浙教版备考2023年中考数学一轮复习20一元二次方程及其解法附答案教师版

浙教版备考2023年中考数学一轮复习20.一元二次方程及其解法附答案教师版

一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)

1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

2．（3分）根据方程x2﹣3x﹣5＝0可列表如下（　　）

则x的取值范围是（　　）

A．﹣3＜x＜﹣2或4＜x＜5 B．﹣2＜x＜﹣1或5＜x＜6

C．﹣3＜x＜﹣2或5＜x＜6 D．﹣2＜x＜﹣1或4＜x＜5

【答案】D

3．（3分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0的一个解是x=1，则代数式a+b的值为（　　）

A．-1 B．1 C．-2 D．2

【答案】A

4．（3分）一元二次方程x2-9=0的解是（　　）  

A．x=3 B．x=-3 C．x=±3 D．x=9

【答案】C

5．（3分）一元二次方程（x﹣1）2＝25可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x﹣1＝5，则另一个一元一次方程是（　　）

A．x+1＝﹣5 B．x+1＝5 C．x﹣1＝﹣5 D．x﹣1＝5

【答案】C

6．（3分）用配方法解方程时，原方程应变形为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

7．（3分）以为根的一元二次方程可能是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

8．（3分）已知关于的一元二次方程的两根分别为，，则原方程可化为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

9．（3分）关于x的一元二次方程方程ax2＋bx＋c＝0（a、b、c均为常数，a≠0）的解是x1=m-3，x2=1-m，那么方程a（x-m）2+bx+c=mb的解是（　　）

A．x1=3，x2=1 B．x1=2m－3，x2=1

C．x1=2m－3，x2=1－2m D．x1=－3，x2=1－2m

【答案】B

10．（3分）若 为任意实数，且 ，则 的最大值为（　　）

A．10 B．84 C．100 D．121

【答案】C

二、填空题（每题4分，共24分）(共6题；共24分)

11．（4分）若是关于x的一元二次方程，则m的值是　     　．

【答案】

12．（4分）用配方法解方程时，方程的两边同时加上　     　，使得方程左边配成一个完全平方式．

【答案】4

13．（4分）方程的解是　              　．

【答案】 ，

14．（4分）若x，y为实数，且，那么　     　．

【答案】3

15．（4分）若一元二次方程（x-3）2=1的两根为Rt△ABC的两直角边的长，则Rt△ABC的面积是　     　

【答案】4

16．（4分）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是　     　．

【答案】

三、解答题（共8题，共66分）(共8题；共66分)

17．（8分）解方程.

（1）（2分）2(x＋2)2-8＝0；

（2）（2分）x(x-3)＝x；

（3）（2分） x2＝6x- ；

（4）（2分）(x＋3)2＋3(x＋3)-4＝0.

【答案】（1）解：整理得(x＋2)2＝4，即x＋2＝±2，

∴x1＝0，x2＝-4.

（2）解：整理得x(x-3)-x＝0，即x(x-3-1)＝0，x(x-4)＝0，

∴x1＝0，x2＝4.

（3）解：整理得 x2-6x＋ ＝0，即x2-2 x＋1＝0，

由求根公式得x1＝ ，x2＝ -

（4）解：设x＋3＝y，则原方程可变为y2＋3y-4＝0，

解得y1＝-4，y2＝1，当y＝-4，即x＋3＝-4时，x＝-7，当y＝1，

即x＋3＝1时，x＝-2.

∴原方程的解为x1＝-7，x2＝-2

18．（6分）小敏与小红两位同学解方程 的过程如下框：

你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．

【答案】解：小敏与小红两位同学的解法均错误，正确解答过程如下：
移项得：3（x-3）-（x-3）2=0 ，
整理得：（x-3）（6-x）=0
则x-3=0或6-x=0，
解得：x=3或x=6.

