2022-2023学年九年级数学上学期期末专题13 压轴大题精选分类练

这是一份2022-2023学年九年级数学上学期期末专题13 压轴大题精选分类练，共34页。
专题13 压轴大题精选分类练
一．二次函数综合
1．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过P点作x轴的垂线分别交BC、x轴于点D、E，设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PD的长；
②连接BP、CP，是否存在点P，使得四边形BPCO的面积最大？若存在，请求出四边形BPCO的最大面积；若不存在，请说明理由．

2．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）在抛物线上是否存在点D，使得△ABD的面积等于△ABC的面积的53倍？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点E是以点C为圆心且1为半径的圆上的动点，点F是AE的中点，请直接写出线段OF的最大值和最小值．

3．如图1，若抛物线l1的顶点A在抛物线l2上，抛物线l2的顶点B也在抛物线l1上（点A与点B不重合）．我们称抛物线l1，l2互为“友好”抛物线，一条抛物线的“友好”抛物线可以有多条．
（1）如图2，抛物线l3：y=12（x﹣2）2﹣1与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，则点D的坐标为　 　；
（2）求以点D为顶点的l3的“友好”抛物线l4的表达式，并指出l3与l4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围；
（3）若抛物线y＝a1（x﹣m）2+n的任意一条“友好”抛物线的表达式为y＝a2（x﹣h）2+k，写出a1与a2的关系式，并说明理由．

4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点，OA＝1，OB＝3，抛物线的顶点坐标为D（1，4）．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的表达式；
（3）过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上A、D两点间的一个动点（点P不于A、D两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点G、F，当点P运动时，EF+EG的值是否变化，如不变，试求出该值；若变化，请说明理由．

5．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y＝x﹣2交于B，C两点．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

6．如图①抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．
（1）试求抛物线解析式；
（2）点D（3，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．

7．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A（﹣1，0）．过点A作直线y＝x+c与抛物线交于点D，动点P在直线y＝x+c上，从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向点D运动，过点P作直线PQ∥y轴，与抛物线交于点Q，设运动时间为t（s）．
（1）直接写出b，c的值及点D的坐标；
（2）点E是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△CBE的面积为6时，求出点E的坐标；
（3）在线段PQ最长的条件下，点M在直线PQ上运动，点N在x轴上运动，当以点D、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请求出此时点N的坐标．

8．如图①，抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积为6．
（1）求这条抛物线相应的函数表达式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使得∠POB＝∠CBO，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，M是抛物线上一点，N是射线CA上的一点，且M、N两点均在第二象限内，A、N是位于直线BM同侧的不同两点．若点M到x轴的距离为d，△MNB的面积为2d，且∠MAN＝∠ANB，求点N的坐标．

二．相似综合
9．如图1，在▱ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速度为1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图2，设移动时间为t（s）（0＜t＜4），连接PQ，MQ，解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥MN？
（2）当t为何值时，∠CPQ＝45°？
（3）当t为何值时，PQ⊥MQ？

10．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，E是射线DC上的点，连接AE，将△ADE沿直线AE翻折得△AFE．

（1）如图①，点F恰好在BC上，求证：△ABF∽△FCE；
（2）如图②，点F在矩形ABCD内，连接CF，若DE＝1，求△EFC的面积；
（3）若以点E、F、C为顶点的三角形是直角三角形，则DE的长为　 　．

专题13 压轴大题精选分类练

一．二次函数综合
1．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过P点作x轴的垂线分别交BC、x轴于点D、E，设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PD的长；
②连接BP、CP，是否存在点P，使得四边形BPCO的面积最大？若存在，请求出四边形BPCO的最大面积；若不存在，请说明理由．

