【期末全复习】人教版(2019)数学必修1-高一上学期期末：专题04 指数函数与对数函数的概念与简单性质（知识梳理）

专题04   指数函数与对数函数的概念与简单性质（知识梳理）

知识网络

重难点突破

知识点一  指数运算、对数运算与幂运算

1、 指数与指数运算

(1).；

(2).

(3).正分数指数幂：规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)

(4).负分数指数幂：规定：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)

(5).幂的运算性质

(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．

(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．

(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．

2、对数的性质、换底公式与运算性质

(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).

(2)对数的运算法则：如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么

①loga(MN)＝logaM＋logaN；   ②loga＝logaM－logaN；

③logaMn＝nlogaM(n∈R)；    ④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).

(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).

例1.（1）、（成都市2019-2020学年高一上学期期末调研考试）计算的值为（   ）

 A. B. C. D.

（2）．（2021·全国·高一专题练习）（   ）

A． B． C． D．

（3）．（2021·安徽·宿城一中高三月考（理））已知函数，则________．

【变式训练1-1】、（2021·全国·高一课时练习）计算27×7－log4＋ln e2－2lg 2－lg 25＝（    ）

A．20 B．21

C．9 D．11

【变式训练1-2】、（2021·黑龙江·大庆市东风中学高二期末（理））__________．

例2．（2021·广东高州·高一月考）（1）计算：；

（2）设，求的值．

【变式训练2-1】、（2021·全国·高一单元测试）计算：（1）；

（2）已知：，求

知识点二  指数函数与对数函数的概念及图像

3、指数函数及其性质

(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.

(2)指数函数的图象与性质

4、对数函数及其性质

(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).

(2)对数函数的图象与性质

例3．（1）、（2020·全国·高一课时练习）在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

（2）．（2021·河南·范县第一中学高一期中）某地野生薇甘菊的面积与时间的函数关系的图象如图所示，假设其关系为指数函数，并给出下列说法：

①此指数函数的底数为2；

②在第5个月时，野生薇甘菊的面积就会超过30 m2；

③设野生薇甘菊蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所需的时间分别为t1，t2，t3，则有t1＋t2＝t3；

④野生薇甘菊在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．

其中正确的说法有____(请把正确说法的序号都填在横线上)．

（3）．（2021·安徽·六安一中高一开学考试）已知函数 ，若正实数互不相等，且，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【变式训练3-1】、（2021·全国·高一单元测试）函数与，其中，且，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（    ）

A． B．

C． D．

【变式训练3-2】、（2022·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【变式训练3-3】、（2020·全国·高一单元测试）（多选题）如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80km的甲､乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息，其中正确的信息为（    ）

A．骑自行车者比骑摩托车者早出发3h，晚到1h

B．骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动

C．骑摩托车者在出发1.5h后追上了骑自行车者

D．骑摩托车者在出发1.5h后与骑自行车者速度一样

【变式训练3-4】、（2020·全国·高考真题（文））Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（    ）（ln19≈3）

A．60 B．63 C．66 D．69

知识点三  指数函数与对数函数的简单性质

例4．（2021·广东·广州市第九十七中学高一期中）某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年．

（1）求森林面积的年增长率；

（2）到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？

（3）为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林多少年（精确到整数）？

（参考数据：，）

【变式训练4-1】、（四川省成都市2019-2020学年高一上学期期末调研考试） 近年来,我国在航天领域取得了巨大成就,得益于我国先进的运载火箭技术.据了解,在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下,可以用公式计算火箭的最大速度.其中是喷流相对速度,是火箭(除推进剂外)的质量,是推进剂与火箭质量的总和.当称为“总质比".已知型火箭的喷流相对速度为.

(Ⅰ)当总质比为时,利用给出的参考数据求型火箭的最大速度﹔

(Ⅱ)经过材料更新和技术改进后,A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的倍,总质比变为原来的,若要使火箭的最大速度至少增加,求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.

参考数据：

例5．（1）、（2021·全国·高一课时练习）已知，求函数的最大值．

（2）、（2021·全国·高一单元测试）已知函数（且），．

（1）若，求的取值范围；

（2）求不等式的解集．

【变式训练5-1】、（2021·全国·高一课时练习）已知，，

（1）设，，，求的最大值与最小值；

（2）求的最大值与最小值.

【变式训练5-2】、（2020·全国·高一单元测试）已知函数.

（1）求函数的定义域；

（2）求y的最大值，并求取得最大值时的x值.

知识点四  比较大小

例6．（1）、（2020·山东·商河县第二中学高三期中）已知，b=log，c=log2，则（    ）

A．a>b>c B．b>c>a

C．c>b>a D．b>a>c

（2）．（2021·山东·昌乐二中高三月考）已知，，，则，，的大小关系为（    ）.

A． B． C． D．

（3）．（2020·贵州·蟠龙高中高二月考（文））设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【变式训练6-1】、（2021·辽宁朝阳·一模）若，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【变式训练6-2】、（成都市2019-2020学年高一上学期期末调研考试）设，，，则，，的大小关系是（   ）

 A． B． C． D．