2022-2023学年八年级数学上学期期末【压轴60题考点专练】

这是一份2022-2023学年八年级数学上学期期末【压轴60题考点专练】，共257页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
八年级上学期期末【压轴60题考点专练】
一、单选题
1．（2020·江苏南通·八年级期末）如图，中，，垂足为，，为直线上方的一个动点，的面积等于的面积的，则当最小时，的度数为（    ）

A． B． C． D．
2．（2020·江苏扬州·八年级期末）如图，∠AOB＝30°，OC为∠AOB内部一条射线，点P为射线OC上一点，OP＝6，点M、N分别为OA、OB边上动点，则△MNP周长的最小值为（   ）

A．3 B．6 C． D．
3．（2022·江苏南京·八年级期末）如图，在正方形ABCD中，，E为AB边上一点，点F在BC边上，且，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（    ）

A．2 B． C．3 D．

4．（2022·江苏宿迁·八年级期末）如图，面积为3的等腰，，点、点在轴上，且、，规定把 “先沿轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，顶点的坐标为（    ）

A． B． C． D．
5．（2020·江苏扬州·八年级期末）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到An．则△OA2A2018的面积是（　　）

A．504m2 B．m2 C．m2 D．1009m2
二、填空题
6．（2021·江苏·灌南县实验中学八年级期末）如图，△ABC与△AED中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过A作AF⊥DE垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG，若S四边形DGBA＝6，AF＝，则FG的长是_____．

7．（2022·江苏南通·八年级期末）如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝_______°．

8．（2020·江苏宿迁·八年级期末）已知∠AOB=45°，点P在∠AOB内部，点P1与点P关于OA对称，点P2与点P关于OB对称，连接P1P2交OA、OB于E、F，若P1E=，OP=，则EF的长度是_____．

9．（2020·江苏扬州·八年级期末）如图，等边△OAB的边长为2，以它的顶点O为原点，OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系.若直线y=x+b与△OAB的边界总有两个公共点，则实数b的范围是____.

10．（2020·江苏扬州·八年级期末）如图，在Rt△ABO中，∠OBA=90°，AB=OB，点C在边AB上，且C(6，4)，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当∠APC=∠DPO时，点P的坐标为 ____.

11．（2022·江苏·无锡市江南中学八年级期末）如图，中，，是斜边上一个动点，把沿直线折叠，点落在同一平面内的处，当平行于的直角边时，的长为______．

12．（2022·江苏·泰州市海陵学校八年级期末）根据教材第65页“思考”栏目可以得到这样一个结论：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，则AB＝2BC．请在这一结论的基础上继续思考：若AC＝2，点D是AB边上的动点，则CD+AD的最小值为_____．

13．（2022·江苏·宿迁市钟吾初级中学八年级期末）已知点位于第二象限，并且，、为整数，符合上述条件的点共有_______个．
14．（2022·江苏无锡·八年级期末）如图，在边长为2的等边中，射线于点，将沿射线平移，得到，连接、，则的最小值为______．

15．（2020·江苏扬州·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一根长为2015个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按A→B→C→D→A…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是__．

16．（2020·江苏·徐州市西苑中学八年级期末）如图，已知点M（-1，0），点N（5m，3m+2）是直线AB：右侧一点，且满足∠OBM=∠ABN，则点N的坐标是_____．

17．（2022·江苏无锡·八年级期末）如图，一次函数y=-x+4的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C为AO中点，OD=3，点P为AB上的动点，当∠APC=∠BPD时，点P的坐标为____．

三、解答题
18．（2021·江苏连云港·八年级期末）如图1，，，以点为顶点、为腰在第三象限作等腰直角．

（1）求点的坐标；
（2）如图2，是轴负半轴上一个动点，当点向轴负半轴向下运动时，若以为直角顶点，为腰作等腰直角，过点作轴于点，求的值；
（3）如图3，已知点坐标为，当在轴运动时，作等腰直角，并始终保持，与轴交于点，与轴交于点，求、满足的数量关系．
19．（2021·江苏苏州·八年级期末）如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，AB＝8，AC＝6．
（1）求四边形AEDF的周长；
（2）若∠BAC＝90°，求四边形AEDF的面积．

20．（2021·江苏扬州·八年级期末）如图，在等边中，点是边上一定点，点是直线上一动点，以为一边作等边，连接．
【问题思考】
如图1，若点与点重合时，求证：；

【类比探究】
如图2，若点在边上，求证：；
【拓展归纳】
如图3，若点在边的延长线上，请直接写出线段、与之间存在的数量关系的结论是：______（不证明）．







21．（2020·江苏盐城·八年级期末）（2019秋•东台市期末）在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．

（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是　　　　　　　；此时　　；
（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（ I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．
（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．












22．（2022·江苏盐城·八年级期末）已知：∠AOB＝120°，OC平分∠AOB．

(1)把三角尺的60°角的顶点落在射线OC上的任意一点P处，绕点P转动三角尺，某一时刻，恰好使得OE＝OF（图1），此时PE与PF相等吗？为什么？
(2)把三角尺继续绕点P转动，两边分别交OA、OB于点E、F（图2），求证：△PEF为等边三角形．





23．（2022·江苏扬州·八年级期末）我们定义：若一条线段将三角形分割成2个等腰三角形，则这条线段是这个三角形的“黄金线”．若两条线段将一个三角形分割成3个等腰三角形，则这两条线段是这个三角形的“钻石线”．例如：如图1，在中，，，过点作，和都是等腰三角形，则线段是的“黄金线”．延长至点，使，连接，两条线段、将分割成3个等腰三角形，则这两条线段、是的“钻石线”．

(1)如图2，已知锐角中，，，若存在线段是的“黄金线”，则其中钝角等腰三角形的顶角是________；
(2)如图3，已知中，，，点是的中点，过点作，交的延长线于点，边上的一点恰好在的垂直平分线上，求证：线段、是的“钻石线”；
(3)若一个等腰三角形有“黄金线”，则这个等腰三角形的底角度数是_______．
24．（2022·江苏盐城·八年级期末）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E．

(1)发现：如图1，连接CE，则△BCE的形状是_______________，∠CDB=____________°；
(2)探索：如图2，点P为线段AC上一个动点，当点P在CD之间运动时，连接BP，作∠BPQ=60°，PQ交射线DE于Q，连接BQ，即△BPQ是等边三角形；
思路：在线段BD上截取点H，使DH=DP，得等边△DPH，由∠DPQ=∠HPB，PD=PH，∠QDP=∠BHP，易证△PDQ≌△PHB（ASA），得PQ=PB，即△BPQ是等边三角形．
试判断线段DQ、DP、AD之间的关系，并说明理由；
(3)类比：如图3，当点P在AD之间运动时连接BP，作∠BPQ=60°，PQ交射线DE于Q，连接BQ．
①试判断△BPQ的形状，并说明理由；
②若AD=2，设AP=x，DQ=y，请直接写出y与x之间的函数关系式．











25．（2022·江苏·无锡市东林中学八年级期末）如图，∠AOB＝30°，点M，N在边OA上，点N在点M的上方，MN＝2，点M从O开始沿着射线OA移动，移动距离为x，点P是边OB上的点．

(1)利用直尺和圆规在图1确定点P，使得PM＝PN；
(2)在整个移动过程中，使P、M、N构成等腰三角形的点P最少有 个，最多有 个；当x＝2时，这样的点P有 个．
(3)若使P、M、N构成等腰三角形的点P恰好有3个，写出x满足的条件．


26．（2022·江苏南通·八年级期末）如图1，在中，，，D为AC的中点，E为边AB上一动点，连接DE，将沿DE翻折，点A落在AC上方点F处，连接EF，CF．

(1)判断∠1与∠2是否相等并说明理由；
(2)若与以点C，D，F为顶点的三角形全等，求出的度数：
(3)翻折后，当和的重叠部分为等腰三角形时，直接写出的度数．





27．（2022·江苏无锡·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上的一个动点，连接CD，点B关于直线CD的对称点为E，射线AE与射线CD交于点F．

（1）连接CE，求证：∠CAE＝∠CEA
（2）当BD＜AD时，求∠AFC的大小；
（3）若AD＝AC，试猜想AE与CD的数量关系，并证明．




28．（2022·江苏苏州·八年级期末）【情境】某校数学兴趣小组尝试自制数学学具进行自主合作探究．图①是一块边长为的等边三角形学具，是边上一个动点，由点向点运动，速度为，是边延长线上一动点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动，连接，交于点，设点运动的时间为．

(1)【问题】填空：_____；
(2)【问题】当时，求的值；
(3)【探究】如图②，过点作，垂足为，在点，点运动过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出的长度；若变化，请说明理由．

29．（2021·江苏南通·八年级期末）如图，在中，，点是边上的动点，连接，点关于直线的对称点为点，射线与直线交于点．

（1）当时，求的度数；
（2）当时，连接，求证：；
（3）当时，猜想和的数量关系，并证明．

















30．（2021·江苏南京·八年级期末）（1）【探索研究】
老师在课堂上给出了这样一道题目：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．试探究线段BE和CD的数量关系．小明同学经过认真思考后认为：先延长CA、BE相交于点为F，再证明△ACD≌△ABF即可，请根据小明同学的思路补全图形并直接写出线段BE和CD的数量关系．

（2）【类比探究】
老师引导同学们继续研究：
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F，试探究线段BE与FD的数量关系，并证明你的结论．











31．（2021·江苏泰州·八年级期末）折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．
例如，在△ABC中，AB＞AC（如图1），怎样证明∠C＞∠B呢？

把AC沿∠A的平分线AD翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点C′处（如图2）．于是，由∠AC′D＝∠C，∠AC′D＞∠B，可得∠C＞∠B．利用上述方法（或者思路）解决下列问题：
（1）如图2，上述阅读材料中，若∠B＝45°，∠C＝60°，则∠C′DB＝_______°．
（2）如图3，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D．若CD＝2，AB＝6．求△ABD的面积．
（3）如图4，△ABC中，已知AD⊥BC于点D，且CD＝AB＋BD．若∠C＝24°，求∠CAB的度数．












32．（2020·江苏南京·八年级期末）（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°．△ABC的高AD、BE相交于点M．求证：AM＝2CD；
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠CAB的平分线，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点 E．若AD＝3，则BE＝　 　．






33．（2020·江苏·南通第一初中八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点是轴正半轴上一点，且，点是轴上位于点右侧的一个动点，设点的坐标为.

（1）点的坐标为___________；
（2）当是等腰三角形时，求点的坐标；
（3）如图2，过点作交线段于点，连接，若点关于直线的对称点为，当点恰好落在直线上时，_____________.（直接写出答案）


34．（2020·江苏无锡·八年级期末）如图，已知，请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）：

（1）在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点与点能重合，请在图①中作出点；
（2）在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点能落在边上的点处，且，请在图②中作出点.




35．（2020·江苏扬州·八年级期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=15，AB=25，点D为斜边AB上动点．

（1）如图1，当CD⊥AB时，求CD的长度；
（2）如图2，当AD=AC时，过点D作DE⊥AB交BC于点E，求CE的长度；
（3）如图3，在点D的运动过程中，连接CD，当△ACD为等腰三角形时，直接写出AD的长度．





36．（2020·江苏泰州·八年级期末）已知△．
（1）在图中用直尺和圆规作出的平分线和边的垂直平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）的条件下，若点、分别是边和上的点，且，连接求证：；
（3）如图‚，在（1）的条件下，点、分别是、边上的点，且△的周长等于边的长，试探究与的数量关系，并说明理由．




37．（2020·江苏常州·八年级期末）如图1，对于平面直角坐标系x O y中的点A和点P，若将点P绕点A顺时针旋转90°后得到点Q，则称点Q为点P关于点A的“垂链点”.

(1) △PAQ是__________三角形;
(2)已知点A的坐标为（0, 0），点P关于点A的“垂链点”为点Q
①若点P的坐标为（2, 0），则点Q的坐标为___________；
②若点Q的坐标为（-2, 1），则点P的坐标为___________；
(3)如图2, 已知点D的坐标为（3, 0），点C在直线y=2x上,若点C关于点D的“垂链点”在坐标轴上，试求点C的坐标.


38．（2020·江苏扬州·八年级期末）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，动点M从点A出发沿A-C-B向点B匀速运动，动点N从点B出发沿B-C-A向点A运动.设MC的长为y1(cm)，NC的长为y2(cm)，点M的运动时间为x(s)；y1、y2与x的函数图像如图2所示.

（1）线段AC= cm，点M运动 s后点N开始运动；
（2）求点P的坐标，并写出它的实际意义；
（3）当∠CMN=45°时，求x的值.
















39．（2020·江苏泰州·八年级期末）如图，已知，A(0, 4),B(t,0)分别在y轴,x轴上，连接AB,以AB为直角边分别作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ABC.直线BC交y轴于点E.点G(-2,3)、H(-2,1)在第二象限内.

(1)当t=-3时，求点D的坐标.
(2)若点G、H位于直线AB的异侧，确定t的取值范围.
(3)①当t取何值时，△ABE与△ACE的面积相等.
②在①的条件下，在x轴上是否存在点P,使△PCB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由.















40．（2020·江苏南通·八年级期末）定义：三角形中，连接一个顶点和它所对的边上一点，如果所得线段把三角形的周长分成相等的两部分，则称这条线段为三角形的“周长平分线”．

（1）下列与等腰三角形相关的线段中，一定是所在等腰三角形的“周长平分线”的是_______（只要填序号）；
①腰上的高；②底边上的中线；③底角平分线．
（2）如图1，在四边形中，，为的中点，．取中点，连接．求证：是的“周长平分线”．
（3）在（2）的基础上，分别取，的中点，，如图2．请在上找点，，使为的“周长平分线”，为的“周长平分线”．
①用无刻度直尺确定点，的位置（保留画图痕迹）；
②若，，直接写出的长．














41．（2020·江苏·扬州市梅岭中学八年级期末）定义：有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，∠ABC=70°，∠BAC=40°，∠ACD=∠ADC=80°，求证：四边形ABCD是邻和四边形．
（2）如图2，是由50个小正三角形组成的网格，每个小正三角形的顶点称为格点，已知A、B、C三点的位置如图，请在网格图中标出所有的格点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为邻和四边形．
（3）如图3，△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=2，若存在一点D，使四边形ABCD是邻和四边形，求邻和四边形ABCD的面积．

42．（2020·江苏盐城·八年级期末）如图，中，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒设出发的时间为秒．

出发秒后，求的周长．
问满足什么条件时，为直角三角形？
另有一点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒若两点同时出发，当中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？




43．（2022·江苏·扬州市梅岭中学八年级期末）在平面直角坐标系中，矩形AOCD的顶点A（0，2），C（2，0）．

(1)如图一，E是OC边的中点，将△AOE沿AE翻折后得到△AEF，延长AF交CD于点G，求CG的长；
(2)如图二，∠AOC的角平分线交AD于点B，交CD的延长线于点E，F为BE的中点，连接CF，求∠ACF的大小；
(3)如图三，M，N分别是边CD和对角线AC上的动点，且AN=CM，则OM+ON的最小值=____________．（直接写出结果）
















44．（2021·江苏淮安·八年级期末）问题背景
定义：若两个等腰三角形有公共底边，且两个顶角的和是，则称这两个三角形是关于这条底边的互补三角形．如图1，四边形中，是一条对角线，，，且，则与是关于的互补三角形．

(1)初步思考：如图2，在中，，，、为外两点，，，为等边三角形．则关于的互补三角形是_______，并说明理由．
(2)实践应用：如图3，在长方形中，，．点在边上，点在边上，若与是关于互补三角形，试求的长．
(3)思维探究：如图4，在长方形中，，．点是线段上的动点，点是平面内一点，与是关于的互补三角形，直线与直线交于点．在点运动过程中，线段与线段的长度是否会相等？若相等，请直接写出的长；若不相等，请说明理由．













45．（2022·江苏宿迁·八年级期末）如图1，在中，，，延长至点，作交的延长线于点，连接，点为的中点，连接，．

(1)求证：；
(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置，猜想和之间的关系，并加以证明；
(3)若，，将绕点顺时针旋转，当，，共线时，如图3，请直接写出的长．

















46．（2022·江苏无锡·八年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B、C的坐标分别为（0，0）、（6，0），A是第一象限内的一点，且△ABC是等边三角形．点D的坐标为（2，0），E是边AB上一动点，连接DE，以DE为边在DE右侧作等边△DEF．

(1)求出A点坐标；
(2)当点F落在边AC上时，△CDF与△BED全等吗？若全等，请给予证明；若不全等，请说明理由；
(3)连接CF，当△CDF是等腰三角形时，直接写出BE的长度．


















47．（2022·江苏连云港·八年级期末）（1）【问题情境】八上《伴你学》第138页有这样一个问题：如图1，把一块三角板（）放入一个“”形槽中，使三角形的三个顶点、、分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，你发现线段与有什么关系？试说明你的结论；

（2）【变式探究】小明在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型；如图2，在中，点、、分别在边、、上，若，则这三个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角．请你写出其中的一组，并加以说理；
（3）【拓展应用】如图3，在中，，，点、分别是边、上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，，连接．
①试判断线段、、之间的数量关系，并说明理由；
②如图4，已知，点是的中点，连接、，直接写出的最小值．













