浙教版备考2023年中考数学一轮复习9探索图形规律附答案学生版

这是一份浙教版备考2023年中考数学一轮复习9探索图形规律附答案学生版，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

浙教版备考2023年中考数学一轮复习9探索图形规律附答案学生版
一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)
1．（3分）如图，正方形的周长为8个单位，在该正方形的4个顶点处分别标上0，2，4，6，先让正方形上表示数字6的点与数轴上表﹣3的点重合，再将数轴按顺时针方向环绕在该正方形上，则数轴上表示2017的点与正方形上的数字对应的是（　　）

A．0 B．2 C．4 D．6
2．（3分）如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置O点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，第3次移动到A3，……，第n次移动到An，则△OA2A2022的面积是（　　）

A．505 B．20212 C．10112 D．1011
3．（3分）下列图形都是用同样大小的★按一定规律组成的，其中第①个图形中共有5个★，第②个图形中共有11个★，…，则第⑩个图形中★的个数为（　　）

A．109 B．111 C．131 D．157
4．（3分）如图， 在△ABC中，∠A=α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2022BC的平分线与∠A2022CD的平分线交于点A2023，得∠A2023，则∠A2023=（　　）

A．α2022 B．α2023 C．α22022 D．α22023
5．（3分）如图，正方形ABCD边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，……，按照这样的规律作下去，第2022个正方形的边长为（　　）

A．(22)2019 B．(2)2021 C．(22)2020 D．(2)2022
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，半径均为2个单位长度的半圆组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π个单位长度，则第2023秒时，点P的坐标是（　　）

A．(4044，2) B．(4046，−2) C．(4046，0) D．(2023，−2)
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A1(2，0)，B1(0，1)，A1B1的中点为C1；A2(0，3)，B2(−2，0)，A2B2的中点为C2；A3(−4，0)，B3(0，−3)，A3B3的中点为C3；A4(0，−5)，B4(4，0)，A4B4的中点为C4；…；按此做法进行下去，则点C2022的坐标为（　　）

A．(−1012，−20232) B．(−1011，20232)
C．(−1011，−20232) D．(−1012，−20212)
8．（3分）图1是第七届国际数学教育大会（ICME.7）的会徽，主体图案是由图2的一连串直角三角形演化而成，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝……＝An﹣1An＝1，若OA5⋅OAn的值是整数，且1≤n≤50，则符合条件的n有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（3分）观察并找出图形变化的规律，则第2021个图形中黑色正方形的数量是（　　）

A．2020 B．3031 C．2021 D．3032
10．（3分）如图，在平面直角坐标系上有点A0(1，0)，点A0第一次跳动至点A1(−1，1)，第二次点A1跳动至点A2(2，1)，第三次点A2跳动至点A3(−2，2)，第四次点A3跳动至点A4(3，2)，⋯⋯，依此规律跳动下去，则点A2019与点A2020之间的距离是（　　）

A．2021 B．2020 C．2019 D．2018
二、填空题（每题3分，共18分）(共6题；共18分)
11．（3分）图1是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图2；再分别连接图2中间小角形三边的中点，得到图3，按上面的方法继续下去.则图2中共有　 　个三角形，第n个图形（图1是第一个图形）中共有　 　个三角形（用含n的代数式表示）.

12．（3分）圆上有五个点，这五个点将圆分成五等份（每一份称为一段弧长），把这五个点按顺时针方向依次编号为1，2，3，4，5，若从某一点开始，沿圆周顺时针方向行走，点的编号是数字几，就走几段弧长，则称这种走法为一次“移位”．如：小明在编号为3的点，那么他应走3段弧长，即从3→ 4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的点，然后从1→2为第二次“移位”．若小明从编号为4的点开始，第2014次“移位”后，他到达编号为　 　的点．

13．（3分）图中所示的为“毕达哥拉斯树”的“生长”过程．如图①，一个边长为a的正方形，经过第一次“生长”后在它的上侧长出两个小正方形，且三个正方形所围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后变成了图②；如此继续“生长”下去，则第2000次“生长”后，这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积和为　 　．

