∴△ACE≌△BCP（SAS），
∴AE＝BP，∠EAC＝∠PBC，
∵∠AFH＝∠BFC，
∴∠AHF＝∠BCF＝90°，
∴PB⊥AE，
∴AE＝2AH，
∴AH＝AP＝3，
∴线段BP的长为6．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键．
25．二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．
（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；
（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接PC、PE、CE，当△CEP的面积为30时，求点P的坐标．
【分析】（1）将A（2，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx+3，即可得解析式，配成顶点式得E坐标；
（2）连接CB，CD，设D（4，m），BD的垂直平分线恰好经过点C，可得CD＝BC，据此列出方程即可求解；
（3）设CP交抛物线的对称轴于点M，P（n，n2﹣2n+3），用含n的式子表示直线CP的关系式和M坐标，以及ME长度，根据△CEP的面积为30列方程即可求得n，从而求出P的坐标．
解：（1）将A（2，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，解得，
∴二次函数的解析式为，
∵，
∴顶点坐标E（4，﹣1）；
（2）连接CB，CD，如图：
在二次函数中令x＝0得y＝3，
∴C（0，3），
∵二次函数的对称轴为x＝4，
∴设D（4，m），而B（6，0），
∵点C在线段BD的垂直平分线CN上有CD＝BC，故CD2＝BC2，
∴42+（m﹣3）2＝62+32，
解得，
∴满足条件的点D的坐标为或；
（3）设CP交抛物线的对称轴于点M，如图：
设P（n，n2﹣2n+3），直线CP的解析式为y＝kx+3，
将P坐标代入得，
∴，
∴直线CP的关系式，
当x＝4时，，
∴M（4，n﹣5），ME＝n﹣5﹣（﹣1）＝n﹣4，
∴S△CPE＝S△CEM+S△PEM＝（xP﹣xC）•ME＝n•（n﹣4），
∴n（n﹣4）＝30，
∴n2﹣4n﹣60＝0，解得n＝10或n＝﹣6，
当n＝10时，P（10，8），
当n＝﹣6时，P（﹣6，24）．
综上所述，满足条件的点P的坐标为（10，8）或（﹣6，24）．
【点评】本题考查二次函数综合应用，解题的关键是设坐标，用含字母的代数式表示相关线段的长，再根据已知列方程．
2022-2023学年湖北省十堰市郧阳区九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于x的方程（m﹣1）x2+x﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠1 B．m＝1 C．m≥1 D．m≠0
3．将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x﹣2）2+3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x+2）2﹣3
4．下列结论正确的是（ ）
A．半径相等的两条弧是等弧
B．半圆是弧
C．半径是弦
D．弧是半圆
5．二次函数y＝ax2+bx+c图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝0的解是（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝3 C．x＝﹣1或x＝3 D．x＝3或x＝﹣3
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A1B1C，此时使点A的对应点A1恰好在AB边上，点B的对应点为B1，A1B1与BC交于点E，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AB＝EB1 B．CA1＝A1B
C．A1B1⊥BC D．∠CA1A＝∠CA1B1
7．一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意可列方程为（ ）
A．x+x（x+1）＝121 B．1+x+x（x+1）＝121
C．x+x2＝121 D．1+x+x2＝121
8．2019年在武汉市举行了军运会．在军运会比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝﹣x2+x+1的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1米，球落地点A到O点的距离是（ ）
A．1米 B．3米 C．4米 D．米
9．如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第n行有n个点…，若该三角点阵前n行的点数和为300，则n的值为（ ）
A．30 B．26 C．25 D．24
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y＝ax2+bx+c
…
t
m
﹣2
﹣2
n
…
且当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0．有下列结论：
①abc＞0；②﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；③0＜m+n＜．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为 ．
12．若m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则m2+4m+n的值是 ．
13．如图，在△OAB绕点O逆时针旋转70°得到△OCD，若∠A＝100°，∠D＝50°，则∠AOD的度数是 ．
14．如图，在⊙O中，弦AB⊥OC于E点，C在圆上，AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径AO＝ ．
15．对于实数p、q，我们用符号min{p，q}表示p、q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝ ．
