江苏省盐城市射阳外国语学校2022-2023学年九年级上学期第一次调研数学试卷(含答案)

这是一份江苏省盐城市射阳外国语学校2022-2023学年九年级上学期第一次调研数学试卷(含答案)，共29页。试卷主要包含了精心选一选.，细心填一填，解答题.等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省盐城市射阳外国语学校九年级（上）第一次调研数学试卷
一、精心选一选.（本题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列图形中一定是相似形的是　　
A．两个菱形 B．两个等边三角形
C．两个矩形 D．两个直角三角形
2．（3分）下列四组线段中，不成比例的是　　
A．3，9，2，6 B．1，，， C．1，2，3，9 D．1，2，4，8
3．（3分）下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是　　
A． B．
C． D．
4．（3分）为迎接党的二十大胜利召开，某校开展了“学党史，悟初心”系列活动．学校对学生参加各项活动的人数进行了调查，并将数据绘制成如下统计图．若参加“书法”的人数为80人，则参加“大合唱”的人数为　　

A．60人 B．100人 C．160人 D．400人
5．（3分）如图，在的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形（阴影部分）的概率是　　

A． B． C． D．
6．（3分）如图，是的中位线的中点，的延长线交于点，则等于　　

A． B． C． D．
7．（3分）如图，有一块直角边，的的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为　　

A． B． C． D．
8．（3分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若，是边的两个“黄金分割”点，则的面积为　　

A． B． C． D．
二、细心填一填（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）已知，求　　．
10．（3分）两个数与的比例中项是　 　．
11．（3分）圆锥的母线长为，高为，在它的侧面展开图中，扇形的圆心角是　 　度．
12．（3分）如图，是的内接三角形．若，，则的半径是 　　．

13．（3分）如图，是的直径，弦交于点，连接，．若，则　　．

14．（3分）如图，正六边形内接于，小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率是　　．

15．（3分）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3和5，则关于的方程的解是 　　．
16．（3分）如图，在正方形中，，是上一点，且，是上一动点，连接，若将沿翻折后，点落在点处，则到点的最短距离为 　　．

三、解答题（本大题共10小题，共102分）.
17．（6分）解方程：．
18．（8分）如图，的直径为10，弦，是弧的中点，连接，．求的长．

19．（10分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
（1）求的取值范围；
（2）若，且为整数，求的值．
20．（10分）如图，矩形中，，，为边上的动点，当与相似时，求长．

21．（12分）某校九年级640名学生在“信息素养提升”培训前、后各参加了一次水平相同的测试，并以同一标准折算成“6分”、“7分”、“8分”、“9分”、“10分”5个成绩．为了解培训效果，用抽样调查的方式从中抽取了32名学生的2次测试成绩，并用划记法制成了如表表格：
训前
成绩（分
6
7
8
9
10
划记
正正

正
正

人数（人
12
4
7
5
4
培训后
成绩（分
6
7
8
9
10
划记

一

正
正正正
人数（人
4
1
3
9
15
（1）这32名学生2次测试成绩中，培训前测试成绩的中位数是，培训后测试成绩的中位数是，则　　；（填“”、“ ”或“”
（2）这32名学生经过培训，测试成绩为“6分”的百分比比培训前减少了多少？
（3）估计该校九年级640名学生经过培训，测试成绩为“10分”的学生增加了多少人？
22．（10分）一只不透明的袋子中装有1个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球是白球的概率为 　　；
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
23．（10分）某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率相同的条件下，请判断校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
24．（10分）如图，是的直径，，是上两点，且，连接，．过点作交的延长线于点．
（1）判定直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．

25．（14分）从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中，一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图①，在中，为角平分线，，，求证：为的完美分割线；
（2）在中，，是的完美分割线，且为等腰三角形，求的度数；
（3）如图②，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，求完美分割线的长．


26．（12分）如图，，是的高，，相交于点，是的中点，是的外接圆．
（1）点，，，是否在以点为圆心的同一个圆上？请说明理由．
（2）若，，求外接圆的半径长．


2022-2023学年江苏省盐城市射阳外国语学校九年级（上）第一次调研数学试卷
参考答案与试题解析
一、精心选一选.（本题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列图形中一定是相似形的是　　
A．两个菱形 B．两个等边三角形
C．两个矩形 D．两个直角三角形
【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
【解答】解：等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，
两个等边三角形一定是相似形，
又直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，
两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，
故选：．
2．（3分）下列四组线段中，不成比例的是　　
A．3，9，2，6 B．1，，， C．1，2，3，9 D．1，2，4，8
【分析】根据比例线段的性质即可判定．
【解答】解：、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
、，故不符合题意，
故选：．
3．（3分）下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：．当时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
．，
，
，该方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
．该方程是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：．
4．（3分）为迎接党的二十大胜利召开，某校开展了“学党史，悟初心”系列活动．学校对学生参加各项活动的人数进行了调查，并将数据绘制成如下统计图．若参加“书法”的人数为80人，则参加“大合唱”的人数为　　

