吉林省长春市南关区2023届九年级上学期第一学段综合测试数学试卷(含答案)

这是一份吉林省长春市南关区2023届九年级上学期第一学段综合测试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年吉林省长春市南关区九年级数学上册第一学段
数学综合测试题
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．下列关系式中，一定为二次函数的是（　　）（x为自变量）
A．y＝x+1 B．y＝3x2﹣x+1 C．y＝ D．y＝ax2
2．若二次函数y＝2x2的图象经过点P（1，a），则a的值为（　　）
A． B．1 C．2 D．4
3．抛物线y＝x2﹣4的顶点坐标是（　　）
A．（0，﹣4） B．（0，4） C．（2，0） D．（﹣2，0）
4．关于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5，则下列函数图象和性质的说法，正确的是（　　）
A．图象的开口向上 B．对称轴为直线x＝﹣1
C．当x＜1时，y随x的增大而增大 D．函数有最小值为5
5．点A（0，y1），B（5，y2）在二次函数y＝x2﹣4x+c的图象上，y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．无法比较
6．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升850米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（　　）

A．850sinα米 B．850tanα米 C．米 D．米
7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象对称轴为直线x＝2，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，下面结论中正确的是（　　）

A．abc＜0 B．4a+b＝0 C．a+b+c＜0 D．b2﹣4ac＜0
8．如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，连结AE．若OE＝1，OC＝OD，AC＝AE，则k的值为（　　）

A．2 B． C． D．2
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为　 　．
10．抛物线y＝（x+3）2﹣7与y轴交点的坐标为 　 　．
11．将抛物线y＝﹣x2先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，所得到的抛物线的表达式为 　 　．
12．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，已知图象经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是 　 　．

13．如图，抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n的交点为A（1，﹣3）、B（6，1），当y1＜y2时，x的取值范围是 　 　．

14．如图，在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣4x（x≥1）的部分记为图象G1，图象G1沿直线x＝1翻折后得到的图象记为G2，图象G1和G2组成图象G．过（0，b）作y轴的垂线l，直线l和图象G有两个交点，则b的取值范围为　 　．

三、解答题（共78分）
15．先化简，再求值：（x﹣2）2﹣4x（x﹣1）+（2x+1）（2x﹣1），其中x＝﹣．
16．随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业．现有A，B两种型号的无人机都被用来运送快件，A型机比B型机平均每小时多运送20件，A型机运送700件所用时间与B型机运送500件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？
17．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x和y满足如表：
x
……
﹣1
0
1
2
3
……
y
……
3
0
﹣1
0
m
……
（1）观察表可知：m的值为 　 　，顶点坐标为 　 　；
（2）求二次函数的解析式．
18．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD的交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：OE＝OF．
（2）若OB＝5，OF＝2，则sin∠OBE＝　 　．

19．在6×6的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B均在格点上，在所给网格中按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法．
（1）图中线段AB的长度为 　 　；
（2）在图①中以线段AB为边画一个△ABC，使其面积为6；
（3）在图②中以线段AB为边画一个△ABD，使tan∠ABD＝，且点D为格点．

20．某小区有一个半径为3m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心1m处达到最大高度为3m，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线对应的函数关系式；
（2）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为2m处，通过计算说明身高1.8m的王师傅是否被淋湿？

21．一条公路旁依次有A、B、C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离s（km）与骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示．
（1）A、B两村相距 　 　km；出发 　 　h后两人相遇；
（2）当1.25≤t≤2时，求s与t的函数关系式；
（3）直接写出相遇后乙又骑行了多长时间，两人相距2km．

22．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣1，0），直线y＝kx+3经过点B、C．
（1）抛物线解析式为 　 　，直线BC解析式为 　 　；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，CD．设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S，求S关于m的函数解析式及自变量m的取值范围，并求出S的最大值；
（3）已知点M为抛物线对称轴上的一个动点，若△MBC是以BC为直角边的直角三角形，请直接写出点M的坐标．

23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．动点P、Q同时从点A出发，点P沿AB向终点B运动，速度为每秒2个单位长度．点Q沿射线AC运动，速度为每秒1个单位长度．当点P停止运动时，点Q继续运动．以AP、AQ为邻边作▱APDQ．设运动时间为t秒．
（1）在点P运动的过程中，BP＝　 　．（用含t的代数式表示）
（2）当▱APDQ与△ABC重叠部分为四边形时，求t的取值范围；
（3）当点D落在△ABC的角平分线所在直线上时，直接写出t的值．

