【期末·解答题专练】2022-2023学年 人教版数学九年级-专题05《二次函数与几何综合题》期末解答题必刷训练

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二次函数与几何综合题
二次函数与几何综合题，通常作为必考压轴题。
1．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，且B点的坐标为，经过A点的直线交抛物线于点．
（1）求拋物线的解析式和直线AD的解析式；
（2）点M为直线AD上方抛物线上一点，求当的面积最大时M点的坐标及最大的面积．

【答案】（1）；；（2）的最大面积为，
【分析】
（1）根据点B和D的坐标求出二次函数解析式，然后求出点的坐标，然后运用待定系数法求直线AD的解析式即可；
（2）设，过点M作轴，交AD于点N，则，然后根据＝列出二次函数，求最值即可．
【详解】
解：（1）把点B和D的坐标代入抛物线
得：，解得：，，
∴抛物线的解析式为；
当时，，解得：或，
∵，
∴；
设直线AD的解析式为，
把A和D的坐标代入得：，解得：，，
∴直线AD的解析式为；
（2）设，过点M作轴，交AD于点N，则，

∴，
∴＝
，
∴的面积，
当时，的最大面积，
此时，．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及一次函数解析式，根据题意列出关于的面积的表达式是解本题的关键．
2．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点的坐标为．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）如图1，若点在抛物线上且满足．求点的坐标；
（3）如图2，是直线上一个动点．过点作轴交抛物线于点，是直线上一个动点当为等腰直角三角形时．直接写出此时点的坐标．

【答案】（1）；（2），；（3），，，，，
【分析】
（1）由和，且为顶点列方程求出a、b、c，即可求得解析式；
（2）分两种情况讨论：①过点作，交抛物线于点，②在下方作交于点，交抛物线于；
（3）为等腰直角三角形，分三种情况讨论：①当；②当；③当．
【详解】
（1）将和代入，
得 ，
又∵顶点的坐标为，
∴，
∴解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）设直线的解析式为
∵和，
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵抛物线的解析式为：，抛物线与轴交于点，与轴交于点和点，
令，则，
令，则或，
C点坐标为，B点坐标为，
如图所示，①过点作，交抛物线于点，
则直线的解析式为，
，
解得：（舍），，
当，则，
故，

②过点作轴平行线，过点作轴平行线交于点，
由可知四边形为正方形，
∵直线的解析式为，
∴与轴交于点，
在下方作交于点，交抛物线于，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
由可得直线的解析式为：，
，
解得（舍），，
当，则，
故，
综上所述，符合条件的点坐标为：，；
（3）∵，，
∴直线的解析式为，
设M的坐标为，则N的坐标为，
∴，
∵，，
∴直线的解析式为，
∵为等腰直角三角形，
∴①当时，如下图所示：

则Q点的坐标为，
∴，
∴，
解得：（舍去），，，
当时，，
当时，，
∴，，
②当时，如下图所示：

则Q点的坐标为，
∴，
∴，
解得：（舍去），，，
当时，，
当时，，
∴，，
③当时，如图所示：

则Q点纵坐标为，
∴Q点的坐标为，
∴Q点到MN的距离=，
∴（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
解得：（舍去），，，
当时，，
当时，
∴，
综上所述，点的坐标为：，，，，，．
【点睛】
本题主要考查二次函数与几何图形，该题综合性较强，属于中考压轴题．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；
（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；

【答案】（1）y＝−x2＋4x＋5；（2）P（，），S四边形APCD最大＝．
【分析】
（1）设出抛物线解析式，用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线AB解析式，设出点P坐标（x，−x2＋4x＋5），建立函数关系式S四边形APCD＝−2x2＋10x，根据二次函数表达式求出最值．
【详解】
解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x−2）2＋9，
∵抛物线与y轴交于点A（0，5），
∴4a＋9＝5，
∴a＝−1，
∴y＝−（x−2）2＋9＝−x2＋4x＋5；
（2）连接AP，

当y＝0时，−x2＋4x＋5＝0，
∴x1＝−1，x2＝5，
∴E（−1，0），B（5，0），
设直线AB的解析式为y＝mx＋n，
∵A（0，5），B（5，0），
由点A、B的坐标得，直线AB的解析式为y＝−x＋5；
设P（x，−x2＋4x＋5），
∴D（x，−x＋5），
∴PD＝−x2＋4x＋5＋x−5＝−x2＋5x，
∵A、C关于直线x=2对称，
∴AC＝4，
又∵AC⊥PD，
∴S四边形APCD＝×AC×PD＝2（−x2＋5x）＝−2x2＋10x，
∴当x＝时，即点P（，）时，S四边形APCD最大＝．
【点睛】
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数关系式，函数最值的确定方法，解本题的关键是建立函数关系式求最值．
4．如图，直线y＝x－1与抛物线y＝ax?＋x＋c交于点A、B两点，点A在y轴上，点B的横坐标为6，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若直线PQ∥y轴， 与抛物线、直线AB、x轴分别交于点P、Q、D，且点D位于线段OC之间，求线段PQ长度的最大值；
（3）连接BP、CQ，当四边形PQCB是平行四边形时，求点D的坐标．

【答案】（1）；（2）；（3）D或
【分析】
（1）根据直线解析式求得点A、B两点坐标，然后代入抛物线解析式求解即可；
（2）设P，求得线段的长度，配方法求解即可；
（3）由平行四边形的性质可得，根据（2）中的式子，求解一元二次方程即可．
【详解】
（1）直线y＝x－1与抛物线交于点A、B两点，点A在y轴上，则A（0，－1），∴c＝－1，
点B的横坐标为6，则y＝×6－1＝2，∴B（6，2）．把x＝6，y＝2代入得：，
∴抛物线的表达式；
（2）设P、则Q，
；
∵，当时，PQ最大＝
（3）当PQ//BC//y轴且PQ＝BC时，四边形PQCB是平行四边形，
即，解得，
∴D或
【点睛】
此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点问题，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
5．如图，抛物线与轴相交于，两点，且经过点，点为抛物线与轴的交点．