试题分析：（1）根据抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），用待定系数法即可求解；
（2）①先根据已知求出BC的表达式，再求出点P和点D坐标，用P点纵坐标减去D点纵坐标即可；②利用S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC即可求解．
答案详解：解：（1）将A（1，0），B（﹣3，0）代入抛物线得：
a+b+3=09a−3b+3=0，
解得：a=−1b=−2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）①当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC为y＝kx+b（k≠0），
将B（﹣3，0）（10，3）代入得：
−3k+b=03=b，
解得：k=1b=3，
∴直线BC为y＝x+3，
当x＝m时，y＝m+3，
∴D（m，m+3），P（m，﹣m2﹣2m+3），
∴PD＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m；
②存在，理由：
∵S△BPC＝S△BPD+S△CPD=12×3×PD=−32m2−92m，
∴S四边形BPOC＝S△BPC+S△BOC=−32m2−92m+92=−32(m+32)2+638，
∵−32＜0．
∴当m=−32时，四边形BPOC面积最大，最大值为638．
答：存在点P使S四边形BPOC面积最大，最大面积为638．
2．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）在抛物线上是否存在点D，使得△ABD的面积等于△ABC的面积的53倍？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点E是以点C为圆心且1为半径的圆上的动点，点F是AE的中点，请直接写出线段OF的最大值和最小值．

试题分析：（1）把点A、B的坐标分别代入函数解析式，列出关于a、b的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
（2）D点应该在x轴的上方或下方，在下方时，通过计算得到），△ABD的面积是△ABC面积的43倍，判断D点一定在x轴上方．设D（m，n），根据两个三角形间的面积关系求得m、n的值，由此易得点D的坐标；
（3）设E（x，y），由点E是以点C为圆心且1为半径的圆上的动点，利用勾股定理得到点E的坐标为（x，−1−x2−2）；再由点F是AE的中点表示出点F的坐标（x−32，−1−x2−22）；设F（m，n），利用m、n、x的关系得到：n=−1−(2m+3)2−22，通过计算整理出（n+1）2+（m+32）2＝（12）2，由此得出点F的运动轨迹是以（−32，﹣1）为圆心，以12为半径的圆，再计算AF的最大值与最小值即可．
答案详解：解：（1）把A（﹣3，0）、B（1，0）分别代入，得
9a−3b−2=0a+b−2=0．
解得a=23b=43．
故该抛物线解析式是：y=23x2+43x−2；

（2）若D在x轴的下方，当D为抛物线顶点（﹣1，−83）时，
∵C（0，﹣2），
∴△ABD的面积是△ABC面积的43倍，
∵43＜53，所以D点一定在x轴上方．
设D（m，n），
∵△ABD的面积是△ABC面积的53倍，
∴n=103，
∴23m2+43m−2=103，
∴m＝﹣4或m＝2．
∴D（﹣4，103）或（2，103）；

（3）设E（x，y），
∵点E是以点C为圆心且1为半径的圆上的动点，
∴x2+（y+2）2＝1，
∴y=−1−x2−2
∴E（x，−1−x2−2）．
∵点F是AE的中点，
∴F（x−32，−1−x2−22）．
设F（m，n），
∴m=x−32，n=−1−x2−22．
∴x＝2m+3，
∴n=−1−(2m+3)2−22．
∴（2n+2）2＝1﹣（2m+3）2．
整理，得（n+1）2+（m+32）2＝（12）2，
∴点F的运动轨迹是以（−32，﹣1）为圆心，以12为半径的圆，
∴最大值：(0+32)2+12+12=132+12．
最小值：(0+32)2+12−12=132−12．
综上所述，线段OF的最大值是132+12；，最小值是132−12．

3．如图1，若抛物线l1的顶点A在抛物线l2上，抛物线l2的顶点B也在抛物线l1上（点A与点B不重合）．我们称抛物线l1，l2互为“友好”抛物线，一条抛物线的“友好”抛物线可以有多条．
（1）如图2，抛物线l3：y=12（x﹣2）2﹣1与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，则点D的坐标为　（4，1）　；
（2）求以点D为顶点的l3的“友好”抛物线l4的表达式，并指出l3与l4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围；
（3）若抛物线y＝a1（x﹣m）2+n的任意一条“友好”抛物线的表达式为y＝a2（x﹣h）2+k，写出a1与a2的关系式，并说明理由．

