2022年杭州中考数学终极押题密卷2

这是一份2022年杭州中考数学终极押题密卷2，共27页。

2022年杭州中考数学终极押题密卷2
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022•黄石模拟）﹣1的倒数是（　　）
A． B．﹣ C．1 D．﹣1
2．（3分）（2022•龙港市一模）计算（﹣4x3）2的正确结果是（　　）
A．16x6 B．16x5 C．﹣16x5 D．8x6
3．（3分）（2021秋•隆回县期末）如图，△ABC中，DE是线段AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D，E，∠B＝55°，∠C＝40°，则∠BAD＝（　　）

A．40° B．45° C．50° D．55°
4．（3分）（2021秋•莱芜区期末）下列函数中，y随x的增大而减小的函数是（　　）
A．y＝2x B．y＝（x＞0） C．y＝﹣3x2 D．y＝1+2x
5．（3分）（2021秋•罗城县期末）以下长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．2，2，5 B．2，3，5 C．2，3，6 D．2，3，4
6．（3分）（2021秋•韶关期末）文明出行，遵守交通规则“红灯停，绿灯行”，一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）（2022•重庆模拟）△ABC的边BC经过圆心O，AC与圆相切于点A，若∠B＝20°，则∠C的大小等于（　　）

A．50° B．25° C．40° D．20°
8．（3分）（2021秋•肥东县期末）二次函数y＝ax2﹣6x+3的图象与x轴有两个公共点，则a的取值范围是（　　）
A．a＜3 B．a＜3且a≠0 C．a＞3 D．a≥3
9．（3分）（2021秋•福田区校级期末）如图，在三角形ABC，AB2+AC2＝BC2，且AB＝AC，H是BC上中点，F是射线AH上一点．E是AB上一点，连接EF，EC，BF＝FE，点G在AC上，连接BG，∠ECG＝2∠GBC，AE＝5，AG＝4，则CF的长为（　　）

A． B．8 C． D．9
10．（3分）（2022春•澧县校级月考）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0，若a+b+c＝0，则抛物线y＝ax2+bx+c必过点（　　）
A．（2，0） B．（0，0） C．（﹣1，0） D．（1，0）
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）（2022•温江区模拟）分解因式：x2﹣4x＝　 　．
12．（4分）（2021秋•武侯区期末）为参加校运会，小明进行跳远训练，其中6次的成绩如下（单位：m）：4.8，5.0，4.9，5.0，5.2，5.1，则这6次成绩的极差为 　 　m，方差为 　 　．
13．（4分）（2021秋•武城县期末）在平面直角坐标系中，若A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n＝　 　．
14．（4分）（2022•江都区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M是AB的中点，E、F分别为MB、BC的中点，若EF＝3，则AB＝　 　．

15．（4分）（2022•沈河区校级模拟）用若干载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空．则总共有　 　吨货物．
16．（4分）（2021秋•双流区期末）如图，在长方形纸片ABCD的边AD上有一个动点E，连接BE，将△ABE沿BE边对折，使点A落在点F处，连接AF，DF．若AB＝3，ED＝2，∠AFD＝90°，则线段BE的长为 　 　．

三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（6分）（2021秋•巴南区期末）计算：
（1）（2x﹣y）2﹣（2x+y）（x﹣2y）；
（2）（﹣m﹣1）．
18．（8分）（2018•和平区二模）某校为了调查学生书写规范汉字的能力，从七年级1000名学生中随机抽选了部分学生参加测试，并根据测试成绩绘制了如下频数分布表和扇形统计图（尚不完整）．
学生书写规范汉字的能力测试成绩统计表
组别
成绩x分
频数（人数）
第1组
x＜60
4
第2组
60≤x＜70
a
第3组
70≤x＜80
20
第4组
80≤x＜90
b
第5组
90≤x＜100
10
请结合图表完成下列各题：
（1）表中a的值为　 　，b的值为　 　；扇形统计图中表示第1组所对应的圆心角度数为　 　度；
（2）若测试成绩不低于80分为优秀，请你估计从该校七年级学生中随机抽查一个学生，他的测试成绩为优秀的概率是　 　；
（3）若测试成绩在60〜80分之间为合格，请你估计该校七年级学生的测试成绩为合格的人数．