（1）求抛物线的解析式和点的坐标；
（2）若点为抛物线图象上的一点，，求点的坐标；
（3）设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值．
【答案】（1），（0，-3）；（2）（4，21）或（-4，5）；（3）
【分析】
（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再根据点C在y轴上求出点C坐标；
（2）先由二次函数的解析式为y=x2+2x-3，得到C点坐标，然后设P点坐标为（x，x2+2x-3），根据S△POC=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；
（3）先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=-x-3，再设Q点坐标为（x，-x-3），则D点坐标为（x，x2+2x-3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．
【详解】
解：（1）∵抛物线与x轴交于A（-3，0），B（1，0），
∴设抛物线解析式为：，
将（2，5）代入，得：，
解得：a=1，
∴抛物线解析式为：，
令x=0，则y=-3，
∴点C坐标为（0，-3）；
（2）二次函数的解析式为y=x2+2x-3，
∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，-3），OC=3．
设P点坐标为（x，x2+2x-3），
∵S△POC=4S△BOC，
∴×3×|x|=4××3×1，
∴|x|=4，x=±4，当x=4时，x2+2x-3=16+8-3=21；
当x=-4时，x2+2x-3=16-8-3=5．
∴点P的坐标为（4，21）或（-4，5）；
（3）设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（-3，0），C（0，-3）代入，
得，
解得：，
即直线AC的解析式为y=-x-3．
设Q点坐标为（x，-x-3）（-3≤x≤0），则D点坐标为（x，x2+2x-3），
QD=（-x-3）-（x2+2x-3）=-x2-3x=，
∴当x=时，QD有最大值．
【点睛】
此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．
6．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，OA=1，OB=OC=3．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点D为第一象限抛物线上一动点，连接DC，DB，BC，设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S，求S的最大值；
（3）如图2，点P(0，n)是线段OC上一点(不与点O、C重合)，连接PB，将线段PB以点P为中心，旋转90°得到线段PQ，是否存在n的值，使点Q落在抛物线上？若存在，请求出满足条件的n的值，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）存在，n=1或n=
【分析】
（1）通过待定系数法求解函数解析式即可；
（2）作DF⊥x轴于点F，交BC于点E，根据求得关于的解析式，根据二次函数的性质求解即可；
（3）过点P作PB的垂线，交抛物线于点和，作轴于点M，轴于点N，利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】
解：(1)设函数关系式为
由题意，得A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)
∴
把C(0，3)代入得，
∴
(2)作DF⊥x轴于点F，交BC于点E

设直线BC关系式为y=kx＋b，
代入(3，0)，(0，3)得k=－1，b=3，
∴y=－x＋3
∵点D的横坐标为m，则DF=，EF=－m＋3
∴DE=

∵，∴S的最大值是
(3)过点P作PB的垂线，交抛物线于点和，作轴于点M，轴于点N

∴
∵，，
∴
又∵，
∴
∴，，∴
代入抛物线，得
解得，(舍去)
同理，，∴(－n，n－3)
代入抛物线，得
解得，(舍去)
综上，存在n 的值，n=1或n=
【点睛】
此题考查了二次函数与几何的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数以及全等三角形的判定与性质．
7．如图1，二次函数的图象交坐标轴于点，，点为轴上一动点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图2，将线段绕点逆时针旋转90得到线段．
①当点在抛物线上时，求点的坐标；
②点在抛物线上，连接，当平分时，求点P的坐标．

【答案】（1）；（2）①或；②或
【分析】
（1）把点B（0.-2）代入函数解析式，确定a的值即可；
（2）①分点D在x轴的下方和上方两种情形，运用全等思想求解即可；
②分PE垂直x轴和不垂直两种情形求解即可．
【详解】
（1）∵二次函数的图象过点，
∴-2=,
解得a=，
∴即；
（2）①设点P（m，0）如图，当点在x轴下方时，过点作DF⊥x轴于点F，
∵线段绕点逆时针旋转90得到线段，
∴PB=PD，∠BPD=90°，
∴∠FPD+∠OPB=90°，
∵∠OBP+∠OPB=90°，
∴∠FPD=∠OBP，
∵∠BOP=∠PFD=90°，
∴△BOP≌△PFD，

∴BO=PF=2，PO=DF=m，
∴点D的坐标为（m+2，-m）,
∵点D在抛物线上，
∴,
整理，得，
解得（舍去），
∴点D的坐标为（3，-1）；
当点在x轴上方时，如图，
设点P（m，0）过点D作DE⊥x轴于点E，
∵线段绕点逆时针旋转90得到线段，
∴PB=PD，∠BPD=90°，
∴∠EPD+∠OPB=90°，
∵∠OBP+∠OPB=90°，
∴∠EPD=∠OBP，
∵∠BOP=∠PED=90°，
∴△BOP≌△PED，

∴BO=PE=2，PO=DE=|m|=-m，
∴点D的坐标为（m+2，-m）,
∵点D在抛物线上，
∴,
整理，得，
解得（舍去），，
∴点D的坐标为（-8，10），
故点D的坐标为（3，-1）或（-8，10）；
②如图，当PE⊥x轴时，
∵∠BPD=90°，PE平分∠BPD，
∴∠BPE=∠BPO=∠PBO =45°，

∴PO=OB=2，
∴点P的坐标为（2，0）；
如图，当PE不垂直x轴时，

过点B作BM⊥BP，交PE于点M，过点M作MH⊥y轴，垂足为H，
∵∠BPD=90°，PE平分∠BPD，
∴∠MPB=∠PMB=45°，
∴PB=BM，
∴∠OPB+∠HBM=90°，
∵∠OBP+∠OPB=90°，
∴∠HBM=∠OPB，
∵∠BOP=∠MHB=90°，
∴△BOP≌△MHB，
∴BO=MH=2，PO=HB，
∵，
∴E与M重合，
∴OH=，
∴OH=，
∴PO=HB=OB-OH=2-=，
∵点P在x轴的负半轴上，
∴点P的坐标为（，0）；
∴点P的坐标为（2，0）或（，0）．
【点睛】
本题考查了二次函数的解析式，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，分类思想，熟练掌握待定系数法，灵活运用三角形的全等和分类思想是解题的关键．
8．如图1，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为(1，0)，且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，若动点P在过A，B，C三点的抛物线上，是否存在点P，使得ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点P是直线AC上方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当0＜PD＜2时，请直接写出点P横坐标的取值范围．

【答案】（1）；（2）存在， P点坐标为（2，-6）或（-2，6）；（3）且．
【分析】
（1）由已知可知OB=1，再由OA＝OC＝4OB，可得A， C两点坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）分、两种情况，根据等腰直角三角形性质求出直线PC解析式，再联立抛物线与直线解析式求出交点坐标；
（3）过点P作y轴的平行线交AC于点Q,可得，根据直线解析式和抛物线解析式求出线段PQ的函数解析式，可得当x=-2时，P点坐标为（-2，6），此时PQ的最大值为，由此得出点P横坐标的取值范围．
【详解】
解：（1）∵点B的坐标为(1，0)，
∴OB=1，
又∵OA＝OC＝4OB，
∴OA＝OC＝4，即点A坐标为（-4，0）；点C坐标为（0，4）；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点．
∴，
解得：,
∴抛物线的解析式为；
（2）以AC为直角边的直角三角形ACP，有两种情况，
I．过C点作PC⊥AC，交抛物线于点P，交x轴于M，此时，如解图2-1；

∵，OA＝OC，
∴，
∴，
∴，即点M坐标为（4，0），
∴直线PC解析式为，
联立解析式得：
，
解得：，，
∴当P点坐标为（-2，6）时，ACP是以AC为直角边的直角三角形；
II．过A点作PA⊥AC，交抛物线于点P，交y轴于N，此时，如解图2-2，


同理可求：当P点坐标为（2，-6）时，ACP是以AC为直角边的直角三角形；
综上所述：当P点坐标为（2，-6）或（-2，6）时，ACP是以AC为直角边的直角三角形．
（3）∵点A坐标为（-4，0）点C坐标为（0，4）
∴直线CA函数表达式为: y=x+4,
过点P作y轴的平行线交AC于点Q,