48．（2022·江苏无锡·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，∠ABO=90°，∠A=30°，B点坐标为（0，4），点C为AB的中点，动点D从点A出发，以每秒2个单位的速度沿线段AO向终点O运动，运动时间为t秒（t>0），连接CD，作点A关于直线CD的对称点P

(1)若点P恰好落在AO上，求t的值；
(2)若CP⊥OA，求t的值；
(3)当t≠2时，∠APB的度数是否会发生变化？若保持不变，请求出∠APB的度数：若发生变化，请说明理由
















49．（2022·江苏·泰州市海陵学校八年级期末）将沿AD折叠，使点C刚好落在AB边上的点E处．展开如图1．

【操作观察】（1）图1中，，．
①则_______；
②若，则_______；
【理解应用】（2）如图2，若，试说明：；
【拓展延伸】（3）如图3，若，点G为AC的中点，且．点P是AD上的一个动点，连接PG、PC．求的最小值．















50．（2021·江苏南京·八年级期末）【基础模型】
（1）如图，在中，，垂足为，，垂足为．求证：．

【模型拓展】
（2）在平面直角坐标系中，两条互相垂直的直线与都经过点，直线与轴的正半轴交于点，与轴正半轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点．
①如图，点是线段的中点，求线段的长度；
②连接，如果是等腰三角形，直接写出点的坐标．

51．（2022·江苏扬州·八年级期末）
(1)问题解决：如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，点A、B、C的坐标分别为______、______、______ ．
(2)综合运用：①如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标（0，﹣6），点B坐标（8，0），过点B作x轴垂线l，点P是l上一动点，点D是在一次函数y＝﹣2x+2图像上一动点，若△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．
②如图 2，在⑵的条件中，若 M 为 x 轴上一动点，连接 AM，把 AM 绕 M 点逆时针旋转90°至线段 NM，ON+AN 的最小值是______．














52．（2022·江苏泰州·八年级期末）
(1)操作思考：如图1，在平面直角坐标系xOy中，等腰RtΔACB的直角顶点C在原点，将其绕着点O旋转，若顶点A恰好落在点（2，3）处．则：
①OA的长为 ；
②点B的坐标为 ．
(2)感悟应用：如图2，在平面直角坐标系xOy中，将等腰RtΔACB如图放置，直角顶点C（-2，0），点A（0，5），试求直线AB的函数表达式．
(3)拓展研究：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点B（5，4），过点B作BA⊥y轴，垂足为点A，作BC⊥x轴，垂足为点C，P是线段BC上的一个动点，点Q是直线y＝3x-10上一动点．问是否存在以点P为直角顶点的等腰RtΔAPQ，若存在，请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．













53．（2022·江苏扬州·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB为y＝﹣x＋b交y轴于点A（0，3），交x轴于点B，直线x＝1交AB于点D，交x轴于点E，P是直线x＝1上一动点，且在点D的上方，设P（1，n）．

(1)求点B的坐标及点O到直线AB的距离；
(2)求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；
(3)当S△ABP＝时，在第一象限找点C，使△PBC为等腰直角三角形，直接写出点C的坐标．

















54．（2022·江苏·南京玄武外国语学校八年级期末）在平面直角坐标系中，对于、两点，用以下方式定义两点间的“极大距离”；若，则；若，则．例如：如图，点，则．

【理解定义】
（1）若点、，则______．
（2）在点、、、中，到坐标原点的“极大距离”是2的点是______．（填写所有正确的字母代号）
【深入探索】
（3）已知点，，为坐标原点，求的值．
【拓展延伸】
（4）经过点的一次函数（、是常数，）的图像上是否存在点，使，为坐标原点，直接写出点的个数及对应的的取值范围．









55．（2022·江苏苏州·八年级期末）在平面直角坐标系中，对于，两点，若在轴上存在点，使得，且，则称，两点互相等垂，其中一个点叫做另一个点的等垂点．已知点的坐标是．

(1)如图①，在点，，中，点的等垂点是_____；（选填“”，“”或“”）
(2)如图②，若一次函数的图像上存在点的等垂点，求点的坐标；
(3)若一次函数的图像上存在无数个点的等垂点，试写出该一次函数的所有表达式： ______．














56．（2022·江苏镇江·八年级期末）给出如下定义：在平面直角坐标系中，已知点，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最短间距”，例如：如图，点的“最短间距”是1（即的长）．

(1)点的最短间距是_________；
(2)已知点，点在第三象限．
①若点O，A，B的最短间距是1，求y的值；
②点O，A，B的“最短间距”的最大值为__________；
(3)已知直线l与坐标轴分别交于点和，点是线段上的一个动点，当点的最短间距取到最大值时，则此时点P的坐标_________．












57．（2022·江苏·苏州市相城区阳澄湖中学八年级期末）【了解概念】
将平面直角坐标系中过某一定点且不与x轴垂直的直线，叫该定点的“友好线”．若点P（1，0），则点P的“友好线”可记为y＝k（x﹣1）．
【理解运用】
（1）已知点A的“友好线”可记为y＝kx﹣3k+，则点A的坐标为 　 　；
（2）若点B（3，2）的“友好线”恰好经过点（1，1），求该“友好线”的解析式；
【拓展提升】
（3）已知点M在点Q的“友好线”y＝k（x+2）﹣1上，点N在直线y＝﹣x+2，若M（a，m），N（a，n），且当﹣3≤a≤3时，m≤n，请直接确定k的取值范围．



58．（2021·江苏常州·八年级期末）（1）[探究]对于函数y＝|x|，当x≥0时，y＝x；当x＜0时，y＝﹣x．
在平面直角坐标系中画出函数图象，由图象可知，函数y＝|x|的最小值是　 　．

（2）[应用]对于函数y＝|x﹣1|＋|x＋2|．
①当x≥1时，y＝　 　；当x≤﹣2时，y＝　 　；当﹣2＜x＜1时，y＝　 　．
②在平面直角坐标系中画出函数图象，由图象可知，函数y＝|x﹣1|＋|x＋2|的最小值是　 　．
（3）[迁移]当x＝　 　时，函数y＝|x﹣1|＋|2x﹣1|＋|3x﹣1|＋…＋|8x﹣1|取到最小值．
（4）[反思]上述问题解决过程中，涉及了一些重要的数学思想或方法，请写出其中一种．

59．（2021·江苏无锡·八年级期末）如图，已知一次函数y=﹣x+8的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，与一次函数y=x的图象相交于点C．

（1）求点C坐标．
（2）若点Q在直线AB上，且△OCQ的面积等于12，请求出点Q的坐标．
（3）小明在探究中发现：若P为x轴上一动点，将线段PC绕点P按顺时针方向旋转90°得线段PC'，在点P的运动过程中，点C′始终在某一直线上运动．请直接写出该直线所对应的函数关系式：　 ．
















60．（2021·江苏江苏·八年级期末）如图1，直线y＝2x+b过点A（﹣1，﹣4）和B（m，8），它与y轴交于点G，点P是线段AB上的一个动点．
（1）求出b的值，并直接写出m＝　 　，点G的坐标为　 　；
（2）点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y＝﹣x﹣上，求点P的坐标；
（3）过点P作y轴的平行线PE，过点G作x轴的平行线GE，它们相交于点E．
①如图2，将△PGE沿直线PG翻折，当点E的对应点E′落在x轴上时，求点P的坐标；
②在点P从A运动到点B的过程中，点E′也随之运动，直接写出点E′的运动路径长为　 　．















61．（2021·江苏苏州·八年级期末）如图，用表示中的实数，表示中与对应的实数，且与满足一次函数为常数，）．

（1）是中的实数，则中与之对应的实数是_ ；
（2）点在该函数的图像上吗？请说明理由；
（3）若点到直线的距离是，求的值．














62．（2021·江苏连云港·八年级期末）如图1所示，直线与轴负半轴，轴正半轴分别交于、两点．

（1）当时，求直线的解析式；
（2）在（1）的条件下，如图2所示，设线段延长线上一点，作直线，过、两点分别作于点，于点，若，BN=3，求的长；
（3）如图3，当取不同的值时，点在轴正半轴上运动，分别以、为边，点为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角和等腰直角，连接交轴于点，当点在轴正半轴上运动时，试猜想的面积是否改变；若不改变，请求出其值；若改变，请说明理由．
（4）如图3，当取不同的值时，点在轴正半轴上运动，以为边，点为直角顶点，在第二象限作等腰直角，则动点在直线______上运动．（直接写出直线的解析式）














63．（2020·江苏扬州·八年级期末）如图所示，已知点M（1，4），N（5，2），P（0，3），Q（3，0），过P，Q两点的直线的函数表达式为y＝﹣x+3，动点P从现在的位置出发，沿y轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，设移动时间为ts．
（1）若直线PQ随点P向上平移，则：
①当t＝3时，求直线PQ的函数表达式．
②当点M，N位于直线PQ的异侧时，确定t的取值范围．
（2）当点P移动到某一位置时，△PMN的周长最小，试确定t的值．
（3）若点P向上移动，点Q不动．若过点P，Q的直线经过点A（x0，y0），则x0，y0需满足什么条件？请直接写出结论．
















64．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校八年级期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y＝x交于点C．

(1)若直线AB解析式为y＝﹣2x+12，求：
①求点C的坐标；
②求△OAC的面积．
(2)在（1）的条件下，若P是x轴上的一个动点，直接写出当△POC是等腰三角形时P的坐标．
(3)如图2，作∠AOC的平分线OF，若，垂足为E，OA＝4，P是线段AC上的动点，过点P作OC，OA的垂线，垂足分别为M，N，试问PM+PN的值是否变化，若不变，求出PM+PN的值；若变化，请说明理由．














65．（2022·江苏南通·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴及直线分别交于点，，点与关于轴对称．已知轴上一点，连接．

(1)求点，的坐标及直线的解析式；
(2)设面积的和，求的值；
(3)在求（2）中时，小海有个想法：“将沿轴翻折到的位置，而与四边形拼接后可看成，这样求便转化为直接求的面积不更快捷吗？”你认为小海的说法正确吗？请说明理由．














66．（2022·江苏盐城·八年级期末）如图，直线l1：y＝x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y＝kx+b与x轴交于点C（1，0），与y轴交于点D（0，2），直线l1，l2交于点E．

(1)求直线l2的函数表达式；
(2)试说明CD＝CE．
(3)若P为直线l1上一点，当∠POB＝∠BDE时，求点P的坐标．















67．（2022·江苏盐城·八年级期末）甲、乙两地间的直线公路长为400km．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发1h，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶．1h后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离y（km）与轿车所用的时间x（h）的关系如图所示，请结合图像解答下列问题：

(1)货车的速度是______km/h；轿车的速度是______km/h，t值为______；
(2)求轿车距其出发地的距离y（km）与所用时间x（h）之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
(3)货车出发多长时间两车相距155km？
















68．（2022·江苏淮安·八年级期末）【模型建立】
如图1，在中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，易证明．我们将这个模型称为“形图”，接下来我们就利用这个模型解决一些问题；
【模型应用】

(1)如图1，若，则的面积为__________；
(2)如图2，已知直线与坐标轴交于点A、B，将直线绕点A逆时针旋转45°至直线，求直线的函数表达式；
(3)如图3，在平面直角坐标系中，直线的函数关系式为：，点在直线上找一点，使直线与直线的夹角为45°，直接写出点的坐标．












69．（2022·江苏扬州·八年级期末）如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点为平面内一点，

(1)点 _______一次函数的图象；（填“不在”或“在”）
(2)若一次函数的图象经过点，与轴交于点．
①求的长；
②求证：平分；
③若正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，且点、点到一次函数的图象的距离相等，则符合条件的值为_______．














70．（2022·江苏南通·八年级期末）在练习“一次函数”复习题时，我们发现了一种新的函数：“绝对值函数”：，请类比探究函数．
(1)当时，______，当时，______用含的代数式表示；
(2)过轴上的动点，其中，作平行于轴的直线，分别与函数的图像相交于、两点点在点的左侧，若，求的值；
(3)若一次函数图像与函数的图像相交于、两点，，直接写出的取值范围．





















71．（2022·江苏镇江·八年级期末）对于平面直角坐标系xOy中的点A和点P，若将点P绕点A顺时针旋转90°后得到点Q，则称点Q为点P关于点A的“顺转点”，图1为点P关于点A的“顺转点”Q的示意图．

【知识理解】
(1)已知点A的坐标为(0，0)，点P关于点A的“顺转点”为点Q．
①若点P的坐标为(1，0)，则点Q的坐标为　　；
②当点P的坐标为　　时，点Q的坐标为(2，-1)；
③△PAQ是　　 三角形；
【知识运用】
(2)如图2，已知直线与x轴交于点A．
①点B的坐标为(1，0)，点C在直线上，若点C关于点B的“顺转点”在坐标轴上，则点C的坐标是　　；
②点E在直线上，点E关于点A的“顺转点”为点F，则直线AF的表达式为　　；
【知识迁移】
(3)如图3，已知直线l1：y=-2x+2与y轴交于点A，直线l2经过点A，l1与l2在A点相交所形成的夹角为45°，则直线l2的函数表达式为　　；
(4)点A是平面直角坐标系内一点，点P(2，0)关于点A的“顺转点”为点B，点B恰好落在直线y=-x上，当线段AP最短时，点A的坐标为　　．




72．（2022·江苏扬州·八年级期末）（1）如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，AB＝EC，BE＝CD，连接AE、DE．判断△AED的形状，并说明理由；
（2）在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（5，1），点C在第一象限内，若△ABC是等腰直角三角形，求点C的坐标；
（3）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），点C是x轴上的动点，线段CA绕着点C按顺时针方向旋转90°至线段CB，连接BO、BA，则BO+BA的最小值是 ．





73．（2022·江苏宿迁·八年级期末）如图，已知直线分别与，轴交于点A、，与直线相交于点，点为直线上一点．

(1)______，______；
(2)若点在射线上，且，求点的坐标．
(3)若的面积为1，求点的坐标．
(4)点在函数的图像上，若的面积为（为常数且），试确定满足条件的点的个数（直接写出结果）．
74．（2022·江苏泰州·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点．点为直线上第一象限内一点，过作轴于点，于点．点在线段上，．连接，为线段上一动点，过点作轴，分别交轴、、于点、、．

(1)若点坐标为
①求直线的函数关系式；
②若为中点，求点坐标．
(2)在点运动的过程中，的值是否变化？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．
















75．（2022·江苏常州·八年级期末）如图，一次函数的图像与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，点D在x轴上．如果将直线AB沿直线BD翻折，使得点A的对应点C落在y轴上，那么直线BD称为直线AB的“伴随直线”．已知点B的坐标为（0，6），BC＝10

(1)若点C在y轴负半轴上，求直线AB的“伴随直线”BD的函数表达式；
(2)已知在（1）的条件下，存在第一象限内的点E，使得△BOD与以B、D、E为顶点的三角形全等，试求出点E的坐标；
(3)直线AB的“伴随直线”BD上是否存在点F（异于点D），使得S△ABD＝S△ABF？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．














76．（2020·江苏连云港·八年级期末）如图1，一次函数y＝x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B．

(1)则点A的坐标为_______，点B的坐标为______；
(2)如图2，点P为y轴上的动点，以点P为圆心，PB长为半径画弧，与BA的延长线交于点E，连接PE，已知PB＝PE，求证：∠BPE＝2∠OAB；
(3)在（2）的条件下，如图3，连接PA，以PA为腰作等腰三角形PAQ，其中PA＝PQ，∠APQ＝2∠OAB．连接OQ．
①则图中（不添加其他辅助线）与∠EPA相等的角有______；（都写出来）
②试求线段OQ长的最小值．




77．（2021·江苏南通·八年级期末）已知，平面直角坐标系中，以，，为顶点的三角形被直线分成两部分设靠近原点部分的面积为S．
（1）若，求S的值；
（2）设直线l分别与x轴、直线交于P、Q两点当时，求线段的长；
（3）求S关于m的函数解析式．






78．（2021·江苏盐城·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x、y轴于点A、B，将正比例函数的图像沿y轴向下平移3个单位长度得到直线l，直线l分别交x、y轴于点C、D，交直线于点E．

（1）直线l对应的函数表达式是__________，点E的坐标是__________；
（2）在直线上存在点F（不与点E重合），使，求点F的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．




79．（2020·江苏苏州·八年级期末）如图，函数 的图像分别与 x轴、 y轴交于 A、 B两点，点 C在 y轴上， AC平分 ．
(1) 求点 A、 B的坐标；
(2) 求 的面积；
(3) 点 P在坐标平面内，且以A、 B、P为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你直接写出点 P的坐标．

80．（2020·江苏盐城·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(5，0)和点B（0，4）．
       
（1）求直线AB所对应的函数表达式；
（2）设直线y＝x与直线AB相交于点C，求△BOC的面积；
（3）若将直线OC沿x轴向右平移，交y轴于点O′，当△AB O′为等腰三角形时，直接写出点O′的坐标．


答案与解析
一、单选题
1．（2020·江苏南通·八年级期末）如图，中，，垂足为，，为直线上方的一个动点，的面积等于的面积的，则当最小时，的度数为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由三角形面积关系得出P在与BC平行，且到BC的距离为AD的直线l上，作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，作PM⊥BC于M，则BB'＝2PM＝AD，证明△BB'C是等腰直角三角形，得出∠B'＝45°，求出∠PBB'＝∠B'＝45°，即可得出答案．
【详解】∵S△PBC＝S△ABC，，
∴P在与BC平行，且到BC的距离为AD的直线l上，如图，

