2022-2023学年第一学期八年级数学期末复习冲刺卷（09）

这是一份2022-2023学年第一学期八年级数学期末复习冲刺卷（09），共27页。试卷主要包含了42，，8）2＝102　．，5，等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年第一学期八年级数学期末复习冲刺卷（09）
班级：____________ 姓名：________________ 得分：______________
注意事项：
本试卷满分150分，试题共26题，其中选择8道、填空8道、解答10道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021秋•建邺区期末）第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是第24届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2021秋•建邺区期末）点（3，﹣4）到x轴的距离是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．7
3．（2021秋•新吴区期末）﹣27的立方根为（　　）
A．±3 B．±9 C．﹣3 D．﹣9
4．（2021秋•宜兴市期末）已知点，在一次函数y＝﹣2x﹣b的图象上，则m与n的大小关系是（　　）
A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．无法确定
5．（2021秋•锡山区期末）在大型爱国主义电影《长津湖》中，我军缴获了敌人防御工程的坐标地图碎片（如图），若一号暗堡坐标为（4，2），四号暗堡坐标为（﹣2，4），指挥部坐标为（0，0），则敌人指挥部可能在（　　）

A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
6．（2021秋•建邺区期末）如图，将风筝放至高30m，牵引线与水平面夹角约为45°的高空中，则牵引线AB的长度所在范围最有可能是（　　）

A．36m至38m B．38m至40m C．40m至42m D．42m至44m
7．（2021秋•新吴区期末）如图3×3的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则在此网格中与△ABC全等的格点三角形（不含△ABC）共有（　　）

A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
8．（2021秋•江都区期末）规定：[k，b]是一次函数y＝kx+b（k、b为实数，k≠0）的“特征数”．若“特征数”是[4，m﹣4]的一次函数是正比例函数，则点（2+m，2﹣m）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
9．（2021秋•江都区期末）在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为5，则点M的坐标是 　 　．
10．（2021秋•建邺区期末）在△ABC中，∠A＝46°．当∠B为 　 　度时，△ABC为等腰三角形．
11．（2022春•玄武区期末）比较大小：　 　．（填＞，＜，＝）
12．（2021秋•无锡期末）如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加条件 　 　后，可以判定△ABC≌△DEF．

13．（2022春•高邮市期末）《九章算术》中“勾股”章有一个问题：“今有户，高多于广六尺八寸，两隅（隅：对角线）相去适（适：恰好）一丈（1丈＝10尺，1尺＝10寸），问户高、广各几何？”若设户的广为x尺，则可列方程为 　 　．
14．（2021秋•鼓楼区校级期末）已知下列函数：①y＝x+1；②y＝x﹣2；③y＝﹣x+1；④y＝﹣x﹣2．其中，y随x的增大而增大的有 　 　（填写所有正确选项的序号）．
15．（2021秋•鼓楼区校级期末）某手工作坊生产并销售某种食品，假设销售量与产量相等，如图中的线段AB、OC分别表示每天生产成本y1（单位：元）、收入y2（单位：元）与产量x（单位：千克）之间的函数关系．若该手工作坊某一天既不盈利也不亏损，则这天的产量是 　 　千克．

16．（2021秋•高邮市期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝80°，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线相交于点O，点M、N分别在AB、AC上，点A沿MN折叠后与点O重合，则∠ONC＝　 　°．

三、解答题（本大题共10小题，共102分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2021秋•惠山区校级期末）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）求（x﹣2）2﹣9＝0中x的值．
18．（2021秋•广陵区校级期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 　 　；
（2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 　 　；
（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为1，求点P的坐标．

19．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．
求证：∠ABD＝∠ACE．

20．（2021秋•仪征市期末）小东和小明要测量校园里的一块四边形场地ABCD（如图所示）的周长，其中边CD上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度．
小东经测量得知AB＝AD＝30米，∠A＝60°，BC＝40米，∠ABC＝150°．小明说根据小东所得的数据可以求出四边形ABCD的周长．你同意小明的说法吗？若同意，请求出四边形ABCD的周长；若不同意，请说明理由．

