北京市通州区北关中学2022-2023学年上学期九年级数学第三次月考测试题(含答案)

这是一份北京市通州区北关中学2022-2023学年上学期九年级数学第三次月考测试题(含答案)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

北京市通州区北关中学2022-2023学年第一学期九年级数学第三次月考测试题（附答案）
一、选择题（满分24分）
1．中国传统扇文化有着深厚的底蕴，下列扇面图形是中心对称图形的是（　　）
A．B．C．D．
2．方程x2﹣x＝0的解是（　　）
A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝﹣1 D．x1＝0，x2＝1
3．有一个可以自由转动且质地均匀的转盘，被分成6 个大小相同的扇形．在转盘的适当地方涂上灰色，未涂色部分为白色．为了使转动的转盘停止时，指针指向灰色的概率为，则下列各图中涂色方案正确的是（　　）
A．B．C．D．
4．下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（　　）
A．它的图象经过点（﹣1，﹣2） B．当x＜0时，y随x的增大而减小
C．它的图象的对称轴是直线 x＝2 D．当x＝0时，y有最大值为0
5．如图，△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝2，A'D'＝3，则△ABC与△A'B'C'的面积的比为（　　）

A．4：9 B．9：4 C．2：3 D．3：2
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD．若点A（1，2），B（2，0），D（5，0），则点A的对应点C的坐标是（　　）

A．（2，5） B．（，5） C．（3，5） D．（3，6）
7．如图，数轴上有A、B、C三点，点A，C关于点B对称，以原点O为圆心作圆，若点A，B，C分别在⊙O外，⊙O内，⊙O上，则原点O的位置应该在（　　）

A．点A与点B之间靠近A点 B．点A与点B之间靠近B点
C．点B与点C之间靠近B点 D．点B与点C之间靠近C点
8．如图，AB是半圆O的直径，按以下步骤作图：
（1）分别以A，B为圆心，大于AO长为半径作弧，两弧交于点P，连接OP与半圆交于点C；（2）分别以A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点Q，连接OQ与半圆交于点D；（3）连接AD，BD，BC，BD与OC交于点 E．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论：
①BD平分∠ABC；②BC∥OD；③CE＝OE；④AD2＝OD•CE；所有正确结论的序号是（　　）

A．①② B．①④ C．②③ D．①②④
二、填空题（满分24分）
9．如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD＝2，DB＝3，DE＝1，则BC的长是　 　．

10．如图，点A、B、C、D、O都在方格纸上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为　 　．

11．已知反比例函数y＝，当x＞0时，y随x增大而减小，则m的取值范围是　 　．
12．若一个扇形的半径为3，圆心角是120°，则它的面积是 　 　．
13．小宇调查了初一年级三个班学生的身高，并进行了统计，列出如频数分布表：若要从每个班级中选取10名身高在160cm和170cm之间同学参加学校的广播操展示，不考虑其他因素的影响，则　 　（填“1班”，“2班”或“3班”）的可供挑选的空间最大．
身高/厘米
频数
班级
150≤x＜155
155≤x＜160
160≤x＜165
165≤x＜170
170≤x＜175
合计
1班
1
8
12
14
5
40
2班
10
15
10
3
2
40
3班
5
10
10
8
7
40
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象经过点A，B，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，连接OA，OB，则△OAC与△OBD的面积之和为　 　．

15．为测量附中国旗杆的高度，小宇的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板△DEF的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上．测得DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.6米，到旗杆的水平距离DC＝18米，按此方法，可计算出旗杆的高度为　 　米．

16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，记x＝AC，y＝BC﹣AC，在平面直角坐标系xOy中，定义（x，y）为这个直角三角形的坐标，Rt△ABC为点（x，y）对应的直角三角形．有下列结论：
①在x轴正半轴上的任意点（x，y）对应的直角三角形均满足AB＝BC；
②在函数y＝（x＞0）的图象上存在两点P，Q，使得它们对应的直角三角形相似；
③对于函数y＝（x﹣2020）2﹣1（x＞0）的图象上的任意一点P，都存在该函数图象上的另一点Q，使得这两个点对应的直角三角形相似；
④在函数y＝﹣2x+2020（x＞0）的图象上存在无数对点P，Q（P与Q不重合），使得它们对应的直角三角形全等．
所有正确结论的序号是　 　．

