河南省鹤壁市高中2022-2023学年高三上学期第三次模拟考试数学理科试题及答案

河南省鹤壁市高中2022-2023学年高三上学期第三次模拟考试数学理科试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设a，b，c是空间的三条直线，有下列四个命题：

①若，，则；

②若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则，c也是异面直线；

③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；

④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面.

其中真命题的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

2．如图所示，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为（    ）

A． B．

C． D．

3．已知三棱锥P-ABC中，底面ABC，PA＝AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

4．已知点是圆的动点，直线上存在两点，，使得恒成立，则线段长度的最小值是（    ）

A． B． C． D．

5．已知四棱锥中，平面底面ABCD，是等边三角形，底面ABCD是菱形，且，M为棱PD的中点，则下列结论不正确的有（    ）

A．平面AMC B．

C． D．PB与AM所成角的余弦值为

6．已知是椭圆的左､右焦点，点为抛物线准线上一点，若是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

7．已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

8．已知F为抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，（其中O为坐标原点），则与面积之和的最小值是（    ）

A． B．3 C． D．

9．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（    ）

A． B． C．1 D．

10．已知椭圆的左焦点为，离心率为．过点作直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，若恰好是的中点，则直线l的斜率为（    ）

A． B． C． D．

11．已知双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为（    ）

A． B． C． D．

12．已知椭圆C方程为：，左右焦点是，圆，动圆P的圆心P在椭圆C上并且与圆外切，直线l是圆P和圆的外公切线，直线l与椭圆C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，则三角形的面积为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．已知椭圆左､右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线与过的直线交于点，点在椭圆上，且.则椭圆的离心率__________.

14．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.在堑堵中，，M是的中点，，N，G分别在棱，上，且，，平面与交于点H，则__________.

15．已知的外接圆直径为是的中点，且，则___________.

16．已知圆与圆，在下列说法中：

①对于任意的，圆与圆始终相切；

②对于任意的，圆与圆始终有四条公切线；

③时，圆被直线截得的弦长为；

④分别为圆与圆上的动点，则的最大值为4

其中正确命题的序号为___________.

三、解答题

17．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1.

(1)求证:BC⊥平面ACFE.

(2)在线段EF上是否存在点M，使得平面MAB与平面FCB所成锐二面角的平面角为θ，且满足cosθ=，若不存在，请说明理由;若存在，求出FM的长度.

18．已知椭圆，，是椭圆上的两个不同的点.

(1)若点满足，求直线的方程；

(2)若，的坐标满足，动点满足（其中为坐标原点），求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状；

19．已知圆：，点是直线：上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和．

(1)试问直线是否恒过定点，若是求出这个定点，若否说明理由；

(2)直线与圆交于，两点，求的取值范围（为坐标原点）．

20．在平面直角坐标系中，已知等轴双曲线过点

(1)求双曲线的方程；

(2)已知点，斜率为的直线与双曲线交于两点（不同于点），且，求证直线过定点.

21．已知函数.

(1)当时，求在点处的切线方程；

(2)若在上有两个不同的零点，求实数a的取值范围.

22．已知双曲线的右焦点为，过右焦点作斜率为正的直线，直线交双曲线的右支于，两点，分别交两条渐近线于两点，点在第一象限，为原点．

(1)求直线斜率的取值范围；

(2)设，，的面积分别是，，，求的范围．

参考答案：

1．A

【分析】根据空间线线的位置关系逐项分析即得.

【详解】①若a⊥b，b⊥c，则则a与c可能相交、平行、异面，故命题不正确；

②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c可能相交、平行、异面，故命题不正确；

③若a和b相交，b和c相交，则a和c可能相交、平行、异面，故命题不正确；

④若a和b共面，b和c共面，则和可能共面，也可能异面，故命题不正确；

故真命题的个数为0.

故选：A.

2．C

【分析】根据已知条件求得椭圆的长半轴和半焦距，由此求得椭圆的离心率.

【详解】由题意，设圆柱底面直径为，则椭圆短轴长，椭圆长轴竖直截面如下图所示：

由题意及图，可知为直角等腰三角形，且，

故，椭圆的长轴长，

所以，

所以椭圆的离心率.

故选：C

3．C

【分析】由平面，可将此三棱锥补成直三棱柱，则三棱柱的外接球就是三棱锥的外接球，

三棱柱上下两个底面的外心连线的中点就是球心，然后通过计算可得外接球的半径，从而可求得外接球的表面积.

【详解】将三棱锥还原成直三棱柱，则三棱柱的外接球即为球，为上下底面的外心，

为的中点，为底面外接圆的半径，

由余弦定理得

由正弦定理得，由，得，

所以球的表面积为．

故选：C

4．A

【分析】根据几何的思路得到当以为直径的圆与圆内切，且时，线段长度最小，然后求即可.

【详解】由得圆心，半径，

直线上存在使恒成立，则以为直径的圆包含圆，当长度最小时，两圆内切，设中点为，则此时，所以.

故选：A.