试题分析：（1）求出C点的坐标，根据得出求出D点的坐标即可；
（2）设l4的函数解析式是y＝a（x﹣4）2+1，根据由“友好”抛物线的定义得出l4过点（2，﹣1），代入求出a，即可得出答案；
（3）根据抛物线y＝a1（x﹣m）2+n与抛物线y＝a2（x﹣h）2+k互为“友好”抛物线得出方程组，再相加，即可得出答案．
答案详解：解：（1）y=12（x﹣2）2﹣1，
当x＝0时，y=12×（0﹣2）2﹣1＝1，
即C点的坐标是（0，1），
∵抛物线y=12（x﹣2）2﹣1的对称轴是直线x＝2，
∴点C关于直线x＝2的对称点D的坐标是（4，1），
即D点的坐标是（4，1），
所以答案是：（4，1）；

（2）y=12（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（2，﹣1），
设l4的函数解析式是y＝a（x﹣4）2+1，
∵由“友好”抛物线的定义，l4过点（2，﹣1），
∴﹣1＝a（2﹣4）2+1，
解得：a=−12，
∴l4的函数解析式是y=−12（x﹣4）2+1，
∴l3与l4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围是2≤x≤4；

（3）a1+a2＝0，
理由是：∵抛物线y＝a1（x﹣m）2+n与抛物线y＝a2（x﹣h）2+k互为“友好”抛物线，
∴k=a1(ℎ−m)2+nn=a2(m−ℎ)2+k，
方程的两边相加得：k+n＝（a1+a2）（m﹣h）2+n+k，
即（a1+a2）（m﹣h）2＝0，
∵m≠h，
∴a1+a2＝0．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点，OA＝1，OB＝3，抛物线的顶点坐标为D（1，4）．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的表达式；
（3）过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上A、D两点间的一个动点（点P不于A、D两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点G、F，当点P运动时，EF+EG的值是否变化，如不变，试求出该值；若变化，请说明理由．

试题分析：（1）由OA、OB的长度及已知点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴上等可直接写出点A、B的坐标；
（2）由顶点D的坐标可设顶点式y＝a（x﹣1）2+4，将点A的坐标代入即可；
（3）EF+EG的值不发生变化，设点P（a，﹣a2+2a+3），分别求出直线AP和直线BP的解析式，再求出点G和点F的坐标，可写出含字母a的GE和FE的长度，直接计算即可．
答案详解：解：（1）∵OA＝1，OB＝3，且点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴上，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；

（2）∵顶点坐标为D（1，4），
∴可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，
将点A（﹣1，0）代入y＝a（x﹣1）2+4，
得，0＝4a+4，
∴a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；

（3）EF+EG的值不发生变化，理由如下：
设点P（a，﹣a2+2a+3），
设直线AP的解析式为y＝kx+b，
将点A（﹣1，0），（a，﹣a2+2a+3）代入，
得，−k+b=0ak+b=−a2+2a+3，
解得，k=3−ab=3−a，
∴直线AP的解析式为y＝（3﹣a）x+3﹣a，
∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4的对称轴为x＝1，点G在对称轴上，
∴G（1，6﹣2a），
∴EG＝6﹣2a，
设直线BP的解析式为y＝mx+n，
将点B（3，0），（a，﹣a2+2a+3）代入，
得，3m+n=0am+n=−a2+2a+3，
解得，m=−(a+1)n=3(a+1)，
∴直线BP的解析式为y＝﹣（a+1）x+3（a+1），
∵点F在对称轴上，
∴F（1，2a+2），
∴EF＝2a+2，
∴EF+EG＝2a+2+6﹣2a＝8，
∴当点P运动时，EF+EG的值不变化，值为8．
5．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y＝x﹣2交于B，C两点．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

试题分析：（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，与x轴交于D，得到y＝2x﹣1，求得BD＝2−12=32于是得到结论；
（3）设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当△MON和△ABC相似时，利用三角形相似的性质可得MNAB=ONBC或MNBC=ONAB，可求得N点的坐标．
答案详解：解：（1）∵顶点坐标为（1，1），
∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+1，
又抛物线过原点，
∴0＝a（0﹣1）2+1，解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+1，
即y＝﹣x2+2x，
联立抛物线和直线解析式可得y=−x2+2y=x−2，
解得x=2y=0或x=−1y=−3，
∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；