三、解答题（本题共72分，）
17．解方程：x2﹣2x＝2（x+1）．
18．如图，已知∠B＝∠C＝90°，点E在BC上，且满足AB＝4，BE＝2，CE＝6，CD＝3，
求证：AE⊥DE．

19．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）用配方法将y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象；
（3）当0≤x≤3时，y的取值范围是　 　．



20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝2，AC＝2
（1）求点O到AC的距离；
（2）求∠ADC的度数．

21．某市计划建设一项水利工程，运输公司接到任务后，计划每天运输土方2000m3，共计50天运完，但由于受到各种因素的影响，实际平均每天运输土方vm3，共计t天运输完成．
（1）请直接写出v关于t的函数关系式；
（2）为了给后续工程节省出时间，这批土方需要在40天内运输完成，求实际平均每天至少需要比原计划增加
多少土方运输量？
22．已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0
（1）c＝2b﹣1时，求证：方程一定有两个实数根．
（2）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，乙袋中装有4个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为b，从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为c，利用列表法或者树状图，求b、c的值使方程x2+bx+c＝0两个相等的实数根的概率．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx﹣1（k≠0）与函数y＝（x＞0）的图象交于点A（3，2）．
（1）求k，m的值；
（2）将直线l沿y轴向上平移t（t＞0）个单位后，所得直线与x轴，y轴分别交于点P，Q，与函数y＝（x＞0）的图象交于点 C．
①当t＝2时，求线段QC的长．
②若2＜＜3，结合函数图象，直接写出t的取值范围．

24．如图，在弧AB和弦AB所组成的图形中，P是弦AB上一动点，过点P作弦AB的垂线，交弧AB于点C，连接AC．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．
小宇根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小宇的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y1/cm
0
2.24
2.83
3.00
2.83
2.24
0
y2/cm
0
2.45
3.46
4.24
　 　
5.48
6
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当△APC有一个角是60°时，AP的长度约为　 　
25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径BD与AC交于点E，过点D作⊙O的切线，与BC的延长线交于点F．
（1）求证：∠F＝∠BAC；
（2）若DF∥AC，若AB＝8，CF＝2，求AC的长．

26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣a+4的顶点为A，点B，C为直线y＝3上的两个动点（点B
在点C的左侧），且BC＝3．
（1）求点A的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）若△ABC是以BC为直角边的等腰直角三角形，求抛物线的解析式；
（3）过点A作x轴的垂线，交直线y＝3于点D，点D恰好是线段BC三等分点且满足BC＝3BD，若抛物线与线段BC只有一个公共点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．
27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点C关于直线AB的对称点为D，连接BD，CD，过点B作BE∥AC交直线AD于点 E．
（1）依题意补全图形；
（2）找出一个图中与△CDB相似的三角形，并证明；
（3）延长BD交直线AC于点F，过点F作FH∥AE交直线BE于点H，请补全图形，猜想BC，CF，BH之间的数量关系并证明．

28．新定义：在平面直角坐标系xOy中，若几何图形G与⊙A有公共点，则称几何图形G的叫⊙A的关联图形，特别地，若⊙A的关联图形G为直线，则称该直线为⊙A的关联直线．如图，∠M为⊙A的关联图形，直线l为⊙A的关联直线．
（1）已知⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，下列图形：
①直线y＝2x+2；②直线y＝﹣x+3；③双曲线y＝，是⊙O的关联图形的是 　 　（请直接写出正确的序号）．
（2）如图1，⊙T的圆心为T（1，0），半径为1，直线l：y＝﹣x+b与x轴交于点N，若直线l是⊙T的关联直线，求点N的横坐标的取值范围．
（3）如图2，已知点B（0，2），C（2，0），D（0，﹣2），⊙I经过点C，⊙I的关联直线HB经过点B，与⊙I的一个交点为P；⊙I的关联直线HD经过点D，与⊙I的一个交点为Q；直线HB，HD交于点H，若线段PQ在直线
x＝6上且恰为⊙I的直径，请直接写出点H横坐标h的取值范围．



