【期末总复习】人教A版(2019)高二数学选择性必修第一册——专题03 圆锥曲线的方程、图像与性质（知识梳理）

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专题03 圆锥曲线的方程、图像与性质（知识梳理）知识网络重难点突破知识点一 椭圆的方程与性质1、椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2)))的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M|eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF2))＝2a}，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集．2、椭圆的标准方程和几何性质例1、（1）、(2020·河南洛阳一模)已知椭圆eq \f(x2,11－m)＋eq \f(y2,m－3)＝1的长轴在y轴上，且焦距为4，则m等于(　　)A．5　　　　　　　　　 B．6C．9 D．10【答案】C　【解析】由椭圆eq \f(x2,11－m)＋eq \f(y2,m－3)＝1的长轴在y轴上，焦距为4，可得eq \r(m－3－11＋m)＝2，解得m＝9.故选C.（2）．（2021·福建南安·高二阶段练习）椭圆的一个焦点坐标是( )A． B． C． D．【答案】B【分析】椭圆里面c2＝a2－b2，焦点在y轴上时，焦点为(0，±c)﹒【详解】c2＝9－5＝4，∴c＝2，∴焦点为(0，±2)，故选：B（3）．（2021·福建南安·高二阶段练习）已知是椭圆C：的左焦点，是椭圆C上的任意一点，点，则的最大值为( )A． B． C． D．【答案】D【分析】标出椭圆的右焦点，利用椭圆定义转换|PF|，利用平面几何知识即可得最大值﹒【详解】由题意，点为椭圆的左焦点，∴．∵点为椭圆上任意一点，点的坐标为，如图，设椭圆的右焦点为，连接，根据椭圆定义知，．∵，∴，当在线段上时，等号成立.即要求的最大值为，故选：D．（4）．（2021·辽宁实验中学高二期中）（多选题）已知椭圆：的左右焦点分别为、，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）A．离心率的取值范围为B．当离心率为时，的最大值为C．存在点使得D．的最小值为1【答案】BD【分析】由题设可得、，利用离心率公式即可求范围判断A；当得，进而求焦点坐标，再利用椭圆定义及有界性求的最大值判断B；根据已知判断的大小关系，再判断以原点为圆心，为半径的圆与椭圆有无交点，即可判断C；由结合基本不等式求最值，注意等号成立条件.【详解】由题设，，则，又在椭圆内部，则，即，∴，故A错误；当时，有，易得，.∴由，则，故B正确；由，即，以原点为圆心，为半径的圆与椭圆无交点，∴椭圆上不存在点使得，故C错误；由，当且仅当时等号成立，即为短轴端点取等号，∴的最小值为1，故D正确.故选：BD【点睛】关键点点睛：根据已知首先可得、，再综合应用离心率公式、椭圆定义及有界性，结合基本不等式判断各选项的正误.【变式训练1-1】、（2020·新疆师范大学附属中学高二阶段练习（文））椭圆，下列结论不正确的是（ ）A．离心率 B．长轴长为 C．焦距为 D．短轴长为【答案】D【分析】求出、、的值，可判断各选项的正误.【详解】因为椭圆，所以，，，因此离心率，故A正确；长轴长为，故B正确；短轴长为，故D错误；焦距为，故C正确.故选：D.【变式训练1-2】、如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是____．【答案】以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆【解析】　连结QA，由已知得QA＝QP.∴QO＋QA＝QO＋QP＝OP＝r.又∵点A在圆内，∴OA＜OP，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆．【变式训练1-3】、（2021·福建·泉州科技中学高二期中）设是椭圆的左，右焦点，过的直接l交椭圆于A，B两点，则的最大值为（ ）A．14 B．13 C．12 D．10【答案】A【分析】根据椭圆的定义可得的周长为；然后分析出当最小时，最大，从而求出的最小值即可.【详解】由椭圆的定义，知，，所以的周长为，所以当最小时，最大.又当时，最小，此时，所以的最大值为.故选：A.【变式训练1-4】、（2021·浙江·高二期中）（多选题）某房地产建筑公司在挖掘地基时，出土了一件宋代小文物，该文物外面是红色透明蓝田玉材质，里面是一个球形绿色水晶宝珠，其轴截面（如图）由半椭圆与半椭圆组成，其中，设点是相应椭圆的焦点， 和是轴截面与轴交点，阴影部分是宝珠轴截面，其以曲线为边界， 在宝珠珠面上， 为等边三角形，则以下命题中正确的是（ ）A．椭圆的离心率是 B．椭圆的离心率大于椭圆的离心率C．椭圆的焦点在轴上 D．椭圆的长短轴之比大于椭圆的长短轴之比【答案】AC【分析】根据题意求出两个半椭圆的方程，根据两个椭圆方程分别求出离心率、长短轴之比可得答案.