21．（2021秋•锡山区期末）已知a，b都是实数，设点P（a，b），若满足3a＝2b+5，则称点P为“新奇点”．
（1）判断点A（3，2）是否为“新奇点”，并说明理由；
（2）若点M（m﹣1，3m+2）是“新奇点”，请判断点M在第几象限，并说明理由．
22．（2020秋•江都区期末）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝∠ADB＝90°，M为边AB的中点，连接MC，MD．
（1）求证：MC＝MD；
（2）若△MCD是等边三角形，求∠AOB的度数．

23．（2021秋•新吴区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．
（1）请用无刻度直尺与圆规在AB上作一点D，使得点B关于直线CD的对称点E恰好落在AC边上（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接CD、DE，
①求△ADE与△BCD的面积之比；
②求BD的长．

24．（2022春•邗江区期末）如图1，△ABC中，∠ABC＝∠BAC，D是BC延长线上一动点，连接AD，AE平分∠CAD交CD于点E，过点E作EH⊥AB，垂足为点H．直线EH与直线AC相交于点F．设∠AEH＝α，∠ADC＝β．
（1）求证：∠EFC＝∠FEC；
（2）①若∠B＝30°，∠CAD＝50°，则α＝　 　，β＝　 　；
②试探究α与β的关系，并说明理由；
（3）若将“D是BC延长线上一动点”改为“D是CB延长线上一动点”，其它条件不变，请在图2中补全图形，并直接写出α与β的关系．

25．（2021秋•建邺区期末）用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目前电量为20%（如图1）．经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量y（单位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图象分别为图2中的线段AB、AC．根据以上信息，回答下列问题：

（1）在目前电量20%的情况下，用充电器给该手机充满电时，快速充电器比普通充电器少用 　 　小时．
（2）求线段AB对应的函数表达式；
（3）先用普通充电器充电ah后，再改为快速充电器充满电，一共用时3h，请在图2中画出电量y（单位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图象，并标注出a所对应的值．
26．（2021秋•广陵区校级期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y＝x交于点C．
（1）若直线AB解析式为y＝﹣2x+12，求：
①求点C的坐标；
②求△OAC的面积．
（2）在（1）的条件下，若P是x轴上的一个动点，直接写出当△POC是等腰三角形时P的坐标．
（3）如图2，作∠AOC的平分线OF，若AB⊥OF，垂足为E，OA＝4，P是线段AC上的动点，过点P作OC，OA的垂线，垂足分别为M，N，试问PM+PN的值是否变化，若不变，求出PM+PN的值；若变化，请说明理由．


答案与解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021秋•建邺区期末）第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是第24届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
2．（2021秋•建邺区期末）点（3，﹣4）到x轴的距离是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．7
【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值解答即可．
【解答】解：点（3，﹣4）到x轴的距离是4．
故选：B．
3．（2021秋•新吴区期末）﹣27的立方根为（　　）
A．±3 B．±9 C．﹣3 D．﹣9
【分析】根据立方根的定义（如果一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根）解决此题．
【解答】解：＝﹣3．
故选：C．
4．（2021秋•宜兴市期末）已知点，在一次函数y＝﹣2x﹣b的图象上，则m与n的大小关系是（　　）
A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．无法确定
【分析】由k＝﹣2＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合＜，即可得出m＞n．
【解答】解：∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小．
又∵点，在一次函数y＝﹣2x﹣b的图象上，且＜，
∴m＞n．
故选：A．
5．（2021秋•锡山区期末）在大型爱国主义电影《长津湖》中，我军缴获了敌人防御工程的坐标地图碎片（如图），若一号暗堡坐标为（4，2），四号暗堡坐标为（﹣2，4），指挥部坐标为（0，0），则敌人指挥部可能在（　　）