16．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，D是AB上的一个动点，连接CD，将△BCD绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，连接DE，则△ADE面积的最大值等于 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．解方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．
18．如图，已知点A，B的坐标分别为（4，0），（3，2）．
（1）画出△AOB关于原点O对称的图形△COD；
（2）将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°得到△EOF，画出△EOF；
（3）点D的坐标是 ，点F的坐标是 ，此图中线段BF和DF的关系是 ．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x12+x22+3x1x2＝6，求k的值．
20．如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：1．如果要使彩条所占面积是图案面积的，应如何设计彩条的宽度？
21．近年来我国无人机设备发展迅猛，新型号无人机不断面世，科研单位为保障无人机设备能安全投产，现针对某种型号的无人机的降落情况进行测试，该型号无人机在跑道起点处着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间满足二次函数关系，其部分函数图象如图所示．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若跑道长度为900（m），是否够此无人机安全着陆？请说明理由．
22．如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，且BC∥OD，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若BC＝3，DE＝2，求⊙O的半径长．
23．某商家销售一种成本为20元的商品，销售一段时间后发现，每天的销量y（件）与当天的销售单价x（元/件）满足一次函数关系，并且当x＝25时，y＝550；当x＝30时y＝500．物价部门规定，该商品的销售单价不能超过52元/件．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润是8000元？
（3）当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，并求出最大利润．
24．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，把它们的底角顶点连接起来形成一组可证得全等的三角形，我们把连接的那两条线段叫做“友好”线段．例如：如图1，△ABC中，AB＝AC，△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接DB，EC，则可证得△ADB≌△AEC，此时线段DB和线段EC就是一对“友好”线段．
（1）如图2，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°．
①图中线段AE的“友好”线段是 ；
②连接AD，若AC＝4，AD＝2，∠DAC＝45°，求AE的长：
（2）如图3，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，P是△ACB外一点，∠APC＝75°，PC＝3，AP＝6，求线段BP的长．
25．二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．
（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；
（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接PC、PE、CE，当△CEP的面积为30时，求点P的坐标．
参考答案
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．若关于x的方程（m﹣1）x2+x﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠1 B．m＝1 C．m≥1 D．m≠0
【分析】根据一元二次方程的定义，可得m﹣1≠0，据此可得答案．
解：∵关于x的方程（m﹣1）x2+x﹣1＝0是一元二次方程，
∴m﹣1≠0，
∴m≠1，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
3．将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x﹣2）2+3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x+2）2﹣3
【分析】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．
解：将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝2（x﹣2）2+3，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
4．下列结论正确的是（ ）
A．半径相等的两条弧是等弧
B．半圆是弧
C．半径是弦
D．弧是半圆
【分析】根据圆的有关定义分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、在等圆或同圆中，半径相等的两条弧是等弧，原结论不正确；
B、半圆是弧，原结论正确；
C、半径只有一个端点位于圆上，不是弦，原结论不正确；
D、根据半圆的定义可知，半圆是弧，但弧不一定是半圆，原结论不正确；
故选：B．
【点评】本题考查了圆的认识及圆的有关定义，解题的关键是了解圆的有关概念，难度不大．
5．二次函数y＝ax2+bx+c图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝0的解是（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝3 C．x＝﹣1或x＝3 D．x＝3或x＝﹣3
