人教版九年级数学上册期中测试卷(含答案)

这是一份人教版九年级数学上册期中测试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了下列为一元二次方程的是，一元二次方程的解为，已知，，且，则等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年人教版九年级数学上册期中测试卷
内容：第二十一章与第二十二章
时间：100分钟 总分：120分
一、 选择题（每题3分，共24分）
1．下列为一元二次方程的是 （   ）
A．ax2＋bx＋c＝0 B．x2－2x－3 C．x2－4x＋3＝0 D．
【解析】
解：A. ax2＋bx＋c＝0，当时是一元二次方程，不符合题意；
B. x2－2x－3不是方程，不符合题意；
C. x2－4x＋3＝0是一元二次方程，符合题意；
D. 是分式方程，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
2．一元二次方程的解为 （　 　）
A．x＝3 B．x＝0 C．x＝0 且x＝3 D．x＝0或x＝3
【解析】
解：∵，
∴，
∴x＝0或x－3＝0，
∴x＝0或x＝3，
故选：D．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点选用不同的解法是解题的关键．
3．二次函数=+4+的最大值为3，则的值为 （   ）
A．－4 B．－1 C．1 D．4
【解析】
解：∵二次函数y＝ax2+4x＋a的最大值是3，
∴a＜0，
y最大值＝，解得a＝−1或a＝4（舍去）．
故选：B．
【点睛】
求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
4．若二次函数的图象如图所示，则a的取值范围是 （   ）

A．a＞0 B．a=0 C．a≠0 D．a＜0
【解析】
解：∵抛物线的开口方向向上，
∴a>0，
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系．二次函数y=ax2的系数a为正数时，抛物线开口向上；a为负数时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，抛物线开口越小．
5．已知，，且，则 （    ）
A．2 B． C． D．0
【解析】
解：，，且，
是一元二次方程的两根，
解得，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查代数式求值，涉及到一元二次方程的解、解一元二次方程和平方差公式等知识点，熟练掌握相关概念是解决问题的关键．
6．如图，抛物线过点，，顶点在第四象限，记，则P的取值范围是 （   ）

A． B． C． D．不能确定
【解析】
∵抛物线过点(-1,0)、(0,-1)，
∴有，且显然a≠0，
∴a-b=1，c=-1，
将抛物线配成顶点式：，
∴顶点坐标为：，
∵抛物线顶点坐标在第四象限，
∴，
∵a-b=1，
∴，
解得：，
∵P=2a-b，a-b=1，
∴P=2a-b=a+a-b=a+1，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查了抛物线的图像和性质，根据抛物线经过的点和顶点在第四象限求出的a的取值范围是解答本题的关键．
7．如图1，将一张长20cm，宽10cm的长方形硬纸片裁剪掉图中阴影部分之后，恰好折成如图2的有盖长方体纸盒，纸盒底面积为，则该有盖纸盒的高为 （   ）

A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
【解析】
解：设当纸盒的高为x cm时，纸盒的底面积是48cm2，
依题意，得： ，
化简，得：x2-15x+26=0，
解得：x1=2，x2=13．
当x=2时，10-2x=6＞0，符合题意； 当x=13时，10-2x=-16＜0，不符合题意，舍去， 答：若纸盒的底面积是48cm2，纸盒的高为2cm．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．将抛物线的图象位于直线以下的部分向上翻折，得到如图所示的图象，若直线与图象只有四个交点，则m的取值范围是 （    ）

A． B． C． D．
【解析】
解：如图，

当时，，
解得，
∴过点时，直线与图象有3个交点，
将代入得，
解得；
当与有1个交点时，与翻折后的图象有3个交点，
∴，
整理得，
令，
解得，
∴由图象可知，当时，直线与图象有4个交点
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数图象的平移，一元二次方程的根等知识．解题的关键在于数形结合找出交点为4个时一次函数的位置．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为________
【解析】
解：由题意可知：，
解得：，
∴m=2．
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查的是一元二次方程的定义，需要注意二次项系数不为0．
10．已知二次函数，用配方法化为的形式是______．
【解析】
解：y=-x2+2x-5=-（x2-2x+1）+1-5=-（x-1）2-4，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数解析式的三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x-h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）．
11．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________．
【解析】
解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴∆，
解得<2．
故答案为：k<2．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
12．已知二次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，则的值为______．
【解析】
∵当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小
∴二次函数对称轴为
又∵二次函数
∴
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了二次函数的增减性，已知二次函数，对称轴为 ，二次函数的增减性以对称轴分界，若抛物线开口向上，则左减右增，若抛物线开口向下，则左增右减．
13．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、．若抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是_________．

【解析】
解：∵正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、，
∴点D的坐标为．
∵ 抛物线开口向上，
∴，
∴当抛物线经过B点时，a取最大值，经过D点时，a取最小值．
将代入得，
解得，
将代入得，
解得，
∴若抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查正方形的性质，抛物线图象与系数的关系，找到a取最大值和最小值时与正方形的交点是解题的关键．
14．已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________．
【解析】
∵a－b2＝4
∴
将代入a2－3b2＋a－14中
得：

