数学3 正方形的性质与判定学案

这是一份数学3 正方形的性质与判定学案，共11页。学案主要包含了中考要求，知识点睛，学习目标，学习重难点，学习过程，达标检测等内容，欢迎下载使用。
正方形的性质与判定 【中考要求】板块名称中考考试要求层次ABC正方形会识别正方形掌握正方形的概念、性质和判定，会用正方形的性质和判定解决简单问题会用正方形的知识解决有关问题【知识点睛】1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2．正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形。它具有前三者的所有性质：① 边的性质：对边平行，四条边都相等。② 角的性质：四个角都是直角。③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角。④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形。平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）3．正方形的判定判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形。判定②：有一个角是直角的菱形是正方形。【学习目标】1． 掌握正方形的定义和性质，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系2． 掌握正方形的判定方法并能在解题中选择恰当的方法。3． 提高学生分析问题及解决问题的能力。4． 通过分析概念之间的联系与区别，培养学生辨证唯物主义观点【学习重难点】重点：知晓正方形的性质和正方形的判定方法。难点：正方形知识的灵活应用 【学习过程】一、正方形的性质铺垫    正方形有        条对称轴。例1：（1）已知正方形的边长是正方形的对角线，则         （2）如图，已知正方形的面积为，点在上，点在的延长线上，且，则的长为          （3）如图，在正方形中，为边的中点，，分别为，边上的点，若，，，则的长为。  例2： 将个边长都为的正方形按如图所示摆放，点分别是正方形的中心，则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为            例3：如图，正方形的边长为，以为圆心，长为半径画弧交对角线于点，连接，是上任意一点，于，于，则的值为         铺垫：如图，是正方形对角线上的一点，求证：。 例4  ：如图，为正方形对角线上一点，于，于。求证：。例5：如图所示，正方形对角线与相交于，∥，且分别与交于。试探讨与之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程。例6：如图，已知是正方形内的一点，且为等边三角形，那么         例7：已知正方形，在、上分别取、两点，使，求证：是等腰直角三角形。 例8：如图，已知、分别是正方形的边、上的点，、分别与对角线相交于、，若，则         。 例9：如图，四边形为正方形，以为边向正方形外作正方形，与相交于点，则          例10：如图，正方形中，在的延长线上取点，，使，。连结分别交，于，。求证：是等腰三角形。例11：如图，过正方形顶点引，且。若与的延长线的交点为，求证。例12：如图所示，在正方形中，、是内的两条射线，，，，，求证，。例13：如图，正方形的边在正方形的边上，连接，求证：。例14：如图，在正方形中，为边上的一点，为延长线上的一点，，，求的度数。例15：已知：如图，在正方形中，是上一点，延长到，使，连接并延长交于。（1）求证：；（2）将绕点顺时针旋转得到，判断四边形是什么特殊四边形？并说明理由。 例16：若正方形的边长为，为边上一点，，为线段上一点，射线交正方形的一边于点，且，则的长为           。 例17：如图1，在正方形中，、、、分别为边、、、上的点，，连接、，交点为。（1） 如图2，连接，试判断四边形的形状，并证明你的结论；（2） 将正方形沿线段、剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形。若正方形的边长为，，则图3中阴影部分的面积为_________。例18：如图，正方形对角线相交于点，点、分别是、上的点，，求证：（1）；（2）。例19：如图，正方形中，是边上两点，且于，求证：例20：如图，点分别在正方形的边上，已知的周长等于正方形周长的一半，求的度数。例21：如图，设正方形的对角线，在延长线上取一点，使，与交于，求证：正方形的边长。例22：把正方形绕着点，按顺时针方向旋转得到正方形，边与交于点（如图）。试问线段与线段相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想。例23：如图所示，在直角梯形中，，，是的垂直平分线，交于点，以腰为边作正方形，作于点，求证。　二、正方形的判定例1：四边形的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形，求证：（1）四边形对角互补；（2）若四边形为平行四边形，则四边形为矩形。（3）四边形为长方形，则四边形为正方形。巩固1：如图，已知平行四边形中，对角线、交于点，是延长线上的点，且是等边三角形。（1）    求证：四边形是菱形；（2）    若，求证：四边形是正方形。巩固2：已知：如图，在中，，，垂足为点，是外角的平分线，，垂足为点。（1） 求证：四边形为矩形；（2）    当满足什么条件时，四边形是一个正方形？并给出证明。例2：如图，点是矩形边的中点，，点是边上一动点，，，垂足分别为、，求点运动到什么位置时，四边形为正方形。 例3：如图，是边长为的正方形，是内接于的正方形，，若  则=           例4：如图，在线段上，和都是正方形，面积分别为和，则:的面积为             巩固1：如图，在正方形中，点为正方形内的两点，且，则               例5：如图，若在平行四边形各边上向平行四边形的外侧作正方形，求证：以四个正方形中心为顶点组成一个正方形。例6：已知：，，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧。（1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应∠APB的大小。【达标检测】1．如图，正方形中，是对角线的交点，过点作，分别交于，若，则         2．如图所示，是正方形，为上的一点，四边形恰好是一个菱形，则______。  3．如果点、是正方形的对角线上两点，且，你能判断四边形的形状吗？并阐明理由。    4．如图，在正方形中，、分别是、的中点，求证：。