∴l∥BC，
作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，
则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，
作PM⊥BC于M，则BB'＝2PM＝AD，
∵AD⊥BC，AD＝BC，
∴BB'＝BC，BB'⊥BC，
∴△BB'C是等腰直角三角形，
∴∠B'＝45°，
∵PB＝PB'，
∴∠PBB'＝∠B'＝45°，
∴∠PBC＝90°−45°＝45°；
故选B．
【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
2．（2020·江苏扬州·八年级期末）如图，∠AOB＝30°，OC为∠AOB内部一条射线，点P为射线OC上一点，OP＝6，点M、N分别为OA、OB边上动点，则△MNP周长的最小值为（   ）

A．3 B．6 C． D．
【答案】B
【分析】作点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，连结P1P2，与OA的交点即为点M，与OB的交点即为点N，则此时M、N符合题意，求出线段P1P2的长即可.
【详解】解：作点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，连结P1P2，与OA的交点即为点M，与OB的交点即为点N，

△MNP的最小周长为P．
M＋MN＋PN=P1M＋MN＋P2N= P1P2，即为线段P1P2的长，
连结OP1、OP2，则OP1=0P2=6，
又∵∠P1OP2=2∠AOB=60。，
∴△OP1P2是等边三角形，
∴P1P2=OP1=6，
即△MNP的周长的最小值是6．
故选：B．
【点睛】本题考查等边三角形的性质和的判定以及轴对称-最短路线问题的应用，解题的关键是确定M、N的位置．
3．（2022·江苏南京·八年级期末）如图，在正方形ABCD中，，E为AB边上一点，点F在BC边上，且，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（    ）

A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】过点作于点，延长交于点，设，只要证得，利用全等三角形的性质可得，，进而得到，在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点作于点，延长交于点，则，
∵四边形是正方形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，  
又，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
当时，有最小值为，
∴的最小值为，
故选：C

【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，作出适当的辅助线是解题的关键．
4．（2022·江苏宿迁·八年级期末）如图，面积为3的等腰，，点、点在轴上，且、，规定把 “先沿轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，顶点的坐标为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的面积和B(1，0)、C(3，0)；可得A(2，3)，然后先求出前几次变换A的坐标，进而可以发现第2021次变换后的三角形在x轴下方，且在第三象限，即可解决问题．
【详解】解：∵面积为3的等腰△ABC，AB=AC，B(1，0)、C(3，0)，
∴点A到x轴的距离为3，横坐标为2，
∴A(2，3)，
∴第1次变换A的坐标为(-2，2)；
第2次变换A的坐标为(2，1)；
第3次变换A的坐标为(-2，0)；
第4次变换A的坐标为(2，-1)；
第5次变换A的坐标为(-2，-2)；
∴第2021次变换后的三角形在x轴下方，且第三象限，
∴点A的纵坐标为-2021+3=-2018，横坐标为-2，
所以，连续经过2021次变换后，△ABC顶点A的坐标为(-2，-2018)．
故选：A．
【点睛】本题考查了翻折变换，及点的坐标变化规律，等腰三角形的性质，坐标与图形对称、平移，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
5．（2020·江苏扬州·八年级期末）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到An．则△OA2A2018的面积是（　　）

A．504m2 B．m2 C．m2 D．1009m2
【答案】A
【分析】由OA4n=2n知OA2017=+1=1009，据此得出A2A2018=1009-1=1008，据此利用三角形的面积公式计算可得．
【详解】解：由题意知OA4n=2n，
∴OA2016=2016÷2=1008，即A2016坐标为(1008，0)，
∴A2018坐标为(1009，1)，
则A2A2018=1009－1=1008(m)，
∴＝A2A2018×A1A2＝×1008×1＝504(m2)．
故选：A．
【点睛】本题主要考查点的坐标的变化规律，解题的关键是根据图形得出下标为4的倍数时对应长度即为下标的一半，据此可得．

二、填空题
6．（2021·江苏·灌南县实验中学八年级期末）如图，△ABC与△AED中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过A作AF⊥DE垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG，若S四边形DGBA＝6，AF＝，则FG的长是_____．

【答案】4
【分析】过点A作AH⊥BC于H，可证明△ABC≌△ADE，得出AF=AH，再判定Rt△AFG≌Rt△AHG，即可得出，再判定Rt△ADF≌Rt△ABH，得出S四边形DGBA＝S四边形AFGH＝6，最后根据Rt△AFG的面积＝3，进而得出FG的长．
【详解】解：过点A作AH⊥BC于H，如图所示：
在△ABC与△AED中， ，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴AD＝AB，S△ABC＝S△AED，
又∵AF⊥DE，
即×DE×AF＝×BC×AH，
∴AF＝AH，
又∵AF⊥DE，AH⊥BC，
∴在Rt△AFG和Rt△AHG中，  ，
∴Rt△AFG≌Rt△AHG（HL），
同理：Rt△ADF≌Rt△ABH（HL），
∴S四边形DGBA＝S四边形AFGH＝6，
∵Rt△AFG≌Rt△AHG，
∴Rt△AFG的面积＝3，
∵AF＝，
∴×FG×＝3，
解得：FG＝4；
故答案为：4．

【点睛】本题考查的知识点是角平分线性质、三角形面积、全等三角形的判定与性质，综合运用各知识点是解题的基础，作出合适的辅助线是解此题的关键．
7．（2022·江苏南通·八年级期末）如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝_______°．

【答案】105°
【分析】如图，作辅助线，构建全等三角形，证明△AEC≌△CFH，得CE＝FH，将CE转化为FH，与BF在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点F的位置，即F为AC与BH的交点时，BF＋CE的值最小，求出此时∠AFB＝105°．
【详解】解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，

∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AC＝BC，∠DAC＝30°，
∴AC＝CH，
∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，
∴∠ACH＝90°−60°＝30°，
∴∠DAC＝∠ACH＝30°，
∵AE＝CF，
∴△AEC≌△CFH，
∴CE＝FH，BF＋CE＝BF＋FH，
∴当F为AC与BH的交点时，BF＋CE的值最小，
此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，
∴∠AFB＝105°，
故答案为105°.
【点睛】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，当BF＋CE取得最小值时确定点F的位置，有难度．
8．（2020·江苏宿迁·八年级期末）已知∠AOB=45°，点P在∠AOB内部，点P1与点P关于OA对称，点P2与点P关于OB对称，连接P1P2交OA、OB于E、F，若P1E=，OP=，则EF的长度是_____．

【答案】
【分析】由P，P1关于直线OA对称，P、P2关于直线OB对称，推出OP=OP1=OP2，∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，推出∠P1OP2=90°，由此即可判断△P1OP2是等腰直角三角形，由轴对称可得，∠OPE=∠OP1E=45°，∠OPF=∠OP2F=45°，进而得出∠EPF=90°，最后依据勾股定理列方程，即可得到EF的长度．
【详解】∵P，P1关于直线OA对称，P、P2关于直线OB对称，
∴OP=OP1=OP2=，∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，
∵∠AOB=45°，
∴∠P1OP2=2∠AOP+2∠BOP=2（∠AOP+∠BOP）=90°，
∴△P1OP2是等腰直角三角形，
∴P1P2==2，
设EF=x，
∵P1E==PE，
∴PF=P2F=-x，
由轴对称可得，∠OPE=∠OP1E=45°，∠OPF=∠OP2F=45°，
∴∠EPF=90°，
∴PE2+PF2=EF2，即（）2+（-x）2=x2，
解得x=．
故答案为．
【点睛】本题考查轴对称的性质、等腰直角三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用对称的性质解决问题，依据勾股定理列方程求解．
9．（2020·江苏扬州·八年级期末）如图，等边△OAB的边长为2，以它的顶点O为原点，OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系.若直线y=x+b与△OAB的边界总有两个公共点，则实数b的范围是____.

【答案】
【分析】由题意，可知点A坐标为（1，），点B坐标为（2，0），由直线与△OAB的边界总有两个公共点，有截距b在线段CD之间，然后分别求出点C坐标和点D坐标，即可得到答案.
【详解】解：如图，过点A作AE⊥x轴，

.∵△ABC是等边三角形，且边长为2，
∴OB=OA=2，OE=1，
∴，
∴点A为（1，），点B为（2，0）；
当直线经过点A（1，）时，与△ABC边界只有一个交点，
则，解得：，
∴点D的坐标为（）；
当直线经过点B（2，0）时，与△ABC边界只有一个交点，
则，解得：，
∴点C的坐标为（0，）；
∴直线与△OAB的边界总有两个公共点时，截距b在线段CD之间，
∴实数b的范围是：；
故答案为：.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，一次函数的图形和性质，解题的关键是掌握一次函数的图像和性质，掌握直线与等边三角形有一个交点是临界点，注意分类讨论.
10．（2020·江苏扬州·八年级期末）如图，在Rt△ABO中，∠OBA=90°，AB=OB，点C在边AB上，且C(6，4)，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当∠APC=∠DPO时，点P的坐标为 ____.

【答案】（，）
【分析】根据题意，△ABO为等腰直角三角形，由点C坐标为（6，4），可知点B为（6，0），点A为（6，6），则直线OA为，作点D关于OA的对称点E，点E恰好落在y轴上，连接CE，交OA于点P，则点E坐标为（0，3），然后求出直线CE的解析式，联合，即可求出点P的坐标.
【详解】解：在Rt△ABO中，∠OBA=90°，AB=OB，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∵点C在边AB上，且C(6，4)，
∴点B为（6，0），
∴OB=6=AB，
∴点A坐标为：（6，6），
∴直线OA的解析式为：；
作点D关于OA的对称点E，点E恰好落在y轴上，连接CE，交OA于点P，

∴∠APC=∠OPE=∠DPO，OD=OE，
∵点D是OB的中点，
∴点D的坐标为（3，0），
∴点E的坐标为：（0，3）；
设直线CE的解析式为：，
把点C、E代入，得：，
解得：，
∴直线CE的解析式为：；
∴，解得：，
∴点P的坐标为：（，）；
故答案为：（，）.
【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，等腰直角三角形的性质，以及线段动点问题，正确的找到P点的位置是解题的关键．
11．（2022·江苏·无锡市江南中学八年级期末）如图，中，，是斜边上一个动点，把沿直线折叠，点落在同一平面内的处，当平行于的直角边时，的长为______．

【答案】或
【分析】在Rt△ABC中，BC＝AC＝，于是得到AB＝2，∠B＝∠A′CB＝45°，①如图1，当A′D∥BC，设AD＝x，根据折叠的性质得到∠A′＝∠A＝∠A′CB＝45°，A′D＝AD＝x，推出A′C⊥AB，求得BH＝BC＝1，DH＝A′D＝x，然后列方程即可得到结果，②如图2，当A′D∥AC，根据折叠的性质得到AD＝A′D，AC＝A′C，∠ACD＝∠A′CD，根据平行线的性质得到∠A′DC＝∠ACD，于是得到∠A′DC＝∠A′CD，推出A′D＝A′C，于是得到AD＝AC＝．
【详解】解：Rt△ABC中，BC＝AC＝，
∴AB＝2，∠B＝∠A′CB＝45°，
①如图1，

当A′D∥BC，设AD＝x，
∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，
∴∠A′＝∠A＝∠A′CB＝45°，A′D＝AD＝x，
∵∠B＝45°，
∴A′C⊥AB，
∴BH＝BC＝1，DH＝A′D＝x，
∴x＋x＋1＝2，
∴x＝2-，
∴AD＝2-；
②如图2，

当A′D∥AC，
∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，
∴AD＝A′D，AC＝A′C，∠ACD＝∠A′CD，
∵∠A′DC＝∠ACD，
∴∠A′DC＝∠A′CD，
∴A′D＝A′C，
∴AD＝AC＝，
综上所述：AD的长为：或．
【点睛】本题考查了翻折变换−折叠问题，等腰直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
12．（2022·江苏·泰州市海陵学校八年级期末）根据教材第65页“思考”栏目可以得到这样一个结论：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，则AB＝2BC．请在这一结论的基础上继续思考：若AC＝2，点D是AB边上的动点，则CD+AD的最小值为_____．

【答案】
【分析】根据题意作射线AG，使得∠BAG＝30°，过D作DE⊥AG于E，过C作CF⊥AG于F，故DE＝AD，故CD+AD＝CD+DE≥CF，求出CF即可．
【详解】解：作射线AG，使得∠BAG＝30°，
过D作DE⊥AG于E，过C作CF⊥AG于F，

∴DE＝AD，
∴CD+AD＝CD+DE≥CF，
∵∠CAG＝∠CAB+∠BAG＝60°，AC＝2，
∴∠ACF＝30°，
∴AF＝1，
∴CF＝，
∴CD+AD的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查勾股定理，含30°直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边一半，作出射线AG，使得∠BAG=30°是解答本题的关键．
13．（2022·江苏·宿迁市钟吾初级中学八年级期末）已知点位于第二象限，并且，、为整数，符合上述条件的点共有_______个．
【答案】6
【分析】根据已知得出不等式和，求出两不等式的解集，再求出其整数解即可．
【详解】解：已知点位于第二象限，
，，
又，
，，
又、为整数，
当时，可取，，，
当时，可取，，
当时，可取．
则坐标为，，，，，共6个．
故答案为：6.
【点睛】本题考查了解一元一次不等式和一次函数的应用，关键是根据题意得出不等式和，主要培养学生的理解能力和计算能力．
14．（2022·江苏无锡·八年级期末）如图，在边长为2的等边中，射线于点，将沿射线平移，得到，连接、，则的最小值为______．

【答案】
【分析】连接AG、AE、AF，作点F关于点E的对称点，连接A，得出当G、A、三点在同-直线上时，+ AG的最小值为，再根据勾股定理和等边三角形的性质即可得出答案
【详解】解：连接AG、AE、AF，作点F关于点E的对称点F'，连接AF'，
则，
∵等边，，
∴，
∴，
∴，
∴当G、A、三点在同-直线上时,AF'+ AG的最小值为G
连接G
∵等边△ABC的边长为2，
∴，，
∴
故答案为：

【点睛】本题考查轴对称，等边三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
15．（2020·江苏扬州·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一根长为2015个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按A→B→C→D→A…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是__．

【答案】（-1， -2）；
【分析】根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．
【详解】解：∵A（1，1），B（-1，1），C（-1，-2），D（1，-2），
∴AB=1-（-1）=2，BC=1-（-2）=3，CD=1-（-1）=2，DA=1-（-2）=3，
∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3=10，
2015÷10=201…5，
∴细线另一端在绕四边形第202圈的第5个单位长度的位置，
即点C的位置，点的坐标为（-1，-2）．
故答案为：（-1，-2）．
【点睛】本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD一周的长度，从而确定2015个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．
16．（2020·江苏·徐州市西苑中学八年级期末）如图，已知点M（-1，0），点N（5m，3m+2）是直线AB：右侧一点，且满足∠OBM=∠ABN，则点N的坐标是_____．

【答案】
【分析】在x轴上取一点P（1，0），连接BP，作PQ⊥PB交直线BN于Q，作QR⊥x轴于R，构造全等三角形△OBP≌△RPQ（AAS）；然后根据全等三角形的性质、坐标与图形性质求得Q（5，1），易得直线BQ的解析式，所以将点N代入该解析式来求m的值即可．
【详解】解：在x轴上取一点P（1，0），连接BP，
作PQ⊥PB交直线BN于Q，作QR⊥x轴于R，
∴∠BOP=∠BPQ=∠PRQ=90°，
∴∠BPO=∠PQR，
∵OA=OB=4，
∴∠OBA=∠OAB=45°，
∵M（-1，0），
∴OP=OM=1，
∴BP=BM，
∴∠OBP=∠OBM=∠ABN，
∴∠PBQ=∠OBA=45°，
∴PB=PQ，
∴△OBP≌△RPQ（AAS），
∴RQ=OP=1，PR=OB=4，
∴OR=5，
∴Q（5，1），
∴直线BN的解析式为y＝−x+4，
将N（5m，3m+2）代入y＝−x+4，得3m+2=﹣×5m+4
解得 m＝，
∴N．
故答案为：

【点睛】本题考查了一次函数综合题，需要熟练掌握待定系数法确定函数关系式，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，两点间的距离公式等知识点，难度较大．
17．（2022·江苏无锡·八年级期末）如图，一次函数y=-x+4的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C为AO中点，OD=3，点P为AB上的动点，当∠APC=∠BPD时，点P的坐标为____．

【答案】（，）
【分析】过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N， 过点作，交轴于点，过点作轴，交的延长线与点，如图，，是等腰直角三角形，证明，设，则，求得，进而根据三点共线，求得直线的解析式，将点的坐标代入求得的值，即可求解．
【详解】解：过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，

∵一次函数y＝﹣x+4的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（4，0），B（0，4），
∴OA＝OB＝4，AB＝4，
∵点C为AO中点，OD＝3，
∴OC＝AC＝2，BD＝1，
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝∠OAB＝45°，
过点作，交轴于点，过点作轴，交的延长线与点，如图，

则，是等腰直角三角形，
，
轴，
，
，
设，则，
，，
∠APC=∠BPD,，
，
又，，
，
，
，
三点共线，设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
将点代入得，
，
解得，
∴P（，）．
故答案为：（，）．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，设参数法求得点的坐标是解题的关键．