24．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣4ax+3与y轴交于点C．
（1）点C的坐标为 　 　．
（2）若抛物线y＝x2﹣4ax+3经过点（﹣1，0），
①求抛物线的对称轴；
②若在该抛物线上有两点A（﹣4，y1），B（m，y2），且y2＞y1，则m的取值范围是 　 　；
（3）当﹣1≤x≤2时，若二次函数y＝x2﹣4ax+3的最小值为1，求a的值；
（4）已知点M（2，﹣1）、N（﹣4，﹣1），若抛物线y＝x2﹣4ax+3与线段MN恰有一个公共点，结合图象，直接写出a的取值范围．

参考答案
一、选择题（每小题3分，共24分）
1-8 BCACC DBB
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．4．
10．（0，2）．
11．y＝﹣（x+2）2﹣5．
12．﹣3和1．
13．1＜x＜6．
14．b＝﹣4或b＞﹣3．
三、解答题（共78分）
15．解：（x﹣2）2﹣4x（x﹣1）+（2x+1）（2x﹣1）
＝x2﹣4x+4﹣4x2+4x+4x2﹣1
＝x2+3，
当x＝﹣时，原式＝（﹣）2+3
＝5+3
＝8．
16．解：设A型机平均每小时运送快递x件，则B型机平均每小时运送快递（x﹣20）件，
根据题意得：，
解得：x＝70，
经检验，x＝70是原分式方程的根，且符合题意，
∴70﹣20＝50，
答：A型机平均每小时运送快递70件，B型机平均每小时运送快递50件．
17．解：（1）观察上表可求得m的值为3，顶点坐标为（1，﹣1），
故答案为：3，（1，﹣1）；
（2）由表格可得，二次函数y＝ax2+bx+c顶点坐标是（1，﹣1），
∴y＝a（x﹣1）2﹣1，
又当x＝0时，y＝0，
∴a﹣1＝0，解得a＝1，
∴这个二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x．
18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEO＝∠DFO，
在△BEO和△DFO中，
，
∴△BEO≌△DFO（AAS），
∴OE＝OF；
（2）解：∵OF＝2，OE＝OF，
∴OE＝2，
∴sin∠OBE＝，
故答案为：．
19．解：（1）AB＝＝．
故答案为：．
（2）如图，△ABC即为所求．
（3）如图，△ABD即为所求．