【详解】由半椭圆的方程和图象可知，，由半椭圆的方程和图象可知，，因为，所以，，所以半椭圆的焦点在轴上，所以是半椭圆的焦点，、是半椭圆的焦点；依题意可知，，所以，又为等边三角形，所以，所以，又因为，所以，所以，所以半椭圆的方程为，又，所以，所以，所以半椭圆的方程为，对于A，椭圆的离心率是，故A正确；对于B，椭圆的离心率，所以，故B不正确；对于C，由可知，椭圆的焦点在轴上，故C正确；对于D，椭圆的长短轴之比为，椭圆的长短轴之比为，因为，所以椭圆的长短轴之比小于椭圆的长短轴之比，故D不正确.故选：AC【点睛】关键点点睛：根据椭圆的几何性质结合图形求出两个半椭圆方程是本题的解题关键.知识点二 直线与椭圆的位置关系1．焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.(1)eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；(2)eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中(1)当P为短轴端点时，θ最大．(2)S＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan eq \f(θ,2)＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝eq \f(2b2,a).4．AB为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则(1)弦长l＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|；(2)直线AB的斜率kAB＝－eq \f(b2x0,a2y0). 例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个顶点为(3，0)，(－3，0)，离心率为eq \f(2\r(2),3)；(2)过点(eq \r(3)，－eq \r(5))，且与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．【解析】　(1)如果焦点在x轴上，则a＝3，离心率eq \f(c,a)＝eq \f(2\r(2),3)，∴c＝2eq \r(2)，∴b2＝a2－c2＝1，∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1；如果焦点在y轴上，则b＝3，将eq \f(c,a)＝eq \f(2\r(2),3)代入b2＝a2－c2中，得a2－eq \f(8,9)a2＝9，∴a2＝81，∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,9)＝1.故所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1和eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,9)＝1.(2)(方法1)椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1的a＝5，b＝3，∴c＝4，焦点为(0，－4)，(0，4)．由椭圆定义知，2a＝eq \r(（\r(3)－0）2＋（－\r(5)＋4）2)＋eq \r(（\r(3)－0）2＋（－\r(5)－4）2)，解得a＝2eq \r(5).由c2＝a2－b2得b2＝4.∴所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1.(方法2)设所求椭圆方程为eq \f(y2,25－k)＋eq \f(x2,9－k)＝1(k<9)，将点(eq \r(3)，－eq \r(5))坐标代入，得eq \f(（－\r(5)）,25－k)2＋eq \f(（\r(3)）2,9－k)＝1，解得k＝5(k＝21舍去)，∴所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1.例3．（2021·江苏·金陵中学高三阶段练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，两焦点与短轴两顶点围成的四边形面积为.（1）求椭圆的标准方程；（2）我们称圆心在椭圆上，半径为的圆是椭圆的"卫星圆"，过原点作椭圆的"卫星圆"的两条切线，分别交椭圆于两点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）见解析﹒【分析】（1）由离心率及两焦点与短轴两顶点围成的四边形的面积及，，之间的关系求出，的值，进而求出椭圆的方程；（2）设直线，的方程，设圆心的坐标，由直线，与圆相切，可得的关系；直线，的方程与椭圆的方程联立，求出，的坐标，即可求出的表达式，结合前步的的关系即可判断是否为定值．（1）由题意可得，解得：，，，所以椭圆的方程为：；（2）当直线，的斜率存在时，记为，，则直线，的方程为，，设椭圆的“卫星椭圆”的圆心，，因为直线，是圆的切线，所以，，化简可得，，所以，是关于k的二次方程的两个根，所以，因为，在椭圆上，所以，所以，设，，，，则由，，解得，，所以，因为，所以，所以，∴为定值16．若OA和OB其中一条斜率不存在，不妨设OA斜率不存在，设圆心在一象限，∵OA与圆相切，∴OA所在直线为y轴，∴圆心横坐标为半径，A点为切点，A纵坐标与圆心纵坐标相同，又∵圆心在椭圆C上，∴由∴圆也与x轴相切，切点为B(，0)，∴此时＝6．