【期末全复习】人教版(2019)数学必修1-高一上学期期末：专题06 三角函数的图像与性质（专题过关）

专题06   三角函数的图像与性质（专题过关）

考试时间：120分钟   满分：150分

一、选择题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（2021·全国·高一课时练习）将函数的图象向右平移个单位与函数的图像重合，则可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

由题意可知平移后的解析式为，而，由于两函数图像重合，所以，从而可求出的值

【详解】

解析：由题可知，，

而，

所以，

从而，取，知，

故选：.

2．（2022·全国·高三专题练习）已知扇形面积为，半径是1，则扇形的圆心角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据扇形面积公式即可求出.

【详解】

设扇形的圆心角为，

则，即，解得.

故选：C.

3．（2021·全国·高三专题练习）函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是（    ）

A．函数为奇函数

B．函数的最小正周期为

C．函数的图象的对称轴为直线

D．函数的单调递增区间为

【答案】D

【分析】

根据图象得到函数解析式，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，可得解析式，分别根据正弦函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，对选项中的结论判断，从而可得结论.

【详解】

由图象可知

，，

∴，

则.

将点的坐标代入中，

整理得，

∴，

即；

，

∴，

∴.

∵将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，

∴.

，

∴既不是奇函数也不是偶函数，

故A错误；

∴的最小正周期，

故B不正确.

令，

解得，

则函数图像的对称轴为直线.

故C错误；

由，

可得，

∴函数的单调递增区间为.

故D正确；

故选：D.

【点睛】

关键点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，熟记正弦函数的奇偶性、单调区间、最小正周期与对称轴是解决本题的关键.

4．（2021·全国·高一单元测试）已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

利用诱导公式化简所求表达式，结合已知条件得出正确选项.

【详解】

因为，

故选：C.

【点睛】

本小题主要考查利用诱导公式进行化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题

5．（2020·全国·高一单元测试）sin 600°＋tan 240°的值等于（    ）

A．－ B．

C．－＋ D．＋

【答案】B

【分析】

分别利用诱导公式求得sin 600°和tan 240°的值，从而求得结果.

【详解】

sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－，

tan 240°＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝，

则 sin 600°＋tan 240°＝.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查诱导公式，意在考查学生的数学运算的学科素养，属基础题.

6．（2021·甘肃张掖·高一期末（理））如图是函数在一个周期内的图象，则其解析式是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

通过函数的图象可得到：A=3，，，则，然后再利用点在图象上求解.，

【详解】

由函数的图象可知：A=3，，，

所以，

又点在图象上，

所以，

即，

所以，

即，

因为，

所以

所以

故选：B

【点睛】

本题主要考查利用三角函数的图象求解析式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

7．（2021·福建·福州四中高一期末）已知函数f(x)=sinx，，将 f(x)的图象经过下列哪种变换可以与g(x)的图象重合

A．向左平移个单位，再把各点的横坐标缩短到原来的

B．向左平移个单位，再把各点的横坐标缩短到原来的

C．向左平移个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍

D．向左平移个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍

【答案】A

【分析】

根据正弦型函数的图像变换可以直接得到答案.

【详解】

先将的图像先向左平移个单位得到的图像，

再沿轴将横坐标压缩到原来的倍（纵坐标不变）得到的图像.

故选：A．

【点睛】

本题考查正弦型函数的图像变换，属于基础题型.

8．（2020·全国·高一课时练习）函数的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ）

A．的最小正周期是 B．在上单调递增

C．在上单调递增 D．直线是曲线的一条对称轴

【答案】C

【分析】

根据图像，可得，利用正弦函数的性质，结合整体法计算，以及对选项的排除法，可得结果.

【详解】

由图可知，，

该三角函数的最小正周期，

故A项正确；

所以，则.

因为，所以该函数的

一条对称轴为，

将代入，

则，

解得，

故.

令，

得，

令，则

故函数在上单调递增.故B项正确；

令，

得，

令，

故函数在上单调递减.故C项错误；

令，得，

令，

故直线是的一条对称轴.故D项正确.

故选C.

【点睛】

本题考查正弦型函数的性质，对这种问题要参照正弦函数的性质，并结合整体法解决问题，属中档题.

二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.

9．（2021·重庆·西南大学附中高一月考）要得到的图象，可以将函数y＝sinx的图象上所有的点（    ）

A．向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍

B．向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍

C．横坐标缩短到原来的倍，再把所得各点向右平行移动个单位长度

D．横坐标缩短到原来的倍，再把所得各点向右平行移动个单位长度

【答案】AD

【分析】

利用三角函数图象的平移变换和伸缩变换求解.