设点P坐标为，其中，则点Q坐标为，
∵点P是直线AC上方的抛物线上的一个动点，
∴，
∴，即当x=-2时，P点坐标为（-2，6），此时PQ的最大值为
又∵，轴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵0＜PD＜2，
∴0＜PQ＜4，即：，
∴当x=-2时， PQ的最大值为，此时,
∴当0＜PD＜2时，P横坐标的取值范围为：且．
【点睛】
本题考查了二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰直角三角形性质等，其中（3）得出，并用函数关系表示PQ是本题解题的关键．
9．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（-3，0），B（1，0），与y轴交于点C（0，3），点D为抛物线的顶点．
（1）直接写出抛物线的函数表达式；
（2）如图1，抛物线的对称轴上是否存在点F，使得△BCF周长最小，若存在求点F坐标，并求周长的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，抛物线在第二象限的部分上是否存在一点M，使得四边形AOCM面积最大，若存在求点M坐标；若不存在，请说明理由；

【答案】（1）y=-x2-2x+3；
（2）存在，F（-1，2）周长最小值；
（3）存在，M（，）；
【分析】
(1) 将A（-3，0），B（1，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，计算即可；
(2) 根据轴对称的性质先找出C的对称点C1，然后连接BC即可找到F点，最后根据B、C1的坐标求得直线BC1的解析式，即可求得F的坐标；利用两点间的距离公式求出BC、BF、FC的长度相加即可；
（3）根据即可求得解析式，根据解析式即可求得求出点M的坐标及的面积最大值；
【详解】
解:(1)将A（-3，0），B（1，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c
得:,
解得:
所以抛物线的函数表达式: y=-x2-2x+3
(2)存在；∵抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3，
∴抛物线的对称轴x=-1,C(0,3)，
∴ C1 (-2,3)，
设直线BC1的解析式为：y=kx+b，
∵B（1，0），
∴ 解得 ，
∴ 直线BC1的解析式为：y=-x+1 ，
把x=-1代入直线BC1的解析式y=-x+1，得y=2，
∴F (-1,2)；
∴


∴

（3）存在；
过点M作MN⊥AO于点N
设M（m，-m2-2m+3）则N（m，0）
∴AN=m-（-3）=m+3，MN=-m2-2m+3，NO=0-m=-m
∵
∴

∴当m=时，面积最大
把m=代入-m2-2m+3中得：-m2-2m+3=
∴M（，）

【点睛】
本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求函数的解析式、勾股定理、轴对称的性质、平面图形的面积的计算，抛物线的顶点式的运用等多个知识点，难度比较大．
10．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝OC＝6．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的动点，连接OD交BC于点E，求的最大值，并求出此时点D的坐标；
（3）如图②，点P是抛物线对称轴l上一点，是否存在点P的位置，使△BCP是直角三角形？若存在，请直接写出相应点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）△BCD面积的最大值是，此时点D的坐标为（3，）；（3）存在，点P的坐标分别为（2，8），（2，－4），（2，），（2，）
【分析】
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）过点D向x轴作垂线，交BC于点E．求出直线BC的函数关系式为y=－x＋6，设点D的横坐标为m，则点E横坐标为m，得出，，从而DE＝，由三角形面积公式结合二次函数性质可得结论；
（3）设点P（1，a），然后分类讨论利用勾股定理列出关于a的方程求解．
【详解】
解：（1）由题意点A、B、C的坐标分别为（－2，0）、（6，0）、（0，6）
分别代入得

解得，a＝，b＝2，c=6
∴抛物线的解析式为
（2）存在．
过点D向x轴作垂线，交BC于点E．

设直线BC的函数关系式为y=kx+n（k≠0）
代入点B（6，0）、C（0，6）得

解得k=－1，n＝6．
∴直线BC的函数关系式为y=－x＋6
设点D的横坐标为m，则点E横坐标为m
由题意，
∴DE＝





当m＝3时，
∵＜0
∴△BCD面积的最大值是，此时点D的坐标为（3，）
（3）存在，
∵
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
设P（2，a），
∵B（6，0），C（0，6），
①当∠PCB=90°时，CP2+CB2=BP2，
∴22+（a-6）2+62+62=（6-2）2+a2，
解得：a=8，
∴P1（2，8），
②当∠PBC=90°时，BP2+CB2=CP2，
∴（6-2）2+a2+62+62=22+（a-6）2，
解得：a=-4，
∴P2（2，-4），
③当∠CPB=90°时，BQP2+CP2=CB2，
∴（6-2）2+a2+22+（a-2）2=62+62，
解得：a=或a=，
∴P3（1，），P4（1，），
综上所述：点P的坐标分别为（2，8），（2，－4），（2，），（2，）．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理，解题的关键是用含有未知数的代数式表达点的坐标和线段的长度．
11．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，1）、B（4，3）两点，顶点为点P，连接PA，PB．
（1）求抛物线及直线AB的解析式；
（2）请你直接写出△PAB的面积；
（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，平行于y轴的直线交直线AB于点N，交抛物线于点M，否存在点M，使以点B、点C、点M、点N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为，直线AB的解析式为；（2）；（3）或或或
【分析】
（1）设直线AB的解析式为，然后把A、B两点的坐标代入抛物线解析式和直线AB的解析式进行求解即可；
（2）过点P作轴交AB于D，先求出，则，从而得到，再由进行求解即可；
（3）由直线MN与y轴平行，BC⊥x轴，得到，则MN和BC是这个平行四边形的一组对边，则MN=BC=3，设，则，则，由此进行求解即可．
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，1）、B（4，3）两点，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为；
设直线AB的解析式，
则，
解得，
∴直线AB的解析式为；
（2）过点P作轴交AB于D，
∵P是抛物线的顶点，
∴，
∴D点的横坐标为，
∴D点的纵坐标，
∴
∴，
∴；

（3）∵直线MN与y轴平行，BC⊥x轴，
∴，
∵以点B、点C、点M、点N为顶点的四边形为平行四边形，
∴MN和BC是这个平行四边形的一组对边，
∴MN=BC，
∵B（4，3），
∴MN=BC=3，
设，则，
∴，
∴，
当时，即
解得或，
∴此时M的坐标为或；
当时，即，
∴
解得或，
∴此时M的坐标为或，
综上所述，存在M的坐标为或或或，使得以点B、点C、点M、点N为顶点的四边形为平行四边形．
【点睛】
本题主要考查了一次函数与二次函数综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法．
12．如图，抛物线经过点，，．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点为抛物线对称轴上一点，求周长取得最小值时点的坐标；
（3）设抛物线的顶点为，轴于点，在轴上是否存在点使得是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）；（3）存在，，，，
【分析】
（1）待定系数法求抛物线解析式：已知点的坐标，利用两点式设二次函数不等式，再把剩余的点代入整理即可得出抛物线解析式；
（2）这是一个最短距离问题，利用点、关于抛物线对称轴的对称性，即可得出本题答案；
（3）分三种情况进行讨论，利用勾股定理代入数据计算即可．
【详解】
解：（1）∵抛物线经过点，
∴可设抛物线的解析式为：，
将代入得：

解得：，
则，
∴抛物线的解析式为；
（2）如下图，连接交对称轴于，

∵，
∴，
∴此时最短，周长取得最小值，
设直线的解析式为y=kx+b，则
，
解得，
∴直线的解析式为
∵抛物线的对称轴为，
∴点的坐标为（-1，-2）；
（3）在轴上存在点使得是直角三角形，理由如下：
∵
∴顶点的坐标为（-1，- 4），
∵
∴,
设点的坐标为（0，t），分三种情况进行讨论
①当为直角顶点时，如下图

