【期末考前必练】2022-2023学年北师大版数学八年级上册期末考点必刷题：专练09 函数压轴大题（10题）

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专练09 函数压轴大题 （10题）
1．（2021·四川成都·八年级期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点（，）．

（1）若，，求直线的表达式；
（2）如图2，在（1）的条件下，直线：与直线交于点，点．直线上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线下方有一点，其横坐标为，连接，若，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）存在，G（1，）或（−5，−）；（3）＜1．
解：（1）由题意知：
A（−4，0），B（0，−2），
设直线l1的表达式为：y＝kx＋b，
，解得：，∴；
（2）如图1，

联立，解得：，∴C（−2，−1），
设直线CD的表达式是：y＝mx＋n，
∴，解得：，∴，
令y＝0，，解得：，∴E（，0），
∴AE＝4−＝，
∴S△ACD＝AE•DF＝××3＝4，
∵，
∴S△CDG＝3，
设G（x，x），
∴OD•|x＋2|＝3，
即×2•|x＋2|＝3，
∴x1＝1，x2＝−5，
∴G（1，）或（−5，−）；
（3）如图2，

①当m＋n＜0时，即，
在AO 的延长线上截取OC＝OA，
∵OB⊥AC，
∴AB＝BC，
∴∠BCO＝∠BAO，
∴∠APB＝∠BAO＋∠BCO＝2∠BAO，
∴P点在CB的延长线上，
故存在l1 下方有一点P，满足∠PBA＝2∠BAO，
如图3，

②在AO 的延长线上截取OC＝OA，
当m＋n＞0时，即：1，
由①知：∠ABE＝2∠BAO，
∴∠PBA＝∠ABE＋∠PBE，
∴∠PBA＞∠ABE，
∴∠PBA≠2∠BAO，
综上所述：＜1．
【点睛】
本题考查了一次函数表达式和图象之间的关系，主要是由点的坐标求函数关系式，由表达式求点的坐标以及结合等腰三角形求满足条件的式子的范围，解决问题的关键是正确的分类．
2．（2021·辽宁大连·八年级期末）在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A、B，与直线交于点C，点D为直线上点C右侧的一点．

（1）如图1，若的面积为6，则点D的坐标为________；
（2）如图2，当时，求直线的解析式；
（3）在（2）的条件下，点E为直线上一点，设点E的横坐标为m，的面积为S，求S关于m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）
解：（1）如图1，对于直线y＝−2x−4，当y＝0时，由−2x−4＝0得，x＝−2，
∴A（−2，0）；
当y＝3时，由−2x−4＝3得，x＝−，
∴C（−，3），
设D（r，3），
∵点D在点C右侧，
∴CD＝r＋，
由题意，得×3（r＋）＝6，
解得，r＝，
∴
故填：；
（2）过D作于G，过G作轴分别交直线，x轴于点M，N，如图．

∵，
∴为等腰直角三角形，．
又∵，
∴，
∴，
∴，，
设，在中，令，，
∴，则，
∵点G在直线上，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，．
∴，，
∴．
设直线的解析式为，代入，．
则，解得，
∴直线的解析式为；
（3）当点E在线段上时，如图2，此时．

图2 图3 图4
∵，，
∴，
∴
过E作于F．
∵点E在直线上，点E横坐标为m，
∴，
∴．
∴；
当点E在延长线上时，，如图3

∴当时，；
当点E在延长线上时，如图4，．
过E作于F，则，
．
综上所述，
【点睛】
此题重点考查一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、根据三角形的面积求函数关系式、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识与方法，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，构造等腰直角三角形及全等三角形，此题难度较大，属于考试压轴题．
3．（2021·湖北黄梅·八年级期末）已知：如图，直线：分别交，轴于、两点．以线段为直角边在第一象限内作等腰直角，；直线经过点与点，且与直线在轴下方相交于点．