19．（8分）（2020秋•新宾县期末）如图①，C、F分别为线段AD上的两个动点，BC⊥AD，垂足为C，EF⊥AD，垂足为F，且AB＝DE，AF＝CD，点G是AD与BE的交点．
（1）求证：BG＝EG；
（2）当C、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

20．（10分）（2022•江津区一模）如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝图象交于点B（﹣1，6）、点A，且点A的纵坐标为3．
（1）填空：k1＝　 　，b＝　 　；k2＝　 　；
（2）结合图形，直接写出k1x+b＞时x的取值范围；
（3）在梯形ODCA中，AC∥OD，且下底DO在x轴上，CD⊥x轴于点D，CD和反比例函数的图象交于点M，当梯形ODCA的面积为12时，求此时点M坐标．

21．（10分）（2022春•鼓楼区校级月考）如图，在△ABC，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O分别交AB于点D，点E在AB上，且∠BCE＝∠BAC．
（1）求证：AC＝AE
（2）若AD＝，cos∠BCE＝，求BE的长．

22．（12分）（2018秋•思明区校级期中）若实数a，b满足a+b＝1时，就称点P（a，b）为“平衡点”．
（1）判断点A（3，﹣4）、是不是平衡点；
（2）已知抛物线y＝x2+（p﹣t﹣1）x+q+t﹣3（t＞3）上有且只有一个“平衡点”，且当﹣2≤p≤3时，q的最小值为t，求t的值．
23．（12分）（2022春•金水区校级月考）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
【问题发现】例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆⊙A，如图2所示，则C，D两点必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，∠BDC是⊙A的圆周角，则∠BDC＝　 　°．

【初步运用】
（1）如图3，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB＝30°（不写作法，保留作图痕迹）你作图过程中用到哪些数学原理？请写出一条．
【问题拓展】
（2）如图4，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝m，M为边CD上的点．若满足∠AMB＝45°的点M恰好有两个，则m的取值范围为 　 　．

2022年杭州中考数学终极押题密卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022•黄石模拟）﹣1的倒数是（　　）
A． B．﹣ C．1 D．﹣1
【考点】倒数．
【专题】实数；数感．
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：﹣1＝﹣，﹣1的倒数是：﹣．
故选：B．
【点评】此题主要考查了倒数的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（3分）（2022•龙港市一模）计算（﹣4x3）2的正确结果是（　　）
A．16x6 B．16x5 C．﹣16x5 D．8x6
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出答案．
【解答】解：（﹣4x3）2＝16x6，
故选：A．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键．
3．（3分）（2021秋•隆回县期末）如图，△ABC中，DE是线段AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D，E，∠B＝55°，∠C＝40°，则∠BAD＝（　　）

A．40° B．45° C．50° D．55°
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AD＝CD，求出∠DAC的度数，根据三角形内角和定理求出∠BAC，即可得出答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线且分别交BC，AC于点D和E，
∴AD＝CD，
∴∠C＝∠DAC，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝40°，
在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝85°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝85°﹣40°＝45°，
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出AD＝CD是解此题的关键．
4．（3分）（2021秋•莱芜区期末）下列函数中，y随x的增大而减小的函数是（　　）
A．y＝2x B．y＝（x＞0） C．y＝﹣3x2 D．y＝1+2x
【考点】反比例函数的性质；二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】根据各个选项中的函数解析式，可以判断出y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．
【解答】解：A．在y＝2x中，y随x的增大而增大，故选项A不符合题意；
B．在y＝（x＞0）中，y随x的增大而减小，故选项B符合题意；
C．在y＝﹣3x2中，x＞0时，y随x的增大而减小，故选项C不符合题意；
D．在y＝1+2x，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数的性质、正比例函数的性质、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数和正比例函数的性质解答．
5．（3分）（2021秋•罗城县期末）以下长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．2，2，5 B．2，3，5 C．2，3，6 D．2，3，4
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；推理能力．
【分析】三角形的三条边必须满足：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．
【解答】解：A、2+2＜5，故不能组成三角形，不符合题意；
B、2+3＝5，不能组成三角形，不符合题意；
C、3+2＜6，不能组成三角形，不符合题意；
D、2+3＞4，能组成三角形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和＞最大的数就可以．
6．（3分）（2021秋•韶关期末）文明出行，遵守交通规则“红灯停，绿灯行”，一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念；运算能力．
【分析】让绿灯亮的时间除以时间总数60即为所求的概率．
【解答】解：一共是60秒，绿的是25秒，所以绿灯的概率是＝，
故选：D．
【点评】本题考查概率的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
7．（3分）（2022•重庆模拟）△ABC的边BC经过圆心O，AC与圆相切于点A，若∠B＝20°，则∠C的大小等于（　　）