综上所述，当直线，其中一条斜率不存在时，＝6；当直线，斜率存在时，＝16﹒【点睛】本题考查椭圆方程的求法，以及直线与曲线位置关系的综合应用，第二问的关键点是求得OA与OB的斜率的关系，属于难题．例4．（2021·广东·高三阶段练习）已知椭圆：的左，右焦点分别为，，椭圆上任意一点到焦点距离的最大值是最小值的倍，且通径长为（椭圆的通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）.（1）求椭圆的标准方程；（2）过的直线与椭圆相交于不同的两点，，则的内切圆面积是否存在最大值?若存在，则求出最大值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据椭圆中距离的最值关系以及通径长度可得椭圆方程；（2）由已知得当取最大值时，圆面积最大，又，设直线方程，联立方程求最值.（1）解： 由已知得，得，所以，又椭圆通径长为，所以，解得，，，椭圆方程为；（2）解：由已知可得内切圆半径，当取最大值时，圆面积最大，故当取最大值时，圆面积最大，由已知可得直线斜率一定存在，设直线方程为，联立，得，恒成立，，，所以，设，则，当且仅当时取等，此时，，即内切圆面积的最大值为【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．知识点三 双曲线的方程与性质1、 双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2)))的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{Meq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF1))))－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF2))))＝2a}，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0.(1)当a＜c时，点P的轨迹是双曲线；(2)当a＝c时，点P的轨迹是两条射线；(3)当a＞c时，点P不存在．2、双曲线的标准方程和几何性质例5、（1）．（2021·北京市第十九中学高二期末）已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据已知条件，结合双曲线的定义可得，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，即可求解.【详解】解：因为，，所以，动点满足条件，所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，点，，动点满足条件，，，动点的轨迹方程为.故选：A.（2）、（华东师范大学附中2019届模拟）(1)设F1，F2是双曲线x2－eq \f(y2,24)＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＝4eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))，则△PF1F2的面积等于(　　)A．4eq \r(2) B．8eq \r(3)C．24 D．48(3)、设双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为__________．【答案】(1)C　(2)10【解析】(1)双曲线的实轴长为2，焦距为|F1F2|＝10.根据题意和双曲线的定义知2＝|PF1|－|PF2|＝eq \f(4,3)|PF2|－|PF2|＝eq \f(1,3)|PF2|，所以|PF2|＝6，|PF1|＝8，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以PF1⊥PF2.所以S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq \f(1,2)×6×8＝24.(2)由双曲线的标准方程eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1得a＝2，由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝4，|BF2|－|BF1|＝4，所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8.因为|AF1|＋|BF1|＝|AB|，当直线l过点F1，且垂直于x轴时，|AB|最小，所以(|AF2|＋|BF2|)min＝|AB|min＋8＝eq \f(2b2,a)＋8＝10.（4）．（2021·安徽黄山·二模（理））已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过点作圆的切线交双曲线左支于点，且，则该双曲线的渐近线方程为__________．【答案】．【分析】设切点为，过作，垂足为，根据三角形中位线定理，结合正弦函数的定义，双曲线的定义、双曲线的渐近线方程进行求解即可.【详解】解：设切点为，过作，垂足为，由题意可得，，，由为的中位线，可得，，又，可得，，，又，所以，所以双曲线的渐近线方程为．故答案为：．【点睛】关键点睛：本题的关键是利用圆的切线性质、双曲线定义的应用以及熟练的数学运算能力.