湖北省武汉市江汉区求实学校2022-2023学年上学期九年级数学第三次月考测试题(含答案)

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湖北省武汉市江汉区求实学校
2022-2023学年第一学期九年级数学第三次月考测试题（附答案）
一、选择题（共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上 B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯C．如果a2＝b2，那么a＝b D．将花生油滴在水中，油会浮在水面上
3．利用配方法解方程x2+4x﹣5＝0，经过配方，得到（　　）
A．（x+2）2＝9 B．（x﹣2）2＝9 C．（x+4）2＝9 D．（x﹣4）2＝9
4．如图（1）是博物馆展出的古代车轮实物．为测量车轮半径，如图（2）所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．经测量：AB＝90cm，CD＝15cm，则OA的长度是（　　）

A．60cm B．65cm C．70cm D．75cm
5．若方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（　　）
A．12 B．10 C．7 D．4
6．将抛物线y＝x2+3x+2向右平移a单位正好经过原点，则a的值为（　　）
A．a＝1 B．a＝2 C．a＝﹣1或a＝1 D．a＝1或a＝2

7．如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AB＝1，∠B＝60°，则CD的长为（　　）

A．0.5 B．1.5 C． D．1
8．有两把不同的锁和三把不同的钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，其余的钥匙不能打开这两把锁．现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁，则一次打开锁的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，AB为⊙O的直径，点C为的中点，D、E为圆上动点，且D、E关于AB对称，将沿AD翻折交AE于点F，使点C恰好落在直径AB上点C处，若⊙O的周长为10，则的长为（　　）

A．1 B．1.25 C．1.5 D．2
10．已知经过点（﹣1，0）且对称轴为x＝1的二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③4a+2b+c＞0；④2a＝b；⑤3a+c＜0．其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（共18分）
11．在平面直角坐标系xOy中，将点（﹣2，3）绕原点O旋转180°，所得到的对应点的坐标为　 　．
12．如图，激光打靶游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，若某人用激光枪向打靶游戏板发射激光一次（光点落在游戏板上），则光点落在涂色部分的概率是 　 　．

13．为了保障医护人员在抗击疫情期间的个人防护安全，我市不断增加一线医疗工作者的医疗防护保障资金，2019年我市一线医疗工作者年人均医疗防护费用为20000元，2021年人均医疗防护费用为24200元．则2019年到2021年我市一线医疗工作者年人均医疗防护费用的年平均增长率是 　 　．
14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为直径，BC＝4，点E是△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于点D，则DE＝　 　．

15．下列关于二次函数y＝x2﹣2ax+4a（a为常数）的结论：
①该函数的图象与x轴有两个交点时，a必大于4；
②该函数的图象必过一定点；
③该函数的图象随着a的取值变化时，其顶点会两次落在x轴上；
④点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在该函数的图象上，若a＞﹣1且﹣a＜x1＜x2时，y1＜y2．
其中正确的结论是 　 　（填写序号）．
16．如图，直线MN过正方形ABCD的顶点A，且∠NAD＝30°，AB＝2，P为直线MN上的动点，连BP，将BP绕B点顺时针旋转60°至BQ，连CQ，CQ的最小值是 　 　．

三、解答题（共72分）
17．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有一个根是x＝3，求c与另一个根．
18．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A、D、E在同一条直线上，且∠ACB＝20°，求∠CAE及∠B的度数．

19．防疫期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，该校小明和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园．
（1）小明从A测温通道通过的概率是　 　；
（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率．
20．如图，由小正方形构成的10×10网格，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙O经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留连线痕迹）
（1）在图（1）中作线段AB的垂直平分线；
（2）在图（2）中的⊙O上画一点E，使＝；
（3）在图（3）中过A，B，C的圆上找一点F，使AF平分∠CAB．

21．如图（1），⊙O与矩形ABCD的边AB相切于点H，与边AD，BC分别交于点G，E，F，K，＝．
（1）求证：∠AEH＝∠BFH；
（2）如图（2），连接GF，连接DF交⊙O于点M，且GM平分∠DGF，若半径＝5，ED＝4，求BK．