20．解：（1）由题意知抛物线顶点坐标为（1，3），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+3，
将点C（3，0）代入，得：4a+3＝0，
解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+3；
（2）当x＝2时，y＝﹣（x﹣1）2+3＝﹣×（2﹣1）2+3＝＞1.8，
∴身高1.8m的王师傅不会被淋湿．
21．解：（1）由图象可知A村、B村相离10km，
当1.25h时，甲、乙相距为0km，故在此时相遇，
故答案为：10；1.25；
（2）当1.25≤t≤2时，函数图象经过点（1.25，0）（2，6），
设一次函数的解析式为s＝kt+b，
代入得，
解得，
∴s＝8t﹣10（1.25≤t≤2）；
（3）（Ⅰ）当s＝2时，2＝8t﹣10，解得t＝1.5h，
由1.5﹣1.25＝0.25h＝15min，
（Ⅱ）当2≤t≤2.5时，设函数解析式为s＝k't+b'，
将点（2，6）（2.5，0）代入得：
，
解得，
∴s＝﹣12t+30，
当s＝2时，得2＝﹣12t+30，
解得t＝，
由﹣1.25＝h＝65min，
综上所述，相遇后，乙又骑行了15min或65min，两人相距2km．
22．解：（1）∵直线y＝kx+3经过点C，
∴x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
∴设抛物线解析式为y＝﹣x2+bx+3，
∵抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），
∴﹣1﹣b+3＝0，
解得：b＝2，
抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，
∵直线BC过点B（3，0），C（0，3），
∴，解得，
∴y＝﹣x+3；
故答案为：y＝﹣x2+2x+3，y＝﹣x+3；
（2）设D（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），
∴DE＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∴S＝（﹣m2+3m）
＝
＝（0＜m＜3），
∵﹣＜0，
∴当m＝时，S有最大值，最大值S＝；
即S关于m的函数解析式为S＝＝（0＜m＜3），S的最大值为；
（3）设点M（1，m），
则MB2＝m2+4，MC2＝1+（m﹣3）2，BC2＝18，
①当MC是斜边时，
则1+（m﹣3）2＝m2+4+18，
解得：m＝﹣2；
②当MB是斜边时，
同理可得：m＝4，
故点M的坐标为：（1，﹣2）或（1，4）．
23．解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵AP＝2t，
∴BP＝5﹣2t，
故答案为：5﹣2t．
（2）如图1，点D在BC上，AQ＝t，
∵四边形APDQ是平行四边形，
∴QD＝AP＝2t，QD∥AB，
∴△QDC∽△ABC，
∴＝，
∴QC＝•QD＝×2t＝t，
∴t+t＝3，
解得t＝，
∴当▱APDQ与△ABC重叠部分为四边形时，0＜t≤；
如图2，当点P与点B重合时，t＝，
当点Q与点C重合时，t＝3，
∴当▱APDQ与△ABC重叠部分为四边形时，≤t≤3，
综上所述，0＜t≤或≤t≤3．
（3）如图3，点D在角平分线CF上，作DL⊥AC于点L，
∵∠DQL＝∠A，∠QLD＝∠ACB＝90°，
∴△QLD∽△ACB，
∴＝＝，
∴QL＝•QD＝t，DL＝•QD＝×2t＝t，
∵∠CLD＝90°，∠LCD＝∠ACB＝45°，
∴∠LCD＝∠LDC＝45°，
∴CL＝DL＝t，
∴t+t+t＝3，
解得t＝；
如图4，点D在角平分线BG上，延长QD交BC于点R，
∵∠RDB＝∠ABG，∠RBD＝∠ABG，
∴∠RDB＝∠RBD，
∵QR∥AB，
∴△QRC∽△ABC，
∴＝＝，
∴QR＝•QC＝（3﹣t）＝5﹣t，RC＝•QC＝（3﹣t）＝4﹣t，
∴BR＝DR＝QR﹣QD＝5﹣t﹣2t＝5﹣t，
∴5﹣t+4﹣t＝4，
解得t＝1；
如图5，作DK⊥AB于点K，DL⊥AC于点L，
∵PD∥AC，PD＝AQ＝t，
∴∠DPK＝∠A，
∵∠PKD＝∠ACB＝90°，
∴＝，
∴DK＝•PD＝t，
∵DL＝t，
∴DK＜DL，
∴点D不能在∠A的平分线上，
综上所述，t＝或t＝1．


24．解：（1）当x＝0时，y＝3，
∴点C的坐标为（0，3）．
故答案为：（0，3）．
（2）①∵抛物线y＝x2﹣4ax+3经过点（﹣1，0），
∴1+4a+3＝0，
∴a＝﹣1，
∴y＝x2+4x+3，
∴抛物线的对称轴为x＝﹣2．
②∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，点A（﹣4，y1），
∴当x＝0时，y＝y1，
∵抛物线开口向上，
∴当抛物线上的B（m，y2），且y2＞y1时，x2＜﹣4或x2＞0，即m的取值范围是m＜﹣4或m＞0．
故答案为：m＜﹣4或m＞0；
（3）二次函数y＝x2﹣4ax+3可知，开口向上，对称轴为直线x＝2a，
①当2a≤﹣1，即a≤﹣时，x＝﹣1时取得最小值，即1+4a+3＝1，则a＝﹣；
②当2a≥2，即a≥1时，x＝2时取得最小值，即4﹣8a+3＝1，则a＝，不合题意，舍去，；
③﹣1＜2a＜2，即﹣a＜1时，则＝1，解得a＝或﹣（舍去）；
∴a的值是﹣或，
（4）如图，
当抛物线经过点M（2，﹣1）时，

﹣1＝4﹣8a+3，解得a＝1；
当抛物线经过点N（﹣4，﹣1）时，

﹣1＝（﹣4）2+16a+3，解得a＝﹣；
当抛物线的顶点在线段MN上时，＝﹣1，解得a＝±1；

抛物线与线段MN恰有一个公共点，结合函数图象求得a的取值范围为a≤﹣或a＝﹣1或a≥1．