A．50° B．25° C．40° D．20°
【考点】切线的性质；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【分析】连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，根据切线的性质得到∠OAC＝90°，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：连接OA，
∵∠B＝20°，
∴∠AOC＝2∠B＝40°，
∵AC与圆相切于点A，
∴∠OAC＝90°，
∴∠C＝90°﹣40°＝50°，
故选：A．

【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
8．（3分）（2021秋•肥东县期末）二次函数y＝ax2﹣6x+3的图象与x轴有两个公共点，则a的取值范围是（　　）
A．a＜3 B．a＜3且a≠0 C．a＞3 D．a≥3
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】根据二次函数y＝ax2﹣2x﹣3的图象与x轴有两个公共点可知Δ＞0且a≠0，据此可知a的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣6x+3的图象与x轴有两个公共点，
∴Δ＞0且a≠0，
即36﹣4a×3＞0，
解得a＜3且a≠0．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的定义和抛物线与x轴的交点，要结合判别式进行解答．
9．（3分）（2021秋•福田区校级期末）如图，在三角形ABC，AB2+AC2＝BC2，且AB＝AC，H是BC上中点，F是射线AH上一点．E是AB上一点，连接EF，EC，BF＝FE，点G在AC上，连接BG，∠ECG＝2∠GBC，AE＝5，AG＝4，则CF的长为（　　）

A． B．8 C． D．9
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】延长EA到点K使AK＝AG，连接CK，证明△ABG≌△ACK（SAS），得到CE＝EK，进而求解．
【解答】解：延长EA到点K使AK＝AG，连接CK，

设∠GBC＝α，则∠ECG＝2α，
∵AG＝AK，AB＝AC，∠KAC＝∠EAC＝90°，
∴△ABG≌△ACK（SAS），
∴∠K＝∠AGB＝45°+α，∠ACK＝∠ABG＝45°﹣α，
∴∠ECK＝∠ECG+∠ACK＝45°+α，
∴∠ECK＝∠K，
∴CE＝EK，
∵EK＝AE+AK＝AE+AG＝9，
∵△CEF为等腰直角三角形，
故CF＝．
故选：D．
【点评】此题考查三角形全等和性质、等腰直角三角形的性质等，关键是证明△ABG≌△ACK（SAS）．
10．（3分）（2022春•澧县校级月考）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0，若a+b+c＝0，则抛物线y＝ax2+bx+c必过点（　　）
A．（2，0） B．（0，0） C．（﹣1，0） D．（1，0）
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】计算题．
【分析】由于a+b+c＝0，即自变量为1时，函数值为0，根据二次函数图象上点的坐标特征可判断点（1，0）在抛物线y＝ax2+bx+c．
【解答】解：∵a+b+c＝0，
∴x＝1时，y＝ax2+bx+c＝a+b+c＝0，
∴点（1，0）在抛物线y＝ax2+bx+c．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）（2022•温江区模拟）分解因式：x2﹣4x＝　x（x﹣4）　．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【分析】直接提取公因式x进而分解因式得出即可．
【解答】解：x2﹣4x＝x（x﹣4）．
故答案为：x（x﹣4）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12．（4分）（2021秋•武侯区期末）为参加校运会，小明进行跳远训练，其中6次的成绩如下（单位：m）：4.8，5.0，4.9，5.0，5.2，5.1，则这6次成绩的极差为 　0.4　m，方差为 　　．
【考点】方差；极差．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【分析】根据极差和方差的定义求解即可．
【解答】解：这组数据的极差为5.2﹣4.8＝0.4，
平均数为＝5，
所以这组数据的方差为×[（4.8﹣5）2+（4.9﹣5）2+2×（5﹣5）2+（5.1﹣5）2+（5.2﹣5）2]＝，
故答案为：0.4、．
【点评】本题主要考查方差和极差，解题的关键是掌握极差和方差的定义．
13．（4分）（2021秋•武城县期末）在平面直角坐标系中，若A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n＝　1　．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【分析】关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．直接利用关于y轴对称点的性质得出m，n的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，
∴m+1＝3，1﹣n＝2，
解得：m＝2，n＝﹣1，
∴m+n＝2﹣1＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的特征，点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
14．（4分）（2022•江都区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M是AB的中点，E、F分别为MB、BC的中点，若EF＝3，则AB＝　12　．