参考答案
一、选择题（满分24分）
1．解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
2．解：x（x﹣1）＝0，
x＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝0，x2＝1．
故选：D．
3．解：A、指针指向灰色的概率为2÷6＝，故选项错误；
B、指针指向灰色的概率为3÷6＝，故选项错误；
C、指针指向灰色的概率为4÷6＝，故选项正确；
D、指针指向灰色的概率为5÷6＝，故选项错误．
故选：C．
4．解：二次函数y＝2x2，当x＝﹣1时，y＝2，故它的图象不经过点（﹣1，﹣2），故A选项不合题意；
当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项B正确；
它的图象的对称轴是直线 y轴，故C选项不合题意；
当x＝0时，y有最小值为0，故D选项不合题意；
故选：B．
5．解：∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'分别是△ABC和△A′B′C′的高，AD＝2，A'D'＝3，
∴＝＝，
∴△ABC与△A'B'C'的面积的比＝（）2＝，
故选：A．
6．解：∵以原点O为位似中心，把线段 AB放大后得到线段CD，且B（2，0），D（5，0），
∴＝，
∵A（1，2），
∴C（，5）．
故选：B．
7．解：如图，观察图象可知，

原点O的位置应该在点B与点C之间靠近B点，
故选：C．
8．解：由作图可知，OP垂直平分线段AB，OQ平分∠AOC，故①正确，
∴OP⊥AB，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴∠AOD＝∠AOC＝45°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝45°，
∴∠AOD＝∠OBC＝45°，
∴OD∥BC，故②正确，
∴＝＜1，
∴OE＜EC，故③错误，
连接CD．
∵∠DCE＝∠DCO，∠CDE＝∠COD＝45°，
∴△DCE∽△OCD，
∴＝，
∴CD2＝OD•CE，
∵∠AOD＝∠DOC，
∴＝，
∴AD＝CD，
∴AD2＝OD•CE，故④正确，
故选：D．

二、填空题（满分24分）
9．解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DE：BC＝AD：AB，
∵AD＝2，DB＝3，
∴AB＝AD+BD＝5，
∴1：BC＝2：5，
∴BC＝2.5，
故答案为：2.5．

10．解：∵△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，
∴∠AOC为旋转角，
∵∠AOB＝45°，
∴∠AOC＝135°，即旋转角为135°．
故答案为：135°．
11．解：∵反比例函数y＝，当x＞0时，y随x增大而减小，
∴m﹣2＞0，
解得：m＞2．
故答案为：m＞2．
12．解：扇形的面积＝＝3π，
故答案为3π．
13．解：身高在160cm和170cm之间同学人数：一班26人，二班13人，三班18人，
因此可挑选空间最大的是一班，
故答案为：1班．
14．解：∵函数y＝（x＞0）的图象经过点A，B，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，
∴S△OAC＝S△OBD＝×2＝1，
∴S△OAC+S△OBD＝1+1＝2．
故答案为2．
15．解：∵CD⊥AB，△DEF为直角三角形，
∴∠DEF＝∠ACD，
∵∠ADC＝∠FDE，
∴△ACD∽△FED，
∴＝，
∵DE＝0.5米，EF＝0.25米，DC＝18米，
∴＝，
∴AC＝9米，
∵DG＝1.6米，
∴BC＝1.6米，
∴AB＝10.6米，
故答案为：10.6．
16．解：①∵在x轴正半轴上的任意点（x，y），
∴y＝0，
∴AC＝BC，
∴AB＝BC；
②设P（x1，），Q（，），
则对应的直角三角形的直角边分别为x1，x1+；，+，
若两个三角形相似，则有＝，
∴＝，
∵x＞0，
∴x1＝，
∴不存在两点P，Q，使得它们对应的直角三角形相似；
③设P（x1，（x1﹣2020）2﹣1），Q（，（﹣2020）2﹣1），
则对应的直角三角形的直角边分别为x1+（x1﹣2020）2﹣1，x1；，+（﹣2020）2﹣1，
若两个三角形相似，则有＝，
∴（x1﹣）（x1+1﹣20202）＝0，
∵x＞0，
∴x1+1＝20202，
∴图象上的任意一点P，都存在该函数图象上的另一点Q，使得这两个点对应的直角三角形相似；
④设P（x1，﹣2x1+2020），Q（，﹣2+2020），
则对应的直角三角形的直角边分别为x1，﹣x1+2020；，﹣+2020，
若两个三角形全等，则有x1＝﹣+2020，＝﹣x1+2020，
∴+x1＝2020，
∵x＞0，
∴图象上存在无数对点P，Q，使得它们对应的直角三角形全等；
故答案为①③④．
三、解答题（满分72分）
17．解：整理得x2﹣4x＝2，
x2﹣4x+4＝2+4，即（x﹣2）2＝6，
∴x﹣2＝，
∴x1＝2+，x2＝2﹣．
18．证明：∵AB＝4，BE＝2，CE＝6，CD＝3，
∴，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△ECD，
∴∠A＝∠CED，
∵∠B＝90°，
∴∠A+∠AEB＝90°，
∴∠CED+∠AEB＝90°，
∴∠AED＝180°﹣∠AEB﹣∠CED＝90°，
∴AE⊥DE．
19．解：（1）y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1；
（2）这个二次函数的图象如图：