（1）请求出直线的函数关系式；
（2）求出的面积；
（3）在直线上不同于点，是否存在一点，使得与面积相等，如若存在，请求出点的坐标；如若不存在，请说明理由；
（4）在坐标轴上是否存在点，使的面积与四边形的面积相等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，点坐标为；（4）存在，坐标为或或．
（1）∵直线分别交轴，轴于，两点，

令，则，
∴．
令，则，
∴．
过点作轴于点M，
则∠AOB=∠CMA=90°，
∴∠CAM+∠ACM=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠CAM=90°，
∴∠BAO=∠ACM
∵△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC=90°
∴AB=AC
在△BOA与△AMC中
，
∴，
∴，，
∴OM=OA+AM=3+4=7，
∴，
又∵，
设直线的解析式为，则有
解得：
∴直线的解析式为：．
（2）联立方程组，
解得：，
∴．
∴．
（3）存在．
∵与面积相等，且底AD相等，
∴底边AD上的高相等，
∴P点的纵坐标为，
∴在中，令，则，
∴，
∴点坐标为．
（4）存在．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
，
，
=14．
①当点F在y轴上时，设F点坐标为(0，y) ，如图，
∵的面积与四边形的面积相等，
∴，
解得：y=8或y=0，
∴坐标为或；

②当点F在x轴上时，设F点坐标为(m，0) ，
若F点在O点左侧，则m7，如图，
则，
∴，
解得：m=6（不合题意），
此时点F不存在；

或，
∴ ，
解得：m=56
∴点坐标为；
综上所述，满足条件的点坐标为或或．
【点睛】
本题是一次函数的应用问题，考查了待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，图形面积的计算，理解一次函数的性质，利用数形结合和分类讨论思想解题是关键．
4．（2021·四川·成都市树德实验中学八年级期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+1与x轴交于点A，直线l2：y＝3x﹣3与x轴交于点B，与l1相交于点C．
（1）请直接写出点A、点B、点C的坐标：A　　，B　　，C　　．
（2）如图2，动直线x＝t分别与直线l1，l2交于P，Q两点．
①若PQ＝2，求t的值．
②若存在S△AQC＝2S△ABC，求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）（﹣1，0）、（1，0）、（2，3）；（2）①t＝1或3；②存在，（0，﹣3）或（4，9）．
解：（1）对于直线l2：y＝3x﹣3，
令y＝3x﹣3＝0，解得x＝1，故点B（1，0），
对于l1：y＝x+1，同理可得：点A（﹣1，0），
则，解得，
故点C的坐标为（2，3），
故答案为：（﹣1，0）、（1，0）、（2，3）；
（2）①点P在直线l1上，则设点P（t，t+1），同理点Q（t，3t﹣3），
则PQ＝|t+1﹣3t+3|＝2，
解得t＝1或3；
②当点Q在x轴下方时，如下图，设直线l1交y轴于点K，过点B作直线n∥AC交y轴于点N，在y轴负半轴取点M使NM＝2NK，过点M作直线m∥AC交l2于点Q，则点Q为所求点，
理由：∵M、Q在直线m上，且m∥AC，则S△MAC＝S△QAC，同理S△NAC＝S△BAC，
而MN＝2KN，则m、l1之间的距离等于2倍n、l1之间的距离，故S△AQC＝2S△ABC，
由直线l1的表达式知点K（0，1），
设直线n的表达式为y＝x+b，将点B的坐标代入上式并解得b＝﹣1，故点N（0，﹣1），
则NK＝1﹣（﹣1）＝2，则MN＝NK＝2，
故点M（0，﹣3），
在直线m的表达式为y＝x﹣3，
联立并解得，故点Q（0，﹣3）；
当点M在x轴上方时，同理可得点M（0，5），
同理可得，过点M且平行于AC的直线表达式为y＝x+5，
联立并解得，故点Q的坐标为（4，9）；
综上，点Q的坐标为（0，﹣3）或（4，9）．