A．60人 B．100人 C．160人 D．400人
【分析】先求出总人数，再用总人数乘以参加“大合唱”人数占的百分比即可得答案．
【解答】解：参加“书法”的人数为80人，由扇形统计图知参加“书法”的人数占总人数的，
总人数为（人，
参加“大合唱”的人数为（人，
故选：．
5．（3分）如图，在的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形（阴影部分）的概率是　　

A． B． C． D．
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：总面积为，其中阴影部分面积为，
飞镖落在阴影部分的概率是，
故选：．
6．（3分）如图，是的中位线的中点，的延长线交于点，则等于　　

A． B． C． D．
【分析】如图，点作交于点，根据平行线等分线段定理和三角形中位线定理即可得到结论．
【解答】解：如图，点作交于点，
是的中点，
，
，
，
是的中位线，
点是的中点，
又，
是的中位线，
，
．
，
故选：．

7．（3分）如图，有一块直角边，的的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为　　

A． B． C． D．
【分析】过点作，垂足为，交于，三角形的面积公式求出的长度，由相似三角形的判定定理得出，设边长，根据相似三角形的对应边成比例求出的长度可得．
【解答】解：如图，过点作，垂足为，交于．

，
．
，
，，
，
．
设，则有：，
解得，
故选：．
8．（3分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若，是边的两个“黄金分割”点，则的面积为　　

A． B． C． D．
【分析】作于，如图，根据等腰三角形的性质得到，则根据勾股定理可计算出，接着根据线段的“黄金分割”点的定义得到，则计算出，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：作于，如图，
，
，
在中，，
，是边的两个“黄金分割”点，
，
，

．
故选：．

二、细心填一填（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）已知，求　　．
【分析】根据合比性质矩形计算．
【解答】解：，
．
故答案为：．
10．（3分）两个数与的比例中项是　　．
【分析】设它们的比例中项是，根据比例的基本性质得出，再进行计算即可．
【解答】解：设它们的比例中项是，
则，
解得．
故答案为．
11．（3分）圆锥的母线长为，高为，在它的侧面展开图中，扇形的圆心角是　288　度．
【分析】圆锥的母线长为，高为，则底圆半径是4，利用底面周长展开图的弧长可得．
【解答】解：，
解得．
12．（3分）如图，是的内接三角形．若，，则的半径是 　　．

【分析】连接、，根据圆周角定理求出，根据等腰直角三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：连接、，
，
，
，
故答案为：．

13．（3分）如图，是的直径，弦交于点，连接，．若，则　62　．

【分析】如图，连接，证明，求出，可得结论．
【解答】解：如图，连接．

是直径，
，
，
，
故答案为：62．
14．（3分）如图，正六边形内接于，小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率是　　．

【分析】根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，而扇形面积是圆面积的，可得结论．
【解答】解：如图所示：连接，
正六边形内接于，
，都是等边三角形，
，
，
，
，
则飞镖落在阴影部分的概率是；
故答案为：．

15．（3分）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3和5，则关于的方程的解是 　和1　．
【分析】由关于的一元二次方程的两个实数根分别为3和5，可得出关于的一元二次方程的两个实数根分别为3和5，进而可得出或，解之即可得出关于的方程的解．
【解答】解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为3和5，
关于的一元二次方程的两个实数根分别为3和5，
即或，
关于的一元二次方程没有实数根，关于的一元二次方程的实数根为和1，
关于的方程的解是和1．
故答案为：和1．
16．（3分）如图，在正方形中，，是上一点，且，是上一动点，连接，若将沿翻折后，点落在点处，则到点的最短距离为 　12　．

【分析】如图，连接、，当、、三点共线的时候到点的距离最短，然后利用正方形的性质和勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，连接、，当、、三点共线的时候到点的距离最短，

在正方形中，，是上一点，且，
，
，
，
点到点的最短距离为12．
故答案为：12．
三、解答题（本大题共10小题，共102分）.
17．（6分）解方程：．
【分析】先把方程化为一般式，再计算出判别式的值，然后利用求根公式解方程．
【解答】解：方程化为，
△，
，
，．
18．（8分）如图，的直径为10，弦，是弧的中点，连接，．求的长．

【分析】连接，先求出，再证，由勾股定理求得，得长度，再得长度，最后便可求得．
【解答】解：连接，

是直径，
，
，
是的中点，
，，
，
，
，
．
19．（10分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
（1）求的取值范围；
（2）若，且为整数，求的值．
【分析】（1）根据根的判别式，可得到关于的不等式，则可求得的取值范围；
（2）由根与系数的关系，用表示出两根积、两根和，由已知条件可得到关于的不等式，则可求得的取值范围，再求其值即可．
【解答】解：（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，
△，即，
解得；
（2）由根与系数的关系知：，，
，满足，
，
，
，为整数，
的值为，0，1．
20．（10分）如图，矩形中，，，为边上的动点，当与相似时，求长．