（3）当0≤x≤3时，﹣1≤y≤3．
故答案为﹣1≤y≤3．
20．解：（1）连接OA，作OH⊥AC于H，
OA2+OC2＝8，AC2＝8，
∴OA2+OC2＝AC2，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴OH＝AC＝，即点O到AC的距离为；
（2）由圆周角定理得，∠B＝∠AOC＝45°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC＝180°﹣45°＝135°．

21．解：（1）由题意得：v＝＝；
（2）当t＝40时，v＝＝2500，
2500﹣2000＝500（m3），
答：实际平均每天至少需要比原计划增加500m3土方运输量．
22．（1）证明：∵Δ＝b2﹣4•c＝b2﹣c，
∴将c＝2b﹣1代入得：Δ＝b2﹣（2b﹣1）＝b2﹣2b+1＝（b﹣1）2≥0，
∴方程一定有两个实数根．
（2）解：画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，若方程有两个相等的实数根，Δ＝b2﹣4•c＝b2﹣c＝0，
∴b2＝c，满足条件的结果有（1，1）和（2，4），共2种，
∴P（b、c的值使方程x2+bx+c＝0两个相等的实数根的概率）＝．
23．解：（1）将点A（3，2）的坐标分别代入y＝kx﹣1（k≠0）与y＝（x＞0）中，得
2＝3k﹣1，2＝，
∴k＝1，m＝6；
（2）①∵直线y＝kx﹣1与y轴交于点（0，﹣1），
∴当t＝2时，Q（0，1）．
此时直线解析式为y＝x+1，代入函数y＝中，整理得，x（x+1）＝6，
解得x1＝﹣3（舍去），x2＝2，
∴C（2，3），
∴QC＝＝2．
②如图，作CD⊥x轴于D，
若＝2时，则＝2，＝3，
∵直线解析式系数k＝1，
∴OP＝OQ，
设OP＝OQ＝a，
∴OD＝2a，CD＝3a，
∴CD＝＝，
∴3a＝，
解得a＝1，
∴此时t＝1+1＝2，
若＝3时，则＝3，＝4，
∵直线解析式系数k＝1，
∴OP＝OQ，
设OP＝OQ＝a，
∴OD＝3a，CD＝4a，
∴CD＝＝，
∴4a＝，
解得a＝±，
∴此时t＝1±，
∴若2＜＜3，结合函数图象，得出t的取值范围是1+＜t＜2．

24．解：（1）利用测量法可知：当x＝4时，y2＝4.90．
故答案为4.90．
（2）函数图象如图所示：

（3）函数y1与直线y＝x的交点的横坐标为1.50，
函数y1与直线y＝x的交点的横坐标为4.50，
故当△APC有一个角是60°时，AP的长度约为1.50或4.50．
故答案为1.50或4.50．
25．（1）证明：∵DF是⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∴∠ODF＝90°，
∴∠F+∠DBC＝90°，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAC+∠DAC＝90°，
∵∠DBC＝∠DAC，
∴∠BAC＝∠F
（2）解：连接CD，