14．（3分）如图是用棋子摆成的“上”字：如果按照以下规律继续摆下去，第n个“上”字需用　 　枚棋子．

15．（3分）下面是小朋友用火柴棒拼出的一系列图形，仔细观察，找出规律，并解答下列问题：

第n个图形共有　 　根火柴棒．
16．（3分）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，分别取AC、BC边的中点D、E，连接DE，作EF∥AC得到四边形EDAF，它的周长记作C1；分别取EF，BE的中点D1，E1，连接D1E1，作E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的周长记作C2，…，照此规律作下去，则C2022等于　 　．

三、解答题（共10题，共72分）(共10题；共72分)
17．（5分）完成下列填空：
（1）（1分）已知a1=11×2×3+12=23，a2=12×3×4+13=38，a3=13×4×5+14=415，……，依据上述规律，则a99=　 　=　 　.
（2）（1分）有若干张边长都是2的四边形纸片和三角形纸片，从中取一些纸片按如图所示的顺序拼接起来(排在第一位的是四边形)，可以组成一个大的平行四边形或一个大的梯形.如果所取的四边形与三角形纸片数的和是5时，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是　 　；如果所取的四边形与三角形纸片数的和是n，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是　 　.

（3）（1分）下面是按一定规律排列的一列数：
第1个数：a1=12−(1+−12)；
第2个数：a2=13−(1+−12)(1+(−1)23)(1+(−1)34)；
第3个数：a3=14−(1+−12)(1+(−1)23)(1+(−1)34)(1+(−1)45)(1+(−1)56)；……
则第n个数为：　 　.




18．（9分）如图几何体是由若干棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），观察该图，探究其中的规律．

（1）（1分）第1个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有　 　个；第2个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有　 　个；第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有　 　个．
（2）（3分）求出第10个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数．
（3）（3分）求出前100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数的和．





19．（7分）如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．

（1）（1分）“25”在射线　 　上；
（2）（3分）请用含n(n为自然数)的代数式表示射线OA、OC、OE上数字的排列规律；
（3）（3分）“2009”在哪条射线上？





20．（9分）实际问题：
婚礼上有116名宾客，地面上水平放置了一个长方体蛋糕，要保证这116名宾客都能分得蛋糕（忽略大小，水平切割的方向只能与地面平行，垂直切割只能与地面垂直），小明说我10刀即可完成任务，你认为小明是怎样切这个蛋糕才能完成任务．
问题探究：
为解决这个问题我们从最简单的长方形分割开始研究．
探究一：用一条直线分一个长方形，最多可以分成几部分？
如图1所示，一条线来分多出1部分，最多分成1+1=2部分；

探究二：用2条直线分一个长方形，最多可以分成几部分？
如图2所示，第2条线与第一条线相交，多出2部分，最多分成1+1+2=4部分；
探究三：用3条直线分一个长方形，最多可以分成几部分？
如图3所示，第3条线与前2条线相交，多出3部分，最多分成1+1+2+3=7部分；
探究四：用4条直线分一个长方形，最多可以分成几部分？
如图4所示，第4条线与原来3条线相交， 多出4部分，最多分1+1+2+3+4=11部分；
（1）（1分）探究五：用5条直线分一个长方形，第5条线与原来4条线相交，多出　 　部分，即最多分成　 　部分；
（2）（1分）探究六：用n条直线分一个长方形，最多可以分成　 　部分；（用含n的代数式表示）
（3）（3分）探究七：我们可以将开始提出的问题转化为切割长方体，借助以上探究长方形切割的结论如何将长方体切割成14块？
我们只需要在探究三的基础上，先在长方体中竖直切割3刀最多分成7块，平行于地面切一刀，此时4刀可切成7×2=14块．
探究八：如何用最少的切割次数，将一个长方体蛋糕切割成44块，请说明切割过程，无需画图；
问题解决：
（4）（3分）婚礼上有116名宾客，地面上放了一个长方体蛋糕，要保证这116名宾客都能分得蛋糕（忽略大小，水平切割的方向只能与地面平行，垂直切割只能与地面垂直），小明说我10刀即可完成任务，你认为小明是怎样切这个蛋糕？请说明切割的过程，无需画图．









21．（4分）在3×3的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格”. 如图1的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15.

