四川省自贡市2023届高三第一次诊断性考试数学（理）试题及答案

这是一份四川省自贡市2023届高三第一次诊断性考试数学（理）试题及答案，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
四川省自贡市2023届高三第一次诊断性考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．2．已知复数z满足，则（    ）A． B． C．2 D．3．记为等差数列的前n项和，已知，，则（    ）A．15 B．16 C．19 D．204．函数，的大致图象是（    ）A． B．C． D．5．新冠肺炎疫情防控中，测量体温是最简便、最快捷，也是筛查成本比较低、性价比很高的筛查方式，是更适用于大众的普通筛查手段．某班级体温检测员对某一周内甲、乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论不正确的是（    ）A．甲同学的体温的极差为0.5℃B．甲同学的体温的众数为36.3℃C．乙同学的体温的中位数与平均数不相等D．乙同学的体温比甲同学的体温稳定6．在某个单位迎新晚会上有A、B、C、D、E、F6个节目，单位为了考虑整体效果，对节目演出顺序有如下具体要求，节目C必须安排在第三位，节目D、F必须安排连在一起，则该单位迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（    ）种A．36 B．48 C．60 D．727．已知命题，命题，则p是q成立的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．在中，，，点M在边AB上，且满足，则（    ）A． B．3 C．6 D．89．函数在的最大值为7，最小值为3，则ab为（    ）A． B． C． D．10．已知函数，且，则实数a的取值范围为（    ）A． B． C． D．11．经研究发现，某昆虫释放信息素后，在距释放处的地方测得信息素浓度y满足，其中A，K为非零常数.已知释放1s后，在距释放处2m的地方测得信息素浓度为a，则释放信息素4s后，信息素浓度为的位置距释放处的距离为（    ）A． B． C．2m D．4m12．已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）A． B． C． D． 二、填空题13．若变量满足约束条件，则的最大值是______.14．若的展开式的二项式系数和为32，则展开式中x的系数为______.15．已知数列对任意的，都有，且，当时，______.16．已知函数，在区间上有且仅有2个零点，对于下列4个结论：①的取值范围是；②在区间上存在，，满足；③在区间上单调递减；④在区间有且仅有1个极大值点；其中所有正确结论的编号为______. 三、解答题17．等比数列的各项均为正数，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设，若数列为的前n项和，比较与的大小.18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.若D在线段BC上，且，.(1)求A；(2)求面积的最大值.19．我省将在年全面实施新高考，取消文理科，实行“”，其中，“”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“”为首选科目，考生须在高中学业水平考试的物理、历史科目中选择其中一科；“”为再选科目，考生可在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科．为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查人（把年龄在称为中青年，年龄在称为中老年），并把调查结果制成下表：年龄（岁）[15，25) [25，35)  [35，45)  [45，55)  [55，65)  [65，75] 频数515101055了解4126521 (1)把年龄在称为中青年，年龄在称为中老年，请根据上表完成列联表，是否有的把握判断对新高考的了解与年龄(中青年、中老年)有关？ 了解新高考不了解新高考总计中青年   中老年   总计    (2)若从年龄在的被调查者中随机选取人进行调查，记选中的人中了解新高考的人数为，求的分布列以及． 附：．20．已知函数，，.(1)当时，求的单调区间；(2)若函数有零点，求a的取值范围.21．设函数，其中，e为自然对数底数.(1)若，求函数的最值；(2)证明：当时，.22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线.（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；（2）设直线与曲线和曲线分别交于和两点（均异于点），求线段的长.23．已知函数．(1)若，求实数a的取值范围；(2)若对任意的，总存在使成立，求实数a的取值范围．