【分析】设，利用矩形的性质得到，，，则根据相似三角形的判定方法，当时，，；当时，，
即，然后分别解方程即可．
【解答】解：设，
四边形为矩形，
，，，
，
，
当时，，
即，解得；
当时，，
即，解得，，
综上所述，的长为或1或4．
21．（12分）某校九年级640名学生在“信息素养提升”培训前、后各参加了一次水平相同的测试，并以同一标准折算成“6分”、“7分”、“8分”、“9分”、“10分”5个成绩．为了解培训效果，用抽样调查的方式从中抽取了32名学生的2次测试成绩，并用划记法制成了如表表格：
训前
成绩（分
6
7
8
9
10
划记
正正

正
正

人数（人
12
4
7
5
4
培训后
成绩（分
6
7
8
9
10
划记

一

正
正正正
人数（人
4
1
3
9
15
（1）这32名学生2次测试成绩中，培训前测试成绩的中位数是，培训后测试成绩的中位数是，则　　；（填“”、“ ”或“”
（2）这32名学生经过培训，测试成绩为“6分”的百分比比培训前减少了多少？
（3）估计该校九年级640名学生经过培训，测试成绩为“10分”的学生增加了多少人？
【分析】（1）根据中位数的定义即可得到结论；
（2）根据题意列式计算即可；
（3）根据题意列式计算即可．
【解答】解：培训前测试成绩的中位数，培训后测试成绩的中位数，
；
故答案为：；
（2）培训前：，培训后：，
，
答：测试成绩为“6分”的百分比比培训前减少了；
（3）培训前：，培训后：，
，
答：测试成绩为“10分”的学生增加了220人．
22．（10分）一只不透明的袋子中装有1个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球是白球的概率为 　　；
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）画树状图列举出所有等可能出现的情况，从中找出两个球颜色不同的结果数，进而求出概率．
【解答】解：（1）一只不透明的袋子中装有1个白球和3个红球，这些球除颜色外都相同，
搅匀后从中任意摸出1个球，则摸出白球的概率为：．
故答案为：；
（2）画树状图如图所示：

共有16种不同的结果数，其中两个球颜色不同的有6种，
次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率为．
23．（10分）某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率相同的条件下，请判断校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
【分析】（1）先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于608，列方程求解；
（2）根据（1）所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与500比较大小即可．
【解答】解：（1）设进馆人次的月平均增长率为，则由题意得：
．
化简得：．
，
或（舍．
答：进馆人次的月平均增长率为．

（2）进馆人次的月平均增长率为，
第四个月的进馆人次为：．
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
24．（10分）如图，是的直径，，是上两点，且，连接，．过点作交的延长线于点．
（1）判定直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）连接，根据，求得，根据等腰三角形的性质得到，推出，根据平行线的性质得到，于是得到是的切线；
（2）连接，连接交于，根据垂径定理得到，，由圆周角定理得到，根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到，求得，连接，推出，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：连接，连接交于，
，
，，
是的直径，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
连接，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
，
，
图中阴影部分的面积．

25．（14分）从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中，一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图①，在中，为角平分线，，，求证：为的完美分割线；
（2）在中，，是的完美分割线，且为等腰三角形，求的度数；
（3）如图②，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，求完美分割线的长．


【分析】（1）根据完美分割线的定义，先证明不是等腰三角形，再证明为等腰三角形，最后证明；
（2）根据为等腰三角形，需要分三种情况讨论：①如图3所示，当时，②如图4所示，当，③如图5所示，当，然后结合美分割线的定义可得，可以分别求出的度数；
（3）根据题意求出，再根据，求出，再根据，求出．
【解答】（1）证明：，，
，
，
不是等腰三角形．
平分，
，
，
为等腰三角形．
，
，
，
是的完美分割线．
（2）解：①如图3所示，

当时，，
根据完美分割线的定义，可得，
，则．
②如图4所示，

当时，，
根据完美分割线的定义，可得，
，
．
③如图5所示，

当时，．
，
，
根据完美分割线的定义，可得，
，
这与矛盾，
所以图5的情况不符合题意．
综上所述，的度数为或；
（3）解：是以为底边的等腰三角形，
，
，
，
是的完美分割线，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，即，
．
26．（12分）如图，，是的高，，相交于点，是的中点，是的外接圆．
（1）点，，，是否在以点为圆心的同一个圆上？请说明理由．
（2）若，，求外接圆的半径长．

【分析】（1）连接，，根据垂直定义可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，，从而可得，即可解答；
（2）连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，，根据三角形的高是交于一点的可得，再根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，，然后利用平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，从而可得，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】解：（1）点，，，在以点为圆心的同一个圆上，
理由：连接，，

，，
，
是的中点，
，，
，
点，，，在以点为圆心的同一个圆上；
（2）连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，，

，是的高，，相交于点，
，
是的直径，
，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
在中，，
，
外接圆的半径长为5．