【期末全复习】人教版(2019)数学必修1-高一上学期期末：专题05 指数型与对数型复合函数的性质（专题过关）

专题05   指数型与对数型复合函数的性质（专题过关）

考试时间：120分钟   满分：150分

一、选择题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（福建省三明市四地四校2022-2023学年高一上学期期中考试联考协作卷数学试题）若，则实数a的取值范围是（    ）

A．[，＋∞） B．（－∞，] C．（，] D．[，]

【答案】D

【分析】

利用幂函数的单调性解不等式即可.

【详解】

不等式可化为：

，解得：.

故选：D

2．（福建省三明市四地四校2022-2023学年高一上学期期中考试联考协作卷数学试题）若函数是奇函数，则使成立的x的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

由为奇函数，根据奇函数的定义可求a，代入即可求解不等式.

【详解】

∵是奇函数，，即，

整理可得， ，，，

，，

，解可得.

所以不等式的解集为

故选：D.

3．（2021·内蒙古·赤峰第四中学高三月考（理））已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据对数的单调性，指数函数的单调性，幂函数的单调性求解即可.

【详解】

因为，，

所以．

故选：B

4．（2021·广东·深圳实验学校高中部高一月考）函数的图像恒过定点P，若，则的最小值是（    ）

A．4 B．3 C．9 D．16

【答案】C

【分析】

由已知定点坐标为，从而可得，再根据结合基本不等式即可得出答案.

【详解】

解：由已知定点坐标为，由点在直线上，

，即，

又，，，

当且仅当，即，时，取等号．

所以的最小值是9.

故选：C.

5．（2021·广东·深圳实验学校高中部高一月考）“”是“函数为奇函数”的（    ）

A．充分不必要条件 B．充要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】

根据函数为奇函数，结合，解得，利用充分条件和必要条件，即可求解.

【详解】

由函数为奇函数，即，即，

可得，

所以，可得，

所以“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件.

故选：A.

6．（2021·河南商丘·高一月考）通过加强对野生动物的栖息地保护和拯教繁育，某濒危野生动物的数量不断增长，根据调查研究，该野生动物的数量（t的单位：年），其中K为栖息地所能承受该野生动物的最大数量.当时，该野生动物的濒危程度降到较为安全的级別，此时约为（）（    ）

A．9 B．10 C．11 D．12

【答案】C

【分析】

利用列方程，结合对数运算求得.

【详解】

解析根据题意，所以，所以，所以，得.

故选:C

7．（2021·四川·威远中学校高一月考（文））设函数则的值为(    )

A．2 B．3 C． D．

【答案】B

【分析】

x＝0＜3，故f(0)＝﹒

【详解】

f(0)＝，

故选：B﹒

8．（2021·重庆·字水中学高一期中）已知函数，若关于x的不等式的解集中有且仅有两个整数，则实数a的取值范围为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

首先由解析式得，得出关于对称，再得出在上单调递增，将原不等式转化为，然后对分，，讨论，解不等式即可.

【详解】

当时，

，

则，即关于对称

又当时，在定义域上单调递增，在上单调递增，故在上单调递增，

所以由得，

即，

当时，不等式无解；

当时，的解集有无穷大的部分，舍去；

当，且时，，

得，

，

显然当满足此式，不满足此式，

得满足此式，不满足此式，

，

解得

故选：A.

二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.

9．（2021·江苏·姜堰中学高一期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．函数是奇函数 B．函数是偶函数

C．函数在上是减函数 D．函数在上是增函数

【答案】AD

【分析】

利用奇偶性的定义来判断AB，利用增函数－减函数的单调性来判断CD.

【详解】

，函数的定义域为，

函数是奇函数，A正确，B错误；

为上的增函数，为上的减函数，

则函数为上的增函数，C错误，D正确.

故选：AD.

10．（2021·广东·深圳实验学校高中部高一月考）函数的值域为，则实数可能的取值有（    ）

A．5 B．1 C． D．3

【答案】AC

【分析】

函数的值域为，真数能取到任何一个正数，再根据与分别验证求实数的取值范围即可.

【详解】

函数的值域为，

真数能取到任何一个正数，

当时，即，则，与题意值域为不符，故舍去..