参考答案：1．A【分析】根据正弦函数的值域可得集合，再根据交集运算求解即可.【详解】因为，，所以.故选:A.2．B【分析】利用复数除法运算求得，进而求得.【详解】，所以.故选：B3．C【分析】利用等差数列前项和公式以及通项公式得到方程组，解出即可得到.【详解】为等差数列，，结合，解得，则，故选：C.4．D【分析】计算的值即可判断AB选项，通过函数奇偶性的判断与证明即可判断CD选项.【详解】，故AB错误，的定义域为，关于原点对称，且，故为偶函数，故C错误，D正确，故选：D.5．C【分析】根据折线图，进行数据分析，直接计算极差判断A，由众数概念判断B，由中位数和平均数确定C，由折线图直接判断D.【详解】对于A：甲同学的体温的极差为℃，故A选项正确；对于B：甲同学的体温从低到高依次为36.1℃，36.1℃，36.3℃，36.3℃，36.3℃，36.5℃，36.6℃，故众数为36.3℃，故B选项正确；对于C：乙同学的体温从低到高依次为36.2℃，36.3℃，36.3℃，36.4℃，36.5℃，36.5℃，36.6℃，故中位数为36.4℃，而平均数也是36.4℃，故C选项错误；对于D：从折线图上可以看出，乙同学的体温比甲同学的体温稳定，故D选项正确.故选：C6．A【分析】根据D、F在一二位或四五位、五六位先安排D、F两个节目，C是固定的，然后其他三个节目任意排列，由此可得．【详解】由题意D、F在一二位或四五位、五六位，C是固定的，其他三个节目任意排列，因此方法数为．故选：A．7．B【分析】利用反例证明充分性不成立，利用不等式性质证明必要性成立，则得到答案.【详解】若则满足命题，但不满足后者命题，故命题无法推出命题，而若，则，对两边同乘得，即，故命题可以推出命题，故是的必要不充分条件，故选：B.8．B【分析】结合向量的数量积运算以及线性运算求得正确答案.【详解】依题意，，，所以.故选：B9．B【分析】首先根据区间的定义以及的有界性确定的范围，然后再利用正切函数的单调性得到的单调性，再代入相应端点值及对应的最值得到相应的方程，解出即可.【详解】，，，根据函数在的最大值为7,最小值为3，所以，即，根据正切函数在为单调增函数，则，在上单调减函数，，，则，，，，，故选：B.10．D【分析】构造函数，则，然后判断函数的单调性及奇偶性，结合单调性及奇偶性可求.【详解】解：令，则，因为，，∴为奇函数，又因为，由复合函数单调性知为的增函数，∵，则，∴，， ∴，解得或，故故选：D.11．D【分析】根据题意，根据和时的表达式，结合对数运算，即可求解.【详解】根据题意，由，，，得当，时，，即，因此，故.故选：D.12．D【分析】首先证明此函数为偶函数，再利用其导函数得到其单调性，利用其是偶函数得到，，通过指数函数单调性得，再根据幂函数性质证明出，同取对数得到，则有，再利用单调性即可得到大小关系.【详解】因为，定义域关于原点对称，，所以为上的偶函数，当时,，设，则，，，所以即在上单调递减,所以,所以在上单调递减,又因为为偶函数,所以在上单调递增，又因为,,又因为,因为,，所以,所以，即,所以,所以,即.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题首先证明函数的奇偶性与单调性，对于其单调性的求解需要二次求导，其次就是利用函数的奇偶性对进行一定的变形得，,然后就是比较的大小关系，需要结合指数函数的单调性以及幂函数的单调性进行合理放缩，对于这种较为接近的数字比较大小问题，通常需要利用函数的单调性以及寻找合适的中间量放缩.13．3【分析】根据满足约束条件，画出可行域，将，变形为，平移直线，当直线在y轴上的截距最大时，目标函数取得最大值求解.【详解】由满足约束条件，画出可行域如图所示阴影部分：将，变形为，平移直线，当直线经过点时，直线在y轴上的截距最大，，此时，目标函数取得最大值，最大值为3故答案为：314．40【分析】根据二项式系数和求得，根据二项式展开式的通项公式求得x的系数.【详解】依题意的展开式的二项式系数和为，所以，即.二项式展开式的通项公式为.令，所以x的系数为.