三、解答题
18．（2021·江苏连云港·八年级期末）如图1，，，以点为顶点、为腰在第三象限作等腰直角．

（1）求点的坐标；
（2）如图2，是轴负半轴上一个动点，当点向轴负半轴向下运动时，若以为直角顶点，为腰作等腰直角，过点作轴于点，求的值；
（3）如图3，已知点坐标为，当在轴运动时，作等腰直角，并始终保持，与轴交于点，与轴交于点，求、满足的数量关系．
【答案】（1）点C的坐标为（-6，-2）；（2）2；（3）m＋n=-6
【分析】（1）要求点C的坐标，则求C的横坐标与纵坐标，因为AC=AB，则作CM⊥x轴，即求CM和AM的值，容易得△MAC≌△OBA，根据已知即可求得C点的值；
（2）求OP-DE的值，则将其放在同一直线上，过D作DQ⊥OP于Q点，即是求PQ的值，由图易求得△AOP≌△PDQ（AAS），可求得PQ的长，即为的值；
（3）根据（2）的结论，可知m+n为定长，过F分别作x轴和y轴的垂线，运用（2）中的方法即可求得m+n的值．
【详解】解：如图，过C作CM⊥x轴于M点，

∵CM⊥OA，AC⊥AB，
∴∠MAC＋∠OAB＝90°，∠OAB＋∠OBA＝90°，
则∠MAC＝∠OBA，
在△MAC和△OBA中，
∠CMA＝∠AOB＝90°，∠MAC＝∠OBA，AC＝BA，
∴△MAC≌△OBA（AAS），
∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，
∴点C的坐标为(-6，-2)；
（2）如图，过D作DQ⊥OP于Q点，

∴DE=OQ，
∵∠APO+∠QPD=90°,∠APO+∠OAP=90°，
∴∠QPD=∠OAP，
在△AOP和△PDQ中，
∵∠AOP=∠PQD=90°，∠QPD=∠OAP，AP=PD，
∴△AOP≌△PDQ(AAS)，
∴AO=PQ=2，
∴OP−DE=OP−OQ=PQ=OA=2；
（3）如图，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T点，

则FS＝FT＝3，∠FHS＝∠HFT＝∠FGT，
在△FSH和△FTG中：    
∠FSH＝∠FTG＝90°，∠FHS＝∠FGT，FS＝FT，
则△FSH≌△FTG（AAS），
则GT＝HS，
又∵G(0，m)，H(n，0)，点F坐标为(-3，-3)，
∴OT=OS=3，OG=|m|=-m，OH=n，
∴GT=OG-OT=-m-3，HS=OH＋OS=n+3，
则-3-m=n+3，
则m＋n=-6．
【点睛】考查了坐标系中的几何问题，熟练掌握全等三角形的“三垂直”模型的特点是解题的关键．
19．（2021·江苏苏州·八年级期末）如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，AB＝8，AC＝6．
（1）求四边形AEDF的周长；
（2）若∠BAC＝90°，求四边形AEDF的面积．

【答案】（1）14；（2）12．
【分析】（1）延长DE到G，使GE＝DE，连接BG，根据线段中点的定义求出AE＝4，AF＝3，并利用SAS证明△AED≌△BEG，由全等三角形的性质并再次利用全等三角形的判定得出△GBD≌△ABD，可证得DE＝AB＝4，同理DF＝AC＝3，即可计算出四边形的周长；
（2）利用SSS可证△AEF≌△DEF，根据直角三角形的面积计算方法求出△AEF的面积，则四边形的面积即可求解．
【详解】解：（1）延长DE到G，使GE＝DE，连接BG，

∵E、F分别是AB、AC的中点，AB＝8，AC＝6，
∴AE＝BE＝AB＝4，AF＝CF＝AC＝3．
在△AED和△BEG中，
，
∴△AED≌△BEG（SAS）．
∴AD＝BG，∠DAE＝∠GBE．
∵AD⊥BC，
∴∠DAE＋∠ABD＝90°．
∴∠GBE＋∠ABD＝90°．
即∠GBD＝∠ADB＝90°．
在△GBD和△ABD中，
，
∴△GBD≌△ABD（SAS）．
∴GD＝AB．
∵DE＝GD，
∴DE＝AB＝4．
同理可证：DF＝AC＝3．
∴四边形AEDF的周长＝AE＋ED＋DF＋FA＝14．
（2）由（1）得AE＝DE＝AB＝4，AF＝DF＝AC＝3，
在△AEF和△DEF中，
，
∴△AEF≌△DEF（SSS）．
∵∠BAC＝90°，
∴S△AEF＝AE•AF＝×4×3＝6．
∴S四边形AEDF＝2S△AEF＝12．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质并能利用倍长中线法构造全等三角形是解题的关键．
20．（2021·江苏扬州·八年级期末）如图，在等边中，点是边上一定点，点是直线上一动点，以为一边作等边，连接．
【问题思考】
如图1，若点与点重合时，求证：；

【类比探究】
如图2，若点在边上，求证：；
【拓展归纳】
如图3，若点在边的延长线上，请直接写出线段、与之间存在的数量关系的结论是：______（不证明）．
【答案】【问题思考】见解析；【类比探究】见解析；【拓展归纳】．
【分析】问题思考：利用等边三角形的性质证明：可得，再利用，从而可得结论；
类比探究：作交于点，如图所示：证明是等边三角形，利用等边三角形的性质再证明：可得，从而可得结论；
拓展归纳：过D作，交AC的延长线于点G，如图所示：证明为等边三角形，再证明△EGD≌△FCD，可得EG=FC，从而可得结论．
【详解】问题思考：证明：∵是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，

∴，
∴，
∴，
∴；
类比探究：作交于点，如图所示：

∵是等边三角形，
∴，
∵
∴，
∴
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，

∴
∴，
∴，
∴；
拓展归纳：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC=CD+CE； 理由如下：
∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=60°，
过D作，交AC的延长线于点G，如图所示：

∵，
∴∠GDC=∠B=60°，∠DGC=∠A=60°，
∴，
∴△GCD为等边三角形，
∴DG=CD=CG，
∵△EDF为等边三角形，
∴ED=DF，∠EDF=∠GDC=60°，
∴∠EDG=∠FDC，
在△EGD和△FCD中，
，
∴△EGD≌△FCD（SAS），
∴EG=FC，
∴FC=EG=CG+CE=CD+CE．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，掌握作出适当的辅助线构建全等三角形是解题的关键．
21．（2020·江苏盐城·八年级期末）（2019秋•东台市期末）在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．

（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是　　　　　　　；此时　　；
（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（ I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．
（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．
【答案】（1）BM+NC＝MN，；（2）结论仍然成立，详见解析；（3）NC﹣BM＝MN，详见解析
【分析】（1）由DM＝DN，∠MDN＝60°，可证得△MDN是等边三角形，又由△ABC是等边三角形，CD＝BD，易证得Rt△BDM≌Rt△CDN，然后由直角三角形的性质，即可求得BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC＝MN，此时 ；
（2）在CN的延长线上截取CM1＝BM，连接DM1．可证△DBM≌△DCM1，即可得DM＝DM1，易证得∠CDN＝∠MDN＝60°，则可证得△MDN≌△M1DN，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立；
（3）首先在CN上截取CM1＝BM，连接DM1，可证△DBM≌△DCM1，即可得DM＝DM1，然后证得∠CDN＝∠MDN＝60°，易证得△MDN≌△M1DN，则可得NC﹣BM＝MN．
【详解】（1）如图1，BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC＝MN．
此时 ．
理由：∵DM＝DN，∠MDN＝60°，
∴△MDN是等边三角形，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵BD＝CD，∠BDC＝120°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠MBD＝∠NCD＝90°，
∵DM＝DN，BD＝CD，
∴Rt△BDM≌Rt△CDN，
∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN，
∴DM＝2BM，DN＝2CN，
∴MN＝2BM＝2CN＝BM+CN；
∴AM＝AN，
∴△AMN是等边三角形，
∵AB＝AM+BM，
∴AM：AB＝2：3，
∴；
（2）猜想：结论仍然成立．
证明：在NC的延长线上截取CM1＝BM，连接DM1．

∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，
∴△DBM≌△DCM1，
∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，
∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，
∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，
∴△MDN≌△M1DN，
∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC，
∴△AMN的周长为：AM+MN+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC，
∴；
（3）证明：在CN上截取CM1＝BM，连接DM1．

∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，
∴△DBM≌△DCM1，
∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，
∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，
∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，
∴△MDN≌△M1DN，
∴MN＝M1N．
∴NC﹣BM＝MN．
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质及全等三角形的判定定理．
22．（2022·江苏盐城·八年级期末）已知：∠AOB＝120°，OC平分∠AOB．

(1)把三角尺的60°角的顶点落在射线OC上的任意一点P处，绕点P转动三角尺，某一时刻，恰好使得OE＝OF（图1），此时PE与PF相等吗？为什么？
(2)把三角尺继续绕点P转动，两边分别交OA、OB于点E、F（图2），求证：△PEF为等边三角形．
【答案】(1)相等，理由见解析
(2)见解析

【分析】（1）直接利用边角边即可证明；
（2）在OB上取OD=OP，连接PD，进而可得是等边三角形，进而可证，则可得，即可得证．
（1）
解：，
理由如下：
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）
证明：在OB上取OD=OP，连接PD，

∵OC平分 ，
，
是等边三角形，
， ，
，
，
即： ，
，
，
，
，
是等边三角形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23．（2022·江苏扬州·八年级期末）我们定义：若一条线段将三角形分割成2个等腰三角形，则这条线段是这个三角形的“黄金线”．若两条线段将一个三角形分割成3个等腰三角形，则这两条线段是这个三角形的“钻石线”．例如：如图1，在中，，，过点作，和都是等腰三角形，则线段是的“黄金线”．延长至点，使，连接，两条线段、将分割成3个等腰三角形，则这两条线段、是的“钻石线”．

(1)如图2，已知锐角中，，，若存在线段是的“黄金线”，则其中钝角等腰三角形的顶角是________；
(2)如图3，已知中，，，点是的中点，过点作，交的延长线于点，边上的一点恰好在的垂直平分线上，求证：线段、是的“钻石线”；
(3)若一个等腰三角形有“黄金线”，则这个等腰三角形的底角度数是_______．
【答案】(1)130
(2)见解析
(3)36°、45°、72°、（）°

【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可；
（2）证明△AOC，△OCE，△CED都是等腰三角形即可；
（3）设底角度数为x，分三种情况利用等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．
（1）
如图2中，

∵BD是“黄金线”，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠DBA=25°，
∴∠CDB=∠A+∠DBA=50°，
∵∠ABC=75°，
∴∠CBD=75°-25°=50°，
∴∠CDB=∠CBD=50°，
∴△ADB，△CDB都是等腰三角形，
∴∠ADB=180°-25°-25°=130°，
故答案为：130；
（2）
证明：如图3中，

∵∠ACB=90°，AO=OB，
∴OC=OA=OB，
∴△AOC是等腰三角形，
∵∠BCD=40°，
∴∠ACD=90°+40°=130°，
∴∠D=180°-130°-30°=20°，
∵点E在OD的垂直平分线上，
∴ED=EO，
∴∠D=∠EOD=20°，
∴∠OEC=∠D+∠EOD=40°，
∵∠OCA=∠A=30°，
∴∠OCB=90°-30°=60°，
∴∠ECO=60°+40°=100°，
∴∠COE=180°-100°-40°=40°，
∴∠OCE=∠CEO=40°，
∴CO=CE，
∴△CEO，△OED都是等腰三角形，
∴线段CO、OE是△ACD的“钻石线”；
（3）
①设△ABC是以AB、AC为腰的锐角三角形，BD为“双等腰线”，如图5，

当AD=BD，BD=BC时，
设∠A=x°，则∠ABD=x°，
∴∠BDC=∠C=2x°，
∴∠ABC=∠C=2x°，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴x°+2x°+2x°=180°，
∴x=36°，2x=72°，
∴∠C=72°，
②设△ABC是以AB、AC为腰的钝角三角形，AD为“双等腰线”，如图6，
当AB=BD，AD=CD时，
设∠B=y°，则∠C=y°，
∵AD=CD，
∴∠DAC=∠C=y°，
∴∠ADB=2y°，
∵AB=BD，
∴∠BAD=∠ADB=2y°，
∵∠B+∠BAD+∠ADB=180°，
∴y°+2y°+2y°=180°，
∴y=36°，
∴∠B=∠C=36°，
③设△ABC是以AB、AC为腰的直角三角形，AD为“双等腰线”，如图7，

当AB=BD，AD=CD时，AD为BC的垂直平分线，
设∠B=z°，则∠C=z°，∠BAD=z°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∴z°+z°=90°，
∴z=45°，
∴∠B=∠C=45°，
④设顶角为x，

可得，x+3x+3x=180°
解得：x=（）°，
∴∠C=3x=（）°，
故答案为：36°、45°、72°、（）°．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解三角形的“黄金线”，“钻石线”的定义，属于中考创新题型．
24．（2022·江苏盐城·八年级期末）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E．

(1)发现：如图1，连接CE，则△BCE的形状是_______________，∠CDB=____________°；
(2)探索：如图2，点P为线段AC上一个动点，当点P在CD之间运动时，连接BP，作∠BPQ=60°，PQ交射线DE于Q，连接BQ，即△BPQ是等边三角形；
思路：在线段BD上截取点H，使DH=DP，得等边△DPH，由∠DPQ=∠HPB，PD=PH，∠QDP=∠BHP，易证△PDQ≌△PHB（ASA），得PQ=PB，即△BPQ是等边三角形．
试判断线段DQ、DP、AD之间的关系，并说明理由；
(3)类比：如图3，当点P在AD之间运动时连接BP，作∠BPQ=60°，PQ交射线DE于Q，连接BQ．
①试判断△BPQ的形状，并说明理由；
②若AD=2，设AP=x，DQ=y，请直接写出y与x之间的函数关系式．
【答案】(1)等边三角形，60；
(2)AD=DQ+DP，见解析；
(3)①△BPQ是等边三角形，见解析；② y=-x+4

【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余求得∠ABC=60°，再根据角平分线的定义求得∠ABD=∠CBD=∠A=30°，则AD=BD，根据等腰三角形的性质证得AE=BE，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CE=BE，根据等边三角形的判定即可得出结论；
（2）根据思路和全等三角形的性质得出BH=DQ，结合AD=BD，BD=DH+BH即可解答；
（3）延长BD至F，使DF=PD，连接PF，可证得△PDF是等边三角形，则有PF=PD，∠F=∠PDF=∠DPF=60°，进而可得∠F=∠PDQ=60°，证明∠BPF=∠QPD，利用ASA证明△PBF≌△PQD，得出PB=PQ，BF=DQ，结合∠BPQ=60°和AD=BD即可得出①②的结论．
(1)
解：如图1，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=30°，
∴∠ABD=∠A，∠CDB=90°－∠CBD=60°，
∴AD=BD，又DE⊥AB，
∴AE=BE=AB，又∠ACB=90°，
∴CE=AB=BE，又∠ABC=60°，
∴△BCE是等边三角形，
故答案为：等边三角形，60；
(2)
解：AD=DQ+DP，理由为：
在线段BD上截取点H，使DH=DP，如图2，
∵∠CDB=60°，
∴△DPH为等边三角形，
∴DP=PH，∠DPH=∠DHP=60°，又∠BPQ=60°，
∴∠DPQ+∠QPH=∠HPB+∠QPH=60°，∠BHP=120°，
∴∠DPQ=∠HPB，
∵∠A=30°，DE⊥AB，
∴∠QDP=∠A+∠AED=30°+90°=120°，
∴∠QDP=∠BHP，
在△PDQ≌△PHB中，

∴△PDQ≌△PHB（ASA），
∴DQ=BH，PQ=PB，
∵AD=BD，∠BPQ=60°，
∴△BPQ为等边三角形，AD=BD=BH+DH=DQ+DP，
即AD=DQ+DP；
(3)
解：①△BPQ为等边三角形，理由为：
延长BD至F，使DF=DP，连接PF，设DQ和BP相交于O，如图3，
∵∠PDF=∠CDB=60°，
∴△PDF为等边三角形，
∴PF=DP，∠F=∠PDF=∠DPF=60°，
∵∠A=30°，DE⊥AB，  
∴∠PDQ=90°－∠A=60°，
∴∠F=∠PDQ=60°，
∵∠DPF+∠DPB =∠BPQ+∠DPB，又∠BPQ=60°，
∴∠BPF=∠QPD，
在△PBF和△PQD中，
，
∴△PBF≌△PQD（ASA），
∴PB=PQ，BF=DQ，又∠BPQ=60°，
∴△BPQ为等边三角形；
②∵ DF=DP，BF=DQ，AD=BD，
∴DQ=BF=BD+DF=AD+DP，
∵AD=2， AP=x，DQ=y，
∴y=2+2－x，即y=－x+4．

【点睛】本题考查含30°角的直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系和运用，利用类比的方法解决问题是解答的关键．
25．（2022·江苏·无锡市东林中学八年级期末）如图，∠AOB＝30°，点M，N在边OA上，点N在点M的上方，MN＝2，点M从O开始沿着射线OA移动，移动距离为x，点P是边OB上的点．

(1)利用直尺和圆规在图1确定点P，使得PM＝PN；
(2)在整个移动过程中，使P、M、N构成等腰三角形的点P最少有 个，最多有 个；当x＝2时，这样的点P有 个．
(3)若使P、M、N构成等腰三角形的点P恰好有3个，写出x满足的条件．
【答案】(1)见解析
(2)1，4，1
(3)或

