浙教版备考2023年中考数学一轮复习21一元二次方程根的判别式和根与系数的关系附答案教师版

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一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)

1．（3分）若方程有两个相等的实数解，则下列方程中无实数解的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

2．（3分）关于x的一元二次方程的两实数根，则的值是（　　）

A．8 B．32 C．8或32 D．16或40

【答案】B

3．（3分）已知，是一元二次方程的两根，则的值是（　　）

A．-5 B．-4 C．1 D．0

【答案】B

4．（3分）已知实数a、b满足，且，则的值（　　）

A．0 B． C．4 D．

【答案】B

5．（3分）关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）

A． B．

C． D．且

【答案】D

6．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+3=0有两个实数根x1=1，x2=n，则代数式（m+n）2022的值为（　　）

A．1 B．0 C． D．

【答案】A

7．（3分）方程的两个实数根的和与积分别是（　　） 

A．-5，6 B．-4，6 C．4，-6 D．-1，6

【答案】C

8．（3分）方程2x2+x-4=0的解的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根

C．有两个相等的实数根 D．有一个实数根

【答案】A

9．（3分）已知关于x的一元二次方程（其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论中，错误的是（　　）． 

A．1可能是方程的根 B．-1可能是方程的根

C．0可能是方程的根 D．1和-1都是方程的根

【答案】D

10．（3分）一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字．随机摸出一个小球（不放回），将其数字记为，再随机摸出另一个小球，将其数字记为，则关于的方程有实数根的概率是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

二、填空题（每题4分，共24分）(共6题；共24分)

11．（4分）如果关于x的一元二次方程的一个根为3，那么此方程的另一个根为　     　．

【答案】2

12．（4分）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是　     　．

【答案】

13．（4分）若一元二次方程有两个不相等的实数根，，且，则的值是　     　．

【答案】3

14．（4分）设，是方程的两个实数根，则的值为　     　． 

【答案】14

15．（4分）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值等于　     　．

【答案】2

16．（4分）对于一元二次方程 ，有下列说法：①若 ，则 ；②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；③若 是方程 的一个根，则一定有 成立；④若 是一元二次方程 的根，则 ．其中说法正确的有　     　（填序号）． 

【答案】①②④

三、解答题（共8题，共66分）(共8题；共66分)