由勾股定理，得
即，
解得，
所以点的坐标为；
②当为直角顶点时，如下图

由勾股定理，得
即，
解得，
所以点的坐标为；
③当为直角顶点时，如下图

由勾股定理，得，
即，
解得或，
所以点的坐标为或；
综上所述，点的坐标为，，，．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法确定二次函数解析式，二次函数和一次函数综合，以及利用勾股定理确定直角三角形的知识熟练掌握二次函数的相关知识是解题关键．
13．如图，已知直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D
（1）点A的坐标为　 　，点B的坐标为　 　．
（2）①求抛物线的解析式；
②直线AB与抛物线的对称轴交于点E，在x轴上是否存在点M，使得ME+MB最小，求出点M的坐标；
（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形？直接写出所有符合条件的t值．

【答案】（1）（﹣3，0），（0，3）；（2）①y＝﹣x2﹣2x+3；②存在点M，；（3）t为3，4±，4秒．
【分析】
（1）y＝x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝﹣3，即可求解；
（2）①B的坐标为：（0，3），故c＝3，将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝﹣2，即可求解；②函数的对称轴为：x＝﹣1，点E（﹣1，2），点B（0，3），作点B关于x轴的对称点B′（0，﹣3），连接EB′交x轴于点M，则点M为所求，即可求解；
（3）分PC＝PB、BC＝PC、BC＝PB，三种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）y＝x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝－3，
故点A、B的坐标分别为：（﹣3，0），（0，3）；
故答案为：（﹣3，0），（0，3）；
（2）①B的坐标为：（0，3），
将点A的坐标代入抛物线表达式得：，解得：b＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
②函数的对称轴为：x＝﹣1，点E（﹣1，2），点B（0，3），
作点B关于x轴的对称点B′（0，﹣3），连接E B′交x轴于点M，则点M为所求，

则直线B′E的表达式为：y＝﹣5x﹣3，
当y＝0时，x＝﹣ ，故点；
（3）令y＝﹣x2﹣2x+3中y＝0，则﹣x2﹣2x+3＝﹣（x﹣1）（x+3）＝0，
解得：x＝1或x＝﹣3，
∴C（1，0）．
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴D（﹣1，4），．
∵B（0，3），，
∴PC2＝（﹣1﹣1）2+（4﹣t）2＝t2﹣8t+20，PB2＝（﹣1）2+（4﹣t﹣3）2＝t2﹣2t+2，BC2＝12+32＝10．
①当PC＝PB时，
即t2﹣8t+20＝t2﹣2t+2解得：t＝3；
②当BC＝PC时，
同理可得：t＝4±；
③当BC＝PB时，
同理可得：t＝4或﹣2（舍去负值）
综上可知：当t为3或4±或4秒时，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、两点间的距离公式以及勾股定理等，解题关键是熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、两点间的距离公式以及勾股定理．
14．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，顶点为D，连接，．

（1）求抛物线的表达式；
（2）点E是抛物线的对称轴上一点，使得最短，求点E的坐标；
（3）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接，．当最大时，求点P的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得；
（2）先求出抛物线的对称轴和点的坐标，再求出点关于对称轴的对称点，连接，然后利用待定系数法求出直线的解析式，最后求出与对称轴的交点即可得；
（3）过点作轴的垂线，交于点，设，再根据求出与点横坐标之间的函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】
解：（1）由题意，将点代入得：，
解得，
则抛物线的表达式为；
（2）将二次函数化成顶点式为，
则抛物线的对称轴为直线，
当时，，即，
如图，作点关于直线的对称点，连接，交对称轴于点，连接，

由对称性可知，，，
则，
由两点之间线段最短可知，点即为所求，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
当时，，
故使得最短时，点的坐标为；
（3）设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
如图，过点作轴的垂线，交于点，

设点的坐标为，
则点的坐标为，，
因此，
，
，
整理得：，
由二次函数的性质可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
则当时，取得最大值，
此时，
故当最大时，点的坐标为．
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
15．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，求出线段EF的最大值及此时E点的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2），E（2，1）；（3）存在，（-1，0）；（4，0）；（）
【分析】
（1）由、的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）由、的坐标可求得直线的解析式，可设出点坐标，则可表示出点的坐标，从而可表示出的长，可表示出的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值及此时点的坐标；
（3）可设出点坐标，则可表示出、和的长，分、两种情况分别得到关于点坐标的方程，可求得点坐标．
【详解】
解：（1），在抛物线上，则，解得，
抛物线解析式为；
（2）当时，即，解得或，
，，

设直线解析式为，由题意可得，解得，
直线解析式为，
点是线段上的一个动点，
可设，则，
，
当时，有最大值，最大值为2，
此时，
，即为的中点，
综上所述，当运动到的中点时，，此时点坐标为．
（3）存在，理由：
，
抛物线对称轴为直线，
，，且，
，
点在轴上，
可设，，
，
当时，则有点和点关于轴对称，此时点坐标为 ，；
当时，
则有，
∴
∴或
此时点坐标为，或（4，0）；
综上可知存在满足条件的点，其坐标为，；（4，0）；，；
【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识，能熟练应用相关知识点是解题的关键．
16．如图，抛物线与轴，轴分别交于点，点，三点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）将绕坐标原点顺时针旋转90°，点的对应点为点，点是否落在抛物线上？说明理由．
（3）为抛物线上直线BC上方的一点，当四边形PCOB面积最大时，求点的坐标；
（4）点在抛物线上，连接BC，BD．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点，满足？如果存在，请求出点点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）点落在抛物线上，理由见解析；（3）P(,)；（4）(，)．
【分析】
（1）用待定系数法将点A(−1，0)， C(0，3)代入解析式即可解答；
（2）根据旋转的性质求出点（3，0），代入函数解析式验证即可；
（3）设点P的坐标为（x，−x2+2x+3），连接OP， 用x表示出四边形PCOB面积，根据二次函数性质即可求出当四边形PCOB面积最大时，x的值；
（4）先求出点D坐标，根据OB=OC可知∠DCB=∠OCB=45°，由此得出，从而得出直线BP解析式，进而由直线BP与抛物线交点求出点P坐标．
【详解】
解：（1）将点， 代入抛物线得，
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为，
（2）将绕坐标原点顺时针旋转90°，点（3，0）的对应点为点，则点（3，0），
当x=3时，，
∴点落在抛物线上；
（3）连接OP，设点的坐标为(x， )，

∵
∴，
当，，即点的坐标为(，)，
（4）如图：

∵点在抛物线上，
∴，
∵点，
∴，
又∵点B坐标为（0，3），点，
∴
∴，
∴
设PB与y轴交于点，
在和中，
，
∴（ASA）
∴，
∴
即点
所以直线解析式为，
联立抛物线与直线解析式得：
，
解得： ，（不合题意舍去）
故点P坐标为（，）
【点睛】
本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用、全等三角形的判定与性质以及函数图像交点的求法，解第（3）问时需函数的思想表示出四边形面积，再根据函数性质求解，解第（4）问时需要运用全等三角形构造相等的角解决问题．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为，该抛物线与BE交于另一点F，连接BC．