当，即，真数能取到任何一个正数， ，得到.

故选：AC.

11．（2021·全国·高一专题练习）(多选)某食品的保鲜时间t(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系t＝且该食品在4 ℃的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时刻的变化如图所示，则下列结论中正确的是（    ）

A．该食品在6 ℃的保鲜时间是8小时

B．当x∈[－6，6]时，该食品的保鲜时间t随着x的增大而逐渐减少

C．到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内

D．到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间

【答案】AD

【分析】

由题设可得即可写出解析式，再结合各选项的描述及函数图象判断正误即可.

【详解】

由题设，可得，解得，

∴，

∴，则，A正确；

时，保鲜时间恒为64小时，时，保鲜时间随增大而减小，B错误；

此日11时，温度超过11度，其保鲜时间不超过2小时，故到13时甲所购食品不在保鲜时间内，C错误；

由上分析知：此日14时，甲所购食品已过保鲜时间，D正确.

故选：AD.

12．（2021·河北·高碑店市崇德实验中学高一月考）已知函数则下列说法正确的是（    ）

A．的定义域为. B．若为奇函数，则

C．在上单调递减 D．若，则的值域为

【答案】ABD

【分析】

根据函数的定义域的求法，可判定A正确；根据函数的奇偶性列出方程，求得的值，可判定B正确，化简，结合指数函数的单调性，可判定C错误；化简函数，结合指数函数的值域，可判定D正确.

【详解】

由题意，函数，

对于A中，由，所以函数的定义域为，所以A正确；

对于B中，由函数为奇函数，则满足，即，

所以，即，

所以B不正确；

对于C中，由，

因为函数为单调递增函数，则递增函数，

所以函数在上单调递减，所以C不正确；

对于D中，当时，可得，

因为，可得，所以，

即函数的值域为，所以D正确.

故选：ABD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13．（2021·北京师大附中高一期中）求值：________．

【答案】

【分析】

结合指数幂的运算化简整理即可求出结果.

【详解】

，

故答案为：.

14．（“皖豫名校联盟体”2022-2023学年高三上学期第二次考试文科数学试题）已知函数（，）的最大值为，则实数_________.

【答案】16

【分析】

根据指数函数的单调性可得函数（，）的最大值为等价于的最小值为3，即的最小值为9，结合基本不等式可求实数.

【详解】

∵  函数在上为减函数，又数（，）的最大值为，

∴ 的最小值为3，即的最小值为9，

又由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，

∴ ，∴

故答案为：16.

15．（2021·重庆八中高一月考）若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】

首先画出函数的图象，结合图象，通过分类讨论分析方程根的个数；

由，得，结合分类讨论中的范围，分析两根是否在区间内，从而可求出实数的取值范围.

【详解】

画出函数的图象，如图所示，

当时，由，得，由图可知，此时方程有一个根，

由，得，因为，所以，

所以此时有两个不等实根，所以满足函数恰有三个零点；

当时，由，得，由图可知，此时方程有两个不等实根，

由，得，

所以要满足函数有三个零点，需，解得，又因为，所以；

当时，由，得，由图可知，此时方程有一个根，

又由，得，此时不满足函数恰有三个零点；

当时，由，得，由图可知，此时方程无实根，

此时不满足函数恰有三个零点.

故实数的取值范围是.

故答案为：

16．（2021·陕西·西安中学高三月考（理））设定义域为R的函数，若关于x的方程有8个不同的实根，到实数b的取值范围是___________.

【答案】

【分析】

由解析式画出函数图象，若且、为的两根，结合图像可知：、，再应用判别式、根与系数关系及对勾函数的值域求b的取值范围.

【详解】

由题设，的图象如下图示：

令，则化为，

∴要使原方程有8个不同实根，则有2个不同的实根且两根、，

∴，可得，又在上递减，在上递增，且，，即，

综上，.

故答案为：.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（2021·四川·威远中学校高一月考（文））计算下列各式.

（1）；

（2）.

【答案】

（1）；

（2）.

【分析】

（1）利用指数的运算性质可求得原式的值；

（2）利用对数的运算性质可求得原式的值.

（1）

解：原式.

（2）

解：原式.