【详解】

将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度得到y＝sin(x)，

再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍得到y＝sin(2x)．

也可以将函数y＝sinx的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍得到y＝sin2x，

再把所得各点向右平行移动个单位长度得到y＝sin2(x)＝sin(2x)．

故选：AD．

10．（2021·全国·高三专题练习）如图是函数在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（    ）．

A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标仲长到原来的，纵坐标不变

C．把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度

D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

【答案】AC

【分析】

先根据图象求函数解析式，应先观察图象，确定“振幅”“周期”，再通过计算求，再借助图象变换规则即可得出结果.

【详解】

由图象知，A=1,T=π，所以=2，y=sin（2x+），将（，0）代入得：sin()=0，所以=kπ，，取=，得y=sin（2x+），

向左平移，得．然后各点的横坐标缩短到原来的，得．故A正确．

各点的横坐标缩短到原来的，得．然后向左平移个单位，得．故C正确．

故选：AC

【点睛】

本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数性质，图象的伸缩变换的规律：（1）把函数的图像向左平移个单位长度，则所得图像对应的解析式为，遵循“左加右减”；（2）把函数图像上点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍（），那么所得图像对应的解析式为，属于中档题.

11．（2020·海南·高考真题）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】

首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.

【详解】

由函数图像可知：，则，所以不选A,

当时，，

解得：，

即函数的解析式为：

.

而

故选：BC.

【点睛】

已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：

(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.

(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.

12．（2021·江苏·海安高级中学高二期末）关于函数，如下结论中正确的是（    ）．

A．函数的周期是

B．函数的值域是

C．函数的图象关于直线对称

D．函数在上递增

【答案】ACD

【分析】

根据周期定义判断A，结合周期性可求函数值域，判断B，利用对称性定义判断C，同样利用周期性判断D．

【详解】

A．∵，

∴，

∴是周期为的周期函数，A正确，

B．当时，，此时，，∴，又的周期是，∴时，值域是，B错；

C．∵，

∴函数的图象关于直线对称，C正确；

D．由B知时，，当时，，单调递增，而是周期为的周期函数，因此在上的图象可以看作是在上的图象向右平移单位得到的，因此仍然递增．D正确．

故选：ACD．

【点睛】

本题考查与三角函数有关的周期性、对称性、单调性、值域，解题关键是是函数的周期性，根据周期的定义证明周期性，然后可以在一个周期内研究函数的性质，再推广到整个定义域．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13．（2020·全国·高三专题练习（文））已知扇形弧长为cm，圆心角为100°，则该扇形的面积为________cm2.

【答案】

【分析】

先将化为弧度数为，再根据弧长公式求得半径，最后用扇形面积公式计算即可得答案.

【详解】

解：将化为弧度数为，

由弧长公式，得，

∴ .

故答案为：.

【点睛】

本题考查扇形的面积计算，角度与弧度的互化，是基础题.

14．（2020·全国·高一单元测试）函数y＝ 的定义域为________．

【答案】 (k∈Z)

【分析】

由根式知2cos－1 ≥ 0，利用余弦函数性质解不等式求定义域范围即可

【详解】

由2cos－1≥0，得cos≥

而－＋2kπ ≤ πx－ ≤ ＋2kπ (k∈Z)

解得2k ≤ x ≤ ＋2k (k∈Z)

故答案为： (k∈Z)

【点睛】

本题考查了余弦函数性质求定义域，先由根式性质列不等式，解三角函数不等式求定义域范围

15．（2021·云南·昆明八中高一开学考试）函数的单调减区间为__________．

【答案】

【分析】

根据余弦函数的单调递减区间，列出不等式求解，即可得出结果.

【详解】

由，得，，

即函数的单调减区间为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查求余弦型函数的单调区间，属于基础题型.

16．（2020·四川·威远中学校高三月考（文））已知函数.给出下列结论：

①的最小正周期为；

②是的最大值；

③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象.

其中所有正确结论的序号是________

【答案】①③

【分析】

对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.

【详解】

因为，所以周期，故①正确；

，故②不正确；

将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，

故③正确.

故答案为：①③.

【点睛】

该题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，属于基础题目.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（2020·全国·高一课时练习）已知.

(1)化简；

(2)若是第三象限角，且，求的值.

【答案】(1);(2).

【分析】

(1)根据诱导公式直接化简即可;

(2)由,可以利用诱导公式计算出,再根据角所在象限确定,进而得出结论.

【详解】

(1)根据诱导公式

,

所以;

(2)由诱导公式可知,即,

又是第三象限角,

所以,

所以.