5．C

【分析】连接交于点，利用三角形中位线性质可得，由线面平行的判定可知A正确；利用等腰三角形三线合一性质可得，，由线面垂直判定可知平面，由线面垂直的性质可知B正确；根据面面垂直的性质得出为直角三角形，求出的长度，证明不是直角，从而得出不是等腰三角形，从而判断C；由平行关系可知所求角为或其补角，利用余弦定理可求得，由此可知D正确.

【详解】对于A，连接交于点，连接，

四边形为菱形，为中点，又为中点，，

平面，平面，平面，A正确；

对于B，取中点，连接，

为等边三角形，为中点，；

，，为等边三角形，；

，平面，平面，

又平面，，B正确；

对于C，设，则，

，平面，平面平面，平面平面，平面，

又平面，，

，又，

在中，，则不是直角，则不是等腰三角形，即与长度不等，故C错误；

对于D，，与所成角即为与所成角，即为或的补角；

由C知，，，

，

即与所成角的余弦值为，D正确.

故选：C.

6．A

【分析】利用几何性质确定中得，利用可得的关系，即可得椭圆离心率.

【详解】解：如图，抛物线的准线与轴的交点为

因为是椭圆的左､右焦点，所以

抛物线准线为：直线，所以

因为是底角为的等腰三角形，则

则

则 ，整理得：

所以离心率.

故答案为：A.

7．A

【分析】利用函数奇偶性的定义及导数可得函数为R上单调递增的奇函数，化简不等式，然后将分离，利用基本不等式，即可求出答案.

【详解】因为的定义域为R，

，

所以函数是奇函数，

由，

可知在上单调递增，

所以函数为R上单调递增的奇函数，

所以不等式对任意均成立等价于

，

即，即对任意均成立，

又，当且仅当时取等号，

所以的取值范围为.

故选：A.

8．D

【分析】设（）且直线，联立抛物线应用韦达定理，结合向量数量积的坐标表示求得，进而可得，最后应用基本不等式求最小值，注意取值条件.

【详解】

设（）且直线，联立抛物线得，

由，而，所以，得或，

又A，B位于x轴的两侧，故，故，

由，且过定点，

又，，

所以，当且仅当时等号成立.

故与面积之和的最小值是.

故选：D

9．B

【分析】利用椭圆和双曲线的定义及可以列出关于，的方程，再利用均值定理即可得到的最小值

【详解】设椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，

，，（） ，

则，解之得

又

则

则，则

则，则

（当且仅当时等号成立）

则的最小值为

故选：B

10．B

【分析】设椭圆焦距为，再设出三点，由，

通过计算可得到，进而得到，即可解得斜率．

【详解】设椭圆焦距为，所以．

设，则，

且，由两式相减可得，

即，

根据条件可得：，

故，

由，可得．

因为，所以，

即直线的斜率为．

故选：B．

11．D

【分析】根据给定条件，借助双曲线求出抛物线焦点F的坐标，再结合抛物线定义及几何意义求解最值作答.

【详解】双曲线的渐近线，右焦点，

依题意，，解得，因此抛物线的焦点为，方程为，其准线为，

由消去x并整理得：，，即直线与抛物线相离，

过点F作于点P，交抛物线于点M，过M作于点Q，交直线于点N，

则有，

在抛物线上任取点，过作于点，作于点，交准线于点，连，如图，

显然，当且仅当点与点重合时取等号，

所以抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为.

故选：D

【点睛】思路点睛：涉及抛物线上的点到定点与到焦点距离和或到定直线与准线距离和的最小值问题，利用抛物线定义转化求解即可.

12．C

【分析】根据题意画出图形，得到当圆的半径最长时，点位于椭圆的右顶点，作出辅助线得到，进而计算出，进而可得直线l的斜率，设出直线l的方程，通过点到直线距离求出直线l的方程，进而和椭圆方程联立，利用弦长公式，求出三角形面积.

【详解】当圆的半径最长时，即最长，此时点位于椭圆的右顶点，且圆的半经为2，

不妨选取如图所示的公切线进行计算三角形的面积，切点分别为，

过点作交于点，

则，，，

则，

则，，

即，，

设直线为，即，

由点到直线距离可知：，解得：，

即直线为，

联立，消去得：，

设，则，

则.

故选：C

13．##

【分析】求出、，利用椭圆的定义可得出关于、的等式，即可求得椭圆的离心率的值.

【详解】在中，，，则，

，则，

由椭圆的定义可得，则.

故答案为：.

14．12

【分析】构造辅助线证明出，求出，进而利用比例得到的值.

【详解】

如图，延长，交于K，连接，交于H.则，

则，则，又，所以，

则，所以.

故答案为：12.

15．##0.125

【分析】利用向量的运算性质可得，再由正弦定理可得，即可得解.

【详解】因为的外接圆直径为，，

是的中点，且，如图，

由正弦定理可知，,故，

.