（1）（1分）在图2的“等和格”方格图中，可得a＝　 　.（用含b的代数式表示）；
（2）（1分）在图3的“等和格”方格图中，可得a＝　 　，b＝　 　；
（3）（1分）在图4的“等和格”方格图中，可得b＝　 　.


22．（8分）图1中，有一个平行四边形；
图2中，由2个相同的平行四边形拼成一排的图形，这图形中可以找到3个平行四边形；
图3中，由3个相同的平行四边形拼成一排的图形，这图形中可以找到6个平行四边形；

由此我们可以提出一个这样的问题：
图4中，由4个相同的平行四边形拼成一排的图形中，可以找到几个平行四边形？

答：10个
请你根据以上事实，将一些相同的平行四边形横向或纵向拼接，由此提出一个数学问题，并写出答案．




23．（9分）在同一平面内有n条直线，当n＝1时，如图①，一条直线将一个平面分成两个部分；当n＝2时，如图②，两条直线将一个平面最多分成四个部分.

（1）（3分）在作图区分别画出当n＝3时，三条直线将一个平面分成最少部分和最多部分的情况；
（2）（3分）当n＝4时，请写出四条直线将一个平面分成最少部分的个数和最多部分的个数；
（3）（3分）若n条直线将一个平面最多分成an个部分，（n＋1）条直线将一个平面最多分成an＋1个部分，请写出an，an＋1，n之间的关系式.





24．（6分）如图

（问题）用n个2×1矩形，镶嵌一个2×n矩形，有多少种不同的镶嵌方案？（2×n矩形表示矩形的邻边是2和n）
（探究）不妨假设有an种不同的镶嵌方案．为探究an的变化规律，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进，最后猜想得出结论．
探究一：用1个2×1矩形，镶嵌一个2×1矩形，有多少种不同的镶嵌方案？
如图（1），显然只有1种镶嵌方案．所以，a1＝1．
探究二：用2个2×1矩形，镶嵌一个2×2矩形，有多少种不同的镶嵌方案？
如图（2），显然只有2种镶嵌方案．所以，a2＝2．
探究三：用3个2×1矩形，镶嵌一个2×3矩形，有多少种不同的镶嵌方案？
一类：在探究一每个镶嵌图的右侧再横着镶嵌2个2×1矩形，有1种镶嵌方案；
二类：在探究二每个镶嵌图的右侧再竖着镶嵌1个2×1矩形，有2种镶嵌方案；
如图（3）．所以，a3＝1+2＝3．
（1）（1分）探究四：用4个2×1矩形，镶嵌一个2×4矩形，有多少种不同的镶嵌方案？
一类：在探究二每个镶嵌图的右侧再横着镶嵌2个2×1矩形，有　 　 种镶嵌方案；
二类：在探究三每个镶嵌图的右侧再竖着镶嵌1个2×1矩形，有　 　 种镶嵌方案；
所以，a4＝　 　 ．
（2）（3分）探究五：用5个2×1矩形，镶嵌一个2×5矩形，有多少种不同的镶嵌方案？
（仿照上述方法，写出探究过程，不用画图）
……
（结论）用n个2×1矩形，镶嵌一个2×n矩形，有多少种不同的镶嵌方案？
（直接写出an与an﹣1，an﹣2的关系式，不写解答过程）．
（应用）用10个2×1矩形，镶嵌一个2×10矩形，有 ▲ 种不同的镶嵌方案．






25．（6分）如图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）有 n(n>1) 个点，每个图形的总点数记为S．

（1）（1分）当 n=4 时，S的值为　 　；当 n=6 时，S的值为　 　；
（2）（1分）每条“边”有n个点时的总点数S是　 　（用含n的式子表示）；
（3）（3分）当 n=2021 时，总点数S是多少？







26．（9分）定义：按螺旋式分别延长n边形的n条边至一点，若顺次连接这些点所得的图形与原多边形相似，则称它为原图形的螺旋相似图形.例如：如图1，分别延长多边形A1A2…An的边得A1′，A2′，…，An′，若多边形A1′A2′…An′与多边形A1A2…An相似，则多边形A1′A2′…An′就是A1A2…An的螺旋相似图形.