22．我市“佳禾”农场的十余种有机蔬菜在北京市场上颇具竞争力．某种有机蔬菜上市后，一经销商在市场价格为10元/千克时，从“佳禾”农场收购了某种有机蔬菜2000 千克存放入冷库中．据预测，该种蔬菜的市场价格每天每千克将上涨0.2元，但冷库存放这批蔬菜时每天需要支出各种费用合计148元，已知这种蔬菜在冷库中最多保存90天，同时，平均每天将会有6千克的蔬菜损坏不能出售．
（1）若存放x天后，将这批蔬菜一次性出售，设这批蔬菜的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式．
（2）经销商想获得利润7200元，需将这批蔬菜存放多少天后出售？（利润＝销售总金额﹣收购成本﹣各种费用）
（3）经销商将这批蔬菜存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？
23．问题背景
如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，直线l绕着点A顺时针旋转，过B，C两点分别向直线l作垂线BD，CE，垂足为D，E，此时△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小（取最小旋转角度）．
尝试应用
如图2，△ABC为等边三角形，直线l绕着点A顺时针旋转，D、E为直线l上两点，∠BDA＝∠AEC＝60°．△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到吗？若可以，请指出旋转中心O的位置并说明理由；
拓展创新
如图3，在问题背景的条件下，若AB＝2，连接DC，直接写出CD的长的取值范围．

24．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（m，n）．
（1）若抛物线y＝ax2+bx+c过原点，m＝2，n＝﹣4，求其解析式；
（2）如图（1），在（1）的条件下，直线l：y＝﹣x+4与抛物线交于A、B两点（A在B的左侧），M、N为线段AB上的两个点，MN＝2，在直线l下方的抛物线上是否存在点P，使得△PMN为等腰直角三角形？若存在，求出M点横坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图（2），抛物线y＝ax2+bx+c与x轴负半轴交于点C，与y轴交于点G，P点在点C左侧抛物线上，Q点在y轴右侧抛物线上，直线CQ交y轴于点F，直线PC交y轴于点H，设直线PQ解析式为y＝kx+t，当S△HCQ＝2S△GCQ，试证明是否为一个定值．


参考答案
一、选择题（共30分）
1．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
2．解：A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上是随机事件．
B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯是随机事件；
C．如果a2＝b2，那么a＝b，也可能是a＝﹣b，此事件是随机事件；
D．将花生油滴在水中，油会浮在水面上是必然事件；
故选：D．
3．解：x2+4x﹣5＝0，
x2+4x＝5，
x2+4x+4＝5+4，
（x+2）2＝9，
故选：A．
4．解：设⊙O的半径为rcm，
∵OD⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝45cm，
在Rt△OAD中，∵OA＝r，OD＝r﹣15，AD＝45，
∴452+（r﹣15）2＝r2，
解得r＝75，
即OA的长为75cm．
故选：D．
5．解：∵方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为α，β，
∴α+β＝3，αβ＝1，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝9﹣2＝7，
故选：C．
6．解：y＝x2+3x+2＝（x+）2﹣，
将抛物线y＝x2+3x+2向右平移a单位得到y＝（x+﹣a）2﹣，
∵平移后的抛物线经过原点，
∴0＝（0+﹣a）2﹣
解得a＝1或a＝2．
故选：D．
7．解：∵∠BAC＝90°，∠B＝60°，
∴BC＝2AB＝2，
∵Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，
∴AD＝AB，
而∠B＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD＝AB＝1，
∴CD＝BC﹣BD＝2﹣1＝1．
故选：D．
8．解：列表如下：（其中1，2，3分别表示三把钥匙，a，b表示两把锁，1能开启a，2能开启b），

1
2
3

a
（1，a）
（2，a）
（3，a）

b
（1，b）
（2，b）
（3，b）

所有等可能的情况有6种，任意取出一把钥匙去开任意一把锁，一次就能打开锁的情况有2种，（1，a），（2，b），
则P＝．
故选：B．
9．解：连接AC、BC、CC'，DE，