A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．
【解答】解：如图所示：敌军指挥部的位置大约是B处．
故选：B．

6．（2021秋•建邺区期末）如图，将风筝放至高30m，牵引线与水平面夹角约为45°的高空中，则牵引线AB的长度所在范围最有可能是（　　）

A．36m至38m B．38m至40m C．40m至42m D．42m至44m
【分析】过B作BC⊥水平面于C，证△ABC是等腰直角三角形，得AC＝BC＝30m，再由勾股定理求出AB的长，即可得出结论．
【解答】解：如图，过B作BC⊥水平面于C，
∵∠BAC＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC＝30m，
∴AB＝＝＝30≈42.42（m），
故选：D．

7．（2021秋•新吴区期末）如图3×3的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则在此网格中与△ABC全等的格点三角形（不含△ABC）共有（　　）

A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【分析】根据全等三角形的判定定理画出符合的三角形，再得出选项即可．
【解答】解：如图所示：与△ABC全等的三角形有△DEF、△HIJ、△GMN、△IEM、△HAF、△BDG、△CJN，共7个，

故选：C．
8．（2021秋•江都区期末）规定：[k，b]是一次函数y＝kx+b（k、b为实数，k≠0）的“特征数”．若“特征数”是[4，m﹣4]的一次函数是正比例函数，则点（2+m，2﹣m）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据正比例函数的定义求出m的值，然后求出点的坐标即可判断．
【解答】解：由题意得：
∵“特征数”是[4，m﹣4]的一次函数是正比例函数，
∴m﹣4＝0，
∴m＝4，
∴2+m＝6，2﹣m＝﹣2，
∴点（6，﹣2）在第四象限，
故选：D．
二．填空题（共8小题）
9．（2021秋•江都区期末）在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为5，则点M的坐标是 　（﹣5，3）　．
【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，解答即可．
【解答】解：由题意可得，
|x|＝5，|y|＝3，
∵点M在第二象限，
∴x＝﹣5，y＝3，
即M（﹣5，3），
故答案为（﹣5，3）．
10．（2021秋•建邺区期末）在△ABC中，∠A＝46°．当∠B为 　67或88或46　度时，△ABC为等腰三角形．
【分析】可分三种情况：当∠A为顶角时，当∠B为顶角时，当∠C为顶角时，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理计算可求解．
【解答】解：当∠A为顶角时，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝46°，
∴∠B＝67°；
当∠B为顶角时，AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝46°，
∴∠B＝88°；
当∠C为顶角时，BC＝AC，
∴∠B＝∠A，
∵∠A＝46°，
∴∠B＝46°，
故答案为：67°或88°或46°．
11．（2022春•玄武区期末）比较大小：　＜　．（填＞，＜，＝）
【分析】首先比较出和的平方的大小关系，然后根据：哪个数的平方大，则哪个数也大，判断出它们的大小关系即可．
【解答】解：，＝3，
∵2＜＜3，
∴5＜+3＜6，
∴＜＜3，
∴＜，
故答案为：＜．
12．（2021秋•无锡期末）如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加条件 　BC＝EF或BF＝EC或AB＝DE或AC＝DF　后，可以判定△ABC≌△DEF．