【分析】由图象可知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点坐标为（﹣1，0 ）、（3，0），则当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，所以一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3，于是得到问题的答案．
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点坐标为（﹣，0 ）、（3，0），
∴当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3，
故选：C．
【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、二次函数的图象与x轴的交点坐标等知识，运用数形结合的数学思想得到当y＝0时的x的值是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A1B1C，此时使点A的对应点A1恰好在AB边上，点B的对应点为B1，A1B1与BC交于点E，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AB＝EB1 B．CA1＝A1B
C．A1B1⊥BC D．∠CA1A＝∠CA1B1
【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可．
解：∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A1B1C，
∴AB＝A1B1，B1C＝BC，不能得到AB＝B1E，故选项A不合题意；
CA1＝CA，不能得到CA1＝A1B，故选项B不合题意；
∵旋转角∠ACA1不一定等于∠A，
∴∠BCB1不一定等于∠A，
∴∠BCB1+∠B1不一定等于90°，故选项C不合题意；
∵CA1＝CA，
∴∠A＝∠CA1A，
由旋转可得∠A＝∠CA1B1，
∴∠CA1A＝∠CA1B1，故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质．旋转变换是全等变换，利用旋转不变性是解题的关键．
7．一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意可列方程为（ ）
A．x+x（x+1）＝121 B．1+x+x（x+1）＝121
C．x+x2＝121 D．1+x+x2＝121
【分析】由每轮传染中平均一个人传染了x个人，可得出第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染，根据经过两轮传染后共有121人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人，
∴第一轮传染有x人被传染，第二轮传染有x（1+x）人被传染，
依题意得：1+x+x（1+x）＝121．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．2019年在武汉市举行了军运会．在军运会比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝﹣x2+x+1的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1米，球落地点A到O点的距离是（ ）
A．1米 B．3米 C．4米 D．米
【分析】根据解析式的顶点式得出函数最大值即可．
解：令y＝0，则﹣x2+x+1＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣1（舍去），
∴球落地点A到O点的距离是4米．
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，利用函数的性质求最值是解题的关键．
9．如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第n行有n个点…，若该三角点阵前n行的点数和为300，则n的值为（ ）
A．30 B．26 C．25 D．24
【分析】由于第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…，则前五行共有（1+2+3+4+5）个点，前10行共有（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）个点，前n行共有1+2+3+4+5+…+n＝n（n+1）个点，然后建立方程求出n的数值即可．
解：由题意得：
n（n+1）＝300
解得：n＝24．
故选：D．
【点评】本题考查了图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y＝ax2+bx+c
…
t
m
﹣2
﹣2
n
…
且当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0．有下列结论：
①abc＞0；②﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；③0＜m+n＜．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】①当x＝0时，c＝﹣2，当x＝1时，a+b＝0，abc＞0，①正确；
②x＝是对称轴，x＝﹣2时y＝t，则x＝3时，y＝t，②正确；
③m+n＝4a﹣4；当x＝﹣时，y＞0，a＞，m+n＞，③错误；
解：当x＝0时，c＝﹣2，
当x＝1时，a+b﹣2＝﹣2，
∴a+b＝0，
∴y＝ax2﹣ax﹣2，
∴abc＞0，
①正确；
x＝是对称轴，
x＝﹣2时y＝t，则x＝3时，y＝t，
∴﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；
②正确；
m＝a+a﹣2，n＝4a﹣2a﹣2，
∴m＝n＝2a﹣2，
∴m+n＝4a﹣4，
∵当x＝﹣时，y＞0，
∴a＞，
∴m+n＞，
③错误；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出对称轴是解题的关键．
二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为 （1，8） ．
【分析】已知抛物线顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．