【点睛】

本题主要考查诱导公式的运用,属于基础题.使用诱导公式时,常利用口诀“奇变偶不变,符号看象限”进行记忆.

18．（2021·甘肃·兰州市第二十七中学高一月考）如图，函数，其中的图象与y轴交于点．

（1）求的值；

（2）求函数的单调递增区间；

（3）求使的x的集合．

【答案】（1）,（2），,（3）

【分析】

（1）由函数图像过定点，代入运算即可得解；

（2）由三角函数的单调增区间的求法求解即可；

（3）由，求解不等式即可得解.

【详解】

解：（1）因为函数图象过点，

所以，即．因为，所以．

（2）由（1）得，

所以当，，

即，时，

是增函数，故的单调递增区间为，．

（3）由，得，

所以，，

即，，

所以时，x的集合为．

【点睛】

本题考查了利用函数图像的性质求解函数解析式，重点考查了三角函数单调区间的求法及解三角不等式，属基础题.

19．（2019·全国·高一课时练习）已知（为常数且）在上的最大值为2.

（1）求实数的值；

（2）把函数的图象向右平移单位长度，可得函数的图象，若在上单调递增，求的最大值.

【答案】（1）；（2）2.

【解析】

【分析】

（1）的最大值为,故.

（2）把函数的图象向右平移个单位长度,可得函数,求得的单调递增区间为,即是它的一个子集,所以,求得的最大值为2.

【详解】

（1）的最大值为.

因为函数在上的最大值为2,

所以,故.

（2）由（1）,知,

把函数的图象向右平移个单位长度,

可得函数,

又

的单调递增区间为,

又在上单调递增,

所以当时,

解得,所以的最大值为2.

【点睛】

本题考查了三角函数复合函数的最值、图像的平移和单调区间,若三角函数的性质不熟,亦可借助图像来理解.本题属于基础题.

20．（2021·全国·高三专题练习）已知函数，.

（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；

（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值.

【答案】（1）最小正周期为，单调减区间是，；（2），此时，，此时.

【分析】

（1）直接利用周期公式计算周期，再利用整体代入法求余弦型函数的单调减区间即可；

（2）先求出的取值范围，再利用余弦函数的性质求最值及取最值的条件即可.

【详解】

解：（1）的最小正周期.

令，解得，，此时时，单调递减，

的单调递减区间是，；

（2），则，

故，，

，此时，即，即；

，此时，即，即.

【点睛】

方法点睛：

解决三角函数的图象性质，通常利用余弦函数的图象性质，采用整体代入法进行求解，或者带入验证.

21．（2020·全国·高一单元测试）已知函数f(x)＝Asin，f(x)的部分图象如图所示，P，Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(1，A)．

（1）求f(x)的最小正周期及φ的值；

（2）若点R的坐标为(1，0)，∠PRQ＝，求A的值．

【答案】（1）6；φ＝；（2）.

【分析】

（1）利用最小正周期的计算公式即可求得结果；利用点的坐标，即可的范围；

（2）作出辅助线，根据几何关系，结合已知条件，即可求得.

【详解】

（1）f(x)的最小正周期T＝＝6.

因为P(1，A)为函数图象的最高点，

所以×1＋φ＝＋2kπ，k∈Z，

所以φ＝＋2kπ，k∈Z.又0<φ<，所以φ＝.

（2）因为Q为函数图象的最低点，P(1，A)，＝3，

所以点Q的坐标为(4，－A)．

因为R(1，0)，所以PR⊥OR，过点Q作QS⊥OR，交x轴于点S，

则∠QRS＝－＝.因为QS＝A，RS＝3，

所以tan∠QRS＝＝，即tan＝，

所以A＝.

【点睛】

本题考查根据三角函数的性质求解析式中的参数值，属中档题.

22．（2021·全国·高一课时练习）某地一天用电量y(单位：万度)随时间（单位：时）的变化曲线近似满足函数（），其部分图象如图所示．

（1）写出这段曲线的函数解析式；

（2）请问在该天的哪段时间该地用电量不超过35万度？

【答案】（1）；（2）该天的6~10时和18~22时该地用电量不超过35万度．

【分析】

（1）利用函数的图象，求解，，，，推出函数的解析式即可．

（2）利用函数的解析式，列出不等式转化求解即可．

【详解】

解（1）由图知，所以，

又由图象可得半周期为6，，故，

又当时，，，．

又

故．

（2）由，得

所以，，

或

或

因此，该天的6~10时和18~22时该地用电量不超过35万度