【变式训练5-1】、（2021·浙江金华第一中学高二期中）顶点在轴上，两顶点间的距离为8，的双曲线的标准方程为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据条件求出即可.【详解】因为两顶点间的距离为8，所以，所以因为，所以，所以因为顶点在轴上，所以双曲线的标准方程为故选：A【变式训练5-2】、（2021·江苏宝应·高二期中）公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究发现了黄金分割数，简称黄金数．离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若双曲线是黄金双曲线，则（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据双曲线的离心率可求得的值.【详解】双曲线的实半轴长为，半焦距为，则，可得.故选：B.【变式训练5-3】、（2021·全国·高二专题练习）（多选题）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过点，，为双曲线的左、右焦点，则下列说法中正确的有（ ）A．若双曲线上一点到它的焦点的距离等于16，则点到另一个焦点的距离为10B．若是双曲线左支上的点，且，则△的面积为16C．过点的直线与双曲线有唯一公共点，则直线的方程为或D．过点的直线与双曲线相交于，两点，且为弦的中点，则直线的方程为【答案】BD【分析】先由已知条件求出双曲线的方程，对于A，利用双曲线的定义求解即可，对于B，由题意可得，平方化简结合已知条件可得△为直角三角形，从而可求出其面积，对于C，分直线的斜率存在和不存在两种情况求解即可，对于D，由题意可得双曲线为，然后利用点差法求解即可【详解】由题意可知，设双曲线的标准方程为，将点代入双曲线方程，可得，故双曲线的方程为，所以，，．对于选项A，由双曲线的定义可知，，即，解得或，故选项A错误；对于选项，若是双曲线左支上的点，则，所以，又，所以，又，所以，故△为直角三角形，所以，故选项B正确；对于选项C，因为为双曲线的右顶点，当过点的直线与双曲线相切时，直线与双曲线有唯一的公共点，此时的方程为；当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线有唯一公共点，此时直线的斜率为，故直线的方程为，即或．综上所述，直线的方程为，或，或．故选项C错误；对于选项D，由题意，双曲线即为，设，，，，则，，两式相减可得，，即，因为为弦的中点，所以，，且直线的斜率存在，故，所以直线的斜率，故直线的方程为，即，将直线方程代入中化简得，因为，所以直线与双曲线相交，所以直线方程为，故选项D正确．故选：BD【变式训练5-4】、（2021·全国·高三专题练习）已知双曲线：的左､右焦点分别为，，过作直线与双曲线的一条渐近线交于点，且，若是等腰三角形，且，则双曲线的离心率为___________.【答案】【分析】设出点的坐标，结合等腰三角形的性质，根据两点间距离公式，求出点的坐标，代入双曲线渐近线方程中，最后求出离心率.【详解】设，因为，所以为的中点.因为，所以.因为是等腰三角形，且，所以.由，可得，.因为点在渐近线上，所以，平方整理得，即，故离心率.故答案为：【点睛】关键点睛：利用等腰三角形的性质结合已知求出点的坐标是解题的关键.【变式训练5-5】、（2021·全国·高二课时练习）如图，已知抛物线的焦点为，直线过点且依次交抛物线及圆于、、、四点，则的最小值为_____．【答案】【分析】利用抛物线的定义表示出，，对直线的斜率是否存在进行讨论：当直线的斜率不存在时，，，当直线的斜率存在时，设：，用设而不求法表示出，利用基本不等式求最值.【详解】解：抛物线的准线为，所以，因为，由圆的半径为，所以.同理，当直线的斜率不存在时，，，当直线的斜率存在时，设：，由得，所以，所以，（取等号的条件为，即） 综上，的最小值为．故答案为：11【点睛】解析几何中的最值问题一般的求解思路：①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值；②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数或基本不等式求最值.知识点四 直线与双曲线位置关系例6、（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为．（1）求双曲线的方程；（2）经过点的直线与双曲线的右支交与两点，与轴交与点，点关于原点的对称点为点，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）由题意可得，，再结合可求出，从而可求出双曲线的方程；（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：，可得，，将直线方程与双曲线方程联立方程组，消去，利用根与系数的关系，从而可表示出，再由直线与双曲线的右支交与两点，可得，则，代入上式化简可求得结果【详解】解：（1）由题意得，，解得所以双曲线的方程为：（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：，得，，设，，联立，整理可得，所以所以直线与双曲线右支有两个交点，所以所以，设，所以【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是将直线方程与双曲线方程联立后，利用根与系数的有关系，从而可表示出，再结合，换元后求其最小值即可，考查计算能力，属于中档题例7．