（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，与x轴交于D，
把A（1，1），C（﹣1，﹣3）的坐标代入得1=k+b−3=−k+b，
解得：k=2b=−1，
∴y＝2x﹣1，
当y＝0，即2x﹣1＝0，
解得：x=12，
∴D（12，0），
∴BD＝2−12=32
∴△ABC的面积＝S△ABD+S△BCD=12×32×1+12×32×3＝3；
（可以利用勾股定理的逆定理证明∠ABC＝90°）．
（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，﹣x2+2x），
∴ON＝|x|，MN＝|﹣x2+2x|，
由（2）知，AB=2，BC＝32，
∵MN⊥x轴于点N，
∴∠ABC＝∠MNO＝90°，
∴当△ABC和△MNO相似时，有MNAB=ONBC或MNBC=ONAB，
①当MNAB=ONBC时，
∴|−x2+2x|2=|x|32，即|x||﹣x+2|=13|x|，
∵当x＝0时M、O、N不能构成三角形，
∴x≠0，
∴|﹣x+2|=13，
∴﹣x+2＝±13，解得x=53或x=73，
此时N点坐标为（53，0）或（73，0）；
②当MNBC=ONAB时，
∴|−x2+2x|32=|x|2，
即|x||﹣x+2|＝3|x|，
∴|﹣x+2|＝3，
∴﹣x+2＝±3，
解得x＝5或x＝﹣1，
此时N点坐标为（﹣1，0）或（5，0），
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（53，0）或（73，0）或（﹣1，0）或（5，0）．
6．如图①抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．
（1）试求抛物线解析式；
（2）点D（3，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．

试题分析：（1）把已知点A、B代入抛物线y＝ax2+bx+4中即可求解；
（2）将二次函数与方程、几何知识综合起来，先求点D的坐标，再根据三角形全等证明∠PBC＝∠DBC，最后求出直线BP解析式即可求出P点坐标；
（3）根据平行四边形的判定即可写出点M的坐标．
答案详解：解：如图：
（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．
∴a−b+4=016a+4b+4=0，
解得a=−1b=3．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4．
（2）存在．理由如下：
y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣1.5）2+6.25．
∵点D（3，m）在第一象限的抛物线上，
∴m＝4，
∴D（3，4），
∵C（0，4），
∴OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°．
连接CD，∴CD∥x轴，
∴∠DCB＝∠OBC＝45°，
∴∠DCB＝∠OCB，
在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，
再延长BG交抛物线于点P，
在△DCB和△GCB中，
CB=CB∠DCB=∠OCBCG=CD，
∴△DCB≌△GCB（SAS）
∴∠DBC＝∠GBC．
设直线BP解析式为yBP＝kx+b（k≠0），把G（0，1），B（4，0）代入，得
k=−14，b＝1，
∴BP解析式为yBP=−14x+1．
yBP=−14x+1，y＝﹣x2+3x+4，
当y＝yBP 时，−14x+1＝﹣x2+3x+4，
解得x1=−34，x2＝4（舍去），
∴y=1916，
∴P（−34，1916）．
（3）设点N（1.5，n），
当BC、MN为平行四边形对角线时，
由BC、MN互相平分，M（2.5，4﹣n），
代入y＝﹣x2+3x+4，
得4﹣n＝﹣6.25+7.5+4，解得n＝﹣1.25，
∴M（2.5，5.25）；
当BM、NC为平行四边形对角线时，
由BM、NC互相平分，M（﹣2.5，4+n），
代入y＝﹣x2+3x+4，
得4+n＝﹣6.25﹣7.5+4，解得n＝﹣13.75，
∴M（﹣2.5，﹣9.75）；
当MC、BN为平行四边形对角线时，
由MC、BN互相平分，M（5.5，n﹣4），
代入y＝﹣x2+3x+4，
得n﹣4＝﹣6.25﹣7.5+4，解得n＝﹣5.75，
∴M（5.5，﹣9.75）．
综上所述，点M的坐标为：M1（2.5，5.25），M2（﹣2.5，﹣9.75），M3（5.5，﹣9.75）．