【分析】（1）作线段的垂直平分线，交于点，从而可得答案；
（2）如图，过作于 当时，即此时为等腰三角形只有1个， 如图，当为腰的等腰三角形有2个时，过作于 过作于 此时，且 即时，所以此时的点只有3个，当时，如图，而为等腰三角形，证明为等边三角形，所以此时点只有1个，如图，当为腰的等腰三角形有2个时，可得此时 可得 所以以为腰的等腰三角形只有1个，则此时的点有4个，从而可得答案；
（3）分六种情况进行讨论即可得到答案.
(1)
解：如图，点即为所求作的点，

(2)
解：由的垂直平分线与的交点为，则始终是等腰三角形，
如图，过作于

当时，而
即 此时为等腰三角形只有1个，即当时，是等腰三角形，
如图，当为腰的等腰三角形有2个时，过作于 过作于

此时，且 即时，所以此时的点只有3个，
当时，如图，而为等腰三角形，
当时，


为等边三角形，

同理可证：当或 为等边三角形，
所以此时点只有1个，
如图，当为腰的等腰三角形有2个时，可得此时

而 则等于到的距离的2倍，

所以以为腰的等腰三角形只有1个，
则此时的点有4个，
综上：在整个移动过程中，使P、M、N构成等腰三角形的点P最少有1个，最多有4个；当x＝2时，这样的点P有1个．
故答案为：
(3)
解：当 即重合时，
如图，此时满足为等腰三角形的点有3个，

当时，由（2）可得，此时满足为等腰三角形的点有4个，
当时，由（2）可得，此时满足为等腰三角形的点有1个，
如图，当时，过作于 则

此时满足为等腰三角形的点有2个，
结合（2）可得：当时，满足为等腰三角形的点有3个，
由（2）可得：当时，满足为等腰三角形的点有1个，
综上：当或满足为等腰三角形的点有3个，
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图与性质，等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，清晰的分类讨论是解本题最大的难点.
26．（2022·江苏南通·八年级期末）如图1，在中，，，D为AC的中点，E为边AB上一动点，连接DE，将沿DE翻折，点A落在AC上方点F处，连接EF，CF．

(1)判断∠1与∠2是否相等并说明理由；
(2)若与以点C，D，F为顶点的三角形全等，求出的度数：
(3)翻折后，当和的重叠部分为等腰三角形时，直接写出的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)70°
(3)或或70°


【分析】（1）由沿翻折可知， 可知为等腰三角形，，，计算求解即可；
（2）与全等，分两种情况讨论；①，，，求的值然后判断此时与是否全等，若全等，则的值即为所求；②，，，求的值然后判断此时与是否全等，若全等，则的值即为所求；
（3）分情况讨论①由题意知（2）中时符合题意，②如图3，重合部分的等腰三角形中，，，根据三角形的外角性质，三角形的内角和定理即，计算求解即可；③如图4，重合部分的等腰三角形，根据三角形的外角性质，三角形的内角和定理即，计算求解即可.
(1)
解：
由沿翻折可知
∵为的中点
∴
∴为等腰三角形
∴
∵
∴
∴．
(2)
解：∵，是等腰三角形，与全等
∴①如图1，当时，为等腰三角形，为等腰三角形

∴，
∵
∴
∴当时，点在的下方，不符合题意；
又∵，
∴与不全等，舍去；
②如图2

当时，为等腰三角形，为等腰三角形
∴
∴
∴四边形AEFD、CDEF均是平行四边形
∴与全等
∴
∴当时，与全等，；
综上所述，若 与以点为顶点的三角形全等，的值为．
(3)
解：①由（2）中图2可知当时，在内，此时两个三角形的重叠部分为等腰三角形；
②如图3，为与重合的等腰三角形

∴，
∵，
∴
∴
∴；
③如图4，为与重合的等腰三角形

∴
∵，
∴
∴
∴；
综上所述，当和的重叠部分为等腰三角形时，的值为或或．
【点睛】本题考查了等腰三角形，几何图形折叠对称，三角形全等，三角形的内角和定理，三角形的外角等知识．解题的关键在于正确的分析可能存在的情况．
27．（2022·江苏无锡·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上的一个动点，连接CD，点B关于直线CD的对称点为E，射线AE与射线CD交于点F．

（1）连接CE，求证：∠CAE＝∠CEA
（2）当BD＜AD时，求∠AFC的大小；
（3）若AD＝AC，试猜想AE与CD的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析；（2）45°；（3）AE＝CD，证明见解析
【分析】（1）根据轴对称的性质，得，，根据全等三角形的性质，通过证明，推导得AC＝EC，再根据等腰三角形的性质分析，即可得到答案；
（2）设∠BCD＝α，结合题意，得；根据三角形内角和性质，推导得∠CAE，结合三角形外角的性质分析，即可得到答案；
（3）连接BF，根据题意，得AD＝BC，根据垂直平分线和全等三角形性质，通过证明△ADF≌△CBF，得AF＝CF，DF＝BF＝EF，通过计算即可得到答案．
【详解】（1）∵点B关于直线CD的对称点为E
∴CD垂直平分BE，
∴，
在和中

∴
∴，∠BCD＝∠ECD
又∵AC＝BC
∴AC＝EC
∴∠CAE＝∠CEA；
（2）设∠BCD＝α，由（1）知∠BCD＝∠ECD＝α
∵∠ACB＝90°
∴
∴∠CAE＝∠CEA＝45°+α
∴∠ECD+∠AFC＝∠CEA＝45°+α，
∴∠AFC＝∠CEA -∠ECD =45°；
（3）连接BF       

∵AC＝AD，AC＝BC        
∴AD＝BC
∵CD垂直平分BE，
∴FE＝FB   
∴∠AFD＝∠BFD
由（2）得∠CAE＝∠CAB+∠DAF＝45°+α ， ∠CAB＝45°
∴∠BCD＝∠FAD＝α   
在△ADF和△CBF中

∴△ADF≌△CBF
∴AF＝CF，DF＝BF＝EF   
∴AF-EF＝CF-DF，即AE＝CD．
【点睛】本题考查了三角形、轴对称、垂直平分线的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、全等三角形、等腰三角形、轴对称、直角三角形、三角形外角的性质，从而完成求解．
28．（2022·江苏苏州·八年级期末）【情境】某校数学兴趣小组尝试自制数学学具进行自主合作探究．图①是一块边长为的等边三角形学具，是边上一个动点，由点向点运动，速度为，是边延长线上一动点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动，连接，交于点，设点运动的时间为．

(1)【问题】填空：_____；
(2)【问题】当时，求的值；
(3)【探究】如图②，过点作，垂足为，在点，点运动过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出的长度；若变化，请说明理由．
【答案】(1)24
(2)4
(3)线段DE的长度不改变，DE=6

【分析】（1）由线段和差关系可求解；
（2）由直角三角形的性质可列方程，即可求t的值；
（3）连接EQ，PF，由全等三角形的性质可证AB=EF，由题意可证四边形PEQF是平行四边形，可得DE=DF．
（1）
解：∵△ABC是边长为12的等边三角形，
∴∠ACB=60°，AB=BC=AC=12，
设AP=t cm，
则PC=（12-t）cm，QB=t cm，
∴QC=QB+BC=（12+t）cm，
∴CP+CQ=12-t+12+t=24（cm），
故答案为：24．
（2）
解：∵∠ACB=60°，∠BQD=30°，
∴∠QPC=90°，
∴QC=2PC，
∴12+t=2（12-t），
∴t=4；
（3）
解：线段DE的长度不改变，
过点Q作QF⊥AB交AB延长线于点F，连接EQ，PF，

∵PE⊥AB，QF⊥AB
∴QF∥PE
∵点P、Q速度相同，
∴AP=BQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，
∵AP=BQ，∠AEP=∠QFB，∠A=∠QBF，
∴△AEP≌△BFQ（AAS），
∴AE=BF，QF=PE，
∴BE+AE=BF+BE，
∴AB=EF=12，
∵PE⊥AB，QF⊥AB，
∴QF∥EP，QF=PE，
∴四边形PEQF是平行四边形，
∴DE=DF=EF=6．
【点睛】本题考查的是三角形综合题，等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，熟练全等三角形判定是解答此题的关键．
29．（2021·江苏南通·八年级期末）如图，在中，，点是边上的动点，连接，点关于直线的对称点为点，射线与直线交于点．

（1）当时，求的度数；
（2）当时，连接，求证：；
（3）当时，猜想和的数量关系，并证明．
【答案】（1）25°；（2）见解析；（3）当∠BCP＝30°时，AB＝2B＇Q．证明见解析．
【分析】（1）由轴对称性质可得BC＝B＇C，∠BCP＝∠PCB＇＝25°，再利用等腰三角形的性质求出∠BAC＝45°，并得B＇C＝AC，则可根据等边对等角求得∠CAQ，即可求解∠BAQ；
（2）根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可证得∠BB＇C＋∠AB＇C＝135°，则计算出∠QB＇B，再利用轴对称性质得到QB＝QB＇，即可算出∠BQB＇＝90°，则结论得证；
（3）根据轴对称性质计算出∠BCB＇＝2∠BCP＝60°，则可得∠ACB＇＝30°．再利用等腰三角形的性质求得∠B＇AC＝75°，即可求出∠BAQ＝30°，由直角三角形的性质即可证明猜想的结论AB＝2B＇Q．
【详解】（1）解：如图，连接B＇C，

∵B、B＇关于CP对称，
∴BC＝B＇C，∠BCP＝∠PCB＇＝25°，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴B＇C＝AC，∠BAC＝45°，
∴∠ACB＇＝∠ACB-∠BC B＇＝40°，
∴∠CAQ＝（180°－∠ACB＇）＝70°，
∴∠BAQ＝∠CAQ－∠BAC＝25°．
（2）证明：如图，

∵BC＝B＇C＝AC，
∴∠BB＇C＝∠B＇B C＝（180°－∠BCB＇），
∠AB＇C＝∠B＇AC＝（180°－∠ACB＇）．
∴∠BB＇C＋∠AB＇C＝（180°－∠BCB＇）＋（180°－∠ACB＇）＝180°－∠ACB＝135°．
∴∠QB＇B＝180°－135°＝45°．
∵由轴对称性质可得：QB＝QB＇，
∴∠QBB＇＝∠QB＇B＝45°．
∴∠BQB＇＝90°．
∴BQ⊥AQ．
（3）当∠BCP＝30°时，AB＝2B＇Q．

证明：如图，连接B＇C，
由（2）知，△BQB＇为等腰直角三角形，且BQ＝B＇Q，
∵∠BCP＝30°，
∴∠BCB＇＝2∠BCP＝60°．
∴∠ACB＇＝90°－60°＝30°．
∵B＇C＝AC，
∴∠AB＇C＝∠B＇AC＝75°．
∴∠BAQ＝∠B＇AC－∠BAC＝30°．
∵∠AQB＝90°，
∴AB＝2BQ．
∴AB＝2B＇Q．
【点睛】本题考查了等腰三角形、直角三角形的判定与性质，轴对称的性质等知识，综合性较强，掌握相关图形的性质并能灵活应用所学知识是解题的关键.
30．（2021·江苏南京·八年级期末）（1）【探索研究】
老师在课堂上给出了这样一道题目：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．试探究线段BE和CD的数量关系．小明同学经过认真思考后认为：先延长CA、BE相交于点为F，再证明△ACD≌△ABF即可，请根据小明同学的思路补全图形并直接写出线段BE和CD的数量关系．

（2）【类比探究】
老师引导同学们继续研究：
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F，试探究线段BE与FD的数量关系，并证明你的结论．

【答案】（1）图见解析，；（2），证明见解析．
【分析】（1）延长BE交CA延长线于F，证明△CEF≌△CEB，得到FE=BE，证明△ACD≌△ABF，得到CD=BF，证明结论；
（2）过点D作DG∥CA，交BE的延长线于点G，与AE相交于H，证明∠BHD=∠A=90°，BH=DH，，于是与（1）同理可证．
【详解】解：（1），理由如下：
延长BE交CA延长线于F，
∵BE⊥CD，
∴，
∵∠BAC＝90°，∠EDB=∠ADC，
∴，
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCE=∠BCE，
在△CEF和△CEB中，
，
∴△CEF≌△CEB（ASA），
∴FE=BE，
在△ACD和△ABF中，
,
∴△ACD≌△ABF（ASA），
∴CD=BF，
∴；
（2），理由如下：
证明：过点D作DG∥CA，交BE的延长线于点G，与AE相交于H，
∵DG∥AC，
∴∠GDB =∠C，∠BHD=∠A=90°，
，
，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠ABC=∠GDB，
∴BH=DH，
与（1）同理可证△DEG≌△DEB（ASA），△HDF≌△HBG，
∴GE=BE，FD=BG，
∴．

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质和判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
31．（2021·江苏泰州·八年级期末）折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．
例如，在△ABC中，AB＞AC（如图1），怎样证明∠C＞∠B呢？

把AC沿∠A的平分线AD翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点C′处（如图2）．于是，由∠AC′D＝∠C，∠AC′D＞∠B，可得∠C＞∠B．利用上述方法（或者思路）解决下列问题：
（1）如图2，上述阅读材料中，若∠B＝45°，∠C＝60°，则∠C′DB＝_______°．
（2）如图3，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D．若CD＝2，AB＝6．求△ABD的面积．
（3）如图4，△ABC中，已知AD⊥BC于点D，且CD＝AB＋BD．若∠C＝24°，求∠CAB的度数．

【答案】（1）15；（2）△ABD的面积为6；（3）∠CAB＝108°．
【分析】（1）利用折叠的性质和三角形的外角性质，即可求出答案；
（2）把AC沿角平分线AD翻折，点C落在AB上的点C＇处，得DC＇=CD=2，即可求出△ABD的面积；
（3）把AB沿AD翻折，点B落在BC上的点B＇处，则BD＝DB＇，求得AB＇＝B＇C，然后得到∠B＇AC＝∠C ＝24°，从而得到∠B＝∠AB＇B＝48°，即可求出答案．
【详解】解：（1）由折叠的性质，则
∠AC′D=∠C=60°，
∵∠B=45°，
∴∠C′DB＝60°45°=15°；
故答案为：15°．
（2）如图，把AC沿角平分线AD翻折，点C落在AB上的点C＇处，

∵AD是角平分线，∠ACB＝90°，
∴DC＇＝DC＝2，∠AC＇D＝∠ACD＝90°，
∵DC＇是高，
∴△ABD的面积为6．
（3）如图，把AB沿AD翻折，点B落在BC上的点B＇处，

则BD＝DB＇，
∴AB＇＝AB=B＇C，
∴∠B＇AC＝∠C ＝24°
∴∠B＝∠AB＇B＝48°，
∴∠CAB＝108°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质、折叠的性质等知识点，难度适中．解题的关键是掌握所学的知识，正确的运用折叠的知识解题．
32．（2020·江苏南京·八年级期末）（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°．△ABC的高AD、BE相交于点M．求证：AM＝2CD；
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠CAB的平分线，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点 E．若AD＝3，则BE＝　 　．

【答案】（1）详见解析；（2）1.5．
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质定理以及等腰三角形的性质定理，即可得到结论；
（2）延长BE、AC交于F点，首先利用三角形内角和定理计算出∠F＝∠ABF，进而得到AF＝AB，再根据等腰三角形的性质可得BE＝BF，然后证明△ADC≌△BFC，可得BF＝AD，进而得到BE＝AD，即可求解．
【详解】（1）在△ABC中，
∵∠BAC＝45°，BE⊥AC，
∴AE＝BE，
∵AD⊥BC，
∴∠EAM＝90°-∠C=∠EBC，
在△AEM和△BEC中，
∵，
∴△AEM≌△BEC（ASA），
∴AM＝BC，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴BC＝2CD，
∴AM＝2CD；
（2）延长BE、AC交于F点，
∵BE⊥EA，
∴∠AEF＝∠AEB＝90°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAE＝∠BAE，
∴∠F＝∠ABE，
∴AF＝AB，
∵BE⊥EA，
∴BE＝EF＝BF，
∵△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，
∴∠CAB＝45°，
∴∠AFE＝(180°﹣45°)÷2＝67.5°，∠FAE＝45°÷2=22.5°，
∴∠CDA＝67.5°，
∵在△ADC和△BFC中，
∵，
∴△ADC≌△BFC（AAS），
∴BF＝AD，
∴BE＝AD＝1.5，
故答案为：1.5．

【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质定理以及等腰三角形的性质定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
33．（2020·江苏·南通第一初中八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点是轴正半轴上一点，且，点是轴上位于点右侧的一个动点，设点的坐标为.