解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+8是顶点式，
∴顶点坐标是（1，8）．
故答案为：（1，8）．
【点评】本题考查由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．
12．若m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则m2+4m+n的值是 6 ．
【分析】利用一元二次方程的解，可得出m2+3m＝9，利用根与系数的关系，可得出m+n＝﹣3，再将其代入m2+4m+n＝（m2+3m）+（m+n）中，即可求出结论．
解：∵m是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的根，
∴m2+3m﹣9＝0，
∴m2+3m＝9．
∵m，n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，
∴m+n＝﹣3，
∴m2+4m+n＝（m2+3m）+（m+n）＝9﹣3＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解答本题的关键．
13．如图，在△OAB绕点O逆时针旋转70°得到△OCD，若∠A＝100°，∠D＝50°，则∠AOD的度数是 40° ．
【分析】根据旋转的性质得出∠A＝∠C，∠D＝∠B，∠BOA＝∠COD，∠BOD＝70°，进而得出∠AOB以及∠AOD的度数即可．
解：∵△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，
∴∠A＝∠C，∠D＝∠B，∠BOA＝∠COD，∠BOD＝70°，
∵∠A＝100°，∠D＝50°，
∴∠B＝50°，
∴∠AOB＝180°﹣50°﹣100°＝30°，
∴∠AOD＝70°﹣30°＝40°．
故答案为：40°．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及三角形的内角和定理，根据已知得出∠BOD＝80°，∠AOB＝30°是解题关键．
14．如图，在⊙O中，弦AB⊥OC于E点，C在圆上，AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径AO＝ 5 ．
【分析】设OA＝OC＝r，利用勾股定理构建方程求解．
解：设OA＝OC＝r，
∵OC⊥AB，OC是半径，
∴AE＝EB＝4，
在Rt△AEO中，OA2＝AE2+OE2，
∴r2＝42+（r﹣2）2，
∴r＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
15．对于实数p、q，我们用符号min{p，q}表示p、q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝ 2或﹣1 ．
【分析】首先理解题意，进而可得min{（x﹣1）2，x2}＝1时分情况讨论：当（x﹣1）2＝1时；x2＝1时；进而可得答案．
解：∵min{（x﹣1）2，x2}＝1，
当（x﹣1）2＝1时，解得x＝2或0，
x＝0时，不符合题意，
∴x＝2．
当x2＝1时，解得x＝1或﹣1，
x＝1不符合题意，
∴x＝﹣1，
故答案为：2或﹣1．
【点评】此题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，实数的比较大小，以及分类思想的运用，关键是正确理解题意．
16．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，D是AB上的一个动点，连接CD，将△BCD绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，连接DE，则△ADE面积的最大值等于 ．
【分析】由旋转的性质可得△BDC≌△ACE，由等腰直角三角形的性质可求AB＝2，由三角形的面积公式可求S＝x（2﹣x）＝﹣（x﹣1）2+，由二次函数的性质可求解．
解：∵将△BCD绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，
∴△BDC≌△ACE，
∴∠B＝∠BAC＝45°＝∠CAE，
∴∠DAE＝90°，
∵BC＝AC＝，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝2，
设BD＝AE＝x，则AD＝（2﹣x），
∴S＝x（2﹣x）＝﹣（x﹣1）2+，
当x＝1时，△ADE面积的最大值＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，二次函数的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．解方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
解：（1）x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
x﹣3＝0或x+1＝0，
x1＝3，x2＝﹣1；
（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10，
x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，
（2x﹣5）（x﹣2）＝0，
2x﹣5＝0或x﹣2＝0，
x1＝2.5，x2＝2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键．
18．如图，已知点A，B的坐标分别为（4，0），（3，2）．
（1）画出△AOB关于原点O对称的图形△COD；
（2）将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°得到△EOF，画出△EOF；
（3）点D的坐标是 （﹣3，﹣2 ） ，点F的坐标是 （﹣2，3 ） ，此图中线段BF和DF的关系是 垂直且相等 ．
【分析】（1）利用图形△AOB关于原点O对称的图形△COD分别延长BO，AO，再截取DO＝BO，CO＝AO，即可得出答案；
（2）将A，B绕点O按逆时针方向旋转90°得到对应点E，F，即可得出△EOF；
（3）利用图象即可得出点的坐标，以及线段BF和DF的关系．
解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）结合图象即可得出：D（﹣3，﹣2），F（﹣2，3），
