初中北师大版第二章 一元二次方程1 认识一元二次方程教学设计及反思

认识一元二次方程

【教学目标】

理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题。

提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程。

【教学重难点】

1．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想。

2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程。

【教学过程】

 一、复习引入

学生活动：请同学们完成下列各题

问题1．填空

（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2．

问题2．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cM²？

老师点评：

问题1：根据完全平方公式可得：（1）16  4；（2）4  2；（3）（）2  。

问题2：设x秒后△PBQ的面积等于8cM²

则PB=x，BQ=2x

依题意，得：x·2x=8

x2=8

根据平方根的意义，得x=±2

即x1=2，x2=-2

可以验证，2和-2都是方程x·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值。

所以2秒后△PBQ的面积等于8cM²．

二、探索新知

上面我们已经讲了x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±2，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？

（学生分组讨论）

老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±2

即2t+1=2，2t+1=-2

方程的两根为t1=-，t2=--

例1：解方程：x2+4x+4=1

分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．

解：由已知，得：（x+2）2=1

直接开平方，得：x+2=±1

即x+2=1，x+2=-1

所以，方程的两根x1=-1，x2=-3

例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10M²提高到14．4m，求每年人均住房面积增长率。

分析：设每年人均住房面积增长率为x。一年后人均住房面积就应该是10+10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2

解：设每年人均住房面积增长率为x，

则：10（1+x）2=14．4

（1+x）2=1．44

直接开平方，得1+x=±1．2

即1+x=1．2，1+x=-1．2

所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2．2

因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2．2应舍去。

所以，每年人均住房面积增长率应为20%。

（学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？

共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程。我们把这种思想称为“降次转化思想”。

三、应用拓展

例3．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3．31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？

分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2．

解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x。

那么1+（1+x）+（1+x）2=3．31

把（1+x）当成一个数，配方得：

（1+x+）2=2．56，即（x+）2=2．56

x+=±1．6，即x+=1．6，x+=-1．6

方程的根为x1=10%，x2=-3．1

因为增长率为正数，

所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%。

四、归纳小结

本节课应掌握：

由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±，达到降次转化之目的。

【布置作业】

选用作业设计：

一、选择题

1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（  ）。

  A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2D．p=-4，q=-2

2．方程3x2+9=0的根为（  ）。

  A．3  B．-3  C．±3 D．无实数根

3．用配方法解方程x2-x+1=0正确的解法是（  ）。

  A．（x-）2=，x=±

  B．（x-）2=-，原方程无解

  C．（x-）2=，x1=+，x2=

  D．（x-）2=1，x1=，x2=-

二、填空题

1．若8x2-16=0，则x的值是_________。

2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________。

3．如果A、B为实数，满足+b2-12b+36=0，那么ab的值是_______。

三、综合提高题

1．解关于x的方程（x+m）2=n。

2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m。

（1）鸡场的面积能达到180M²吗？能达到200m吗？

（2）鸡场的面积能达到210M²吗？

3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，并说明你制作的理由吗？

答案：

一、1．B  2．D  3．B

二、1．±  2．9或-3  3．-8

三、1．当n≥0时，x+m=±，x1=-m，x2=--m。当n<0时，无解

2．（1）都能达到。设宽为x，则长为40-2x，

依题意，得：x（40-2x）=180

整理，得：x2-20x+90=0，x1=10+，x2=10-；

同理x（40-2x）=200，x1=x2=10，长为40-20=20.

（2）不能达到，同理x（40-2x）=210，x2-20x+105=0，

b2-4ac=400-410=-10<0，无解，即不能达到。

3．因要制矩形方框，面积尽可能大，

所以，应是正方形，即每边长为1米的正方形。