∵AB为⊙O的直径，点C为的中点，
∴∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵将沿AD翻折交AE于点F，使点C恰好落在直径AB上点C处，
∴AD是CC'的垂直平分线，
∴∠CAD＝∠BAD＝22.5°，
∵D、E关于AB对称，
∴AB是DE的垂直平分线，
∴∠DAB＝∠EAB＝22.5°．
设的圆心为O'，则O与O'关于AD对称，
∴OA＝O'A，
连接O'F，OO'，则O'在AC上，O'A＝O'F，
∴∠O'AF＝22.5°×3＝67.5°＝∠O'FA，
∴∠AO'F＝180°﹣2×67.5°＝45°．
∵⊙O的周长为10，
∴⊙O的半径为．
∴O'A＝，
∴的长为＝1.25．
故选：B．
10．解：由图可知，抛物线对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，即b＝﹣2a，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
由图象经过点（﹣1，0）可得，a﹣b+c＝0，故②错误；
∵抛物线对称轴是直线x＝1，
∴x＝0和x＝2时，函数值相等，
而x＝0时c＞0，
∴4a+2b+c＞0，故③正确；
∵b＝﹣2a，
∴④错误；
∵a﹣b+c＝0，b＝﹣2a，
∴a﹣（﹣2a）+c＝0，即3a+c＝0，故⑤错误；
∴正确的有③，共1个，
故选：A．
二、填空题（共18分）
11．解：点（﹣2，3）绕原点O旋转180°，所得到的对应点的坐标为（2，﹣3）．
故答案为（2，﹣3）．
12．解：∵总面积为4×4＝16，其中阴影部分面积为4，
∴光点落在涂色部分的概率是＝；
故答案为：．
13．解：设2019年到2021年我市一线医疗工作者年人均医疗防护费用的年平均增长率是x，
依题意得：20000（1+x）2＝24200，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
∴2019年到2021年我市一线医疗工作者年人均医疗防护费用的年平均增长率是10%．
故答案为：10%．
14．解：如图，连接BD，CD，EC．

∵点E是△ABC的内心，
∴∠DAB＝∠DAC，∠ECA＝∠ECD，
∵∠DCB＝∠DAB，∠DEC＝∠EAC+∠ECA，∠ECD＝∠ECB+∠DCB，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴DE＝DC，
∵BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
∵∠DAB＝∠DAC，
∴＝，
∴BD＝DC，
∵BC＝4，
∴DC＝DB＝2，
∴DE＝2，
故答案为2．
15．解：∵该函数的图象与x轴有两个交点，
∴Δ＝（﹣2a）2﹣4×4a＞0，
∴4a（a﹣4）＞0，
∴a＜0或a＞4．
∴①错误．
∵x＝2时，y＝4﹣4a+4a＝4，
∴抛物线过定点（2，4）．
∴②正确．
∵y＝x2﹣2ax+4a＝（x﹣a）2+4a﹣a2，
∴顶点为（a，4a﹣a2）．
当4a﹣a2＝0时，a＝0或a＝4，
∴③正确．
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝a，
∴当x＜1时，y随x的增大而减少，x＞1时，y随x的增大而增大，
∵a＞﹣1，
∴﹣a＜1
∴点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在该函数的图象上，﹣a＜x1＜x2时，y1，y2的大小关系不确定．
∴④错误．
故答案为：②③．
16．解：以AB为边，在AB右侧作等边△ABE，射线AE交CD于T，过C作CH⊥射线AE于H，如图：

∵△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE，∠ABE＝60°，
∵BP绕B点顺时针旋转60°至BQ，
∴∠PBQ＝60°，PB＝QB，
∴∠PBQ＝∠ABE，
∴∠PBA＝∠QBE，
在△ABP和△EBQ中，
，
∴△ABP≌△EBQ（SAS），
∴∠PAB＝∠QEB＝60°，
∴P在直线MN上运动时，Q在直线AE上运动，即Q的运动轨迹是直线AE，
∴当Q运动到H时，CQ最小，最小值即是CH的长度，
∵∠DAT＝∠DAB﹣∠EAB＝30°，AD＝AB＝2＝CD，
∴DT＝2×tan30°＝，
∴CT＝CD﹣DT＝2﹣，
∵∠HTC＝∠TAB＝60°，
∴CH＝CT•sin60°＝（2﹣）×＝﹣，
即CQ的最小值是﹣，
故答案为：﹣．
三、解答题（共72分）
17．解：当x＝3时，原方程为32﹣4×3+c＝0，
解得：c＝3．
设方程的另一个根为x1，
根据题意得：3+x1＝4，
解得：x1＝1．
∴c的值为3，方程的另一个根为1．
18．解：根据旋转的性质可知CA＝CE，且∠ACE＝90°，
所以△ACE是等腰直角三角形．
所以∠CAE＝45°；
根据旋转的性质可得∠BCD＝90°，
∵∠ACB＝20°．
∴∠ACD＝90°﹣20°＝70°．
∴∠EDC＝45°+70°＝115°．
所以∠B＝∠EDC＝115°．
19．解：（1）小明从A测温通道通过的概率是，
故答案为：；
（2）列表格如下：