（1）（3分）如图2，已知△ABC是等边三角形，作出△ABC的一个螺旋相似图形，简述作法，并给以证明.
（2）（3分）如图3，已知矩形ABCD，请探索矩形ABCD是否存在螺旋相似图形，若存在，求出此时AB与BC的比值；若不存在，说明理由.
（3）（3分）如图4，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝2，分别延长CA，AB，BC至A′，B′，C′，使△A′B′C′是△ABC的螺旋相似三角形.若AA′＝kAC，请直接写出BB′，CC′的长（用含k的代数式表示）

答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】A
3．【答案】C
4．【答案】D
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】B
8．【答案】C
9．【答案】D
10．【答案】A
11．【答案】5；（4n-3）
12．【答案】1
13．【答案】2001a2
14．【答案】（4n+2）
15．【答案】(3n+1)
16．【答案】122020
17．【答案】（1）199×100×101+199；999800
（2）20；3n+5，3n+4
（3）1n+1−(1+−12)(1+(−1)23)(1+(−1)34)……(1+(−1)2n−12n)
18．【答案】（1）4；12；20
（2）解：观察图形可知：图①中，只有2个面涂色的小立方体共有4个；
图②中，只有2个面涂色的小立方体共有12个；
图③中，只有2个面涂色的小立方体共有20个．
4，12，20都是4的倍数，可分别写成4×1，4×3，4×5的形式，
因此，第n个图中两面涂色的小立方体的块数共有：4(2n﹣1)＝8n﹣4，
则第10个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数共有8×10﹣4＝76(个)；
（3）解：(8×1﹣4)+(8×2﹣4)+(8×3﹣4)+(8×4﹣4)+(8×5﹣4)+…+(8×100﹣4)
＝8(1+2+3+4+…+100)﹣100×4
＝40000(个)．
故前100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的个数的和为40000个．
19．【答案】（1）OA
（2）解：根据已知总结排列如下：射线OA：1、7、13、19、25 …数字排列规律：6n+1 （n为自然数）；射线OB：2、8、14、20、26 …数字排列规律：6n+2（n为自然数）； 射线OC：3、9、15、21、27 …数字排列规律：6n+3 （n为自然数）；射线OD：4、10、16、22、28…数字排列规律：6n+4（n为自然数）；射线OE：5、11、17、23、29 …数字排列规律：6n+5 （n为自然数）； 射线OF：6、12、18、24、30 …数字排列规律：6n （n为自然数）；即射线OA上数字的排列规律：6n+1；射线OC上数字的排列规律：6n+3；射线OE上数字的排列规律：6n+5．
（3）解：∵2009÷6=334⋅⋅⋅⋅⋅⋅5，∴“2009”在射线OE上．
20．【答案】（1）5；16
（2）1+1+2+⋯+n=n2+n+22
（3）解：∵44=11×4，
切一刀最多2块，切两刀最多4块，切三刀最多7块，切四刀最多11块，
将一个长方体蛋糕竖直方向切4刀最多可切割成11块，然后平行地面的水平方向切三刀得四层蛋糕，每次有11块，
∴共切成蛋糕有11×4=44块
（4）解：∵116=29×4，
∴n2+n+22=29，
解得n1=7，n2=−8（舍去），
∴竖直方向切7刀，最多可切29块，然后平行地面的水平方切3刀得4层蛋糕，每次29块蛋糕，
∴共切成蛋糕29×4=116块．
21．【答案】（1）−b
（2）－2；2
（3）－9
22．【答案】解：问题：第22个图有多少个平行四边形?
∵ 图1中平行四边形的个数为：1，
图2中平行四边形的个数为：3=1+2，
图3中平行四边形的个数为：6=1+2+3，
图4中平行四边形的个数为：10=1+2+3+4，
… ，
∴第n个图中平行四边形的个数为：1+2+3+…+n=n(n+1)2，
∴第22个图中平行四边形的个数为：22×(22+1)2=253．
23．【答案】（1）解：如图，