【分析】先根据平行线的性质得到∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，然后根据全等三角形的判定方法添加条件．
【解答】解：∵AB∥ED，
∴∠B＝∠E，
∵AC∥FD，
∴∠ACB＝∠DFE，
∴当添加BC＝EF（或BF＝EC）时，根据“ASA”可判定△ABC≌△DEF；
当添加AB＝DE（或AC＝DF）时，根据“AAS”可判定△ABC≌△DEF；
综上所述，当添加条件BC＝EF或BF＝EC或AB＝DE或AC＝DF后，可以判定△ABC≌△DEF．
故答案为：BC＝EF或BF＝EC或AB＝DE或AC＝DF．
13．（2022春•高邮市期末）《九章算术》中“勾股”章有一个问题：“今有户，高多于广六尺八寸，两隅（隅：对角线）相去适（适：恰好）一丈（1丈＝10尺，1尺＝10寸），问户高、广各几何？”若设户的广为x尺，则可列方程为 　x2+（x+6.8）2＝102　．
【分析】设长方形门的宽x尺，则高是（x+6.8）尺，根据勾股定理即可列方程求解．
【解答】解：根据题意得x2+（x+6.8）2＝102，
故答案为：x2+（x+6.8）2＝102．
14．（2021秋•鼓楼区校级期末）已知下列函数：①y＝x+1；②y＝x﹣2；③y＝﹣x+1；④y＝﹣x﹣2．其中，y随x的增大而增大的有 　①②　（填写所有正确选项的序号）．
【分析】根据一次函数的性质判断即可．
【解答】解：①y＝x+1，k＝1＞0，y随x的增大而增大，故①符合题意；
②y＝x﹣2，k＝＞0，y随x的增大而增大，故②符合题意；
③y＝﹣x+1，k＝﹣1＜0，y随x的增大而减小，故③不符合题意；
④y＝﹣x﹣2，k＝﹣＜0，y随x的增大而减小，故④不符合题意；
故答案为：①②．
15．（2021秋•鼓楼区校级期末）某手工作坊生产并销售某种食品，假设销售量与产量相等，如图中的线段AB、OC分别表示每天生产成本y1（单位：元）、收入y2（单位：元）与产量x（单位：千克）之间的函数关系．若该手工作坊某一天既不盈利也不亏损，则这天的产量是 　30　千克．

【分析】利用待定系数法分别求出线段AB、OC的表达式，再组成方程组解答即可．
【解答】解：设线段OC的函数表达式为y＝kx，则60k＝720，
解得：k＝12，
∴线段OC的函数表达式为y＝12x；
设线段AB的函数表达式为y＝mx+n，则：

解得：
∴线段AB的函数表达式为y＝4x+240，
解方程组，得，
即该手工作坊某一天既不盈利也不亏损，则这天的产量是30千克．
故答案为：30．
16．（2021秋•高邮市期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝80°，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线相交于点O，点M、N分别在AB、AC上，点A沿MN折叠后与点O重合，则∠ONC＝　20　°．

【分析】连接OA、OC，根据∠ABC＝80°，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线交于点O，得∠OBC＝∠OCB＝40°，由AB＝BC，∠ABC＝80°，可得∠BAC＝∠ACB＝50°，即得∠ACO＝∠ACB﹣∠OCB＝10°，又AB＝BC，OB平分∠ABC，知OB垂直平分AC，AO＝CO，即得∠OAC＝∠ACO＝10°，根据点A沿MN折叠后与点O重合，有AO＝CO，即得∠OAN＝∠AON＝10°，故∠ONC＝∠OAN+∠AON＝20°．
【解答】解：连接OA、OC，如图：

∵∠ABC＝80°，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线交于点O，
∴∠OBC＝∠OCB＝40°，
∵AB＝BC，∠ABC＝80°，
∴∠BAC＝∠ACB＝50°，
∴∠ACO＝∠ACB﹣∠OCB＝10°，
∵AB＝BC，OB平分∠ABC，
∴OB垂直平分AC，
∴AO＝CO，
∴∠OAC＝∠ACO＝10°，
∵点A沿MN折叠后与点O重合，
∴AO＝CO，
∴∠OAN＝∠AON＝10°，
∴∠ONC＝∠OAN+∠AON＝20°，
故答案为：20．
三．解答题（共10小题）
17．（2021秋•惠山区校级期末）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）求（x﹣2）2﹣9＝0中x的值．
【分析】（1）先计算开方、零次幂，后计算加减；
（2）先变除法为乘法，再计算化简；
（3）先计算二次根式、绝对值，后计算加减；
（4）运用开平方法进行求解．
【解答】解：（1）
＝2﹣1+2
＝1+2；
（2）
＝
＝12；
（3）
＝3﹣+
＝6﹣+
＝5+；
（4）移项，得（x﹣2）2＝9，
开平方，得x﹣2＝3，或x﹣2＝﹣3，
解得x＝5或x＝﹣1．
18．（2021秋•广陵区校级期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 　4　；
（2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 　（﹣4，3）　；
（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为1，求点P的坐标．