7．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A（﹣1，0）．过点A作直线y＝x+c与抛物线交于点D，动点P在直线y＝x+c上，从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向点D运动，过点P作直线PQ∥y轴，与抛物线交于点Q，设运动时间为t（s）．
（1）直接写出b，c的值及点D的坐标；
（2）点E是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△CBE的面积为6时，求出点E的坐标；
（3）在线段PQ最长的条件下，点M在直线PQ上运动，点N在x轴上运动，当以点D、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请求出此时点N的坐标．

试题分析：（1）将点A的坐标分别代入抛物线和直线的表达式即可求解；
（2）求出直线CE的表达式为：y＝（2﹣m）x+3，则点H（3m−2，0），△CBE的面积=12BH×（xC﹣yE）=12×（3−3m−2）（3+m2﹣2m﹣3）＝6，即可求解；
（3）PQ＝﹣t2+4t﹣t＝﹣t2+3t，故PQ有最大值，点P（12，32），①当∠DMN为直角时，（Ⅰ）当点M在x轴上方时，如图2，证明△DGM≌△MHN（AAS），则GD＝MH，NH＝GM，即可求解（Ⅱ）当点M在x轴下方时，同理可得：△MEN≌△DHM（AAS），即可求解；②当∠DNM为直角时，同理可解．
答案详解：解：（1）将点A的坐标代入y＝﹣x2+bx+3得：0＝﹣1﹣b+3，
解得：b＝2，
将点A的坐标代入y＝x+c并解得：c＝1，
故抛物线和直线的表达式分别为：y＝﹣x2+2x+3，y＝x+1；
联立上述两式得：y=−x2+2x+3y=x+1，解得：x=2y=3，
故点D（2，3）；

（2）如图1，设直线CE交x轴于点H，

设点E（m，﹣m2+2m+3），而点C（0，3），
将点E、C坐标代入一次函数表达式y＝sx+t得：−m2+2m+3=ms+tt=3，解得：s=−m+2t=3，
故直线CE的表达式为：y＝（2﹣m）x+3，
令y＝0，则x=3m−2，故点H（3m−2，0），
△CBE的面积=12BH×（yC﹣yE）=12×（3−3m−2）（3+m2﹣2m﹣3）＝6，
解得：m＝﹣1（舍弃）或4，故点E（4，﹣5）；

（3）点C、D的纵坐标相同，故CD∥x轴，
t秒时，AP=2t，则点P在x轴和y轴方向移动的距离均为t，故点P（t﹣1，t），
当x＝t﹣1时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣t2+4t，故点Q（t﹣1，﹣t2+4t），
则PQ＝﹣t2+4t﹣t＝﹣t2+3t，
∵﹣1＜0，故PQ有最大值，此时，t=32，则点P（12，32），
故直线PQ表达式为：x=12；
设点M（12，m），点N（n，0），而点D（2，3）；
①当∠DMN为直角时，
（Ⅰ）当点M在x轴上方时，如图2，

设直线PQ交x轴于点H，交CD于点G，
∵∠DMG+∠GDM＝90°，∠DMG+∠HMN＝90°，
∴∠HMN＝∠GDM，MN＝MD，∠DGM＝∠MHN＝90°，
∴△DGM≌△MHN（AAS），
∴GD＝MH，NH＝GM，
即：m=2−123−m=n−12，解得：m=32n=2，
故点N（2，0）；
（Ⅱ）当点M在x轴下方时，如图3，

过点M作x轴的平行线交过点与y轴的平行线于点H，交过点N与y轴的平行线于点E，
同理可得：△MEN≌△DHM（AAS），
故：NE＝MH，EM＝DH，
即−m=2−1212−n=3−m，解得：m=−32n=−4，
故点N（﹣4，0）；
②当∠DNM为直角时，
（Ⅰ）当点N在x轴左侧时，如图4，
过点N作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点H，交过点M与x轴的平行线于点R，