（1）点的坐标为___________；
（2）当是等腰三角形时，求点的坐标；
（3）如图2，过点作交线段于点，连接，若点关于直线的对称点为，当点恰好落在直线上时，_____________.（直接写出答案）
【答案】（1）；（2）或或；（3）
【分析】（1）根据勾股定理可以求出AO的长，则可得出A的坐标；
（2）分三种情况讨论等腰三角形的情况，得出点P的坐标；
（3）根据，点在直线上，得到，利用点，关于直线对称点，根据对称性，可证，可得，，
设，则有，根据勾股定理，有：
解之即可．
【详解】解：（1）∵点坐标为，点是轴正半轴上一点，且，
∴是直角三角形，根据勾股定理有：
，
∴点的坐标为；
（2）∵是等腰三角形，
当时，如图一所示：

∴，
∴点的坐标是；
当时，如图二所示：

∴
∴点的坐标是；
当时，如图三所示：

设，则有
∴根据勾股定理有：
即：
解之得：
∴点的坐标是；
（3）当是钝角三角形时，点不存在；
当是锐角三角形时，如图四示：

连接，
∵，点在直线上，
∴和是直角三角形，
∴，
∵点，关于直线对称点，
根据对称性，有，
∴，
∴
则有：
∴是等腰三角形，则有，
∴，
设，则有，
根据勾股定理，有：

即：
解之得：
【点睛】本题考查了三角形的综合问题，涉及的知识点有：解方程，等腰三角形的判定与性质，对称等知识点，能分类讨论，熟练运用各性质定理，是解题的关键．
34．（2020·江苏无锡·八年级期末）如图，已知，请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）：

（1）在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点与点能重合，请在图①中作出点；
（2）在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点能落在边上的点处，且，请在图②中作出点.
【答案】（1）见详解；（2）见详解．
【分析】（1）作线段BC的垂直平分线，交BC于点M，即可；
（2）过点B作BO⊥BC，交CA的延长线于点O，作∠BOC的平分线交BC于点N，即可．
【详解】（1）作线段BC的垂直平分线，交BC于点M，即为所求．点M如图①所示：
（2）过点B作BO⊥BC，交CA的延长线于点O，作∠BOC的平分线交BC于点N，即为所求．点N如图②所示：

【点睛】本题主要考查尺规作图，掌握尺规作线段的中垂线和角平分线，是解题的关键．
35．（2020·江苏扬州·八年级期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=15，AB=25，点D为斜边AB上动点．

（1）如图1，当CD⊥AB时，求CD的长度；
（2）如图2，当AD=AC时，过点D作DE⊥AB交BC于点E，求CE的长度；
（3）如图3，在点D的运动过程中，连接CD，当△ACD为等腰三角形时，直接写出AD的长度．
【答案】（1）；（2）；（3）当△ACD为等腰三角形时，AD的长度为：15或18或.
【分析】（1）由勾股定理求出BC的长度，再由面积法求出CD的长度即可；
（2）连接AE，可证明△ACE≌△ADE，得到CE=DE，设CE=DE=x，则BE=，由BD=10，则利用勾股定理，求出x，即可得到CE的长度；
（3）当△ACD为等腰三角形时，可分为三种情况进行分析：①AD=AC；②AC=CD；③AD=CD；对三种情况进行计算，即可得到AD的长度.
【详解】解：（1）如图，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=15，AB=25，
∴BC=，
∴，
∴，
解得：；
（2）如图，连接AE，

∵DE⊥AB，
∴∠ADE=∠C=90°，
在Rt△ADE和Rt△ACE中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ACE，
∴DE=CE；
设DE=CE=x，则BE=，又BD=
在Rt△BDE中，由勾股定理，得
，
解得：，
∴；
（3）在Rt△ABC中，有AB=25，AC=15，BC=20，点C到AB的距离为12；
当△ACD为等腰三角形时，可分为三种情况：
①当AD=AC时，AD=15；
②当AC=CD时，如图，作CE⊥AB于点E，则，

∵CE=12，由勾股定理，得
，
∴；
③当AD=CD时，如图，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
当点D是AB中点时，有AD=BD=CD，
∴；
综合上述，当△ACD为等腰三角形时，AD的长度为：15或18或.
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学性质进行求解，注意等腰三角形时要进行分类讨论.
36．（2020·江苏泰州·八年级期末）已知△．
（1）在图中用直尺和圆规作出的平分线和边的垂直平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）的条件下，若点、分别是边和上的点，且，连接求证：；
（3）如图‚，在（1）的条件下，点、分别是、边上的点，且△的周长等于边的长，试探究与的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）与的数量关系是，理由见解析.
【分析】（1）利用基本作图作∠ABC的平分线；利用基本作图作BC的垂直平分线，即可完成；
（2）如图，设BC的垂直平分线交BC于G，作OH⊥AB于H，
用角平分线的性质证明OH=OG，BH=BG，继而证明EH =DG，然后可证明,于是可得到OE=OD；
（3）作OH⊥AB于H，OG⊥CB于G，在CB上取CD=BE，利用(2)得到 CD=BE，，OE=OD，,,可证明,故有,由△的周长=BC可得到DF=EF,于是可证明,所以有,然后可得到与的数量关系.
【详解】解：（1）如图，就是所要求作的图形；

（2）如图，设BC的垂直平分线交BC于G，作OH⊥AB于H，

∵BO平分∠ABC，OH⊥AB，OG垂直平分BC，
∴OH=OG，CG=BG，
∵OB=OB,
∴,
∴BH=BG，
∵BE=CD，
∴EH=BH-BE=BG-CD=CG-CD=DG，
在和中,
,
∴,
∴OE=OD．
（3）与的数量关系是，理由如下；
如图‚，作OH⊥AB于H，OG⊥CB于G，在CB上取CD=BE，

由(2)可知，因为 CD=BE，所以且OE=OD，
∴,,
∴,
∴,
∵△的周长=BE+BF+EF=CD+BF+EF=BC
∴DF=EF,
在△和△中,
,
∴,
∴,
∴,
∴.
【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质及全等三角形的判定与性质，还考查了基本作图．熟练掌握相关性质作出辅助线是解题关键，属综合性较强的题目，有一定的难度，需要有较强的解题能力.
37．（2020·江苏常州·八年级期末）如图1，对于平面直角坐标系x O y中的点A和点P，若将点P绕点A顺时针旋转90°后得到点Q，则称点Q为点P关于点A的“垂链点”.

(1) △PAQ是__________三角形;
(2)已知点A的坐标为（0, 0），点P关于点A的“垂链点”为点Q
①若点P的坐标为（2, 0），则点Q的坐标为___________；
②若点Q的坐标为（-2, 1），则点P的坐标为___________；
(3)如图2, 已知点D的坐标为（3, 0），点C在直线y=2x上,若点C关于点D的“垂链点”在坐标轴上，试求点C的坐标.
【答案】（1）等腰直角；（2）①(0, -2)；②(-1, -2)；（3）点C坐标（3,6）或（, -3）.
【分析】（1）根据旋转的性质，得到AP=AQ，∠PAQ=90°，即可得到答案；
（2）根据旋转的性质和“垂链点”的定义，分别求出点Q和点P的坐标即可；
（3）①当点C在第一象限时，则点C关于点D的“垂链点”在x轴上，则CD⊥x轴，即可求解；②当点C在第三象限时，证明△CDH≌△DOC1（AAS），得到CH=OD=3，即可求出点C的坐标.
【详解】解：（1）由旋转的性质，可知，AP=AQ，∠PAQ=90°，
∴△PAQ是等腰直角三角形；
故答案为：等腰直角；
（2）∵点A为（0，0），即为原点，
根据旋转的性质和“垂链点”的定义，得
①若点P的坐标为（2，0），则点Q的坐标为（）；
②点Q的坐标为（，1），则点P的坐标为（）；
故答案为：①（）；②（）；
（3）根据题意，点D为（3，0）；
①当点C在第一象限时，则点C关于点D的“垂链点”在x轴上，
∴CD⊥x轴，
∴点C的横坐标为3，
∵点C在直线y=2x上，则y=6，
∴点C的坐标为：（3，6）；
②当点C在第三象限时，则“垂链点”C1在y轴上，
过点C作CH⊥x轴，交点为H，如图：

∵CH⊥x轴，∠CDC1=90°，
∴∠CHD=∠DOC1=90°，
∴∠CDH+∠HDC1=∠CDC1=90°，∠HDC1+∠OC1D=90°，
∴∠CDH=∠OC1D，
∵CD=C1D，
∴△CDH≌△DOC1（AAS），
∴CH=OD=3，
∴点C的纵坐标为，
把代入y=2x，解得：，
∴点C的坐标为：（，）；
综合上述，点C的坐标为：（3，6）或（，）.
【点睛】本题考查了新定义的概念，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数的性质，以及坐标与图形，这种新定义类的题目，通常按照题设顺序逐次求解．其中（3）要注意分类求解，避免遗漏．
38．（2020·江苏扬州·八年级期末）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，动点M从点A出发沿A-C-B向点B匀速运动，动点N从点B出发沿B-C-A向点A运动.设MC的长为y1(cm)，NC的长为y2(cm)，点M的运动时间为x(s)；y1、y2与x的函数图像如图2所示.

（1）线段AC= cm，点M运动 s后点N开始运动；
（2）求点P的坐标，并写出它的实际意义；
（3）当∠CMN=45°时，求x的值.
【答案】（1）10，1；（2）P为（，0）；点P的实际意义为：点M运动到点C，MC=0；（3）当∠CMN=45°时，x的值为2或4.
【分析】（1）由函数图像可知，AC=10，点M运动1秒后，点N开始运动；
（2）由点M为匀速运动，则先计算点M的速度，然后求出点M运动到点C时的时间，即求出点P的坐标；
（3）先求出点N在BC上的运动速度和在AC上的运动速度，结合∠CMN=45°，则CM=CN，可分为两种情况进行分析：①点M在AC上，点N在BC上；②点M在BC上，点N在AC上；分别列式求解即可.
【详解】解：（1）根据函数的图像可知，
当点M与点A重合时，AC=MC=10cm，
当点N与点B重合时，BC=NC=8cm，
由图可知，点M运动1秒后，点N开始运动，
故答案为：10，1；
（2）由题意，点M为匀速运动，则
点M的速度为：，
∴当点M运动到点C时，MC=0，则
点P的横坐标为：，
∴点P的坐标为：（，0）；
点P的实际意义为：点M运动到点C，MC=0；
（3）由图可知，点N在BC上运动的速度为：，
点N在AC上运动的速度为：；
∵∠CMN=45°，
∴△CMN是等腰直角三角形，即MC=NC，
①如图，当点M在AC上，点N在BC上时，有

设x秒后，∠CMN=45°，
∴，，
∴，
解得：；
②如图，当点M在BC上，点N在AC上时，有

点N到达点C所用的时间为，
设x秒后，∠CMN=45°，
∴，，
∴，
解得：；
综合上述，当∠CMN=45°时，x的值为2或4.
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，从函数图像获取信息，解一元一次方程，线段动点问题，解题的关键是弄清函数图像，根据函数图像找到关键点，从而进行计算，注意运用分类讨论的思想进行解题.
39．（2020·江苏泰州·八年级期末）如图，已知，A(0, 4),B(t,0)分别在y轴,x轴上，连接AB,以AB为直角边分别作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ABC.直线BC交y轴于点E.点G(-2,3)、H(-2,1)在第二象限内.

(1)当t=-3时，求点D的坐标.
(2)若点G、H位于直线AB的异侧，确定t的取值范围.
(3)①当t取何值时，△ABE与△ACE的面积相等.
②在①的条件下，在x轴上是否存在点P,使△PCB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）D（-7，3）；（2）；（3）①－2；②存在，P(6，0)，P(，0)，P(-2-2，0)，P(2-2，0)
【分析】（1）当t=-3时，过点D作DM⊥x轴于点M，证明△ABO≌△BDM，得出DM=BO和MB=OA，从而得出点D坐标.
（2）设出AB解析式y=kx+4，分别求出点G，H在线段AB上的时点B的坐标；
（3）①假设△ABE与△ACE的面积相等，利用等底同高求出t值；
②根据等腰三角形的性质,分BP=BC、CP=CB、PC=PB三种情况讨论.
【详解】(1)当t=-3时，过点D作DM⊥x轴于点M,
∵△ABD为等腰直角三角形，AB=BD，∠ABD=90°
∴∠ABO+∠DBM=180°-90°=90°
又∵DM⊥x轴于点M
∴∠DMB=90°
∴∠DBM+∠MDB=90°
∴∠MDB=∠ABO
在△ABO和△BDM中

∴△ABO≌△BDM
∴DM=BO=3，MB=OA=4
∴MO=MB+BO=4+3=7
∴D（-7，3）

(2)∵A（0，4），B（t,0),设直线AB的解析式为y=kx+4
当点G（-2，3）在直线AB上时
3=-2k+4，
此时AB的解析式
当y=0时，，x=-8
此时B（-8，0)
当点H（-2，1）在直线AB上时
1=-2k+4，
此时AB的解析式
当y=0时，，x=
此时B（，0)
∵点G, H位于直线AB的异侧，
∴由图像可知直线AB与线段MN相交，且点M，N不在直线AB上
∴
(3)①t=-2时，△ABE与△ACE的面积相等.
如图，过点B做x轴垂线，构造直角三角形ARB和直角三角形BQC，
∵∠RAB+∠ABR=90°，∠ABR+∠BCQ=90°
∴∠ABR=∠BCQ，
在△ARB和△BQC中，
，
∴△ARB≌△BQC（AAS）
∴AR=BQ,BR=QC=4，
若△ABE与△ACE的面积相等，
则BE=EC，
∴BO=CN=2,
∴B（-2,0）

②P(6，0)，P(，0)，P(-2-2，0)，P(2-2，0)
由②可得C（2，-2）
当BP=BC时，
BC==，
∴BP=
∴P(-2-2，0)或P(2-2，0)
当CP=CB时，
BP=8，
∴P(6，0)
当PC=PB时，
如图，过E作BC的垂线，交x轴于点P，过C作x轴垂线于点S，
设BP=m=PC，则PS=4-m，
在△PSC中，PS2+SC2=PC2,
即22+（4- m）2= m2，
解得m=，
∴OP=-2=，
∴P(，0).
综上：P(6，0)，P(，0)，P(-2-2，0)，P(2-2，0).

【点睛】本题是一道综合性较强的题，难点在于等腰三角形的存在性问题，同时根据图像数形结合来得出t的取值范围.
40．（2020·江苏南通·八年级期末）定义：三角形中，连接一个顶点和它所对的边上一点，如果所得线段把三角形的周长分成相等的两部分，则称这条线段为三角形的“周长平分线”．

（1）下列与等腰三角形相关的线段中，一定是所在等腰三角形的“周长平分线”的是_______（只要填序号）；
①腰上的高；②底边上的中线；③底角平分线．
（2）如图1，在四边形中，，为的中点，．取中点，连接．求证：是的“周长平分线”．
（3）在（2）的基础上，分别取，的中点，，如图2．请在上找点，，使为的“周长平分线”，为的“周长平分线”．
①用无刻度直尺确定点，的位置（保留画图痕迹）；
②若，，直接写出的长．
【答案】（1）②；（2）见详解；（3）①见详解；②
【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及“周长平分线”的定义，即可判断；
（2）延长BA，CD交于点M，连接MP，则∆ BMC是等腰直角三角形，再证明∆ABP≅∆DMP，进而即可得到结论；
（3）①连接QM，并延长交BP于点E，连接QN，并延长交BC于点F，即可；②连接AE，DF，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC于点H，由等腰直角三角形的性质得AG，DH的值，再证明∆GAP≅∆HPD，设PE=m，PF=n，结合勾股定理，即可求解．
【详解】（1）∵等腰三角形底边上的中线所在直线也是等腰三角形的对称轴，
∴腰三角形底边上的中线一定是所在等腰三角形的“周长平分线”，
故答案是：②；
（2）延长BA，CD交于点M，连接MP，
∵，
∴∠BMC=90°，即∆ BMC是等腰直角三角形，
∵为的中点，
∴BP=CP=MP，MP⊥BC，∠PMC=∠PMB=45°，
又∵，
∴∠APB+∠APM=∠DPM+∠APM=90°，
∴∠APB=∠DPM，
在∆ABP和∆DMP中，
∵，
∴∆ABP≅∆DMP（ASA），
∴AP=DP，
∵点Q是AD的中点，
∴是的“周长平分线”；

（3）①连接QM，并延长交BP于点E，连接QN，并延长交BC于点F，则EM是PA的中垂线，FN是PD的中垂线，
∴点E，F即为所求；

②连接AE，DF，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC于点H，
则∠AGB=∠AGP=∠DHC=∠DHP=90°，
∵∠B=∠C =45°，∠AGB=∠DHC=90°，
∴∆AGB和∆DHC都是等腰直角三角形，且AG=BG，DH=CH，
又∵，，
∴AG=BG==，DH=CH=，
∵∠GAP+∠APG=∠HPD+∠APG=90°，
∴∠GAP=∠HPD，
在∆GAP和∆HPD中，
∵，
∴∆GAP≅∆HPD，
∴AG=PH=1，PG=DH=2，
∵EM是PA的中垂线，FN是PD的中垂线，
∴PE=AE，PF=DF，
设PE=m，则AE=m，EG=PG-PE=2-m，设PF=n，则DF=n ，FH=PF-PH=n-1，EF=PE+PF=m+n，
在Rt∆DHF中，根据勾股定理得：，解得：n=，
在Rt∆AGE中，根据勾股定理得：，解得：m=，
∴EF=m+n=+=．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加合适的辅助线，构造等腰直角三角形以及“一线三垂直”模型，是解题的关键．
41．（2020·江苏·扬州市梅岭中学八年级期末）定义：有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，∠ABC=70°，∠BAC=40°，∠ACD=∠ADC=80°，求证：四边形ABCD是邻和四边形．
（2）如图2，是由50个小正三角形组成的网格，每个小正三角形的顶点称为格点，已知A、B、C三点的位置如图，请在网格图中标出所有的格点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为邻和四边形．
（3）如图3，△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=2，若存在一点D，使四边形ABCD是邻和四边形，求邻和四边形ABCD的面积．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或
【分析】（1）先由三角形的内角和为180°求得∠ACB的度数，从而根据等腰三角形的判定证得AB=AC=AD，按照邻和四边形的定义即可得出结论．
（2）以点A为圆心，AB长为半径画圆，与网格的交点，以及△ABC外侧与点B和点C组成等边三角形的网格点即为所求．
（3）先根据勾股定理求得AC的长，再分类计算即可：①当DA=DC=AC时；②当CD=CB=BD时；③当DA=DC=DB或AB=AD=BD时．
【详解】（1）∵∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，
∴∠ACB=∠ABC，
∴AB=AC．
∵∠ACD=∠ADC，
∴AC=AD，
∴AB=AC=AD．
∴四边形ABCD是邻和四边形；
（2）如图，格点D、D'、D''即为所求作的点；