【分析】（1）直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；
（2）利用关于y轴对称点的性质得出答案；
（3）利用三角形面积求法得出符合题意的答案．
【解答】解：（1）如图所示：△ABC的面积是：3×4﹣＝4；
故答案为：4；

（2）点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为：（﹣4，3）；
故答案为：（﹣4，3）；
（3）∵P为x轴上一点，△ABP的面积为1，
∴BP＝2，
∴点P的横坐标为：2+2＝4或2﹣2＝0，
故P点坐标为：（4，0）或（0，0）．
19．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．
求证：∠ABD＝∠ACE．

【分析】由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得结论．
【解答】证明：在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE．
20．（2021秋•仪征市期末）小东和小明要测量校园里的一块四边形场地ABCD（如图所示）的周长，其中边CD上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度．
小东经测量得知AB＝AD＝30米，∠A＝60°，BC＝40米，∠ABC＝150°．小明说根据小东所得的数据可以求出四边形ABCD的周长．你同意小明的说法吗？若同意，请求出四边形ABCD的周长；若不同意，请说明理由．

【分析】直接利用等边三角形的判定与性质得出BD的长，再利用勾股定理得出DC的长．
【解答】解：同意小明的说法．
理由：连接BD，
∵AB＝AD＝30m，∠A＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AB＝AD＝BD＝30m，且∠ABD＝60°，
∵∠ABC＝150°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝90°，
在Rt△BCD中，∠DBC＝90°，BC＝40m，BD＝30m，
根据勾股定理得：BC2+BD2＝CD2，
即CD＝＝50（m），
∴四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD＝30+30+50+40＝150（m），
答：四边形ABCD的周长为150m．

21．（2021秋•锡山区期末）已知a，b都是实数，设点P（a，b），若满足3a＝2b+5，则称点P为“新奇点”．
（1）判断点A（3，2）是否为“新奇点”，并说明理由；
（2）若点M（m﹣1，3m+2）是“新奇点”，请判断点M在第几象限，并说明理由．
【分析】（1）直接利用“新奇点”的定义得出a，b的值，进而得出答案；
（2）直接利用“新奇点”的定义得出m的值，进而得出答案．
【解答】解：（1）当A（3，2）时，3×3＝9，2×2+5＝4+5＝9，
所以3×3＝2×2+5，
所以A（3，2）是“新奇点”；

（2）点M在第三象限，
理由如下：
∵点M（m﹣1，3m+2）是“新奇点”，
∴3（m﹣1）＝2（3m+2）+5，
解得m＝﹣4，
∴m﹣1＝﹣5，3m+2＝﹣10，
∴点M在第三象限．
22．（2020秋•江都区期末）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝∠ADB＝90°，M为边AB的中点，连接MC，MD．
（1）求证：MC＝MD；
（2）若△MCD是等边三角形，求∠AOB的度数．

【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证得结论；
（2）由AM＝MC，DM＝BM得出∠BAC＝∠ACM，∠ABD＝∠BDM，根据三角形外角的性质得出2∠BAC+2∠ABD＝120°，从而求得∠BAO+∠ABO＝60°，根据三角形内角和定理即可求得∠AOB＝120°．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，M为边AB的中点，
∴MC＝AB，MD＝AB，
∴MC＝MD；
（2）解：∵MC＝MD＝AB＝AM＝BM，
∴∠BAC＝∠ACM，∠ABD＝∠BDM，
∴∠BMC＝2∠BAC，∠AMD＝2∠ABD，
∵△MCD是等边三角形，
∴∠DMC＝60°，
∴∠BMC+∠AMD＝120°，
∴2∠BAC+2∠ABD＝120°，
∴∠BAO+∠ABO＝60°，
∴∠AOB＝180°﹣60°＝120°．
23．（2021秋•新吴区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．
（1）请用无刻度直尺与圆规在AB上作一点D，使得点B关于直线CD的对称点E恰好落在AC边上（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接CD、DE，
①求△ADE与△BCD的面积之比；
②求BD的长．