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为．（1）求双曲线的方程；（2）经过点的直线与双曲线的右支交与两点，与轴交与点，点关于原点的对称点为点，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）由题意可得，，再结合可求出，从而可求出双曲线的方程；（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：，可得，，将直线方程与双曲线方程联立方程组，消去，利用根与系数的关系，从而可表示出，再由直线与双曲线的右支交与两点，可得，则，代入上式化简可求得结果【详解】解：（1）由题意得，，解得所以双曲线的方程为：（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：，得，，设，，联立，整理可得，所以所以直线与双曲线右支有两个交点，所以所以，设，所以【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是将直线方程与双曲线方程联立后，利用根与系数的有关系，从而可表示出，再结合，换元后求其最小值即可，考查计算能力，属于中档题知识点五 抛物线的方程与性质1、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2、抛物线的标准方程与几何性质例8、(1)、若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为(　　)A.eq \f(1,2)　　　　　　　　　 B．1C.eq \f(3,2) D．2(2)、设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．【答案】　(1)B　(2)4【解析】　(1)设P(xP，yP)，由题可得抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.又点P到焦点F的距离为2，∴由定义知点P到准线的距离为2.∴xP＋1＝2，∴xP＝1.代入抛物线方程得|yP|＝2，∴△OFP的面积为S＝eq \f(1,2)·|OF|·|yP|＝eq \f(1,2)×1×2＝1.(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.（3）．（2021·全国·高三专题练习）如图，抛物线的一条弦经过焦点，取线段的中点，延长至点，使，过点，作轴的垂线，垂足分别为，则的最小值为__________．【答案】4【详解】试题分析：解：设点 的坐标为： ，由题意可知： ，由抛物线中定值的结论可知： ，据此可知： ，当且仅当 时等号成立，即 的最小值为4.点睛：本题考查圆锥曲线中的定值问题，定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．双曲线的定值结论结合均值不等式是解决本问题的关键所在. 【变式训练9-1】、（2021·江苏宝应·高二期中）抛物线的准线方程是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】将抛物线的方程化为标准方程，可得出该抛物线的准线方程.【详解】抛物线的标准方程为，则，可得，因此，该抛物线的准线方程为.故选：D.【变式训练9-2】、已知点F1，F2分别是双曲线3x2－y2＝3a2(a>0)的左、右焦点，点P是抛物线y2＝8ax与双曲线的一个交点，若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＝12，则抛物线的准线方程为__________．【答案】x＝－2【解析】 将双曲线方程化为标准方程得eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,3a2)＝1，抛物线的准线为x＝－2a，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)－\f(y2,3a2)＝1，,y2＝8ax))⇒x＝3a，即点P的横坐标为3a.而由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|PF1|＋|PF2|＝12，,|PF1|－|PF2|＝2a))⇒|PF2|＝6－a，又因为双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，所以|PF2|＝3a＋2a＝6－a，解得a＝1，所以抛物线的准线方程为x＝－2.【变式训练9-3】、（2021·山西·稷山县稷山中学高二阶段练习）如图所示，过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，交其准线于点，若，且，则的值为（ ）A．1 B．2 C． D．3【答案】B【分析】由抛物线的定义结合已知可得直线的倾斜角为45°，进而求出点坐标，再由抛物线定义结合的值求解.【详解】过作准线的垂线，垂足为，则，由，得直线的倾斜角为45°．设，由，得，．又，，．