【点睛】
本题主要考查了一次函数的性质，平行线的性质，绝对值的应用，面积的计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
5．（2021·福建安溪·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝kx+b分别与x轴、y轴相交于点A、B．现将直线l绕原点O顺时针旋转90°，得到的直线称为直线l的“顺旋转垂线”．
（1）若点A、B的坐标分别为A(2，0)、B(0，2)，则直线l的“顺旋转垂线”的关系式为　．
（2）若直线l＝k1x+b1（k1＜0，b1≠0）的“顺旋转垂线”为：y＝k2x+b2.求证：k1•k2＝﹣1．
（3）已知直线l的“顺旋转垂线”为l'：yx+2，点C是直线l与x轴、y轴交点A、B的中点，动点M的坐标为(0，m)．问当m为何值时，MA+MC取得最小值，并求出该最小值．

【答案】（1）y=x-2；（2）见解析；（3）m=，最小值为5
解：（1）由题知，点旋转后的坐标为，点旋转后的坐标为，
即直线的“顺旋转垂线” 过点和点，
设直线的“顺旋转垂线” 的解析式为，
，
解得，
即直线的“顺旋转垂线” 的解析式为，
故答案为：；
（2）设直线，分别与轴、轴相交于点、，
则“顺旋转垂线” 分别与轴、轴相交于点、，
将、点代入直线的解析式，得
，
解得，
将、点代入直线的解析式，得
，
解得，
；
（3）由题知直线的“顺旋转垂线” 与轴，轴的交点分别为，，
，，
，
作点关于轴的对称点，即，
连接交轴于，
此时的值最小，即为，
，
即的值最小为5，
设直线的解析式为，
代入点，点的坐标，得
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
即时，的值最小为5．

【点睛】
本题主要考查一次函数的性质，待定系数法求解析式，正确理解“顺旋转垂线”是解题的关键．
6．（2021·福建南安·八年级期末）如图1，直线分别交轴、轴于，两点．
（1）直接写出、两点的坐标；
（2）如图2，已知直线，无论k取何值，它都经过第一象限内的一个定点，分别连结、，其中交轴于点．
① 求的面积；
② 连接，在直线上是否存在着点，使得？若存在，请直接写出点的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）A（-3，0），B（0，6）；（2）①；②（，）或（，），理由见解析
解：（1）如图1，

令，则．
解得，即，
令，则，即．
（2）①，
当时，，
即直线过定点
如图，设直线为，
把，代入，得，
解得，
直线为：．
的坐标为．
．
②点坐标为或．
理由如下：如图2，过点作轴于点，

，
由①知．
设直线为，
把代入得：，解得，
直线为．
ⅰ如图3，过点作，交直线于点，

．
又直线，且的坐标为，
直线为．
由解得点的坐标为．
ⅱ在轴上，点关于点的对称点为，
如图3，过点作，交于点，
，
由解得点的坐标为．
综上所述，点坐标为或．
【点睛】
本题考查一次函数综合题、三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建一次函数，确定直线与坐标轴的交点坐标，考查了学生计算能力，难度稍大．
7．（2021·辽宁大连·八年级期末）如图，在平面直角坐标中，点A的坐标为（4，0），直线AB⊥x轴，直线yx+3经过点B，与y轴交于点C．
（1）填空：点B的坐标为　 　；
（2）直线l经过点C，与直线AB交于点D，E是直线AB上一点，且∠ECD＝∠OCD，CE＝5，求直线l的解析式；
（3）在（2）的条件下，点P在直线l上运动，点Q在直线OE上运动，若以P、Q、B、C为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P的坐标．