19．（6分）在用配方法解一元二次方程4x2﹣12x﹣1＝0时，李明同学的解题过程如下：

解：方程4x2﹣12x﹣1＝0可化成（2x）2﹣6×2x﹣1＝0，

移项，得（2x）2﹣6×2x＝1．

配方，得（2x）2﹣6×2x+9＝1+9，

即（2x﹣3）2＝10．

由此可得2x﹣3＝± ∴x1 ，x2 ．

晓强同学认为李明同学的解题过程是错误的，因为用配方法解一元二次方程时，首先把二次项系数化为1，然后再配方，你同意晓强同学的想法吗？你从中受到了什么启示？

【答案】解：不同意晓强的想法， 当二次项系数不为 1 时，有时也可以把系数的算术平方根与字母看成整体，再配方．

20．（6分）阅读下面的例题.

解方程： .

解：（1）当 时，原方程化为 ，解得 ， （不合题意，舍去）.

（2）当 时，原方程化为 ，解得 ， （不合题意，舍去）.

∴原方程的解是 ， .

请参照上述方法解方程 .

【答案】解： .

（1）当 时，原方程化为 ，

解得 ， （不合题意，舍去）.
（2）当 时，原方程化为 ，

解得 ， （不合题意，舍去）.

故原方程的解是 ， .

21．（8分）阅读下列材料：为解方程 可将方程变形为 然后设 ，则 ，原方程化为 ①，解①得 ， .当 时， 无意义，舍去；当 时， ，解得 ；∴原方程的解为 ， ； 

上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题.

利用以上学习到的方法解下列方程：

（1）（4分） ；  

（2）（4分） .  

【答案】（1）设 ，  

得： ，

解得： ， .

当 时， ，解得： ，

当 时， ，解得： ， .

∴原方程的解为 ， ， ， .

（2）设 ，则方程可变成 ，  

∴ ，

， .

当 时， ，所以无解.

当 时， ，

∴ ，

∴ ， .

经检验 ， 是原方程的解.

22．（10分）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”；例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”．

（1）（2分）根据上述定义，判断方程　     　（填“是”或“不是”）“邻根方程”；

（2）（4分）已知关于x的方程是常数是“邻根方程”，求m的值；

（3）（4分）若关于x的方程、b是常数，是“邻根方程”，令，试求t的最大值．

【答案】是已知关于x的方程是常数是“邻根方程”，求m的值；【答案】解：解方程得：，或，方程是常数是“邻根方程”，或，或；若关于x的方程、b是常数，是“邻根方程”，令，试求t的最大值．【答案】解：解方程得，关于x的方程、b是常数，是“邻根方程”，，，，，，时，t的最大值为16．

（1）是

（2）解：解方程得：，
或，
方程是常数是“邻根方程”，
或，
或；

（3）解：解方程得，
关于x的方程、b是常数，是“邻根方程”，
，
，

，
，
，
时，t的最大值为16．

23．（10分）阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．

（1）（1分）问题：方程的解是：，　     　，　     　；

（2）（4分）拓展：用“转化”思想求方程的解；

（3）（4分）应用：如图，矩形草坪的长，宽，点在上（），小华把一根长为27m的绳子一段固定在点，把长绳段拉直并固定在点，再拉直，长绳的另一端恰好落在点，求的长．

【答案】（1）-3；

（2）解：

方程的两边平方，得

，

所以，

所以，

所以，

∴，

当时，，

所以不是原方程的解．

当时，，

所以是原方程的解．

所以方程的解是．

（3）解：因为四边形是矩形，

所以，，

设，则，

因为

所以，，

所以，

所以

整理，得，

两边平方并整理，得，

解得或（不合题意，舍去此时）

经检验，是方程的解．

答：的长为15m．

24．（12分）先阅读下面的例题，再按要求解答下列问题：

求代数式y2+4y+8的最小值．

解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4，

∵（y+2）2≥0，

∴（y+2）2+4≥4

∴y2+4y+8的最小值是4．

（1）（3分）求代数式m2+m+4的最小值；

（2）（3分）求代数式24﹣2x2+8x的最大值；

（3）（6分）某居民小区要在一块靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？

【答案】（1）解：

∵

∴

∴原式最小值为

（2）解：

∵

∴

∴

∴原式最大值为32.

（3）解：

∵

∴

∴

∴当 x=5m时，花园的面积最大，最大面积是 50m²