（1）求点A，B，C的坐标；
（2）动点M从点D出发，沿抛物线对称轴方向向下以每秒1个单位的速度运动，运动时间为t，连接OM，BM，当t为何值时，为等腰三角形?
（3）在x轴下方的抛物线上，是否存在点P，使得被BA平分?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点A（1，0），B（3，0），C（0，3）；（2）当t=或t=时，为等腰三角形；（3）存在点P，使得被BA平分；点P（，）．
【分析】
（1）令x=0，求得y值，得到点C的坐标；令y=0，得到一元二次方程，求得A，B坐标的横坐标即可；
（2）分MO=MB，OM=OB，OB=BM三种情形，运用勾股定理，计算即可；
（3）运用等腰三角形三线合一性质，一次函数解析式，二次函数解析式联立求解即可．
【详解】
（1）∵抛物线，
令y=0，得，
解得，
∴点A（1，0），B（3，0）；
令x=0，得，
∴点C（0，3）；
（2）∵抛物线，
∴点D（2，-1），
∵B（3，0），
∴OB=3；
∵△OBM是等腰三角形，
当MO=MB时，∴点M在线段OB的垂直平分线上，
∵点M在抛物线的对称轴上即在线段AB的垂直平分线上，矛盾，
此情形不成立；
当MO=OB=3时，设抛物线的对称轴与x轴交于点G，则点G（2，0），
∴OG=2；
在Rt△MOG中，MG==,
∴点M（2，），
∵点D（2，-1），
∴DM=-1-（）=，
∴t==；
当BM=OB=3时，设抛物线的对称轴与x轴交于点G，则点G（2，0），
∴BG=3-2=1；
在Rt△MBG中，MG==，
∴点M（2，），

∵点D（2，-1），
∴DM=-1-（）=，
∴t==；
∴当t=或t=时，为等腰三角形；
（3）存在点P，使得被BA平分；理由如下：

在y轴的负半轴上取一点N，使得OE=ON，连接BN，
∵OB=OB，∠BOE=∠BON=90°，
∴△BOE≌△BON
∴∠OBE=∠OBN，
∵点E的坐标为，
∴点N的坐标为，
设直线BN的解析式为y=kx，
把B（3，0）代入解析式，得0=3k，
解得k=，
∴直线BN的解析式为y=x，
∴x=，
解得，
∴存在点P，使得被BA平分，
此时点P（，）．
【点睛】
本题考查了抛物线与坐标轴的交点，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的全等，一次函数解析式的确定，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，灵活准确解一元二次方程，分类思想是解题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，点为该抛物线上一点，其横坐标为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点与点关于该抛物线的对称轴对称时，求的面积；
（3）当该抛物线在点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标之差为3时，求的值；
（4）点为该抛物线的对称轴上任意一点，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标．

【答案】（1）；（2）15；（3）或；（4）或或．
【分析】
（1）把、代入中，解出b、c即可得出抛物线解析式；
（2）由（1）求出的抛物线解析式可得出对称轴，点P与点A关于该抛物线的对称轴对称即可知AP长度为点A到对称轴距离的两倍，从而得出三角形的底，点B到AP的距离为高，即可求出；
（3）将抛物线化为顶点式，分类讨论P在对称轴右边和左边的情况，根据最高点与最低点的纵坐标之差为3，确定P的纵坐标，代入抛物线方程即可得出P点坐标；
（4）如图所示，分别根据为对角线分类讨论，根据平行四边形的性质以及中点公式即可求得m的值，进而求得P点的坐标．
【详解】
（1）由题意，得
解得
∴该抛物线的解析式为．
（2）∵抛物线的对称轴为直线，
，
．
（3）将配方，得，
当点在对称轴的右侧时，
当时，，
，
解得，（舍去）；
当点在对称轴左侧时，
当时，，
，解得（舍去），．
综上所述，或．
（4）①当为对角线时，如图，

四边形是平行四边形
交于同一点，

则
解得：，
在抛物线上

点的坐标为．
②当为对角线时，如图，



解得
在抛物线上


③当为对角线时，如图



解得
在抛物线上


综上所述，点的坐标为或或．
【点睛】
本题考查二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求二次函数以及平行四边形的性质，在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
19．如图1，抛物线与轴交于A，B（3，0）两点，与轴交于C（0，-2），直线AD交轴于点E，与抛物线交于A，D两点，点P是直线AD下方抛物线上一点（不与A，D重合）.

（1）求抛物线的解析式与直线AD的解析式；
（2）如图1，过点P作PN∥轴交直线AD于点N，求线段PN的最大值；
（3）如图2，连接AP，DP，是否存在点P，使得三角形APD的面积等于2，若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）PN有最大值为；（3）存在，,．
【分析】
（1）把B（3，0），C（0，-2）分别代入中，解方程组可得解，求出点A坐标，设直线AD的解析式为，把A(-1，0)，E(0，)分别代入中求解即可；
（2）设（），得到N（），由两点间的距离公式得到关于m的二次函数，根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）联立方程组求出点D坐标，依据三角形面积公式得出方程，求解方程即可．
【详解】
解：（1）把B（3，0），C（0，-2）分别代入中

解得：
∴抛物线的解析式为
令，则
解得：
∴A(-1，0)
设直线AD的解析式为
把A(-1，0)，E(0，)分别代入中，得

解得：
∴直线AD的解析式为
（2）设P（）
∴N（）
∴PN=-=
∵
∴PN有最大值
PN有最大值==
（3）存在
联立方程组得， 解得：，
∴D（2，-2）
由（2）可知：PN=
∴
=
=
=
=
∵
∴ 解得：
∴，．
【点睛】
考查了二次函数综合题，需要掌握待定系数法求函数的解析式，两点间的距离公式，二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数最值的求法等知识点，正确的理解题意是解题的关键．
20．如图1，抛物线，顶点为P（1，4），与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点N是抛物线上一点，若∠ABN＝45°，求点N的坐标；
（3）如图2，将原抛物线沿对称轴向下平移m个单位长度后得到新的抛物线，C，D是新抛物线在第一象限内互不重合的两点，CE⊥x轴，DF⊥x轴，垂足分别为E，F，若存在这样的点C，D，满足△CEO≌△OFD，求m的取值范围．