【答案】（1）（4，2）；（2）或y=-2x+3；（3）P（2，2）或P（-2，4）或P（5，）或P（-1，5）或（1，1）或P（2，-1）
解：（1）∵点A的坐标为（4，0），直线AB⊥x轴，
∴直线AB的解析式为x=4．
当x=4时，，
∴点B的坐标为（4，2）．
（2）令直线AD与x轴的交点为点M，如图所示．
∵AB⊥x轴，CO⊥x轴，
∴AB//CO，
∴∠MDA=∠DCO．
∵∠MDA=∠CDE，∠OCD=∠ECD，
∴∠CDE=∠DCE，
∴DE=CE=5．
对于yx+3，当x=0时，y=3，
∴点C的坐标为（0，3）．
设点E的坐标为（4，m），则点D的坐标为（4，m-5），
∵
∴m1=6，m2=0，
∴点D的坐标为（4，1）或（4，-5）．
设直线l的解析式为y=kx+3，
∴1=4k+3或-5=4k+3，
解得：或k=-2，
∴直线l的解析式为：或y=-2x+3．

（3）由（2）可知，点E的坐标为（4，6）或（4，0）
当点E的坐标为（4，6）时，B的坐标为（4，2），点C的坐标为（0，3）
∴OE的解析式为，
设P（a，），Q（b，），
①当CB为对角线时，则CB与PQ互相平分，
∴；解得，
∴P（2，2），
②当CQ为对角线时，则CQ与PB互相平分，
∴；解得，
∴P（-2，4），
③当CP为对角线时，则CP与QB互相平分，
∴；解得，
∴P（5，），
当点E的坐标为（4，0）时，B的坐标为（4，2），点C的坐标为（0，3）
设P（a，），Q（b，0），
①当CB为对角线时，则CB与PQ互相平分，
∴；解得，
∴P（-1，5），
②当CQ为对角线时，则CQ与PB互相平分，
∴；解得，
∴P（1，1），
③当CP为对角线时，则CP与QB互相平分，
∴；解得，
∴P（2，-1），
综上所述，P（2，2）或P（-2，4）或P（5，）或P（-1，5）或（1，1）或P（2，-1）
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质，解题的关键注意分类讨论的数学思想．
8．（2021·辽宁本溪·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．
（1）求的面积；
（2）点是直线上的动点，过作轴，轴的垂线，垂足分别为点，，若，请求出点的坐标；
（3）点在直线上，坐标轴上存在动点，使是以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标．

【答案】（1）6；（2）或；（3）点的坐标为或或
（1）解：∵
∴当时，，即，
当时，，即，
∴
（2）设
由题意得，，，


∴或
∴或
∴或．
（3）如图，当在轴上时，设

则 而

解得：

如图，当在轴上时，设

同理可得：
解得：

当在轴上时，设
同理可得：

解得：

综上：点的坐标为或或．
【点睛】
本题考查的一次函数的图象与性质，坐标与图形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解题的关键.
9．（2021·重庆南开中学八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：与x轴，y轴分别交于点A，D，直线l2与直线平行，交x轴于点B（7，0），交l1于点C．
（1）直线l2的解析式为 　 　，点C的坐标为 　 　；
（2）若点P是线段BC上一动点，当时，在x轴上有两动点M、N（M在N的左侧），且MN＝2，连接DM，PN，当四边形DMNP周长最小时，求点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，将OD绕O点顺时针旋转60°得到OG，点E是y轴上的一个动点，点F是直线l1上的一个动点，是否存在这样的点F，使以G，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1），；（2）；（3）、、
解：（1）直线l2与直线平行，设直线l2解析式为，
将B（7，0）代入得：，
解析式为
联立直线l1与直线l2得：
，解得
点C的坐标为
（2）设点P，
由得：
解得：，
则点P
由题意可知，
作点D关于x轴的对称点E，再将E向右平移两个单位，得到点F，连接ME，EF，NF，如下图：