同理可得：△DHN≌△NRM（AAS），
∴RM＝NH，即3=12−n，解得：n＝﹣2.5；
（Ⅱ）当点N在x轴右侧时，如图5，
过点N作y轴的平行线交过点M与x轴的平行线于点H，交过点D与x轴的平行线于点G，

同理可得：△MHN≌△NGD（AAS），
∴MH＝GN，即n−12=3，解得：n＝3.5，
综上，N的坐标为：（2，0）或（﹣4，0）或（﹣2.5，0）或（3.5，0）．
8．如图①，抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积为6．
（1）求这条抛物线相应的函数表达式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使得∠POB＝∠CBO，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，M是抛物线上一点，N是射线CA上的一点，且M、N两点均在第二象限内，A、N是位于直线BM同侧的不同两点．若点M到x轴的距离为d，△MNB的面积为2d，且∠MAN＝∠ANB，求点N的坐标．

试题分析：（1）令y＝0求出点A坐标为（a，0），点B坐标为（1，0），令x＝0，求出点C坐标为（0，a），再由△ABC的面积得到12(1−a)⋅(−a)=6即可求a的值；
（2）①当点P在x轴上方时，直线OP的函数表达式为y＝3x，则直线与抛物线的交点为P(1+132，3+3132)；②当点P在x轴下方时，直线OP的函数表达式为y＝﹣3x，则直线与抛物线的交点为P(−5+372，15−3372)；
（3）过点A作AE⊥BM于点E，过点N作NF⊥BM于点F，设AM与BN交于点G，延长MN与x轴交于点H；由S△AMB＝S△MNB，得到AE＝NF，可以证明四边形AEFN是矩形，再证明△AMB≌△NBM（SAS），进而证明M、N、H三点的横坐标相同，且BH＝MH，设点M的坐标为（t，t2+2t﹣3），则有1﹣t＝t2+2t﹣3，能求出点N的横坐标为﹣4，再设直线AC：y＝kx﹣3，则0＝﹣3k﹣3，得到y＝﹣x﹣3，可求N点坐标．
答案详解：解：（1）当y＝0时，x2﹣（a+1）x+a＝0，
解得x1＝1，x2＝a，
∵点A位于点B的左侧，
∴点A坐标为（a，0），点B坐标为（1，0），
当x＝0时，y＝a，
∴点C坐标为（0，a），
∴AB＝1﹣a，OC＝﹣a，
∵△ABC的面积为6，
∴12(1−a)⋅(−a)=6，
∴a1＝﹣3，a2＝4，
∵a＜0，
∴a＝﹣3，
∴y＝x2+2x﹣3；
（2）设直线BC：y＝kx﹣3，则0＝k﹣3，
∴k＝3；
①当点P在x轴上方时，直线OP的函数表达式为y＝3x，
则y=3xy=x2+2x−3，
∴x1=1+132y1=3+3132，x2=1−132y2=3−3132，
∴点P坐标为(1+132，3+3132)；
②当点P在x轴下方时，直线OP的函数表达式为y＝﹣3x，
则y=−3xy=x2+2x−3
∴x1=−5+372y1=15−3372，x2=−5−372y2=15+3372，
∴点P坐标为(−5+372，15−3372)，
综上可得 点P坐标为(1+132，3+3132)或(−5+372，15−3372)；
（3）过点A作AE⊥BM于点E，过点N作NF⊥BM于点F，设AM与BN交于点G，延长MN与x轴交于点H；
∵AB＝4，点M到x轴的距离为d，
∴S△AMB=12×AB×d=12×4×d＝2d，
∵S△MNB＝2d，
∴S△AMB＝S△MNB，
∴12×BM×AE=12×BM×NF，
∴AE＝NF，
∵AE⊥BM，NF⊥BM，
∴四边形AEFN是矩形，
∴AN∥BM，
∵∠MAN＝∠ANB，
∴GN＝GA，
∵AN∥BM，
∴∠MAN＝∠AMB，∠ANB＝∠NBM，
∴∠AMB＝∠NBM，
∴GB＝GM，
∴GN+GB＝GA+GM即BN＝MA，
在△AMB和△NBM中AM=NB∠AMB=∠MB=BMNBM
∴△AMB≌△NBM（SAS），
∴∠ABM＝∠NMB，
∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
又∵AN∥BM，
∴∠ABM＝∠OAC＝45°，
∴∠NMB＝45°，
∴∠ABM+∠NMB＝90°，
∴∠BHM＝90°，
∴M、N、H三点的横坐标相同，且BH＝MH，
∵M是抛物线上一点，
∴可设点M的坐标为（t，t2+2t﹣3），
∴1﹣t＝t2+2t﹣3，
∴t1＝﹣4，t2＝1（舍去），
∴点N的横坐标为﹣4，
可设直线AC：y＝kx﹣3，则0＝﹣3k﹣3，
∴k＝﹣1，
∴y＝﹣x﹣3，
当x＝﹣4时，y＝﹣（﹣4）﹣3＝1，
∴点N的坐标为（﹣4，1）．