【分析】（1）作∠ACB的平分线交AB于D，然后在CA上截取CE＝CB；
（2）①利用对称的性质得到CE＝CB＝3，△CDE≌△△CDB，则AE＝1，根据三角形面积公式得到△ADE与△ECD的面积之比为1：3，所以△ADE与△BCD的面积之比为1：3；
②过C点作CH⊥AB于H，如图，利用勾股定理计算出AB＝5，利用面积法计算出CH＝，由于△BCD的面积＝S△ABC＝，所以×BD×＝，从而可求出BD的长．
【解答】解：（1）如图，点D、E为所作；

（2）①∵点B关于直线CD的对称点为E，
∴CE＝CB＝3，△CDE≌△△CDB，
∴AE＝AC﹣CE＝4﹣3＝1，
∴△ADE与△ECD的面积之比为1：3，
∴△ADE与△BCD的面积之比为1：3；
②过C点作CH⊥AB于H，如图，
∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，
∵CH•AB＝AC•BC，
∴CH＝＝，
∵△ADE与△BCD的面积之比为1：3；
∴△BCD的面积＝S△ABC＝××3×4＝，
∴×BD×＝，
∴BD＝．
24．（2022春•邗江区期末）如图1，△ABC中，∠ABC＝∠BAC，D是BC延长线上一动点，连接AD，AE平分∠CAD交CD于点E，过点E作EH⊥AB，垂足为点H．直线EH与直线AC相交于点F．设∠AEH＝α，∠ADC＝β．
（1）求证：∠EFC＝∠FEC；
（2）①若∠B＝30°，∠CAD＝50°，则α＝　35°　，β＝　70°　；
②试探究α与β的关系，并说明理由；
（3）若将“D是BC延长线上一动点”改为“D是CB延长线上一动点”，其它条件不变，请在图2中补全图形，并直接写出α与β的关系．

【分析】（1）利用等角的余角相等证明∠AFH＝∠BEH即可解决问题．
（2）①利用三角形内角和定理以及三角形的外角的性质解决问题即可．
②图1中，设∠DAE＝∠CAE＝x，∠B＝∠CAB＝y．易知β＝∠ADC＝180°﹣2（x+y），α＝∠AEH＝90°﹣（x+y），由此可得结论．
（3）图形如图所示：结论：α+＝90°．设∠CBA＝∠CAB＝x，∠EAH＝y．首先证明y＝，即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，

∵∠B＝∠CAB，
∵EH⊥AB，
∴∠AHF＝∠EHB＝90°，
∴∠B+∠BEH＝90°，∠CAB+∠AFH＝90°，
∴∠BEH＝∠AFH，
∵∠AFH＝∠EFC，
∴∠EFC＝∠FEC．

（2）①∵∠B＝∠CAB＝30°，
∴∠ACD＝∠B+∠CAB＝60°，
∵∠CAD＝50°，
∴β＝∠ADC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∵EA平分∠DAC，
∴∠EAC＝∠DAC＝25°，
∴∠EAH＝∠EAC+∠CAB＝55°，
∵∠AHE＝90°，
∴α＝∠AEH＝90°﹣55°＝35°．
故答案为35°，70°．

②如图1中，设∠DAE＝∠CAE＝x，∠B＝∠CAB＝y．
∴β＝∠ADC＝180°﹣2（x+y），
∵∠AHE＝90°，
∴α＝∠AEH＝90°﹣（x+y），
∴β＝2α．