（3）∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=2，
∴AC=，
显然AB，BC，AC互不相等．
分两种情况讨论：
①当DA=DC=AC=4时，如图所示：

∴△ADC为等边三角形，
过D作DG⊥AC于G，则∠ADG=，
∴，
，
∴S△ADC=，S△ABC=AB×BC=2，
∴S四边形ABCD=S△ADC+S△ABC=6；
②当CD=CB=BD=2时，如图所示：

∴△BDC为等边三角形，
过D作DE⊥BC于E，则∠BDE=，
∴，
，
∴S△BDC=，
过D作DF⊥AB交AB延长线于F，
∵∠FBD=∠FBC-∠DBC=90-60=30，
∴DF=BD=，
S△ADB=，
∴S四边形ABCD=S△BDC+S△ADB=4；
③当DA=DC=DB或AB=AD=BD时，邻和四边形ABCD不存在．
∴邻和四边形ABCD的面积是6或4．
【点睛】本题属于四边形的新定义综合题，考查了等腰三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积计算等知识点，数形结合并读懂定义是解题的关键．
42．（2020·江苏盐城·八年级期末）如图，中，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒设出发的时间为秒．

出发秒后，求的周长．
问满足什么条件时，为直角三角形？
另有一点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒若两点同时出发，当中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？
【答案】（1）；（2）当或，为直角三角形；（3）当或秒时，直线把的周长分成相等的两部分
【分析】（1）首先利用勾股定理计算出AC长，根据题意可得CP=2cm，再利用勾股定理计算出PB的长，进而可得△ABP的周长；
（2）当P在AC上运动时△BCP为直角三角形，由此可得00），连接CD，作点A关于直线CD的对称点P

(1)若点P恰好落在AO上，求t的值；
(2)若CP⊥OA，求t的值；
(3)当t≠2时，∠APB的度数是否会发生变化？若保持不变，请求出∠APB的度数：若发生变化，请说明理由
【答案】(1)t
(2)t的值为1或3
(3)∠APB＝90°，理由见解析

【分析】（1）利用利用直角三角形30°的性质求出CD，再勾股定理求出AD即可；
（2）分两种情形：分别画出图形，求出AD即可解决问题；
（3）结论：∠APB＝90°是定值．利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理证明即可．
(1)
解：如图1中，

∵B（0，4），
∴OB＝4，
∵∠ABO＝90°，∠A＝30°，
∴OA＝2OB＝8，
∴AB4，
∵CA＝CP，CD⊥PA，
∴AD＝PD，
∵AC＝CB＝2，
∴CDAC，
∴AD3，
∴t；
(2)
解：如图2﹣1中，当CP⊥OA设CP交OA于点F．

∵∠A＝30°，∠CFA＝90°，
∴∠ACF＝90°﹣30°＝60°，
∴∠DCA＝∠DCP＝30°，
∴∠A＝∠DCA＝30°，
∴CD＝DA＝2DF，
∵AF＝3，
∴AD＝CD＝2，DF＝1，
∴t1；
如图2﹣2中，当CP⊥OA，设PC的延长线交AO于点F．同法可证AF＝DF＝3，

∴AD＝AF+DF＝6，
∴t3．
综上所述，满足条件的t的值为1或3．
(3)
结论：∠APB＝90°是定值．
理由：如图3中，

∵CA＝CB＝CP，
∴∠CAP＝∠CPA，∠CPB＝∠CBP，
∵∠CAP+∠APB+∠ABP＝180°，
∴2∠CAP+2∠CBP＝180°，
∴∠CAP+∠CBP＝90°，
∴∠APB＝90°．
【点睛】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
49．（2022·江苏·泰州市海陵学校八年级期末）将沿AD折叠，使点C刚好落在AB边上的点E处．展开如图1．

【操作观察】（1）图1中，，．
①则_______；
②若，则_______；
【理解应用】（2）如图2，若，试说明：；
【拓展延伸】（3）如图3，若，点G为AC的中点，且．点P是AD上的一个动点，连接PG、PC．求的最小值．
【答案】（1）①2；②12；（2）见解析；（3）75
【分析】（1）①由于翻折，故AE=AC，所以BE=AB－AE；②由于翻折，故AD平分∠BAC，故点D到AC的距离等于点D到AB的距离，即△ACD边AC上的高等于△ABD边AB上的高．再由三角形面积公式可知，，从而得到；（2）由于翻折，知∠AED=∠C，又因为，等量代换得∠B=∠BDE，从而BE=DE，整理代换即可；（3）根据“将军饮马”模型知，PG+PE的最小值为EG．再根据AE=2AG，∠BAC=60°，可推断出△AEG是含60°角的直角三角形，从而得到EG的长，得解．
【详解】解：（1）①∵翻折
∴△ACD≌△AED
∴AE=AC
∴BE=AB－AE= AB－AC=8－6=2
∴BE=2；
②∵翻折，
∴AD平分∠BAC，
∴点D到AC的距离等于点D到AB的距离，即△ACD边AC上的高等于△ABD边AB上的高
∴由三角形面积公式可知，，
又∵，
∴．
（2）∵翻折
∴△ACD≌△AED
∴AE=AC，∠AED=∠C，DE=CD
又∵，∠AED=∠B+∠BDE
∴∠B=∠BDE
∴BE=DE
又∵AB=AE+BE
∴AB=AC+DE=AC+CD．
（3）∵翻折
∴PC=PE
∴PG+PC=PG+PE，当点P运动到EG连线时，PG+PE有最小值为EG

∴的最小值为EG2
∵AG=5，AE=AC=2AG，∠BAC=60°
∴△AEG是含30°角的直角三角形
∴EG=，即
∴的最小值为75．
【点睛】本题考查了翻折的性质、角平分线的性质，“将军饮马”问题，利用翻折得到全等三角形是解决本题的关键．
50．（2021·江苏南京·八年级期末）【基础模型】
（1）如图，在中，，垂足为，，垂足为．求证：．

【模型拓展】
（2）在平面直角坐标系中，两条互相垂直的直线与都经过点，直线与轴的正半轴交于点，与轴正半轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点．
①如图，点是线段的中点，求线段的长度；
②连接，如果是等腰三角形，直接写出点的坐标．

【答案】（1）见解析；（2）①；②点坐标为或
【分析】(1)根据全等三角形的判定定理AAS推出即可；
(2) ①连接与，由已知可得DM是AB的垂直平分线可得AC=BC, 设，则，在中根据勾股定理可得AC的值；
②当是等腰三角形时,有三种情形，情形1：当，得为；情形2：当，得为；情形3：当得，为．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在与中
，
∴
（2）

①连接与，
∵为中点，，为，
∴，
∴，
又，
∴，
设，
则，
在中

∴
即的长为；
②情形1：

当时，又，
则是中点，
由①知，
∴为
情形2：

当时，则由（1）知
，∴，
设，
中，，
由勾股定理可知
，
∴，即，
∴为
情形3：

当时，
∵，
∴为中点，
又，
∴中，，
∴为
综上，点坐标为或．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角的判定、勾股定理，等腰三角形的性质、分类讨论思想，解题的关键是正确寻找等量关系利用勾股定理构建方程解决问题．本题综合性强，有一定难度．
51．（2022·江苏扬州·八年级期末）
(1)问题解决：如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，点A、B、C的坐标分别为______、______、______ ．
(2)综合运用：①如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标（0，﹣6），点B坐标（8，0），过点B作x轴垂线l，点P是l上一动点，点D是在一次函数y＝﹣2x+2图像上一动点，若△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．
②如图 2，在⑵的条件中，若 M 为 x 轴上一动点，连接 AM，把 AM 绕 M 点逆时针旋转90°至线段 NM，ON+AN 的最小值是______．
【答案】(1)A（﹣4，0），B（0，1）， C（﹣5，4）
(2)①D（0，2）或（）；②

【分析】（1）利用坐标轴上点的特点可得出A、B的坐标，过点C作CD⊥x轴于D，构造出△ADC≌△BOA，求出AD，CD，即可得出结论；
（2）①过点D作DF⊥y轴于F，延长FD交BP于G，设点D（m，﹣2m+2），求出
AF，证明△AFD≌△DGP，根据DF+DG＝DF+AF＝8列式计算即可；
②设M（t，0）过点N作NH⊥x轴交x轴于H，易证△AOM≌△MHN，可得ON+AN＝＝S，故S可以看作点（t，t）到（﹣6，0）和（﹣6，6）两点距离之和，（t，t）在y＝x上，如图，F（﹣6，0），E（﹣6，6），作F关于y＝x的对称点为P，可知当E、D、P三点共线时，S取得最小值为EP，求出EP即可．
【详解】（1）解：对于一次函数y＝x+1，
令x＝0，y＝1，
∴B（0，1），
令y＝0，则x+1＝0，
∴x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），
∴OA＝4，OB＝1，即A（﹣4，0），B（0，1），
过点C作CD⊥x轴于D，

∴∠ADC＝∠BOA＝90°，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠CAD+∠BAO＝90°，
∴∠ACD＝∠BAO，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝AB，
在△ADC和△BOA中， ，
∴△ADC≌△BOA（AAS），
∴CD＝OA＝4，AD＝OB＝1，
∴OD＝OA+AD＝5，
∴C（﹣5，4）；
故答案为：（﹣4，0），（0，1），（﹣5，4）；
（2）解：①如图，过点D作DF⊥y轴于F，延长FD交BP于G，

∵点A坐标（0，﹣6），点B坐标（8，0），
∴DF+DG＝OB＝8，
∵点D在直线y＝﹣2x+2上，
∴设点D（m，﹣2m+2），
∴F（0，﹣2m+2），OF＝|2m﹣2|，AF＝|2m﹣2﹣6|＝|2m﹣8|，
∵BP⊥x轴，B（8，0），
∴G（8，﹣2m+2），
同（1）的方法得，△AFD≌△DGP（AAS），
∴AF＝DG，DF＝PG，
∵DF+DG＝DF+AF＝8，
∴m+|2m﹣8|＝8，
∴m＝或m＝0，
∴D（0，2）或（，）；
（3）设M（t，0），过点N作NH⊥x轴交x轴于H，

根据旋转的性质易证△AOM≌△MHN，
∴OM＝HN，OA＝HM，
∴N（t+6，t），
∴ON+AN＝＝S，
故S可以看作点（t，t）到（﹣6，0）和（﹣6，6）两点距离之和，（t，t）在y＝x上，
如图，

∵D（t，t）是y＝x上的动点，F（﹣6，0），E（﹣6，6），
∴S＝DE+DF，
∵F关于y＝x的对称点为P（0，﹣6），DF＝DP，
∴当E、D、P三点共线时，S取得最小值为EP＝，
即ON+AN的最小值是．
故答案为： ．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图像和性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，方程的思想，勾股定理等，构造全等三角形是解本题的关键．
52．（2022·江苏泰州·八年级期末）
(1)操作思考：如图1，在平面直角坐标系xOy中，等腰RtΔACB的直角顶点C在原点，将其绕着点O旋转，若顶点A恰好落在点（2，3）处．则：
①OA的长为 ；
②点B的坐标为 ．
(2)感悟应用：如图2，在平面直角坐标系xOy中，将等腰RtΔACB如图放置，直角顶点C（-2，0），点A（0，5），试求直线AB的函数表达式．
(3)拓展研究：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点B（5，4），过点B作BA⊥y轴，垂足为点A，作BC⊥x轴，垂足为点C，P是线段BC上的一个动点，点Q是直线y＝3x-10上一动点．问是否存在以点P为直角顶点的等腰RtΔAPQ，若存在，请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①，②（﹣3，2）
(2)直线AB的函数表达式yx+5
(3)存在，P的坐标为：（5，1）或（5，3）．

【分析】（1）由A（2，3）可得，OF＝2，AF＝3，OA，由“AAS”可证△BEO≌△OFA，BE＝OF＝2，OE＝AF＝3，可得结论；
（2）同（1）可证△BHC≌△COA，可得HC＝OA＝5，BH＝CO＝2，可得点B（﹣7，2）．利用待定系数法可求一次函数解析式；
（3）分两种情况讨论①当点Q在x轴下方时，②当点Q在x轴上方时．根据等腰Rt△APQ构建一线三直角，从而求解．
(1)
解：如图1，作BE⊥x轴于点E，AF⊥x轴于点F，

∴∠BEO＝∠AFO＝∠AOB＝90°，
∴∠AOF+∠BOE＝90°＝∠AOF+∠FAO，
∴∠BOE＝∠FAO，
∵A（2，3），
∴OF＝2，AF＝3，OA，
∵∠BEO＝∠AFO，AO＝OB，∠BOE＝∠FAO，
∴△BEO≌△OFA（AAS），
∴BE＝OF＝2，OE＝AF＝3，
∴B（﹣3，2）．
故答案为：，（﹣3，2）；
(2)
如图2，过点B作BH⊥x轴于点H，

∴∠BHO＝∠AOC＝90°＝∠ACB，
∴∠ACO+∠CAO＝90°＝∠ACO+∠BCH，
∴∠CAO＝∠BCH，
又∵∠AOC＝∠BHC＝90°，AC＝CB，
∴△BHC≌△COA（AAS），
∴HC＝OA＝5，BH＝CO＝2，
OH＝HC+CO＝5+2＝7，
∴B（﹣7，2），
设直线AB的表达式为y＝kx+b，
，
解得，
∴直线AB的函数表达式yx+5；
(3)
如图3，设Q（t，3t﹣10），分两种情况：
①当点Q在x轴下方时，Q1M∥x轴，与BP的延长线交于点Q1．

∵∠AP1Q1＝90°，
∴∠AP1B+∠Q1P1M＝90°，
∵∠AP1B+∠BAP1＝90°，
∴∠BAP1＝Q1P1M，
在△AP1B与△P1Q1M中，
，
∴△AP1B≌△P1Q1M（AAS），
∴BP1＝Q1M，P1M＝AB＝5，
∵B（5，4），Q（t，3t﹣10），
∴MQ1＝5﹣t，BP1＝BM﹣P1M＝[4﹣（3t﹣10）]﹣5＝﹣3t+9，
∴5﹣t＝﹣3t+9，
解得 t＝2，
∴BP1＝﹣3t+9＝3，
∴P1（5，1）；
②当点Q在x轴上方时，Q2N∥x轴，与PB的延长线交于点Q2．
同理可证△ABP2≌△P2NQ2．
∴BP2＝NQ2，NP2＝AB＝5，
∵B（5，4），Q（t，3t﹣10），
∴NQ2＝t﹣5，BP2＝P2N﹣NB＝5﹣（3t﹣10﹣4）＝19﹣3t，
∴t﹣5＝19﹣3t，
解得t＝6，
即BP2＝1，
∴P2的坐标为（5，3）．
综上，P的坐标为：（5，1）或（5，3）．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握一次函数的性质与三角形全等判定是解题的关键．
53．（2022·江苏扬州·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB为y＝﹣x＋b交y轴于点A（0，3），交x轴于点B，直线x＝1交AB于点D，交x轴于点E，P是直线x＝1上一动点，且在点D的上方，设P（1，n）．

(1)求点B的坐标及点O到直线AB的距离；
(2)求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；
(3)当S△ABP＝时，在第一象限找点C，使△PBC为等腰直角三角形，直接写出点C的坐标．
【答案】(1)B（4，0），
(2)
(3)（5，7）或（8，3）或（，）

【分析】（1）求出直线AB的解析式，可求点B坐标，由面积法可求解；
（2）求出点D坐标，由三角形的面积公式可求解；
（3）先计算当S△ABP=时，P的坐标，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，分三种情况讨论：分别以三个顶点为直角顶点画三角形，根据图形可得C的坐标．
（1）
解：∵直线AB为y=x+b交y轴于点A（0，3），
∴b=3，AO=3，
∴直线AB解析式为：y=x+3，
令y=0，则0=x+3，x=4，
∴B（4，0），
∴OB=4，
∴AB==5，
∴S△AOB=×OA×OB=×AB×点O到直线AB的距离，
∴点O到直线AB的距离==；
（2）
∵点D在直线AB上，
∴当x=1时，y=，即点D（1，），
∴PD=n-，
∵OB=4，
∴S△ABP＝＝；
（3）
当S△ABP=时，，解得n=4，
∴点P（1，4），
∵E（1，0），
∴PE=4，BE=3，
第1种情况，如图，当∠CPB=90°，BP=PC时，过点C作CN⊥直线x=1于点N．