【答案】（1）y＝－x2＋2x＋3；（2）N(4，－5)；（3）．
【分析】
（1）根据顶点坐标公式可得关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值即可得答案；
（2）如图，过点A作GA⊥AB交BN于点G，过点G作GH⊥x轴，垂足为点H，可得△ABG是等腰直角三角形，根据角的和差关系可得∠ABO＝∠HAG，利用AAS可证明△ABO≌△GAH(AAS)，GH＝AO，AH＝BO，根据二次函数解析式可得A、B两点坐标，可得GH、AH的长，即可得出点C坐标，利用待定系数法可得直线BN的解析式，联立抛物线与直线BN的解析式，解方程组即可得点N坐标；
（3）根据平移规律可得平移后的抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3－m，根据全等三角形的性质可得OE＝DF，OF＝CE，设点C（p，q），则点D的坐标为（q，p），把C、D坐标代入新解析式，整理可得q＝3－p，由p＞0，q＞0，p≠q可得0＜p＜3且，由配方可得m，求出0＜p＜3时的最大值及最小值即可得答案．
【详解】
（1）∵抛物线顶点为P（1，4），
∴
∵a≠0，
∴a＝－1，b＝2，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3．
（2）如图，过点A作GA⊥AB交BN于点G，过点G作GH⊥x轴，垂足为点H，
∵GA⊥AB，GH⊥x轴，
∴∠BAG＝90°，∠GHA＝90°，
∵∠ABN＝45°，
∴△ABG是等腰直角三角形，
∴AB＝AG，
∵∠BAO＋∠ABO＝∠BAO＋∠HAG＝90°，
∴∠ABO＝∠HAG，
∴在△ABO和△GAH中，，
∴△ABO≌△GAH(AAS)，
∴GH＝AO，AH＝BO
令y＝0时，即－x2＋2x＋3＝0，
解得：，，
∴A（－1，0），
当x=0时，y=3，
∴B(0，3)，
∴GH＝AO＝1，AH＝BO＝3，
∴G(2，－1)，
设直线BN的解析式为y＝kx＋n，图象经过B（0，3），G（2，－1），
∴，解得：，
∴直线BN的解析式为，
联立抛物线与直线BN的解析式得：，
解得：或

∴N(4，－5)．
（3）∵将原抛物线沿对称轴向下平移m个单位长度后得到新的抛物线，
∴设新抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3－m，
∵△CEO≌△DOF，
∴OE＝DF，OF＝CE，
∴设点C（p，q），则点D的坐标为（q，p），
将点C，D的坐标代入抛物线表达式得

由①－②并整理得：(p－q)(p＋q－3)＝0，
由题意得：p≠q，
∴p＋q－3＝0
即q＝3－p，
∵p≠q，
∴，
∵p＞0，q＞0，
∴q＝3－p＞0，
∴0＜p＜3且，
由①得：，得

∵－1＜0，
∴该抛物线开口向下，
当时，m最大值为，
当p＝3或0时，m最小值为0，
∵0＜p＜3且，
∴．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、二次函数的最值及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
21．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（2，0），B（4，0），D为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，若H为射线DA与y轴的交点，N为射线AB上一点，设N点的横坐标为t，△DHN的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，若N与B重合，G为线段DH上一点，过G作y轴的平行线交抛物线于F，连接AF，若NG=NQ，NG⊥NQ，且∠AGN＝∠FAG，求F点的坐标．
【答案】（1）y＝−x2＋6x−8；（2）S＝x−3；（3）F（1，-3）
【分析】
（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图1中，连接OD，根据S＝S△OND＋S△ONH−S△OHD计算即可．
（3）如图2中，延长FG交OB于M，只要证明△MAF≌△MGB，得FM＝BM．设M（m，0），列出方程即可解决问题．
【详解】
解：（1）抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（2，0），B（4，0），
代入得，解得，
∴抛物线解析式为y＝−x2＋6x−8；
（2）如图1中，连接OD．
∵y＝−x2＋6x−8=−（x-3）2＋1
∴顶点D坐标（3，1），
∵A（2，0）
设直线AD的解析式为y=kx+b（k≠0）
把A（2，0），（3，1）代入得 解得
∴直线AD的解析式为y=x-2，
令x=0，解得y=-2
∴H（0，−2）．

∵设N点的横坐标为t，
∴△DHN的面积S＝S△OND＋S△ONH−S△OHD＝×t×1＋×t×2−×2×3＝t−3．
∴S＝x−3；
（3）如图2中，延长FG交OB于M．

∵H（0，−2），A（2，0）
∴OH＝OA=2，
∴∠OAH＝∠OHA＝45°，
∵FMOH，
∴∠MGA＝∠OHA＝∠MAG＝45°，
∴MG＝MA，
∵∠FAG＝∠NGA，
∴∠MAF＝∠MGN，
在△MAF和△MGN中，
∵，∴△MAF≌△MGB，
∴FM＝BM．设M（m，0），
∴−（−m2＋6m−8）＝4−m，
解得m＝1或4（舍弃），
∴M（1，0）
∴BM=4-1=3
∴FM＝3，
∴F（1，-3）．
【点睛】
本题考查二次函数综合题、全等三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是学会利用分割法求面积．学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
22．已知：抛物线l1：y=—x2+bx+3交x轴于点A、B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为直线x=1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，）
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）为直线上一动点，连接，，当时，求点的坐标；
（3）为抛物线上一动点，过点作直线轴，交抛物线于点，求点自点运动至点的过程中，线段长度的最大值．

【答案】（1）；（2）；（3）12
【分析】
（1）由对称轴可求得，可求得的解析式，令可求得点坐标，再利用待定系数法可求得的表达式；
（2）设点坐标为，由勾股定理可表示出和，由条件可得到关于的方程可求得，可求得点坐标；
（3）可分别设出、的坐标，可表示出，再根据函数的性质可求得的最大值．
【详解】
解：（1）抛物线的对称轴为，
，解得，
抛物线的解析式为，
令，可得，解得或，
点坐标为，
抛物线经过点、两点，
可设抛物线解析式为，
又抛物线交轴于点，
，解得，
，
抛物线的函数表达式为；
（2）设点坐标为，由（1）可得点坐标为，
，，
，
，解得，
点坐标为；
（3）由题意可设，
轴，
，
令，可解得或，
①当时，，
显然，当时，有最大值；
②当时，，
显然当时，随的增大而增大，
当时，有最大值，；
综上可知在点自点运动至点的过程中，线段长度的最大值为12．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理等知识点，在（1）中求得点的坐标是解题的关键，在（2）中用点的坐标分别表示出、是解题的关键，在（3）中用、的坐标分别表示出的长是解题的关键，注意分类讨论．
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AB的函数解析式为　 　，点M的坐标为　 　，连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为　 　；
（3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小，则点Q的坐标为 ；
（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）yx2+2x；（2）y＝x+4，（﹣2，﹣2），（﹣2，2）或（0，4）；（3）Q（0，）；（4）存在，点N的坐标为（6，6）或（﹣6，﹣6）或（﹣2，6）．
【分析】
（1）将点、点的坐标代入抛物线表达式即可求解；
（2）由点A（-4，0），，得出点（0，4），即可求出直线的表达式，点为抛物线的顶点，由抛物线的顶点坐标即可求出点的坐标，因为将的面积分成1：2的两部分，所以APAC或AC，即可求出点的坐标；
（3）根据将军饮马问题即可求出点的坐标；
（4）分是边、是对角线两种情况分别求解即可．
【详解】
解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式
，解得，
故直线AB的表达式为：yx2+2x；
（2）点A（﹣4，0），OB＝OA＝4，故点B（0，4），
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝x+4；
对于yx2+2x，函数的对称轴为x＝﹣2，故点M（﹣2，﹣2）；
OP将△AOC的面积分成1：2的两部分，则APAC或AC，
则，即，解得：yP＝2或4，
故点P（﹣2，2）或（0，4）；
（3）如图所示，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，连接、、