【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】根据三角形中位线定理求出CM，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵E、F分别为MB、BC的中点，
∴EF是△MBC的中位线，
∴CM＝2EF＝6，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，
∴AB＝2CM＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
15．（4分）（2022•沈河区校级模拟）用若干载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空．则总共有　44　吨货物．
【考点】一元一次不等式组的应用．
【分析】如果设有x辆车，则有（4x+20）吨货物．根据若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空，列出不等式组，再求解，又因为车必须是整数，进而可得出结论．
【解答】解：设有x辆车，则有（4x+20）吨货物．
∵每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空，
∴装满的有x﹣1辆车，
由题意，得，
解得5＜x＜7．
∵x为正整数，
∴x＝6．
∴4x+20＝44．
故答案是：44．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．
16．（4分）（2021秋•双流区期末）如图，在长方形纸片ABCD的边AD上有一个动点E，连接BE，将△ABE沿BE边对折，使点A落在点F处，连接AF，DF．若AB＝3，ED＝2，∠AFD＝90°，则线段BE的长为 　　．

【考点】翻折变换（折叠问题）；平行线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】根据折叠的性质得到AE＝EF，求得∠EAF＝∠EFA，根据余角的性质得到∠EDF＝∠EFD，求得DE＝EF，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵将△ABE沿BE边对折，使点A落在点F处，
∴AE＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA，
∵∠AFD＝90°，
∴∠EAF+∠ADF＝∠AFE+∠DFE＝90°，
∴∠EDF＝∠EFD，
∴DE＝EF，
∴AE＝DE＝2，
∵∠BAE＝90°，AB＝3，
∴BE＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），直角三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（6分）（2021秋•巴南区期末）计算：
（1）（2x﹣y）2﹣（2x+y）（x﹣2y）；
（2）（﹣m﹣1）．
【考点】分式的混合运算；多项式乘多项式；完全平方公式．
【专题】计算题；整式；分式；运算能力．
【分析】（1）先利用完全平方公式、多项式乘多项式法则，再去括号，最后合并同类项；
（2）把﹣m﹣1看成分母为1的分式，先通分算括号里面，再算除法．
【解答】解：（1）原式＝4x2﹣4xy+y2﹣（2x2+xy﹣4xy﹣2y2）
＝4x2﹣4xy+y2﹣2x2+3xy+2y2
＝2x2﹣xy+3y2；
（2）原式＝（﹣）÷
＝（﹣）×
＝×
＝﹣．
【点评】本题考查了整式、分式的混合运算，掌握整式、分式的运算法则、运算顺序及乘法公式是解决本题的关键．
18．（8分）（2018•和平区二模）某校为了调查学生书写规范汉字的能力，从七年级1000名学生中随机抽选了部分学生参加测试，并根据测试成绩绘制了如下频数分布表和扇形统计图（尚不完整）．
学生书写规范汉字的能力测试成绩统计表
组别
成绩x分
频数（人数）
第1组
x＜60
4
第2组
60≤x＜70
a
第3组
70≤x＜80
20
第4组
80≤x＜90
b
第5组
90≤x＜100
10
请结合图表完成下列各题：
（1）表中a的值为　3　，b的值为　13　；扇形统计图中表示第1组所对应的圆心角度数为　28.8　度；
（2）若测试成绩不低于80分为优秀，请你估计从该校七年级学生中随机抽查一个学生，他的测试成绩为优秀的概率是　46%　；
（3）若测试成绩在60〜80分之间为合格，请你估计该校七年级学生的测试成绩为合格的人数．