故答案为：15．4【分析】通过计算发现数列从第三项起为周期数列，则得到，计算出即可.【详解】根据题意知是偶数，是偶数，是偶数，是偶数，是奇数，是偶数，是偶数，是奇数，从第三项开始，正整数数列是以3为周期的周期数列，，，故答案为：4.16．①②【分析】对于①：令，求出的范围，根据 在区间上有且仅有2个零点即可限制的取值范围，从而得到的取值范围；对于②：在的范围内可以找到一个最大值一个最小值满足条件；对于③：当时，求出的范围，判断是否在的减区间内；对于④：根据条件，对应的也可能为一个极大值点.【详解】对于①：，令，则由题意，在上只能有两解和，解得，所以①成立；对于②：因为在上必有，故在上存在满足，所以②成立；对于③：当时，，由于，故，此时是增函数，从而在上单调递增.所以③不成立；对应的（显然在上)一定是极大值点，因对应的值有可能在上，故④结论错误；综上，①②成立.故答案为：①②【点睛】关键点点睛：本题关键是利用整体思想，根据整体的范围结合的图象解决零点个数，单调性，最值个数，对称性等问题.17．(1)(2). 【分析】（1）根据题意列出方程组，求出首项与公比，即可求出等比数列的通项公式即可；（2）由化简，可得到的通项公式，求出的通项公式，利用裂项相消法求和后与－2比大小.【详解】（1）设数列的公比为q,由得=,所以.由条件可知q＞0,故q=.由得 ,所以.故数列的通项公式为.（2）－（1＋2＋＋n）=－.故...故.18．(1)(2) 【分析】（1）由使用三角恒等变换求得值；（2）将用表示，由 求得关系，使用基本不等式求的最大值，从而得到面积的最大值.【详解】（1）因为，因为，所以.（2）由得，，所以.所以.所以.所以，当且仅当时等号成立.所以.所以.故面积的最大值.19．(1)列联表见解析；有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联．(2)分布列见解析，数学期望为. 【分析】（1）根据已知表格数据完成列联表，然后由参考公式求出即可判断；（2）根据离散型随机变量分布列的求解步骤及数学期望公式即可求解.【详解】（1）解：列联表如图所示： 了解新高考不了解新高考总计中青年22830中老年81220总计302050 ，所以有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联；（2）解：年龄在的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，则抽取的3人中了解新高考的人数可能取值为0，1，2．则；；．所以的分布列为：012 ．20．(1)的单调增区间为，单调减区间为；(2)当时,有1个零点. 【分析】（1）将代入得，求导分别令导函数大于0，小于0，即可得到其单调区间；（2），分，和讨论，尤其是当时，结合导函数与函数极值，最值的关系以及零点存在定理即可求出范围.【详解】（1）当时,函数,可得，当吋,，所以的单调增区间为的单调减区间为；（2）函数，，当时由(1)知在上有1个零点，当时,令,可得，由可知存在唯一的使得,所以当时,单调递增;当时,单调递减,因为，若函数有零点，必有,即时,在上有1个零点.当时，根据得到恒成立，则在单调递增，且，故此时在上不存在零点，舍去，综上可得,当时,有1个零点.21．(1)最大值为0，无最小值；(2)证明见解析； 【分析】（1）代入，求出，再求出，利用导数的性质，即可求出函数的最值.（2）设，得到，再设，，通过导数和的性质，的最小值和的最大值，得出，进而得到，得到为单调增函数，有，进而证明得到.【详解】（1），，，，在单调递减，而，，，，，的最大值为，无最小值.（2）当时，，，设，，在上是单调递减函数，，设，，在上是单调递减函数，，，，，单调递增，，，22．（1），；（2）.【分析】（1）首先根据题意得到的普通方程为，再将代入普通方程即可得到极坐标方程.（2）首先设，，分别代入曲线和曲线的极坐标方程，得到，，再根据求解即可.【详解】（1）因为曲线的参数方程为（其中为参数），所以的普通方程为①.在极坐标系中，将代入①得，化简得：的极坐标方程为.（2）因为直线的极坐标方程为，设，，将代入，得，将代入，得.所以.23．(1)(2) 【分析】（1）对参数a分段讨论，将不等式化为一次不等式即可解得答案.（2）根据题意将问题转化为，然后分别求出两边的最小值，解不等式可得答案.【详解】（1），即，亦即，等价于不等式组，或，或，解得或，故实数a的取值范围是．（2）对任意的总存在，使成立，等价于．因为，所以．又，，当且仅当时取等号，所以．由，解得，故所求实数a的取值范围是．