A
B
C
A
A，A
B，A
C，A
B
A，B
B，B
C，B
C
A，C
B，C
C，C
由表可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小丽从同一个测温通道通过的有3种可能，
所以小明和小丽从同一个测温通道通过的概率为＝．
20．解：（1）如图，CD所在的直线即为AB的垂直平分线，

（2）找到格点D，使得AD＝BD，连接OD并延长，交⊙O于点E，如下图：

则点E即为所求；
（3）连接BC，找到格点D、E，使得CD＝DB、CE＝BE，连接DE，交圆O于点F．连接AF，则AF即为所求，如下图：

21．（1）证明：连接OH，OE，OF，如图（1），

则OH＝OE＝OF，
∵，
∴EH＝FH，
在△OEH和△OFH中，
，
∴△OEH≌△OFH（SSS），
∴∠OHE＝∠OHF，
∵⊙O与矩形ABCD的边AB相切于点H，
∴OH⊥AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴OH∥AD∥BC，
∴∠AEH＝∠OHE，∠BFE＝∠OHF，
∴∠AEH＝∠BFH；
（2）解：连接EF、GK、OH，过点O作OP⊥KF于P，如图（2），

在△AHE和△BHF中，
，
∴△AHE≌△BHF（AAS），
∴AE＝BF，
∵AE∥BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴∠AEF＝90°，
∴GF是⊙O的直径，
∴∠GMF＝∠GMD＝90°，
∵∠DGM＝∠FGM，
∴∠GDM＝∠GFM，
∴GD＝GF＝2OF＝10，
∵DE＝4，
∴EG＝10﹣4＝6，
∵GF为直径，
∴∠GKF＝90°＝∠EFK＝∠GEF，
∴四边形GEFK是矩形，
∴FK＝EG＝6，
∵OP⊥FK，
∴PK＝PF＝3，
∵AB是⊙O的切线，
∴∠OHB＝90°＝∠HBK＝∠BKO，
∴四边形BHOK为矩形，
∴BP＝OH＝5，
∴BK＝BP+PF﹣FK＝5+3﹣6＝2．
22．解：（1）由题意得y与x之间的函数关系式为：
y＝（10+0.2x）（2000﹣6x）＝﹣1.2x2+340x+20000（1≤x≤90）；
（2）由题意得：﹣1.2x2+340x+20000﹣10×2000﹣148x＝7200，
解方程得：x1＝60；x2＝100（不合题意，舍去），
经销商想获得利润7200元需将这批蔬菜存放60天后出售；
（3）设最大利润为W元，
由题意得W＝﹣1.2x2+340x+20000﹣10×2000﹣148x
即W＝﹣1.2（x﹣80）2+7680，
∴当x＝80时，W最大＝7680，
由于80＜90，
∴存放80天后出售这批蔬菜可获得最大利润7680元．
23．解：（1）如图1，取BC的中点O，连接AO，DO，EO，

∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点O是BC的中点，
∴AO＝CO＝BO，∠AOB＝∠AOC＝90°，∠CAO＝∠ABO＝45°，
∴点A绕点O顺时针旋转90°与点B重合，点C绕点O顺时针旋转90°与点A重合，
∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
∵AB＝AC，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD＝CE，AE＝BD，
∵∠ABD＝∠CAE，∠CAO＝∠ABO＝45°，
∴∠OBD＝∠OAE，
又∵AO＝BO，
∴△OBD≌△OAE（SAS），
∴DO＝EO，∠BOD＝∠EOA，
∴∠DOA+∠AOE＝∠BOD+∠AOD＝90°，
∴∠DOE＝90°，
∴点E绕点O顺时针旋转90°与点D重合，
∴△ABD可以由△CAE绕点O顺时针旋转90°得到，
即旋转中心为点O，旋转方向是顺时针，旋转角度为90°；
（2）可以，旋转中心是△ABC的内心，理由如下：
如图2，取△ABC的内心O，连接AO，BO，CO，DO，FO，