△AMQ的周长＝AM+AQ+MQ＝AM+A′M最小，
点A′（4，0），
设直线A′M的表达式为：y＝kx+b，则，解得，
故直线A′M的表达式为：yx，
令x＝0，则y，故点Q（0，）；
（4）存在，理由：
设点N（m，n），而点A、C、O的坐标分别为（﹣4，0）、（2，6）、（0，0），
①当AC是边时，
点A向右平移6个单位向上平移6个单位得到点C，同样点O（N）右平移6个单位向上平移6个单位得到点N（O），
即0±6＝m，0±6＝n，解得：m＝n＝±6，
故点N（6，6）或（﹣6，﹣6）；
②当AC是对角线时，
由中点公式得：﹣4+2＝m+0，6+0＝n+0，
解得：m＝﹣2，n＝6，
故点N（﹣2，6）；
综上，点N的坐标为（6，6）或（﹣6，﹣6）或（﹣2，6）．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合运用，涉及一次函数的性质、平行四边形的性质、以及面积的相关计算，熟练掌握二次函数的性质，一次函数以及平行四边形的性质是解答此题的关键．
24．如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点(2，﹣3)和(1，﹣)，与x轴从左至右分别交于点A，B，点M为抛物线的顶点．
（1）求二次函数的解析式．
（2）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使得PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）连接BM，若点Q为线段OB上的一动点（Q不与点B、点O重合），过点Q作x轴的垂线交线段BM于点N，当点Q以1个单位/s的速度从点B向点O运动时，设运动时间为t，四边形OCNQ的面积为S，求S与t之间的函数关系及自变量t的取值范围，并求出S的最值．
（4）若点R在抛物线上，且以点R、C、B为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点R的坐标（不需要计算过程）．

【答案】（1）；（2）存在，；（3）；；（4），
【分析】
（1）用待定系数法，将代入中，解方程组即可；
（2）过点C作关于对称轴的对称点,连接交对称轴于点P，此时的周长最小，求出直线的解析式，因为点P在对称轴上，可以知道点P横坐标，代入直线的解析式中即可求得纵坐标；
（3）用t表示出线段QN、OQ的长度，由面积公式代入计算即可知道S和t的函数关系式，将关系式配成顶点式，判断即可求得S的最值；
（4）分和两种情况，画出相关图形，设出点R的坐标，利用两点之间距离公式列式计算即可，
【详解】
解：（1）将代入中，得： 解得：
∴二次函数的解析式为：
（2）存在点P使得的周长最小,此时，理由如下：
∵点A、点B是抛物线与x轴的交点
∴当时，
即： 解得：
∵A在B的左边
∴
∵点C是抛物线与y轴的交点
∴当时，
∴
又∵
∴抛物线的对称轴为：
过点C作关于对称轴的对称点,连接交对称轴于点P，此时的周长最小，如图1：

∵点C与点关于对称轴对称
∴
设直线的解析式为，将代入得：
解得：
∴直线的解析式为：
∵点P在上
∴
∴
∴
（3）如图2：

∵点M是抛物线的顶点，且
∴
设直线BM的解析式为：，将，代入得：，解得：
∴直线BM的解析式为：
∵有题意知：，且轴
∴
∴
∴
又∵
∴
∴


∵点Q为线段OB上的一动点（Q不与点B、点O重合）
∴
∴S与t之间的函数关系为：
∵
∴S有最大值
又∵
∴当时，S取得最大值
（4）据题意，作图如下：

设点
在中，
当时，在中，由勾股定理知：
即：
化简得：

解得：（舍），
∴
当时，
化简得：

解得：（舍），
∴
综上所述，满足题意的R点有两个，分别是和
【点睛】
本题考查二次函数图象上点的存在性问题，待定系数法求一次函数和二次函数解析式，二次函数一般式化成顶点式，判断开口方向求最值等知识点，能够数形结合解题是本题的关键．
25．如图，已知抛物线经过点，，三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是线段上的点（不与，重合），过作轴交抛物线于点，若点的横坐标为，请用含的代数式表示的长；
（3）在（2）的条件下，连接，，当为何值时，的面积最大．

【答案】（1）；（2）；（3）当时，的面积最大，最大值为
【分析】
（1）直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，已知点的横坐标，代入直线、抛物线的解析式中，可得到、点的坐标，、纵坐标的差即为的长；
（3）设交轴于，那么的面积可表示为，的表达式在（2）中已求得，的长易知，由此列出关于、的函数关系式，即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵抛物线经过点，，
∴设抛物线的解析式为，
∵抛物线经过点，
∴，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）设直线的解析式为，
将，代入，得，
解得，
故直线的解析式为，
∵点的横坐标为，轴，
∴、，

即：；
（3）如图，由（2）知，．


，

，
当时，的面积最大，最大值为．

【点睛】
此题是二次函数综合题，主要考查函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法、二次函数性质的应用以及图形面积的解法，确定出的函数关系式是解本题的关键．
26．如图，抛物线的顶点坐标（1，-4）交轴于A、B两点，与轴交于C（0，-3），若抛物线上有一点D，．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在对称轴上一点P，连结PA、PC、AC，△PAC周长最短时，点P的坐标；
（3）求点D的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）根据题意列出二次函数的顶点式解析式，再代入C（0，-3）解得，据此解题；
（2）由抛物线的对称性解得△PAC周长最短时，就是PB+PC最短，由此解得直线BC的解析式，求得直线BC与对称轴的交点即可求解；
（3）设CD交x轴于点E，过点E作EF，由题意可知是等腰直角三角形，继而证明，根据相似三角形对应边成比例解得EF、AE的长，可得点E的坐标，进一步解得直线CE的解析式，再联立解得交点D的坐标即可．
【详解】
解：（1）由题意，设二次函数解析式为，把C（0，-3）代入得，

；
（2）△PAC周长最短时，即PA+PC最短，根据抛物线的对称性，
PA+PC=PB+PC，即当PB+PC最短时，△PAC周长最短，此时点B、P、C三点共线，
连接BC交抛物线对称轴于点P，
令，



设直线BC的解析式为，代入得，

当时，


（3）如图，

设CD交x轴于点E，过点E作EF，

是等腰直角三角形，








设直线CE的解析式为：，代入点C、E得，



联立得
整理得


当时，
．
【点睛】
本题考查二次函数与一次函数的综合题，有难度，熟练掌握二次函数的图象和性质、相似三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式等知识是解题关键．
27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线，与轴交于点与轴交于点、．且点，，点为抛物线上的一动点．

（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，过点作平行于轴，交抛物线于点，若点在的上方，作平行于轴交于点，连接，，当时，求点坐标；
（3）设抛物线的对称轴与交于点，点在直线上，当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）；（2），；（3），，，
【分析】
（1）直接将，代入，求解即可；
（2）先求出AB的解析式，设点的横坐标为，则，，用t表示出PD，最后利用求出结果；
（3）分三种情况讨论解答：①当EM为平行四边形的对角线时；②当EP为对角线时；③当EQ为对角线时．
【详解】
（1）将点，分别代入得
，，
二次函数的解析式为；
（2）轴，点，
当时，，
，，
，
，
设直线的解析式为，将，分别代入得
，解得：，
直线的解析式为；
设点的横坐标为，则，
，
，