故选B.【变式训练9-4】、（2020·重庆市实验中学高二阶段练习）（多选题）2020年11月24日，我国在中国文昌航天发射场，用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，它将首次带月壤返回地球，我们离月球的“距离”又近一步了.已知点，直线，若某直线上存在点，使得点到点的距离比到直线的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ）A．点的轨迹曲线是一条线段B．不是“最远距离直线”C．是“最远距离直线”D．点的轨迹与直线：是没有交会的轨迹即两个轨迹没有交点【答案】BCD【分析】由题意结合抛物线的定义可得点的轨迹，可以判断选项A，根据抛物线的曲线性质可判断选项D，对于选项B和C，结合题意可知，判断直线是否是“最远距离直线”,只需要联立抛物线与直线方程，通过判断方程是否有解即可.【详解】由题意可得：点到点的距离比等于点到直线的距离，由抛物线的定义可知，点的轨迹是以为焦点的抛物线，即：，故A选项错误；对于选项B和C：判断直线是不是“最远距离直线”，只需要判断直线与抛物线是否有交点，所以联立直线与抛物线可得方程，易得方程无实根，故选项B正确；同理，通过联立直线与抛物线可得方程，易得方程有实根，故选项C正确；由于抛物线与其准线没有交点，所以选项D正确；故选：BCD.【点睛】抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．而抛物线的定义是我们解题的关键，牢记这些对解题非常有益．知识点六 直线与抛物线位置关系1、 与焦点弦有关的常用结论设A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4).(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2θ)(θ为AB的倾斜角)．(3)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)为定值eq \f(2,p).(4)以AB为直径的圆与准线相切．(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．2、设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2；(2)|AF|＝eq \f(p,1－cos α)，|BF|＝eq \f(p,1＋cos α)，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)(α为弦AB的倾斜角)；(3)eq \f(1,|FA|)＋eq \f(1,|FB|)＝eq \f(2,p)；(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．例10、如图，已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(2，1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)求抛物线的方程；(2)若∠APB的平分线垂直于y轴，求证：直线AB的斜率为定值．【解析】　(1)由已知条件，可设抛物线的方程为x2＝2py(p>0)．∵点P(2，1)在抛物线上，∴22＝2p×1，解得p＝2.故所求抛物线的方程为x2＝4y.(2)由题意知kAP＋kBP＝0，∴eq \f(y1－1,x1－2)＋eq \f(y2－1,x2－2)＝0，∴eq \f(\f(xeq \o\al(2,1),4)－1,x1－2)＋eq \f(\f(xeq \o\al(2,2),4)－1,x2－2)＝0，∴eq \f(x1＋2,4)＋eq \f(x2＋2,4)＝0，∴x1＋x2＝－4，∴kAB＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(\f(xeq \o\al(2,1),4)－\f(xeq \o\al(2,2),4),x1－x2)＝eq \f(x1＋x2,4)＝－1，∴直线AB的斜率为定值－1.例11．（2021·河北省曲阳县第一高级中学高二期中）已知直线过原点，且与圆交于，两点，，圆与直线相切，与直线垂直，记圆心的轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）过直线上任一点作的两条切线，切点分别为，，证明：①直线过定点；②．【答案】（1）；（2）①证明见解析；②证明见解析．【分析】（1）设，根据圆的性质分析得到，将其转化为关于的方程并化简，即可求得的方程；（2）①设出点的坐标，然后可求出切线的方程，由此可得直线的方程并分析所过的定点；②联立直线与曲线的方程，通过韦达定理计算出的值等于即可证明.【详解】（1）解：如图，设，因为圆与直线相切，所以圆Ａ的半径为．由圆的性质可得，即，化简得．因为与不重合，所以，所以的方程为．（2）证明：①由题意可知，与不重合．如图，设，，则，因为，所以切线的斜率为，故，整理得．设，同理可得．所以直线的方程为，所以直线过定点．②因为直线的方程为，由消去得，所以，．又，所以．