∵DF∥AC，∠ODF＝90°，
∴∠BEC＝∠ODF＝90°，
∴直径BD⊥AC于E，
∴AE＝CE＝AC，
∴AB＝BC，
∵AB＝8，
∴BC＝8，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠DBC+∠BDC＝90°，
∵∠DBC+∠F＝90°，
∴∠BDC＝∠F，
∵∠BCD＝∠FCD＝90°，
∴△BCD∽△DCF，
∴，
∵BC＝8，CF＝2，
∴DC＝4，
∴＝4．
∵在△BCD中，，
∴，
∴AC＝2CE＝．
26．解：（1）y＝x2﹣2ax+a2﹣a+4＝（x﹣a）2+4﹣a，
故点A（a，4﹣a）；

（2）点A所在的直线为：y＝4﹣x，
联立y＝4﹣x与y＝3并解得：x＝1，故两个直线的交点为（1，3）；
①当点C的坐标为：（1，3）时，
则点B（﹣2，3），点A（﹣2，6），a＝﹣2，
故抛物线的表达式为：y＝（x+2）2+6；
②当点B的坐标为：（1，3）时，
则点A（4，0），则a＝4，
故抛物线的表达式为：y＝（x﹣4）2；
综上，抛物线的表达式为：y＝（x+2）2+6或y＝（x﹣4）2；
（3）点A（a，4﹣a），则点D（a，3），
BC＝3BD，则点B、C的坐标分别为：（a﹣1，3）、（a+2，3），
将抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣a+4与直线y＝3联立并解得：x＝a±，

故点E、F的坐标分别为：（a﹣，3）、（a+，3），
①当a＝1时，点E、B、C、F的坐标分别为：（1，3）、（0，3）、（2，3）、（1，3），而点A（1，3），
此时，抛物线于BC只有一个公共点；
②当a＞1时，
当点C、F重合时，则a+＝a+2，解得：a＝5；
当点B、E重合时，a﹣＝a﹣1，解得：a＝2，
故2＜a≤5；
综上，a＝1或2＜a≤5．
27．解：（1）如图1所示：

（2）与△CDB相似的三角形是△ABE，
理由如下：∵点C关于直线AB的对称点为D，
∴CH＝DH，AB⊥CD，
∴AB是CD的垂直平分线，
∴AD＝AC，BC＝BD，且AB⊥CD，
∴∠ACD＝∠ADC，∠CAB＝∠DAB，∠BCD＝∠BDC，∠DBA＝∠CBA，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠CAB＝90°，且∠ABC+∠BCH＝90°，∠BAC+∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠BAC，∠ACD＝∠ABC，
∴∠DAB＝∠BCD＝∠BAC＝∠BDC，
∵AC∥BE，
∴∠CAB＝∠ABE，
∴∠CDB＝∠ABE，且∠DAB＝∠BCD，
∴△BCD∽△EAB；
（3）BH•FC＝BC2+CF2，
理由如下：
如图2，

∵∠ACB＝90°，
∴BC2+CF2＝BF2，
∵△BCD∽△EAB，
∴∠AEB＝∠CBD，
∵AE∥FH，
∴∠H＝∠AEB＝∠CBD，
∵AC∥BE，
∴∠CFB＝∠FBH，
∴△FCB∽△BFH，
∴，
∴BF2＝BH•FC，
∴BH•FC＝BC2+CF2．
28．解：（1）由题意①③是⊙O的关联图形，
故答案为①③．
（2）如图1中，

∵直线l1y＝﹣x+b是⊙T的关联直线，
∴直线l的临界状态是和⊙T相切的两条直线l1和l2，
当临界状态为l1时，连接TM（M为切点），
∴TM＝1，TM⊥MB，且∠MNO＝45°，
∴△TMN是等腰直角三角形，
∴TN＝，OT＝1，
∴N（1+，0），
把N（1+，0）代入y＝﹣x+b中，得到b＝1+，
同法可得当直线l2是临界状态时，b＝﹣+1，
∴点N的横坐标的取值范围为﹣+1≤Nx≤+1．

（3）如图3﹣1中，当点Q在点P是上方时，连接BQ，PD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H与点C重合，此时H（2，0），得到h的最大值为2，

如图3﹣2中，当点P在点Q是上方时，直线PB，QD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H（﹣6，0）得到h的最小值为﹣6，

综上所述，﹣6≤h＜0，0＜h≤2．