二．相似综合
9．如图1，在▱ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速度为1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图2，设移动时间为t（s）（0＜t＜4），连接PQ，MQ，解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥MN？
（2）当t为何值时，∠CPQ＝45°？
（3）当t为何值时，PQ⊥MQ？

试题分析：（1）根据勾股定理求出AC，根据PQ∥AB，得出CPCA=CQCB，可求t的值；
（2）如图2，过点Q作QE⊥AC，则QE∥AB，可得CQCB=CECA=QEAB，可求CE=45t，QE=35t，由等腰直角三角形的性质可得PE＝QE=35t，即可求t的值；
（3）如图2，过点P作PF⊥BC于F点，过点M作MH⊥BC，交BC延长线于点H，可证四边形PMHF是矩形，可得PM＝FH＝5，通过证明△ABC∽△FPC，可得PFAB=CFAC=PCBC，可求PF=12−3t5，CF=16−4t5，通过证明△PFQ∽△QHM，可得
PFFQ=QHHM，即可求解．
答案详解：解：（1）∵AB＝3cm，BC＝5cm，AC⊥AB，
∴AC=BC2−AB2=4cm，
∵MN∥AB，PQ∥MN，
∴PQ∥AB，
∴CPCA=CQCB，
∴4−t4=t5，
∴t=209s
（2）如图2，过点Q作QE⊥AC，则QE∥AB，

∴CQCB=CECA=QEAB，
∴t5=CE4=QE3，
∴CE=45t，QE=35t，
∵∠CPQ＝45°，
∴PE＝QE=35t，
∴t+35t+45t＝4，
∴t=53s
（3）如图2，过点P作PF⊥BC于F点，过点M作MH⊥BC，交BC延长线于点H，
∴四边形PMHF是矩形，
∴PM＝FH＝5，
∵∠A＝∠PFC＝90°，∠ACB＝∠PCF，
∴△ABC∽△FPC，
∴PFAB=CFAC=PCBC，
∴PF3=CF4=4−t5
∴PF=12−3t5，CF=16−4t5，
∴QH＝5﹣FQ＝5﹣（CF﹣CQ）=9+9t5，
∵PQ⊥MQ，
∴∠PQF+∠MQH＝90°，且∠PQF+∠FPQ＝90°，
∴∠FPQ＝∠MQH，且∠PFQ＝∠H＝90°，
∴△PFQ∽△QHM，
∴PFFQ=QHHM，
∴12−3t516−4t5−t=9+9t512−3t5
∴t=32s．
10．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，E是射线DC上的点，连接AE，将△ADE沿直线AE翻折得△AFE．