【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的定点问题的策略：（1）参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到与过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；（2）由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.知识点七 直线与圆锥曲线方程的综合应用1、 直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点、仅有一个公共点以及有两个相异的公共点．(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程为f(x，y)＝0.由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,fx，y＝0，))消元(如消去y)，得ax2＋bx＋c＝0.①若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)．②若a≠0，设Δ＝b2－4ac.当Δ＞0时，直线和圆锥曲线相交于不同的两点；当Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点；当Δ＜0时，直线和圆锥曲线没有公共点．2、 直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长：eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(P1P2))＝eq \r(1＋k2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x1－x2))＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2])＝　eq \r(1＋\f(1,k2))eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(y1－y2))　.(2)斜率不存在时，可求出交点坐标，直接求解(利用坐标轴上两点间距离公式)．3、 圆锥曲线的中点弦问题遇到弦中点问题常用“点差法”或“根与系数的关系”求解．在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝　－eq \f(b2x0,a2y0)　；在双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝　eq \f(b2x0,a2y0)　；在抛物线y2＝2px(p>0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率　k＝eq \f(p,y0)　.在使用根与系数的关系时，要注意使用条件是Δ≥0.例12、（1）（2021·全国·高二专题练习）已知点，是椭圆上的两点，且线段恰为的一条直径，点关于轴的对称点为，设，直线与椭圆的另一个交点为，且直线，斜率之积为，则椭圆的离心率为____.【答案】．【分析】已知得关于原点对称，设，则，，由向量线性运算求得点坐标，求得的斜率关系，再设，用点差法可求得，再由已知斜率之积可得的等式，从而求得离心率．【详解】因为线段是圆的一条直径，所以关于原点对称，设，则，，又，即，，即，所以，，①设，则，又，相减得，，所以，②，而，③，由①②③可得，，所以．故答案为：．【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于的齐次等式．解题方法是设，由对称性得坐标，再得点坐标，用点差法求得，这样可利用直线的斜率得出关系式．（2）．（2021·海南华侨中学高二阶段练习）（多选题）关于方程且所对应的图形，下列说法正确的是（ ）A．若方程表示一个圆，则B．无论为何值时，该方程只可能表示一个圆或一个椭圆C．当时，方程表示一个焦点在轴上的椭圆D．当时，方程表示一个焦点在轴上的椭圆【答案】AD【分析】根据给定方程逐一分析各选项中的条件即可判断作答.【详解】对于A，方程表示一个圆，则，解得：，A正确；对于B，当时，，方程表示焦点在y轴上的双曲线，B不正确；当时，，方程表示一个焦点在轴上的椭圆，C不正确，D正确.故选：AD【变式训练12-1】、（2021·全国·高三专题练习）如图，过原点O的直线AB交椭圆C：（a＞b＞0）于A，B两点，过点A分别作x轴、AB的垂线AP，AQ分别交椭圆C于点P，Q，连接BQ交AP于一点M，若，则椭圆C的离心率是________.【答案】【分析】设，，根据已知条件得、、的坐标，、B，M，Q三点共线，以及，由，在椭圆上有，联立所得方程即可求离心率.【详解】设，，则，，，由，则①，由B，M，Q三点共线，则，即②.又因为，，即，③，将①②代入③得.【点睛】关键点点睛：根据已知点的坐标表示两线垂直以及三点共线，再结合点在椭圆上得到相关参数的方程，联立方程求椭圆离心率.【变式训练12-2】、（2021·江苏·高二课时练习）（多选题）抛物线的焦点为，动直线与抛物线交于两点且，直线分别与抛物线交于两点，则下列说法正确的是（ ）A．直线恒过定点 B．C． D．若于点，则点的轨迹是圆【答案】ABD【分析】由题意，，若，，则，联立直线与抛物线求，，进而求，即可得，可知A的正误；若，，，，由、求关于、表示的坐标，进而确定、的数量关系；设A中定点为，易知在以为直径的圆上，即的轨迹是圆.