故答案为：

16．①③④

【分析】对于①，两个圆相切等价于两个圆的圆心距刚好等于两个圆的半径之和或差，由此可解；

对于②，两圆外切时，只有三条公切线，故可判断；

对于③，代入求得圆，再利用弦长公式即可求得所截弦长；

对于④，由两圆外切可知的最大值就是两圆的直径之和，由此得解.

【详解】对于①，由题意得，圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为，

所以两圆的圆心距，

又，即，即两圆外切，

所以对于任意，圆和圆始终相切，故①正确；

对于②，由①知两圆相切，所以两圆只有三条公切线，故②错误；

对于③，当时，圆的方程为，故圆心为，

又直线，故圆心到直线的距离为，

设其被所截弦为，故由弦长公式得，故③正确；

对于④，由①知两圆相切，所以两圆上的点的最大距离就是两圆的直径之和，所以，故④正确.

故答案为：①③④.

【点睛】本题通过命题的形式考查了直线与圆及圆与圆的位置关系，圆与圆的位置关系离不开圆心距与半径的和、差的关系，本题中利用两点间的距离公式和三角函数知识即可得到圆心距为定值，恰好等于半径的和，得到两个圆为外切关系，公切线有条；关于圆的弦长通常求出弦心距利用勾股定理即可求得弦长；两动点间的距离根据图形转化为两定点间的距离来解决就容易多了.

17．(1)证明见解析

(2)存在，

【分析】（1）将底面梯形单独分析得到，再根据面面垂直的性质定理即可证明；

（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，计算出相关法向量，利用二面角公式得到方程，解出的长度.

【详解】（1）证明:如图所示的等腰梯形中,经过点,分别作,,垂足为,,则为矩形,.在中,,则,

同理可得.

在中,

,

又平面平面,平面平面平面,平面.

（2）如图所示,建立空间直角坐标系.

设,

,

设平面的法向量,

则，令，

则，取平面的法向量，

由题意假设:,.

解得.

因此在线段上存在点,使得平面与平面所成锐二面角的平面角为,且满足，.

18．(1)

(2)，轨迹是以，为左右焦点，长轴长为的椭圆.

【分析】（1）根据得到是线段中点，利用点差法得到，得到直线的方程；

（2）设出，根据，得到，结合，，得到，即动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状.

【详解】（1）由已知可得，是线段中点，

，，

由已知，，

两式相减化简整理得：，

所以，

直线的方程是；

（2）设，，

由，可得

由②

结合①②可得，

又，是椭圆上的点，故，，

所以，即，

所以动点的轨迹方程为，

根据椭圆的标准方程可知，轨迹是以，为左右焦点，长轴长为的椭圆.

19．(1)直线恒过定点

(2)

【分析】(1)由题可知，，在以为直径的圆上，利用两圆方程，求得直线的方程，即可求解．

(2)直线与圆联立方程组,利用韦达定理解决取值范围.

【详解】（1）直线恒过定点，

设，由题意知，在以为直径的圆上，又，则以为直径的圆的方程为，即，

又圆，即，

两式相减，故直线的方程为，即，

由，解得，，即直线恒过定点，

（2）由，消去，得，

直线与圆交于，两点，，

解得，

设，，

由韦达定理，有，，

设，由二次函数的性质可知，的图像抛物线开口向上，对称轴方程为，在上单调递减，在上单调递增，，

的取值范围为.

20．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由题意，代入点，求解即可；

（2）设，联立直线和双曲线，用坐标表示，结合韦达定理，可得或,分析即得解.

【详解】（1）由等轴双曲线知，

又过点，所以，  

解之得，

所以双曲线的方程为.

（2）设，,

联立得,

当时，,

又因为，即,

即，

化简得解得或,

当,直线方程为,过定点,与重合，不成立，舍去；

当，直线方程为，恒过点.

21．(1)

(2)

【分析】（1）对的方法进行求导，利用导数几何意义求出在点处的切线方程；

（2）对进行求导，然后对进行分类讨论研究图像，进而求出实数a的取值范围.

【详解】（1）时，，

，，

所以切线方程为，

即

（2）

当时，∵，

∴函数在上单调递增，

从而至多有一个零点，不符合题意.

当时，∵，

∴当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

∴在上单调递增，在上单调递减.

因为，所以在上有两个不同的零点需要满足：

解得，

所以当时，，满足在上有两个不同的零点.

∴a的取值范围是.

【点睛】函数零点的求解与判断方法：

(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

22．(1)；

(2).

【分析】（1）根据题意，求出得到双曲线方程，设出直线方程，联立双曲线方程由韦达定理即可解得直线斜率的取值范围；

（2）由直线与渐近线联立可求出两点的坐标，再求出到两条渐近线的距离，，整体代入求出，分割利用韦达定理结合三角形面积公式，可求得，进而得到关于的函数关系式，即可得到答案.

【详解】（1）因为双曲线的右焦点为，故，

由得，所以双曲线的方程为，，

设直线的方程为，联立双曲线方程得，

，解得，

即直线的斜率范围为；

（2）设，渐近线方程为，则到两条渐近线的距离，满足，

而，，

，

所以

由，

，

所以，，

∵，∴.