∵∠CPB=90°，
∴∠CPN+∠BPE=90°，又∠CPN+∠PCN=90°，
∴∠BPE=∠PCN，
又∵∠CNP=∠PEB=90°，BP=PC，
∴△CNP≌△PEB（AAS），
∴PN=EB=3，PE=CN=4，
∴NE=NP+PE=3+4=7，
∴C（5，7）；
第2种情况，如图，当∠PBC=90°，BP=BC时，过点C作CF⊥x轴于点F．

同理可证：△CBF≌△BPE（AAS），
∴CF=BE=3，BF=PE=4，
∴OF=OB+BF=4+4=8，
∴C（8，3）；
第3种情况，如图3，当∠PCB=90°，CP=CB时，
过点C作CH⊥BE，垂足为H，过点P作PG⊥CH，垂足为G，

同理可证：△PCG≌△CBH（AAS），
∴CG=BH，PG=CH，
∵PE=4，BE=3，设CG=BH=x，PG=CH=y，
则PE=GH=x+y=4，BE=PG-BH=y-x=3，
解得：x=，y=，
∴C（，），
∴以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，点C的坐标是（5，7）或（3，8）或（，）．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，三角形面积公式，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
54．（2022·江苏·南京玄武外国语学校八年级期末）在平面直角坐标系中，对于、两点，用以下方式定义两点间的“极大距离”；若，则；若，则．例如：如图，点，则．

【理解定义】
（1）若点、，则______．
（2）在点、、、中，到坐标原点的“极大距离”是2的点是______．（填写所有正确的字母代号）
【深入探索】
（3）已知点，，为坐标原点，求的值．
【拓展延伸】
（4）经过点的一次函数（、是常数，）的图像上是否存在点，使，为坐标原点，直接写出点的个数及对应的的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）当或时，满足条件的点有1个，当时，满足条件的点有2个，当时，不存在满足条件的点，当时，满足条件的点有2个，当时，不存在满足条件的点.
【分析】（1）根据新定义分别计算 再比较即可得到答案；
（2）根据新定义分别计算点、、、中，到坐标原点的“极大距离”，从而可得答案；
（3）由，先求解 结合 再列绝对值方程即可；
（4）先求解直线的解析式为： 再判断在正方形的边上，且 再结合函数图象进行分类讨论即可.
【详解】解：（1） 点、，

而

（2） 点


同理可得：、、到原点的“极大距离”为：

故答案为：
（3），

而

解得：或
（4）如图，直线过
则
直线为：

，为坐标原点，
在正方形的边上，且
当直线过时，
则： 解得：
当直线过时，
则： 解得：
结合函数图象可得：当或时，满足条件的点有1个，
当时，满足条件的点有2个，
当时，不存在满足条件的点，
当时，满足条件的点有2个，
当时，不存在满足条件的点，
【点睛】本题考查的是新定义情境下的一次函数的应用，坐标与图形，理解新定义，结合数形结合解题是解题的关键.
55．（2022·江苏苏州·八年级期末）在平面直角坐标系中，对于，两点，若在轴上存在点，使得，且，则称，两点互相等垂，其中一个点叫做另一个点的等垂点．已知点的坐标是．

(1)如图①，在点，，中，点的等垂点是_____；（选填“”，“”或“”）
(2)如图②，若一次函数的图像上存在点的等垂点，求点的坐标；
(3)若一次函数的图像上存在无数个点的等垂点，试写出该一次函数的所有表达式： ______．
【答案】(1)D
(2)（3，5）或（，）
(3)y=x+2或y=-x-2

【分析】（1）取点T（0，2），连接DT，AT，可得△ADT是等腰直角三角形，即知点A的等垂点是点D；
（2）①当A'在x轴上方时，过A'作A'F⊥y轴于F，证明△A'FE≌△EOA（AAS），得EF=AO=2，A'F=OE，设OE=A'F=m，则OF=OE+EF=m+2，则A'（m，m+2），将A'（m，m+2）代入y=2x-1可得A'（3，5）；②当A'在x轴上方时，过A'作A'H⊥y轴于H，同理可得A'（，）；
（3）设直线y=x+2上任意一点A'（t，t+2），连接AA'，作AA'的垂直平分线交y轴于R，交AA'于P，过P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，可得RA=RA'，PA=PA'，P（，），从而可得△PRN≌△PAM（ASA），PR=PA=PA'，即知∠ARA'=90°，故A'是A的等垂点，即直线y=x+2上任意一点都是A的等垂点，一次函数y=x+2的图象上存在无数个点A的等垂点，同理可证一次函数y=-x-2的图象上存在无数个点A的等垂点．
（1）
解：取点T（0，2），连接DT，AT，如图：

∵D（-2，0），A（2，0），T（0，2），
∴OT=OD=OA=2，
∴△ADT是等腰直角三角形，
∴在点B（2，-2），C（0，1），D（-2，0）中，点A的等垂点是点D，
故答案为：D；
（2）
①当A'在x轴上方时，过A'作A'F⊥y轴于F，如图：

∵A'是A的等垂点，
∴∠A'EA=90°，A'E=AE，
∴∠A'EF=90°-∠AEO=∠EAO，
∵∠A'FE=∠EOA=90°，
∴△A'FE≌△EOA（AAS），
∴EF=AO=2，A'F=OE，
设OE=A'F=m，则OF=OE+EF=m+2，
∴A'（m，m+2），
将A'（m，m+2）代入y=2x-1得：
m+2=2m-1，
解得m=3，
∴A'（3，5）；
②当A'在x轴上方时，过A'作A'H⊥y轴于H，如图：

同①可证明△AOG≌GHA'（AAS），
∴A'H=OG，GH=OA=2，
设A'H=OG=n，则OH=GH-OG=2-n，
∴A'（-n，n-2），
将A'（-n，n-2）代入y=2x-1得：
n-2=-2n-1，解得n=，
∴A'（，）；
综上所述，A'点的坐标为（3，5）或（，）；
（3）
若一次函数y=kx+b（k≠0）的图象上存在无数个点A的等垂点，该一次函数的所有表达式为y=x+2或y=-x-2，理由如下：
当一次函数为y=x+2时，设直线y=x+2上任意一点A'（t，t+2），连接AA'，作AA'的垂直平分线交y轴于R，交AA'于P，过P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，如图：

∵PR是线段AA'的垂直平分线，
∴RA=RA'，PA=PA'，
∴∠RPA=∠RPA'=90°，
∵A（2，0），A'（t，t+2），
∴P（，），
∵PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，
∴PM=PN=，
而∠RPN=90°-∠NPA=∠APM，∠PNR=∠PMA=90°，
∴△PRN≌△PAM（ASA），
∴PR=PA，
∴PR=PA=PA'，
∴△PRA与△PRA'都是等腰直角三角形，
∴∠ARP=∠A'RP=45°，
∴∠ARA'=90°，
根据等垂点定义，A'是A的等垂点，即直线y=x+2上任意一点都是A的等垂点，
∴一次函数y=x+2的图象上存在无数个点A的等垂点，
同理可证一次函数y=-x-2的图象上存在无数个点A的等垂点，
故答案为：y=x+2或y=-x-2．
【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及新定义、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质及应用等知识，解题的关键用含字母的代数式表示相关点的坐标，掌握函数图象上点坐标特征及应用．
56．（2022·江苏镇江·八年级期末）给出如下定义：在平面直角坐标系中，已知点，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最短间距”，例如：如图，点的“最短间距”是1（即的长）．

(1)点的最短间距是_________；
(2)已知点，点在第三象限．
①若点O，A，B的最短间距是1，求y的值；
②点O，A，B的“最短间距”的最大值为__________；
(3)已知直线l与坐标轴分别交于点和，点是线段上的一个动点，当点的最短间距取到最大值时，则此时点P的坐标_________．
【答案】(1)2
(2)①-1；②3
(3)（，）

【分析】（1）分别计算出Q1Q2，Q2Q3，Q1Q3的长度，比较得出最小值即可；
（2）①分别计算出OA，AB的长度，由于斜边大于直角边，故OB＞OA，OB＞AB，所以“最佳间距”为OA或者AB的长度，由于“最佳间距”为1，而OA=3，故OB=1，即可求解y的值；
②由①可得，“最佳间距”为OA或AB的长度，当OA≤AB时，“最佳间距”为OA=3，当OA＞AB时，“最佳间距”为AB＜3，比较两个“最大间距”，即可解决；
（3）同（2），当点O（0，0），E（m，0），P（m，n）的“最佳间距”为OE或者PE的长度，先求出直线CD的解析式，用m表示出线段OE和线段PE的长度，分两类讨论，当OE≥PE和OE＜PE时，求出各自条件下的“最佳间距”，比较m的范围，确定“最佳间距”的最大值，进一步求解出P点坐标．
(1)
解：∵Q1（2，1），Q2（4，1），
∴Q1Q2∥x轴，
∴Q1Q2=2，
同理，Q2Q3=3，
在Rt△Q1Q2Q3中，Q1Q3=，
∵2＜3＜，
∴“最短间距”为2，
故答案为：2；
(2)
①∵O（0，0），A（-3，0），
∴OA=3，
同理，AB=|y|，
在直角△ABO中，
OB＞OA，OB＞AB，
又∵点O，A，B的“最佳间距”是1，
且3＞1，
∴|y|=1，
∵点在第三象限，
∴y=-1，
故答案为：-1；
②由①可得，OB＞OA，OB＞AB，
∴“最佳间距”的值为OA或者是AB的长，
∵OA=3，AB=|y|，
当AB≥OA时，“最佳间距”为3，
当AB＜OA时，“最佳间距”为|y|＜3，
∴点O，A，B的“最佳间距”的最大值为3，
故答案为：3；
(3)
设直线CD为y=kx+3，代入点D得，如图2，

4k+3=0
∴k=，
∴直线CD的解析式为：，
∵P（m，n），E（m，0），且P是线段CD上的一个动点，
∴PE∥y轴，
∴OE=m，PE=n=m+3，
①当m≥m+3时，即OE≥PE时，m≥，“最佳间距”为m+3，此时m+3≤；
②当m＜m+3时，即OE＜PE时，m＜，“最佳间距”为m，此时m＜；
∴点O（0，0），E（m，0），P（m，n）的“最佳间距”取到最大值时，m+3=，
∴m=，
∴n=m+3=，
∴P（，）．
【点睛】本题是一次函数背景下的新定义题目，提炼出新定义的规则，根据规则，分类讨论是解决问题的关键，（2）中OA与AB的长度大小不确定时，需要分类讨论，是解决此题的突破口．
57．（2022·江苏·苏州市相城区阳澄湖中学八年级期末）【了解概念】
将平面直角坐标系中过某一定点且不与x轴垂直的直线，叫该定点的“友好线”．若点P（1，0），则点P的“友好线”可记为y＝k（x﹣1）．
【理解运用】
（1）已知点A的“友好线”可记为y＝kx﹣3k+，则点A的坐标为 　 　；
（2）若点B（3，2）的“友好线”恰好经过点（1，1），求该“友好线”的解析式；
【拓展提升】
（3）已知点M在点Q的“友好线”y＝k（x+2）﹣1上，点N在直线y＝﹣x+2，若M（a，m），N（a，n），且当﹣3≤a≤3时，m≤n，请直接确定k的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）或
【分析】（1）由经过定点求解．
（2）将代入求解．
（3）先将与代入求出点坐标，再将所求点坐标代入求出，结合图象求出取值范围．
【详解】解：（1），
点坐标为．
故答案为：．
（2）由题意可得点所在直线解析式为，
将代入得，
解得，
该“友好线”的解析式为．
（3）由题意得当时，直线在直线下方，
把代入得，把代入得，
直线经过点，，
把代入得，
把代入得，
解得，
经过定点，时，如图，

时，如图，

∴或时满足题意．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，解题关键是理解题干的新定义函数，通过直线经过定点结合图象求解．
58．（2021·江苏常州·八年级期末）（1）[探究]对于函数y＝|x|，当x≥0时，y＝x；当x＜0时，y＝﹣x．
在平面直角坐标系中画出函数图象，由图象可知，函数y＝|x|的最小值是　 　．

（2）[应用]对于函数y＝|x﹣1|＋|x＋2|．
①当x≥1时，y＝　 　；当x≤﹣2时，y＝　 　；当﹣2＜x＜1时，y＝　 　．
②在平面直角坐标系中画出函数图象，由图象可知，函数y＝|x﹣1|＋|x＋2|的最小值是　 　．
（3）[迁移]当x＝　 　时，函数y＝|x﹣1|＋|2x﹣1|＋|3x﹣1|＋…＋|8x﹣1|取到最小值．
（4）[反思]上述问题解决过程中，涉及了一些重要的数学思想或方法，请写出其中一种．
【答案】（1）见解析；0；（2）①x，﹣x，﹣x＋2，②见解析；；（3）；（4）分段去绝对值．
【分析】（1）画出函数图象，直接得出结论；
（2）先去绝对值，得出函数关系式，再画出函数图象，即可得出结论；
（3）分段去绝对值，合并同类项，得出函数关系式，即可得出结论；
（4）直接得出结论．
【详解】解：（1）[探究]图象如图1所示，函数y＝|x|的最小值是0，
故答案为0；

（2）[应用]①当x≥1时，y＝x﹣1＋（x＋2）＝x；
当x≤﹣2时，y＝﹣x＋1﹣（x＋2）＝﹣x；
当﹣2＜x＜1时，y＝﹣x＋1＋（x＋2）＝﹣x＋2；
②函数图象如图2所示，

由图象可知，函数y＝|x﹣1|＋|x＋2|的最小值是，
故填：①x，﹣x，﹣x＋2，②；
（3）[迁移]
当x≤时，y＝﹣x＋1﹣2x＋1﹣3x＋1﹣4x＋1﹣5x＋1﹣6x＋1﹣7x＋1﹣8x＋1＝﹣36x＋8，
∴y≥，
当＜x≤时，y＝﹣x＋1﹣2x＋1﹣3x＋1﹣4x＋1﹣5x＋1﹣6x＋1﹣7x＋1＋8x﹣1＝﹣20x＋6，
∴≤y＜，
当＜x≤时，y＝﹣x＋1﹣2x＋1﹣3x＋1﹣4x＋1﹣5x＋1﹣6x＋1＋7x﹣1＋8x﹣1＝﹣6x＋4，
∴3≤y＜，
当＜x≤时，y＝﹣x＋1﹣2x＋1﹣3x＋1﹣4x＋1﹣5x＋1＋6x﹣1＋7x﹣1＋8x﹣1＝6x＋2，
∴3＜y≤，
当＜x≤时，y＝﹣x＋1﹣2x＋1﹣3x＋1﹣4x＋1＋5x﹣1＋6x﹣1＋7x﹣1＋8x﹣1＝16x，
∴＜y≤4，
当＜x≤时，y＝﹣x＋1﹣2x＋1﹣3x＋1＋4x﹣1＋5x﹣1＋6x﹣1＋7x﹣1＋8x﹣1＝24x﹣2，
∴4＜y≤6，
当＜x≤时，y＝﹣x＋1﹣2x＋1＋3x﹣1＋4x﹣1＋5x﹣1＋6x﹣1＋7x﹣1＋8x﹣1＝30x﹣4，
∴6＜y≤11，
当＜x≤1时，y＝﹣x＋1＋2x﹣1＋3x﹣1＋4x﹣1＋5x﹣1＋6x﹣1＋7x﹣1＋8x﹣1＝34x﹣6，
∴11＜y≤28，
当x＞1时，y＝x﹣1＋2x﹣1＋3x﹣1＋4x﹣1＋5x﹣1＋6x﹣1＋7x﹣1＋8x﹣1＝36x﹣8，
∴y＞28，
∴当x＝时，函数y＝|x﹣1|＋|2x﹣1|＋|3x﹣1|＋…＋|8x﹣1|取到最小值；
（4）[反思]
用到的数学思想有：数形结合的数学思想，分段去绝对值，
故答案为：分段去绝对值．
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，去绝对值，函数图象的画法，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
59．（2021·江苏无锡·八年级期末）如图，已知一次函数y=﹣x+8的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，与一次函数y=x的图象相交于点C．

（1）求点C坐标．
（2）若点Q在直线AB上，且△OCQ的面积等于12，请求出点Q的坐标．
（3）小明在探究中发现：若P为x轴上一动点，将线段PC绕点P按顺时针方向旋转90°得线段PC'，在点P的运动过程中，点C′始终在某一直线上运动．请直接写出该直线所对应的函数关系式：　 ．
【答案】（1）点C的坐标为（4，3）；（2）Q点的坐标为（1，）或（7，﹣）；（3）y=x﹣7．
【分析】（1）解析式联立，解方程组即可求得C的坐标；
（2）求得A、B点的坐标，分两种情况讨论求得即可；
（3）设P的坐标为（m，0），作CM⊥x轴于M，C′N⊥x轴于N，通过证得△PCM≌△C′PN（AAS），求得C′（3+m，m-4），即可得出结论．
【详解】（1）由方程组得，
∴点C的坐标为（4，3）；
（2）∵一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，
∴A（，0），B（0，8），
∵点Q在直线AB上，
∴设Q（x，），
当Q点在C的上方时，S△OCQ=S△OBC﹣S△OBQ=12，
∴×8×4﹣=12，解得，x=1，
∴此时Q的坐标为（1，）；
当Q点在线段AC上时，
S△OAC=××3=9.6