函数，当时，有，
，，
，
，
又，
，
，
，
解得：，，
点，；
（3）∵，
∴当x=2时，y=-2+5=3，
∴M(2,3),
设P(m，，，而E(-1，0)，
①当EM为平行四边形的对角线时，(平行四边形的对角线互相平分)得：
，解得 (舍)，
∴点Q的坐标为（-5,10）；
②当EP为对角线时，
，解得，
∴点Q的坐标为（-1,6）或（0,5）；
③当EQ为对角线时，
，解得（舍），
点Q的坐标为（9,-4），
综上所得：，，，．

【点睛】
本题考查了待定系数法求函数关系式，平行四边形的性质和判定，解本题的关键是分类思想的运用．
28．如图，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点，点的坐标为，顶点的坐标为．

求二次函数的解析式和直线的解析式；
点是直线上的一个动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，当点在第一象限时，求线段长度的最大值；
在抛物线上是否存在异于、的点，使中边上的高为？若存在求出点的坐标；若不存在请说明理由．
【答案】； 有最大值； 存在满足条件的点，其坐标为或
【分析】
可设抛物线解析式为顶点式，由点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得点坐标，利用待定系数法可求得直线解析式；
设出点坐标，从而可表示出的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；
过作轴，交于点，过和于，可设出点坐标，表示出的长度，由条件可证得为等腰直角三角形，则可得到关于点坐标的方程，可求得点坐标．
【详解】
解：抛物线的顶点的坐标为，
可设抛物线解析式为，
点在该抛物线的图象上，
，解得，
抛物线解析式为，即，
点在轴上，令可得，
点坐标为，
可设直线解析式为，
把点坐标代入可得，解得，
直线解析式为；
设点横坐标为，则，，
，
当时，有最大值；
如图，过作轴交于点，交轴于点，作于，

设，则，
，
是等腰直角三角形，
，
，
当中边上的高为时，即，
，
，
当时，，方程无实数根，
当时，解得或，
或，
综上可知存在满足条件的点，其坐标为或．
【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质及方程思想等知识．在中主要是待定系数法的考查，注意抛物线顶点式的应用，在中用点坐标表示出的长是解题的关键，在中构造等腰直角三角形求得的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
29．如图，抛物线的顶点为E（﹣1，4），且过点A（﹣3，0），与y轴交于点C，点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为m，且﹣3＜m＜﹣1，过点D作DK⊥x轴，垂足为K，DK分别交线段AE，AC于点G，H．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：GH＝HK；
（3）当△CGH是等腰三角形时，直接写出m的值．

【答案】（1）；（2）证明见详解；（3）m的值为或．
【分析】
（1）设抛物线的解析式为，将点A的坐标代入求得a的值即可确定抛物线的解析式；
（2）先求得直线AE、AC的解析式，由点D的横坐标为m，求得KG、KH的长，即可证明；
（3）根据题意可分为三种情况，依据两点间的距离公式列方程求解即可．
【详解】
解：（1）∵抛物线的顶点为（-1，4），
∴设抛物线的解析式为：
，
∵抛物线过点（-3，0），将其代入解析式为：
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）设直线AE的解析式为：，
将点（-3，0），点（-1，4）代入解析式：
，
解得：，
直线AE的解析式为：，
设直线AC的解析式为：，
抛物线的解析式为：化简得：，
当时，，
∴点C的坐标为：，
将点（-3，0），点C（0，3）代入解析式：
，
解得：，
直线AC的解析式为：，
∵D的横坐标为m，DK⊥x轴，
代入AE的解析式为：，
代入AC的解析式为：，
∴，，
∴，
∴；
（3）由（2）可知：C（0，3），，，
①若，则
，
整理得：，化简为：，
解得：，，
∵，
∴这种情况不存在；
②若，则
，
整理得：，
解得：（舍去），；
③若，则
，
整理得：，
解得：，（舍去）；
综上可得：当为等腰三角形时，m的值为或．
【点睛】
题目主要考查二次函数的综合运用，包括待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、等腰三角形的判定、两点间的距离公式的应用，依据两点间的距离公式列出方程是解题关键．
30．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于点C．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若点M是该二次函数图象上第一象限内一点，且S△BCM＝3，求点M的坐标；
（3）在二次函数图象上是否存在一点P使△BCP是以BC为底边的等腰三角形，若不存在，请说明理由，若存在，请求出点P的坐标．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）（1，4）或（2，3）；（3）存在，或．
【分析】
（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）如图，连接OM，设点M（m，﹣m2+2m+3），利用S△BCM＝S△COM+S△BOM﹣S△OBC，可得S△BCM＝3，建立方程求解即可；
（3）根据△BCP是以BC为底边的等腰三角形，可得点P在BC的垂直平分线上，求出BC的中点D（，），利用待定系数法求得直线OD的解析式为y＝x，联立方程组求解即可．
【详解】
解：（1）把点A（﹣1，0），B（3，0）分别代入y＝﹣x2+bx+c，
得：．
解得：，
∴此二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图，连接OM，设点M（m，﹣m2+2m+3），

在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，
∴点C的坐标为（0，3），
∴S△BCM＝S△COM+S△BOM﹣S△OBC＝m+（﹣m2+2m+3）﹣，
∵S△BCM＝3，

解得：m1＝1，m2＝2，
∴点m的坐标为（1，4）或（2，3）；
（3）如图，作BC的垂直平分线，交抛物线于点，与交于点,则是以为底的等腰三角形，

∵B（3，0），，
∴OB＝OC＝3，
∴BC的中点D，
则直线OD垂直平分BC，
设直线OD的解析式为y＝kx，将代入
得：
∴k＝1，
∴直线OD的解析式为y＝x，
联立方程组，得：，
解得：，；
∴点P的坐标为或．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合-面积问题，一次函数与二次函数的交点问题，正确的计算是解题的关键．
31．如图，点是y轴正半轴上的点，点A的坐标为，以AC为边作等腰直角三角形ABC，其中，，，以点B为顶点的抛物线经过点A且和x轴交于另一点D，交y轴于点E．

（1）点B的坐标为_____________；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）在第一象限的抛物线上是否存在点P，使得？若存在求点P的坐标，不存在则说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，点P的坐标为或．设，根据列出方程，即可求解．
【分析】
（1）作垂足为F，先证明，进而即可求解；
（2）设抛物线的函数表达式为，把代入求出a的值，进而即可求解；
（3）先求出，再求出直线AC的表达式为：，
【详解】
（1）作垂足为F，
∵，
∴∠ACO+∠BCF=90°，∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠BCF=∠OAC，
又∵∠AOC=∠CBF=90°，，
∴，
∴，，
∴，所以点B的坐标为；

（2）设抛物线的函数表达式为，
由题意得：，解得：。
所以抛物线的函数表达式为即；
（3）由对称性得，易知，
所以，
设直线AC的表达式为：，
由题意得：，解得，，
所以直线AC的表达式为：；
如图，假设存在点P，设．作轴交AC于Q，则．

所以，，
所以，，
所以，，整理得：，
解得：，
当时，，
此时点P坐标为
当时，，此时点P坐标为
综上所述，AC上方抛物线上存在点P，使得，点P的坐标为或．
【点睛】
本题主要考查二次函数与几何综合，掌握待定系数法以及函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．