∵△ABC为等边三角形，点O是△ABC的内心，
∴OA＝OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝120°，
∴∠ABO＝∠BAO＝∠OAC＝30°，
∴点A绕点O顺时针旋转120°与点B重合，点C绕点O顺时针旋转120°与点A重合，
∵∠ADB＝∠AEC＝60°，
∴∠ABD+∠BAD＝120°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAD+∠CAE＝120°，
∴∠ABD＝∠CAE，
∵AB＝AC，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD＝CE，AE＝BD，∠CAE＝∠ABD，
∴∠DBO＝∠EAO，
∴△DBO≌△EAO（SAS），
∴DO＝EO，∠BOD＝∠EOA，
∴∠DOE＝∠AOB＝120°，
∴点E绕点O顺时针旋转120°与点D重合，
∴△ABD可以由△CAE绕点O顺时针旋转120°得到；
（3）如图3，取AB的中点H，连接CH，

∵AB＝2＝AC，点H是AB的中点，
∴AH＝1，
∴CH＝＝＝，
∵DB⊥AD，
∴∠ADB＝90°，
∴点D在以AB为直径的圆上运动，
∴当点D在线段CH上时，CD有最小值为﹣1，
当点D在线段CH的延长线上时，CD有最大值为+1，
∴CD的长的取值范围为：﹣1≤CD≤+1．
24．解：（1）根据题意，设y＝a（x﹣2）2﹣4，
∵抛物线过原点，
∴4a﹣a＝0，
解得：a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x；
（2）存在，理由；
由y＝﹣x+4，
令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝4，
设AB与y轴交于点D，则B（4，0），D（0，4），
∴OB＝4，OD＝4，
∴△OBD是等腰直角三角形，
BD＝＝4，
①当∠PMN＝90°时，PM＝MN＝2，
则PN＝MN＝4，
则N（t+2，﹣t+2），MN在线段AB上，
∴，
解得：﹣1≤t≤2，
又P点在y＝x2﹣4x上，
即﹣t+2＝（t﹣2）2﹣4（t﹣2），
解得：t1＝2，t2＝5（舍去），
此时点P与点O重合，点B与点N重合，
如图：

则M（2，2）；
②∠PNM＝90°时，PN＝MN，
同理MP＝4，
设M（t，﹣t+4），则P（t，﹣t），其中﹣1≤t≤2，
又P点在y＝x2﹣4x上，即
﹣t＝t2﹣4t，
解得t1＝0，t2＝3（舍），
此时P点与O点重合，D点与M点重合，
如图：

则M（0，4）；
③当PM＝PN，∠MPN＝90°时，如图：

由，
解得；或，
∴A（﹣1，5），B（4，0），
∵△OBD，△PMN是等腰直角三角形，
∴∠PMN＝∠ODB＝45°，
PM＝PN＝，MN＝2，
∴MN∥y轴，
设M（t，﹣t+4），则P（t，﹣t+2），其中﹣1≤t≤4，
又P点在y＝x2﹣4x上，即
﹣t+2＝t2﹣4t，
解得t1＝，t2＝，
∴M的横坐标为或或2或0；
（3）设直线PC：y＝mx+n，则H （0，n），
直线CQ：y＝dx+e，则F（0，e），
直线PQ的解析式为y＝kx+t，
由y＝ax2+bx+c，令x＝0，则y＝c，即G （0，c），
∵S△CHQ＝2S△GCQ
∴S△CGH+S△GHQ＝S△GFC+S△GFQ，
∴GH•|xC﹣xQ|＝GF•|xC﹣xQ|，
∴FG＝GH，
∴＝c，即e＝2c﹣n，
联立直线PC和抛物线y＝ax2+bx+c，
则．
即ax2+（b﹣m）x+（c﹣n）＝0，
则xP+xC＝，xP•xC＝，
由，
同理可得xQ+xC＝，xQ•xC＝＝＝，
∴xP•xC+xQ•xC＝（xP+xQ）•xC＝0，
∵xC≠0，
∴xP+xQ＝0，
由，
同理可得：xQ+xP＝，
即＝0，
∴k＝b，
∴＝1．
∴是一个定值．