线段BF和DF的关系是：垂直且相等．
【点评】此题考查了图形的旋转变换以及图形旋转的性质，难度不大，注意掌握解答此类题目的关键步骤．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x12+x22+3x1x2＝6，求k的值．
【分析】（1）根据方程有实数根得出Δ＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2+k）≥0，解之即可得出答案；
（2）根据韦达定理得出x1+x2＝2k，x1x2＝k2+k，代入x12+x22+3x1x2＝6，即（x1+x2）2+x1x2＝6可得（2k2）+（k2+k）＝6，解之即可得出k的值，再结合（1）中条件取舍即可．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2+k）≥0，
解得k≤0；
（2）根据题意，得：x1+x2＝2k，x1x2＝k2+k，
∵x12+x22+3x1x2＝6，
∴（x1+x2）2+x1x2＝6，
∴（2k）2+（k2+k）＝6，
解得k＝1或k＝﹣，
∵k≤0，
∴k＝﹣．
【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的定义，解题的关键是：（1）利用二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于k的一元一次不等式组；（2）牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”．
20．如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：1．如果要使彩条所占面积是图案面积的，应如何设计彩条的宽度？
【分析】设竖彩条的宽度为xcm，则横彩条的宽度为2xcm，除彩条之外的部分可合成长为（30﹣2x）cm，宽为（20﹣2×2x）cm的长方形，根据除彩条之外的部分所占面积是图案面积的（1﹣），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出竖彩条的宽度，再将其代入2x中，即可求出横彩条的宽度．
解：设竖彩条的宽度为xcm，则横彩条的宽度为2xcm，除彩条之外的部分可合成长为（30﹣2x）cm，宽为（20﹣2×2x）cm的长方形，
根据题意得：（30﹣2x）（20﹣2×2x）＝30×20×（1﹣），
整理得：x2﹣20x+19＝0，
解得：x1＝1，x2＝19（不符合题意，舍去），
∴2x＝2×1＝2．
答：横彩条的宽度是2cm，竖彩条的宽度是1cm．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．近年来我国无人机设备发展迅猛，新型号无人机不断面世，科研单位为保障无人机设备能安全投产，现针对某种型号的无人机的降落情况进行测试，该型号无人机在跑道起点处着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间满足二次函数关系，其部分函数图象如图所示．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若跑道长度为900（m），是否够此无人机安全着陆？请说明理由．
【分析】（1）由图象可知抛物线过点（10，600），（15，750）分别代入解析式求解方程组即可得出结论；
（2）将（1）中求出解析式化为顶点式，确定出无人机滑行需要的最远距离，然后与900比较大小即可得出结论．
解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx（a≠0），
由图象可知抛物线过点（10，600），（15，750）依次代入解析式得，
，
解得：，
所以抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+80x；
（2）可以安全着陆，理由如下：
y＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800，
∵该抛物线开口向下，
∴当x＝20时，y取得最大值800，
即该无人机从跑道起点开始滑行至停下，需要800m，
∵跑道长900＞800，
∴该无人机可以安全着陆．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，理解题意，准确求出函数解析式是解题关键．
22．如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，且BC∥OD，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若BC＝3，DE＝2，求⊙O的半径长．
【分析】（1）利用平行线的性质得到∠ODB＝∠CBD，加上∠ODB＝∠OBD，所以∠OBD＝∠CBD；
（2）过O点作OH⊥BC于H，如图，根据垂径定理得到BH＝CH＝，再证明△ODE≌△BOH得到DE＝OH＝2，然后利用勾股定理计算OB的长即可．
【解答】（1）证明：∵OD∥BC，
∴∠ODB＝∠CBD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠OBD＝∠CBD，
∴BD平分∠ABC；
（2）解：过O点作OH⊥BC于H，如图，则BH＝CH＝BC＝，
∵DE⊥AB，OH⊥BC，
∴∠DEO＝90°，∠OHB＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠DOE＝∠OBH，
在△ODE和△BOH中，
，
∴△ODE≌△BOH（AAS），
∴DE＝OH＝2，
在Rt△OBH中，OB＝＝＝，
即⊙O的半径长为．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和全等三角形的判定与性质．
23．某商家销售一种成本为20元的商品，销售一段时间后发现，每天的销量y（件）与当天的销售单价x（元/件）满足一次函数关系，并且当x＝25时，y＝550；当x＝30时y＝500．物价部门规定，该商品的销售单价不能超过52元/件．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润是8000元？
（3）当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，并求出最大利润．