∵
∴
当a=4时，取得最小值为6
∴的最小值为6
∵
∴的最小值6
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解．
15．如图，抛物线 与y轴交于A点，与x轴交于B、C两点，B(-1，0)， C(3，0)，连接AC，将线段AC 向上平移落在EF处，且EF恰好经过这个抛物线的顶点D，则四边形ACFE的周长为______．

【解析】
解：∵抛物线 与x轴交于B、C两点，B(-1，0)， C(3，0)，
∴，
解得，，
∴，
∴x=0时，y=3，
∴A(0,3)，
∴，
设AC的解析式为y=kx+m，
则，
∴，
∴y=-x+3，
由平移知，EF∥AC，EF=AC，
∴四边形EACF是平行四边形，
设EF的解析式为y=-x+n，
∵，
∴D(1,4)，
∴4=-1+n，n=5，
∴E(0,5)，
∴AE=5-3=2，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了二次函数，平移，平行四边形，解决问题的关键是熟练掌握二次函数的性质，用待定系数法求函数解析式，平移的性质，平行四边形的判定和性质．
16．如图，“爱心”图案是由函数的部分图像与其关于直线的对称图形组成．点A是直线上方“爱心”图案上的任意一点，点B是其对称点．若，则点A的坐标是______．

【解析】
∵A，B关于直线对称，
∴设，则，
如图所示，


∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍），
∴，
∵在上，
∴，
即，
整理得：，
解得，，
当时，，
当时，，
∴点A的坐标为或；
故答案是或．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用及对称点的表示，解题的关键是设点的坐标，表示出AB的长度．
三、解答题（每题8分，共72分）
17．解一元二次方程：
(1)；
(2)．
【解析】
(1)解：，
∴，
∴或，
∴，．
(2)，
∴，
∴或，
∴，．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18．（1）选择适当的方法解方程：；
（2）对于任意实数a，b，定义，如，若，求实数x的值．
【解析】
（1）解：移项，得，
配方，得，
即．
直接开平方，得，
，．               
（2）解：由题意知：，
整理得：
，，，
，

解得，．
所以实数x的值为1或-6
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法——直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法是解题的关键．
19．已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2图象经过点P（﹣1，1）．
(1)求a的值和图象的顶点坐标；
(2)若点Q（m，n）在该二次函数图象上，当﹣1≤m＜4时，请根据图象直接写出n的取值范围．
【解析】
(1)解：把P（﹣1，1）代入y＝ax2﹣2ax﹣2中，得a+2a-2=1，
∴a＝1，
∴y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，
∴图象的顶点坐标为（1，﹣3）；
(2)解：如图所示：


由图象知，当m=-1时，n=1；当m=4时，n=6；图象最低点在此段函数图象上，
∴点Q（m，n）在该二次函数图象上，当﹣1≤m＜4时，﹣3≤n＜6．
【点睛】
此题考查了二次函数的知识，利用待定系数法求函数解析式，将函数解析式化为顶点式求顶点坐标，画函数图象，利用函数图象确定纵坐标的取值范围，属于基础题型．
20．如图，已知二次函数y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx﹣2的图象相交于A（﹣1，﹣1），B两点．

(1)求a，k的值；
(2)求点B的坐标；
(3)求S△AOB．
【解析】
(1)解：∵y＝ax2过点A（﹣1，﹣1），
∴﹣1＝a×1，解得a＝﹣1，
∵一次函数y＝kx﹣2的图象相过点A（﹣1，﹣1），
∴﹣1＝﹣k﹣2，解得k＝﹣1；
(2)解
得或，
∴B的坐标为（2，﹣4）；
(3)设直线y＝﹣x﹣2与y轴的交点为G，则G（0，﹣2），
∴S△AOB＝S△AOG+S△BOG＝+＝3．