（1）如图①，点F恰好在BC上，求证：△ABF∽△FCE；
（2）如图②，点F在矩形ABCD内，连接CF，若DE＝1，求△EFC的面积；
（3）若以点E、F、C为顶点的三角形是直角三角形，则DE的长为　5(34−5)3或53或5或15　．
试题分析：（1）先利用同角的余角相等，判断出∠CEF＝∠AFB，即可得出结论；
（2）先判断出△FGE∽△AHF，得出EFFA=GFAH，进而得出AH＝5GF，在Rt△AHF中，根据勾股定理求出GF=513，即可得出结论；
（3）分点E在线段CD上和DC的延长线上，再分别分两种情况，利用勾股定理直接计算或建立方程求解即可得出结论．
答案详解：（1）解：在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
由折叠可得：∠D＝∠EFA＝90°，
∵∠EFA＝∠C＝90°，
∴∠CEF+∠CFE＝∠CFE+∠AFB＝90°，
∴∠CEF＝∠AFB，
在△ABF和△FCE中
∵∠AFB＝∠CEF，∠B＝∠C＝90°，
∴△ABF∽△FCE；

（2）解：如图1，
过点F作FG⊥DC交DC于点G，FH⊥AB于点H，则∠EGF＝∠AHF＝90°
在矩形ABCD中，∠D＝90°，
由折叠可得：∠D＝∠EFA＝90°，DE＝EF＝1，AD＝AF＝5
∵∠EGF＝∠EFA＝90°，
∴∠GEF+∠GFE＝∠AFH+∠GFE＝90°，
∴∠GEF＝∠AFH，
在△FGE和△AHF中，
∵∠GEF＝∠AFH，∠EGF＝∠FHA＝90°，
∴△FGE∽△AHF，
∴EFFA=GFAH，
∴15=GFAH，
∴AH＝5GF，
在Rt△AHF中，∠AHF＝90°，
∵AH2+FH2＝AF2，
∴（5GF）2+（5﹣GF）2＝52，
∴GF=513，
∴△EFC的面积为12×513×2=513；

（3）解：设DE＝x，
∵以点E、F、C为顶点的三角形是直角三角形，
∴①当点E在线段CD上时，∠DAE＜45°，
∴∠AED＞45°，由折叠知，∠AEF＝∠AED＞45°，
∴∠DEF＝∠AED+∠AEF＞90°，
∴∠CEF＜90°，
∴只有∠EFC＝90°或∠ECF＝90°，
Ⅰ、当∠EFC＝90°时，如图2，
由折叠知，∠AFE＝∠D＝90°，
∴∠AFE+∠EFC＝90°，
∴点A，F，C在同一条线上，
即：点F在矩形的对角线AC上，
在Rt△ACD中，AD＝5，CD＝AB＝3，
根据勾股定理得，AC=34，
由折叠知，EF＝DE＝x，AF＝AD＝5，
∴CF＝AC﹣AF=34−5，
在Rt△ECF中，EF2+CF2＝CE2，
∴x2+（34−5）2＝（3﹣x）2，
∴x=5(34−5)3，
即：DE=5(34−5)3；

Ⅱ、当∠ECF＝90°时，如图3，点F在BC上，由折叠知，EF＝DE＝x，AF＝AD＝5，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF=AF2−AB2=4，
∴CF＝BC﹣BF＝1，
在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，
∴（3﹣x）2+12＝x2，
∴x=53，
即：DE=53；

②当点E在DC延长线上时，CF在∠AFE内部，而∠AFE＝90°，
∴∠CFE＜90°，
∴只有∠CEF＝90°或∠ECF＝90°，
Ⅰ、当∠CEF＝90°时，如图4，
由折叠知，AD＝AF＝5，∠AFE＝90°＝∠D＝∠CEF，
∴四边形AFED是正方形，
∴DE＝AF＝5；

Ⅱ、当∠DCF＝90°时，如图5，
∵∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴点F在CB的延长线上，
∴∠ABF＝90°，
由折叠知，EF＝DE＝x，AF＝AD＝5，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF=AF2−AB2=4，
∴CF＝BC+BF＝9，
在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，
∴（x﹣3）2+92＝x2，
∴x＝15，
即：DE＝15，
综上所述，DE的长为5(34−5)3或53或5或15，
所以答案是5(34−5)3或53或5或15，