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润＝单件利润×销售量”可得关于x的一元二次方程，解之即可得；
（3）利润w＝（x﹣20）（﹣10x+800）＝﹣10（x﹣80）（x﹣20），即可求解．
解：（1）设y＝kx+b，
根据题意可得，
解得，
则y＝﹣10x+800（0＜x≤52）；
（2）根据题意，得（x﹣20）（﹣10x+800）＝8000，
整理，得x2﹣100x+2400＝0，
解得x1＝40，x2＝60，
∵销售单价最高不能超过52元/件，
∴x＝40，
答：销售单价定为40元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元；
（3）利润w＝（x﹣20）（﹣10x+800）＝﹣10（x﹣50）2+9000
∵﹣10＜0，
∴当x＝50时，w取最大值为：9000，
故当销售单价定为50元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，其最大利润为9000元．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
24．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，把它们的底角顶点连接起来形成一组可证得全等的三角形，我们把连接的那两条线段叫做“友好”线段．例如：如图1，△ABC中，AB＝AC，△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接DB，EC，则可证得△ADB≌△AEC，此时线段DB和线段EC就是一对“友好”线段．
（1）如图2，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°．
①图中线段AE的“友好”线段是 BD和AE ；
②连接AD，若AC＝4，AD＝2，∠DAC＝45°，求AE的长：
（2）如图3，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，P是△ACB外一点，∠APC＝75°，PC＝3，AP＝6，求线段BP的长．
【分析】（1）①如图2，根据等腰直角三角形的性质得到AC＝BC，CD＝CE，求得∠ACE＝∠BCD，根据全等三角形的性质即可得到结论；
②连接AD，根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB＝45°，求得AB＝AC＝4，根据勾股定理即可得到结论；
（2）以PC为直角边在CP的下面作等腰直角三角形PCE，是∠PCE＝90°，PC＝CE，得到PE＝PC＝6，根据等腰三角形的性质得到∠PAE＝∠AEP＝30°，根据全等三角形的性质得到AE＝BP，∠EAC＝∠PBC，根据直角三角形的性质即可得到结论．
解：（1）①如图2，∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴AC＝BC，CD＝CE，
∴∠ACE＝∠BCD，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE＝BD，
∴图中线段AE的“友好”线段是BD和AE，
故答案为：BD和AE；
②连接AD，
∵△ACB是等腰直角三角形，
∴∠CAB＝45°，
∵AC＝4，
∴AB＝AC＝4，
∵∠DAC＝45°，
∴∠DAB＝90°，
∵AD＝2，
∴BD＝＝＝6，
由①知，AE＝BD，
∴AE＝6；
（2）以PC为直角边在CP的下面作等腰直角三角形PCE，是∠PCE＝90°，PC＝CE，
∵PC＝3，
∴PE＝PC＝6，
∵PA＝6，∠APC＝75°，
∴∠APE＝120°，PA＝PE，
∴∠PAE＝∠AEP＝30°，
∵AC＝BC，PC＝CE，∠ACB＝∠PCE＝90°，
∴∠ACE＝∠BCP，
∴△ACE≌△BCP（SAS），
∴AE＝BP，∠EAC＝∠PBC，
∵∠AFH＝∠BFC，
∴∠AHF＝∠BCF＝90°，
∴PB⊥AE，
∴AE＝2AH，
∴AH＝AP＝3，
∴线段BP的长为6．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键．
25．二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．
（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；
（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接PC、PE、CE，当△CEP的面积为30时，求点P的坐标．
【分析】（1）将A（2，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx+3，即可得解析式，配成顶点式得E坐标；
（2）连接CB，CD，设D（4，m），BD的垂直平分线恰好经过点C，可得CD＝BC，据此列出方程即可求解；
（3）设CP交抛物线的对称轴于点M，P（n，n2﹣2n+3），用含n的式子表示直线CP的关系式和M坐标，以及ME长度，根据△CEP的面积为30列方程即可求得n，从而求出P的坐标．
解：（1）将A（2，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，解得，
∴二次函数的解析式为，
∵，
∴顶点坐标E（4，﹣1）；
（2）连接CB，CD，如图：
在二次函数中令x＝0得y＝3，
∴C（0，3），
∵二次函数的对称轴为x＝4，
∴设D（4，m），而B（6，0），
∵点C在线段BD的垂直平分线CN上有CD＝BC，故CD2＝BC2，
∴42+（m﹣3）2＝62+32，
解得，
∴满足条件的点D的坐标为或；
（3）设CP交抛物线的对称轴于点M，如图：
设P（n，n2﹣2n+3），直线CP的解析式为y＝kx+3，
将P坐标代入得，
∴，
∴直线CP的关系式，
当x＝4时，，
∴M（4，n﹣5），ME＝n﹣5﹣（﹣1）＝n﹣4，
∴S△CPE＝S△CEM+S△PEM＝（xP﹣xC）•ME＝n•（n﹣4），
∴n（n﹣4）＝30，
∴n2﹣4n﹣60＝0，解得n＝10或n＝﹣6，
当n＝10时，P（10，8），
当n＝﹣6时，P（﹣6，24）．
综上所述，满足条件的点P的坐标为（10，8）或（﹣6，24）．
【点评】本题考查二次函数综合应用，解题的关键是设坐标，用含字母的代数式表示相关线段的长，再根据已知列方程．
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