【详解】由题意，，若，，则，，∵，即，又联立直线与抛物线有，∴，，则，∴，而，即，故过定点，A正确；若，，，，由：，可得，则；由：，可得，则；∴，而且，故，B正确；，，∴，C错误；∵在直线上，又过定点且，∴，故在以为直径的圆上，D正确；故选：ABD【点睛】关键点点睛：设，，联立直线与椭圆方程，应用韦达定理求，，，求的数量关系；设点坐标，利用斜率的点斜式求、的数量关系；若，由垂直可得在以为直径的圆上.例13．（2021·江苏·高二专题练习）已知抛物线的准线为，M，N为直线上的两点，M，N两点的纵坐标之积为-8，P为抛物线上一动点，，分别交抛物线于A、B两点.（1）求抛物线E方程；（2）问直线是否过定点，请求出此定点；若不过定点，请说明理由【答案】（1）；（2）过定点.【分析】（1）由准线方程求出p，进而得到抛物线方程；（2）设、、，以及直线：，将其代入到抛物线方程，根据根与系数的关系得到：；根据P,A的坐标得到直线PA的方程，再由点P在抛物线上将直线方程化简，进而求出，同理求出，然后根据求出的值，最后解出答案.【详解】（1）由得，故抛物线方程.（2）设、、，直线方程为，代入抛物线方程化简得，则，由直线的斜率则直线的方程：，又，即直线的方程：，令，得，同理，，整理得.则，即，，故直线的方程：，即直线过定点.【点睛】抛物线压轴题的运算量一般都比较大，总体思路还是“设而不求”，题目需要什么就求什么；本题证明直线过定点，先设出直线方程，将其代入到抛物线方程，进而可以得到，因此接下来便利用求出的值即可.例14．（2021·广东·广州市增城区新塘中学高二期中）已知点在椭圆C：上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M、N两点，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，证明：存在常数λ，使得k1=λk2，并求出λ的值.【答案】（1）；（2）证明见解析，.【分析】（1）代入两点，解方程组，求出与；（2）A点与B点中心对称，设出A点与B点坐标，利用AD⊥AB，得到斜率之间的关系，表示出k1，k2，找到两者的倍数关系，求出λ的值【详解】（1）由题意得，解得∴椭圆C的方程为+y2=1.（2）设A(x1，y1)(x1y1≠0)，D(x2，y2)，则B(-x1，-y1).所以直线AB的斜率kAB=.设直线AD的方程为y=kx+m，由题意知k≠0，m≠0.因为AB⊥AD，所以k=-.由可得(1+3k2)x2+6mkx+3m2-3=0，所以x1+x2=-，y1+y2=k(x1+x2)+2m=.所以直线BD的斜率kBD==-=，所以直线BD的方程为y+y1=(x+x1)，令y=0，得x=2x1，即M(2x1，0)，可得k1=-，令x=0，得y=-，即N，可得k2=，所以k1=-k2，即λ=-，因此，存在常数λ=-使得结论成立.【点睛】求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．标准方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq \f(x2,b2)＋eq \f(y2,a2)＝1(a＞b＞0)图形性质范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b焦距eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c离心率e＝eq \f(c,a)，　　e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2标准方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq \f(b,a)xy＝±eq \f(a,b)x离心率e＝　eq \f(c,a)　，e∈(1，＋∞)a，b，c的关系c2＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(A1A2))＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(B1B2))＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴x轴y轴焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝1准线　x＝－eq \f(p,2)　　x＝eq \f(p,2)　　y＝－eq \f(p,2)　　y＝eq \f(p,2)　范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0))eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))＝　x0＋eq \f(p,2)　eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))＝　－x0＋eq \f(p,2)　eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))＝　y0＋eq \f(p,2)　eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))＝　－y0＋eq \f(p,2)