17．（6分）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，若，求k的值．

【答案】解：∵方程的两个实数根分别为，，

∴+=-3，=k-2，

∵，

∴，

∴，

解得k=3，

当k=3时，根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；

即k的值是3．

18．（6分）已知关于的一元二次方程（为常数）．设，为方程的两个实数根，且，试求出方程的两个实数根和的值．

【答案】解：∵，为方程的两个实数根，

∴，

∵，

解得：，．

将代入中，得：，

解得：．

19．（8分）已知方程．

（1）（4分）判断此方程是否有实数根，有几个实数根？

（2）（4分）设此方程的两实数根为、，且，求m的值．

【答案】（1）解：由题意得，

∴当时，，此时方程有两个相等的实数根，

当时，，此时方程有两个不相等的实数根，

∴此方程有实数根，当时，此时方程有两个相等的实数根，当时，此时方程有两个不相等的实数根；

（2）解：∵方程的两实数根为、，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴．

20．（8分）已知关于的方程

（1）（4分）求证：无论取什么实数，这个方程总有两个相异的实数根；

（2）（4分）若这个方程的两个实数根满足，求的值及相应的．

【答案】（1）证明：由题意得，在一元二次方程中， ， ， ，

∴

∴，

∵，即，

∴无论取什么实数，方程总有两个相异的实数根．

（2）解：据题意得， ， ， ，

，，

∵方程总有两个不相等的实数根，

∴异号或有一个为，由，

当时，，即，解得，

此时，方程为，解得，；

当，时，，解得，

此时，方程为，解得，，

21．（9分）阅读材料，解答问题：

材料1

为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．

材料2

已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由书达定理可知，．

根据上述材料，解决以下问题：

（1）（2分）直接应用：

方程的解为　                               　；

（2）（3分）间接应用：

已知实数a，b满足：，且，求的值；

（3）（4分）拓展应用：

已知实数m，n满足：，且，求的值．

【答案】（1），，，

（2）解：∵，

∴或

①当时，令，，

∴则，，

∴，是方程的两个不相等的实数根，

∴，

此时；

②当时，，

此时；

综上：或

（3）解：令，，则，，

∵，

∴即，

∴，是方程的两个不相等的实数根，

∴，

故．

22．（9分）阅读理解：

【材料一】若三个非零实数x，y，z中有一个数的平方等于另外两个数的积，则称三个实数x，y，z构成“友好数”.

【材料二】若关于x的一元二次方程的两根分别为，则有： .

问题解决：

（1）（2分）实数4，6，9可以构成“友好数”吗？请说明理由；

（2）（3分）若三点均在函数（k为常数且）的图象上，且这三点的纵坐标构成“友好数”，求实数t的值；

（3）（4分）设三个实数是“友好数”且满足，其中是关于x的一元二次方程的两个根，是抛物线与x轴的一个交点的横坐标.

①的值等于          ；

②设，求y关于x的函数关系式.

【答案】（1）解：∵62＝4×9，

∴4，6，9可以构成“友好数”；

（2）解：∵y1，y2，y3构成“友好数”，

∴有三种可能：

①，由题得，即t2＝（t﹣1）（t+1），无解.

②，由题得，即（t﹣1）2＝t（t+1），解得.

③，由题得，即（t+1）2＝t（t﹣1），解得.

∴满足条件的      或 ；

（3）解：① 0

②由①得   a+b+c＝0， 两边同除以a，得

，

∴，

∴，

即函数关系式为：.

23．（10分）定义，若关于x的一元二次方程 的两个实数根为 （ ），分别以 为横坐标和纵坐标得到点 ，则称点M为该一元二次方程的的衍生点. 

（1）（3分）若方程为 ，写出该方程的的衍生点M的坐标. 

（2）（3分）若关于x的一元二次方程 的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值. 

（3）（4分）是否存在b，c，使得不论k（ ）为何值，关于x的方程 的衍生点M始终在直线 的图象上，若有请求出b，c的值，若没有说明理由. 

【答案】（1）解：∵ ，  

∴x（x-3）=0， 解得： ， ，

故方程x2-3x=0的衍生点为M（0，3）.

（2）解：   

整理得：

设方程的两根分别为 、 ， 且

由于过点M向两坐标轴作垂线，两条垂线与x轴y轴恰好围成一个正方形，

当 时，

  ，

整理得：   此时方程无解，

当 时，则 ，

， 解得

（3）解：存在. 理由如下：

  直线

  直线过定点 ，

∴x2+bx+c=0两个根为 ，

∴ ， ，

∴ ， .

24．（10分）如图，四边形 ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a 、b 、c 是 RtΔABC和 RtΔBED 的边长，已知，这时我们把关于 x 的形如二次方程称为“勾系一元二次方程”．

请解决下列问题：

（1）（3分）写出一个“勾系一元二次方程”；

（2）（3分）求证：关于 x 的“勾系一元二次方程”，必有实数根；

（3）（4分）若 x = -1是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形 ACDE 的周长是6，求ΔABC 的面积．

【答案】（1）解：当a=3，b=4，c=5时，

勾系一元二次方程为

（2）解：依题意得△=（）2-4ab=2c2-4ab，

∵a2+b2=c2，∴2c2-4ab=2（a2+b2）-4ab=2（a-b）2≥0，

即△≥0，故方程必有实数根；

（3）解：把x=-1代入得a+b=c

∵四边形 ACDE 的周长是6，

即2(a+b)+ c=6，故得到c=2，

∴a2+b2=4，a+b=2

∵(a+b)2= a2+b2+2ab

∴ab=2，

故ΔABC 的面积为ab=1.