【点睛】
本题考查了二次函数与一次函数综合问题，待定系数法求解析式，一次函数与二次函数交点问题，求三角形面积，数形结合是解题的关键．
21．如图，抛物线与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，若点M为直线BC上方抛物线一动点（与点B、C不重合），做MN平行于y轴，交直线BC于点N，当线段MN的长最大时，请求出点M的坐标；
【解析】
(1)解：∵抛物线与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），
∴函数的表达式为：y＝﹣（x＋1）（x﹣3）＝﹣x2＋2x＋3；
(2)解：当 时， ，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为 ，
把点B（3，0），C（0，3）代入得：
，解得： ，
∴直线BC的解析式为y＝-x＋3，
设M的坐标（m，-m2＋2m＋3），则N（m，-m＋3），
∴MN＝-m2＋2m＋3-（- m＋3）＝- m2＋3m＝ -（m -）2＋，
当m ＝时，MN的长度最大，
此时M（，）；
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象和性质，勾股定理逆定理，锐角三角函数，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
22．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销，据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
(1)写出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
(2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）并求出在此范围内销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【解析】
(1)解：根据题意，y＝（x﹣50）[50+5（100﹣x）]
＝（x﹣50）（﹣5x+550）
＝﹣5x2+800x﹣27500，
∵每件的成本是50元，销售单价是100元，
自变量的取值范围是：50≤x≤100
所以y＝﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；
(2)解：y＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500，
∵a＝﹣5＜0，
∴抛物线开口向下．
∵50≤x≤100，对称轴是直线x＝80，
∴当x＝80时，y最大值＝4500；
即销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元；
(3)解：当y＝4000时，﹣5（x﹣80）2+4500＝4000，
解得：x1＝70，x2＝90，
∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元，
由每天的总成本不超过7000元，得50（﹣5x+550）≤7000，解得：x≥82，
∴82≤x≤90，
∵50≤x≤100，
∴销售单价应该控制在82元至90元之间．
【点睛】
本题主要考查二次函数的实际应用，解题关键是建立二次函数数学模型，借助二次函数解析式和性质解决实际问题．
23．如果二次函数的二次项系数为l，则此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]．
（1）若一个函数的特征数为[﹣2，1]，求此函数图象的顶点坐标．
（2）探究下列问题：
①若一个函数的特征数为[4，﹣1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数．
②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？
【解析】
解：（1）由题意可得出：y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，
∴此函数图象的顶点坐标为：（1，0）．
（2）①由题意可得出：y=x2+4x﹣1=（x+2）2﹣5，
∴将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后得到：
y=（x+1）2﹣4=x2+2x﹣3．
∴图象对应的函数的特征数为：[2，﹣3]．
②∵一个函数的特征数为[2，3]，
∴函数解析式为：y=x2+2x+3=（x+1）2+2，
∵一个函数的特征数为[3，4]，
∴函数解析式为：．
∴原函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位得到．
考点：1．新定义和阅读理解型问题；2．二次函数图象与平移变换；3．二次函数的性质
【点睛】
本题考查二次函数综合题、配方法、平移变换等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
24．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（1，0），C（0，5）两点，与x轴的另一交点为B．

(1)求抛物线解析式；
(2)若点M为直线BC下方抛物线上一动点，MN⊥x轴交BC于点N；
①当线段MN的长度最大时，求此时点M的坐标及线段MN的长度；
②如图2，连接BM，当△BMN是等腰三角形时，求此时点M的坐标．
【解析】
(1)解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（1，0），C（0，5）两点，
∴c＝5，1+b+5＝0，
解得b＝﹣6，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5；
(2)解：（2）①令y＝0，即x2﹣6x+5＝0，
解得：x1＝1，x2＝5，
∴B（5，0），
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+5，
设M（m，m2﹣6m+5），则N（m，﹣m+5），
∴MN＝（﹣m+5）﹣（m2﹣6m+5），
∴，
∴当时，MN的最大值为，此时M的坐标为（）即，
∴线段MN的长度最大时，当M的坐标为，线段MN的长度最大为；
②∵点M在抛物线y＝x2﹣6x+5上，点N在直线y＝﹣x+5上，
设M（m，m2﹣6m+5），则N（m，﹣m+5），
∴MN＝﹣m2+5m，BN，
∵OB＝OC，
∴∠MNB＝∠OCB＝45°，
i．当MN＝BN时，﹣m2+5m，
解得：m，m＝5（舍去），
∴M（，），
ii．当BM＝MN时，则∠NBM＝∠MNB＝45°，
∴∠NMB＝90°，则m2﹣6m+5＝0，
解得m＝1或m＝5（舍去），
∴M（1，0），
iii．当BM＝BN时，∠BMN＝∠BNM＝45°，
∴∠NBM＝90°，
∴﹣（m2﹣6m+5）＝﹣m+5，
解得m＝2或m＝5（舍），
∴M（2，﹣3），
当△BMN是等腰三角形时，点M的坐标为（，）或（1，0）或（2，﹣3）．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图象与性质，求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，解一元二次方程，第三问注意分类讨论是解决此题的关键．
25．综合与探究：如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，，，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点D在x轴的下方，当的面积是时，求的面积；
(3)在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】
(1)∵，，
∴，．
将，代入，得

解得
∴抛物线的函数表达式为．
(2)如图1，过D作DG⊥x轴于G，交BC于H，

当x=0时，y=-6，
∴C（0，-6），
设BC的解析式为：y=kx+n，
则，解得：，
∴BC的解析式为：，
设D（x，），则H（x，），
∴ ，
∵△BCD的面积是，
∴，
∴，
解得：x=1或3，
∵点D在直线l右侧的抛物线上，
∴D（3，），
∴△ABD的面积；
(3)分两种情况：
①如图2，N在x轴的上方时，四边形MNBD是平行四边形，

∵B（4，0），D（3，），且M在x轴上，
∴N的纵坐标为，
当y=时，即，
解得：或，
∴或；
②如图3，点N在x轴的下方时，四边形BDNM是平行四边形，此时M与O重合，

抛物线上点关于对称轴的对称点为，
∴N（-1，）；
综上，点N的坐标为：或或．
【点睛】
此题主要考查二次函数的综合问题，会求函数与坐标轴的交点，会利用待定系数法求函数解析式，会利用数形结合的思想解决平行四边形的问题，并结合方程思想解决问题．