18．（2021·四川·威远中学校高一月考（文））已知函数（且）.

（1）求函数的定义域；

（2）当时，求满足的实数的取值范围.

【答案】

（1）；

（2）.

【分析】

（1）利用对数的真数大于零可得出关于实数的不等式组，由此可解得原函数的定义域；

（2）利用对数函数的单调性可得出，即可解得的取值范围.

（1）

解：由已知可得，解得，因此，函数的定义域为.

（2）

解：由时，由，可得，

所以，，解得.

因此，当时，满足的实数的取值范围为.

19．（2021·内蒙古·赤峰二中高一月考（理））已知定义域为的函数是奇函数．

（1）求的值；

（2）若存在使得关于的不等式成立，求的取值范围

【答案】

（1），

（2）或

【分析】

(1)由已知在R上为奇函数，则且从而可求得；（2）分离参数则，求出最大值后则问题转化为关于的一元二次不等式.

（1）

因为是奇函数，所以，即，解得，

所以，

又由知，，解得；

此时，经检验得满足是的奇函数.

故，.

（2）

解：因为

所以

即

所以即，解得：或

所以的取值范围是或.

20．（2021·重庆八中高一月考）已知函数.

（1）若为上的奇函数，当时，，求时，的解析式；

（2）设，其中.若有且仅有一个零点，求的取值范围.

【答案】

（1）；

（2）.

【分析】

（1）根据函数的奇偶性，结合时的解析式，从而可求出时的解析式；

（2）根据，得到，

通过换元令，同时结合函数的定义域，把问题转化为方程在内只有一解，从而通过分类讨论即可求出实数的取值范围.

（1）

设，则，因为当时，，

所以，

因为为上的奇函数，

所以，

所以时，.

（2）

易知，

由，得，

即，整理，得，

令，则，

因为，所以由，得，即，

所以问题等价于方程在内只有一解.

当时，原方程为，所以，显然不满足题意；

当时，记，其对称轴方程为，

当时，对称轴，函数在内单调递减，且，

所以在内无解；

当时，对称轴，而恒成立，

所以在内只有一解.

综上知，实数的取值范围为.

21．（2021·辽宁葫芦岛·高一月考）已知函数满足.

（1）求的解析式；

（2）若对恒成立，求的取值范围，

【答案】

（1），.

（2）.

【分析】

（1）用代换得，与原函数关系式构成方程组，求解即可；

（2）令，得出的单调性，再根据函数是奇函数，将不等式转化为，令，得，根据二次函数的性质可求得的取值范围.

（1）

解：因为，所以或.

因为，（*），

所以用代换得，（**），

（*）（**）得，

故，.

（2）

解：由题意可知，恒成立，

令，该函数在上单调递增，在上单调递减，

所以在上单调递减.

因为，所以，即是奇函数.

由，得.

令，因为，所以，即.

两边平方得，则

令，则该函数在上单调递减，即，

所以，即，故的取值范围为.

22．（2021·安徽淮南·高一期末）已知定义域为的函数是奇函数.

（1）求实数的值；

（2）用定义证明函数在上为减函数；

（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.

【分析】

（1）根据计算出的值，然后再代入检验是否满足条件，由此确定出的值；

（2）设出自变量并给定大小关系，根据与的关系证明出函数单调性；

（3）先根据奇偶性将不等式变形为，然后根据函数单调性将函数值关系转变为自变量的关系，采用分离参数法求解出的取值范围.

【详解】

（1）因为为奇函数且定义域为，所以，所以，

当时，，所以为奇函数满足，

所以符合条件；

（2）任取且，所以，

所以，又，所以，，

所以，所以，

所以函数在上为减函数；

（3）因为且为奇函数，所以，

又因为函数在上为减函数，所以对恒成立，

所以对恒成立，

因为的对称轴为，所以在上单调递增，所以，

所以，即.

【点睛】

思路点睛：根据函数的奇偶性和单调性求解参数范围的思路：

（1）根据函数奇偶性将关于函数值的不等式转变为（或）的形式；

（2）根据函数单调性将关于函数值的不等关系转变为关于自变量的大小关系；

（3）采用分类讨论法或参变分离法求解出参数范围.