（3）图形如图所示：结论：α+＝90°．
理由：设∠CBA＝∠CAB＝x，∠EAH＝y．

∵AE平分∠CAD，
∴∠CAE＝∠DAE＝x﹣y，
∴∠DAB＝x﹣y﹣y＝x﹣2y，
∵∠CBA＝∠ADC+∠BAD，
∴x＝x﹣2y+β，
∴y＝，
∵EH⊥AB，
∴∠AHE＝90°，
∴∠AEH+∠EAH＝90°，
∴α+＝90°．
25．（2021秋•建邺区期末）用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目前电量为20%（如图1）．经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量y（单位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图象分别为图2中的线段AB、AC．根据以上信息，回答下列问题：

（1）在目前电量20%的情况下，用充电器给该手机充满电时，快速充电器比普通充电器少用 　4　小时．
（2）求线段AB对应的函数表达式；
（3）先用普通充电器充电ah后，再改为快速充电器充满电，一共用时3h，请在图2中画出电量y（单位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图象，并标注出a所对应的值．
【分析】（1）由函数图象直接可得答案；
（2）用待定系数法可得函数关系式；
（3）根据一共用时3h，列方程求出a的值，再画出图象即可．
【解答】解：（1）由图象可知，充满电时，快速充电器比普通充电器少用6﹣2＝4（小时），
故答案为：4；
（2）设线段AB对应的函数表达式为y＝kx+b，将（0，20），（2，100）代入得：
，
解得，
∴线段AB对应的函数表达式为y＝40x+20，（0≤x≤2）；
（3）根据题意得：a+（3﹣a）+20＝100，
解得a＝1.5，
画出电量y（单位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图象如下：

26．（2021秋•广陵区校级期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y＝x交于点C．
（1）若直线AB解析式为y＝﹣2x+12，求：
①求点C的坐标；
②求△OAC的面积．
（2）在（1）的条件下，若P是x轴上的一个动点，直接写出当△POC是等腰三角形时P的坐标．
（3）如图2，作∠AOC的平分线OF，若AB⊥OF，垂足为E，OA＝4，P是线段AC上的动点，过点P作OC，OA的垂线，垂足分别为M，N，试问PM+PN的值是否变化，若不变，求出PM+PN的值；若变化，请说明理由．

【分析】（1）①当﹣2x+12＝x时，解方程即可；
②当y＝0时，则﹣2x+12＝0，得出点A的坐标，即可得出答案；
（2）首先利用勾股定理得出OC的长，再分OC＝OP，CO＝CP，PO＝PC三种情形，进而得出答案；
（3）首先利用ASA证明△AOE≌△COE，得OA＝OC＝4，再利用面积法可得PN+PM＝AH，再利用勾股定理求出AH的长即可．
【解答】解：（1）①当﹣2x+12＝x时，
解得x＝4，
∴y＝4，
∴点C（4，4）；
②当y＝0时，﹣2x+12＝0，
∴x＝6，
∴A（6，0），
∴OA＝6，
∴△OAC的面积为×6×4＝12；
（2）∵C（4，4），
∴OC＝，
当OC＝OP＝4时，
点P（4，0）或（﹣4，0），
当CO＝CP时，点P（8，0），
当PO＝PC时，点P（4，0），
综上：点P（4，0）或（﹣4，0）或（8，0）或（4，0）；
（3）PM+PN的值不变，连接OP，作AH⊥OC于H，

∵OF平分∠AOC，
∴∠AOE＝∠COE，
∵OF⊥AB，
∴∠AEO＝∠CEO，
∵OE＝OE，
∴△AOE≌△COE（ASA），
∴OA＝OC＝4，
∵S△AOC＝S△AOP+S△COP，
∴OC×AH＝OC×PN+OC×PM，
∴PN+PM＝AH，
∵直线OC的解析式为y＝x，
∴∠AOC＝45°，
∴AH＝OA＝2，
∴PM+PN＝2．
∴PM+PN的值不变，为2．