（2）解：四条直线最少可以把平面分成5部分，最多可以把平面分成11部分
（3）解：当n=1时，分成2部分，
当n=2时，分成4=2+2部分，
当n=3时，分成7=4+3部分，
当n=4时，分成11=7+4部分，
…
可以发现，有几条直线，则分成的部分比前一种情况多几部分，
an、an+1、n之间的关系是：an+1=an+（n+1）.
24．【答案】（1）2；3；5
（2）一类：在探究三每个镶嵌图的右侧再横着镶嵌2个2×1矩形，有3种镶嵌方案；
二类：在探究四每个镶嵌图的右侧再竖着镶嵌1个2×1矩形，有5种镶嵌方案；
所以，a5＝3+5＝8．
……
结论：an＝an﹣1+an﹣2；应用：89.
25．【答案】（1）9；15
（2）S=3n-3
（3）解：当 n=2021 时，总点数S=3´（2021-1）=3×2020=6060个点
26．【答案】（1）解：如图2中，延长AB到E，延长BC到F，延长CA到D，使得BE＝CF＝AD，连接EF，DF，DE.则△DEF是△ABC的一个螺旋相似图形.

理由：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠CAB＝∠ABC＝∠ACB，
∴∠DAE＝∠FCD＝∠EBF＝120°，
∵BE＝CF＝AD，
∴CD＝AE＝BF，
∴△FCD≌△DAE≌△EBF（SAS），
∴DF＝DE＝EF，
∴△DEF是等边三角形，
∴△DEF∽△ABC，
∴△DEF是△ABC的一个螺旋相似图形.
（2）解：如图3中，假设存在.四边形EFGH是矩形ABCD的螺旋相似图形，设AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，BE＝DG＝x，CF＝AH＝y.

由题意：△BEF∽△AHE，
∴EFEH=BEAH=BFAE ，
∴xy ＝ b+ya+x ，
当 EFHE ＝ BCAB ＝ ba 时， ba ＝ xy ＝ b+ya+x ，
∴x＝ ba •y，ax+x2＝by+y2，
∴by+ b2a2 •y2＝by+y2，
∴a2＝b2，
∴a＝b，即AB：BC＝1.
当 EFEH ＝ ABBC ＝ ab 时. ab ＝ xy ＝ b+ya+x ，
∴x＝ ab •y，ax+x2＝by+y2，
∴a2b •y+ a2b2 •y2＝by+y2，
∴a2−b2b •y（1+ yb ）＝0，
∵y≠0，1+ yb ≠0，
∴a2＝b2，
∴a＝b，即AB：BC＝1，
综上所述，AB：BC＝1.
（3）解：如图4中，作B′T⊥CB交CB的延长线于T.

∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠CAB＝45°，
∴∠TBB′＝∠ABC＝45°，
∴∠TB′B＝∠TBB′＝45°，
∴TB＝TB′，设TB＝TB′＝m，
∵△A′B′C′是△ABC的螺旋相似三角形，
∴A′C′＝B′C′，∠A′C′B′＝90°，
∵∠A′C′C+∠B′C′＝90°，∠A′CC+∠C′A′C＝90°，
∴∠C′A′C＝∠B′C′T，
∵∠A′CC′＝∠T＝90°，
∴△A′CC′≌△A′TB′（ASA），
∴A′C＝TC′，CC′＝TB′＝BT，
∴2+2k＝2+2m，
∴m＝k，
∴BB′＝ 2 k，CC′＝k.