则，，，
由题意可知：
∴四边形为平行四边形
∴
四边形DMNP周长为
∵定长
∴四边形DMNP周长最小，即最小，也就是最小
得到：P、N、F三点共线时最小，设：所在直线的解析式为
将、代入得
，解得
，令，解得，即
∴
（3），OD绕O点顺时针旋转60°得到OG，过点作于点，如下图：

则，
∴
∴，
G点坐标为，则，
∴
以为边时，则，如下图：

又∵，F是直线l1上的一个动点
∴点E为直线l1上，即点E与点D重合，
点M到点G是向上平移个单位，再向右平移一个单位，则将点E向上平移个单位，再向右平移一个单位，即得点F，坐标为
以为边时，如下图：

由上述可得，点E为直线l1上，即点E与点D重合，
点G到点M是向下平移个单位，再向左平移一个单位，则将点E向下平移个单位，再向左平移一个单位，即得点F，坐标为
以为对角线时，则的中点，设，
由平行四边形的性质可得：点E、F关于点N对称，
则，解得
点F的坐标为

综上所述、点F的坐标为、、
【点睛】
此题主要考查了一次函数与几何的综合应用，熟练掌握一次函数、平行四边形等有关性质是解题的关键．
10．（2021·广东三水·八年级期末）如图①，平面直角坐标系中，直线y＝kx＋b与x轴交于点A（﹣10，0），与y轴交于点B，与直线y＝﹣x交于点C（a，7）．
（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；
（2）如图②，在（1）的条件下，过点E作直线l⊥x轴，交直线y＝﹣x于点F，交直线y＝kx＋b于点G，若点E的坐标是（﹣15，0）．
①求△CGF的面积；
②点M为y轴上OB的中点，直线l上是否存在点P，使PM﹣PC的值最大？若存在，直接写出这个最大值；若不存在，说明理由；
（3）若（2）中的点E是x轴上的一个动点，点E的横坐标为m（m＜0），点E在x轴上运动，当m取何值时，直线l上存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△AOC全等？请直接写出相应的m的值．

【答案】（1）点C的坐标为（-3，7），直线AB的解析式为y=x+10；（2）①；②存在，最大值为；（3）当m取-13或-10或-3时，直线l上存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△AOC全等．
解：（1）将点C（a，7）代入y=x，可得a=-3，
∴点C的坐标为（-3，7），
将C（-3，7）和A（-10，0）代入y=kx+b，可得
，解得，
∴直线AB的解析式为y=x+10；
（2）①∵点E的坐标是（﹣15，0）．
∴当时，y=和y=-15+10=-5，
∴点F的坐标为（-15，35），点G的坐标为（-15，-5），
∴；
②存在，理由如下：
由三角形的三边关系可知当点P、M、C在一条直线上时，PM﹣PC的值最大，
令，则y=10，
∴点B的坐标为（0，10），
∵点M为y轴上OB的中点，
∴点M的坐标为（0，5），
设直线MC的解析式为y=ax+5，
将C（-3，7）代入得：7=-3a+5，
解得，，
∴直线MC的解析式为y=x+5，
当时，y=，
∴点P的坐标为（-15，15），
∴PM﹣PC=CM=；
（3）∵B（0，10），A（-10，0），
∴OA=OB=10，则∠CAO=∠ABO=45°，
分三种情况讨论：
①当△OAC≌△QCA，如图：

∴∠CAO=∠QCA=45°，
∴QC⊥OA，即CQ∥轴，
∴CQ经过点E，
∴m=-3；
②当△ACO≌△ACQ，

∴∠CAO=∠CAQ=45°，
∴QA⊥OA，即QA经过点E，
∴即点E、点A重合，
∴m=-10；
③当△ACO≌△CAQ，

∴∠CAO=∠ACQ=45°，AO=CQ，
∴CQ∥轴，
∴四边形AOCQ是平行四边形，CQ=AO=10，AE=3，
∴m=-13；
综上，当m取-13或-10或-3时，直线l上存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△AOC全等．
【点睛】
本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质的综合运用．