【考点】用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图；概率公式．
【专题】数据的收集与整理．
【分析】（1）根据3组的人数和所占的百分比求出总人数，用总人数乘以第4组所占的百分比求出b；再用总的人数减去其它组的人数求出a；用360°乘以第一小组所占的百分比，即可得出第一小组所对应的圆心角度数；
（2）利用概率公式直接计算结果即可；
（3）先求出随机调查合格人数的概率，再乘以总人数即可得到答案．
【解答】解：（1）抽查的学生总人数是：20÷40%＝50（人），
b＝50×26%＝13，
a＝50﹣4﹣20﹣13﹣10＝3；
第一小组所对应的圆心角度数为：×360°＝28.8°；
故答案为：3，13，28.8°；

（2）根据题意得：×100%＝46%，
故答案为46%；

（3）估计该校七年级学生规范汉字书写合格的人数为×1000＝460（人）．
【点评】本题考查了频数分布直方图和概率，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（8分）（2020秋•新宾县期末）如图①，C、F分别为线段AD上的两个动点，BC⊥AD，垂足为C，EF⊥AD，垂足为F，且AB＝DE，AF＝CD，点G是AD与BE的交点．
（1）求证：BG＝EG；
（2）当C、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题；图形的全等；推理能力．
【分析】（1）如图①，连接AE，BD，根据AF＝CD，可得AF+FC＝CD+FC，即AC＝DF，可以证明Rt△ABC≌Rt△DFE，再证明四边形ABDE是平行四边形，即可得结论；
（2）如图②，连接AE，BD，根据AF＝CD，可得AF﹣FC＝CD﹣FC，即AC＝DF，可以证明Rt△ABC≌Rt△DFE，再证明四边形ABDE是平行四边形，即可得结论．
【解答】解：（1）证明：如图①，连接AE，BD，

∵BC⊥AD，EF⊥AD，
∴∠ACB＝∠DFE＝90°，
∵AF＝CD，
∴AF+FC＝CD+FC，
∴AC＝DF，
在Rt△ABC和Rt△DFE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL），
∴∠BAC＝∠EDF，
∴AB∥DE，
∵AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵平行四边形ABDE的对角线AD与BE相交于点G，
∴BG＝EG；
（2）上述结论能成立，理由如下：
如图②，连接AE，BD，

∵BC⊥AD，EF⊥AD，
∴∠ACB＝∠DFE＝90°，
∵AF＝CD，
∴AF﹣FC＝CD﹣FC，
∴AC＝DF，
在Rt△ABC和Rt△DFE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL），
∴∠BAC＝∠EDF，
∴AB∥DE，
∵AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵平行四边形ABDE的对角线AD与BE相交于点G，
∴BG＝EG．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
20．（10分）（2022•江津区一模）如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝图象交于点B（﹣1，6）、点A，且点A的纵坐标为3．
（1）填空：k1＝　3　，b＝　9　；k2＝　﹣6　；
（2）结合图形，直接写出k1x+b＞时x的取值范围；
（3）在梯形ODCA中，AC∥OD，且下底DO在x轴上，CD⊥x轴于点D，CD和反比例函数的图象交于点M，当梯形ODCA的面积为12时，求此时点M坐标．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；运算能力．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据图象即可求得；
（3）设点M的坐标为（m，﹣），则D（m，0），C（m，3），即可得出AC＝﹣2﹣m，CD＝3，OD＝﹣m，根据梯形面积即可求得m的值，从而求得M点的坐标．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝图象交于点B（﹣1，6）、A，
∴k2＝﹣1×6＝﹣6，
∴反比例函数y＝﹣，
把y＝3代入得，3＝﹣，
∴x＝﹣2，
∴A（﹣2，3），
把A、B坐标代入y＝k1x+b得，
解得，
故答案为k1＝3，b＝9，k2＝﹣6，
（2）由图象可知，k1x+b＞时x的取值范围是﹣2＜x＜﹣1或x＞0；
（3）设点M的坐标为（m，﹣），
∵CD⊥x轴于D，
∴D（m，0），
∵AC∥OD，A（﹣2，3），
∴C（m，3），
∴AC＝﹣2﹣m，
∴CD＝3，OD＝﹣m，
∴S梯形AODC＝（AC+OD）•CD，
即12＝（﹣2﹣m﹣m）×3，
解得m＝﹣5，
∴M点的坐标为（﹣5，）．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，梯形 的面积等，表示出点的坐标是解题的关键．
21．（10分）（2022春•鼓楼区校级月考）如图，在△ABC，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O分别交AB于点D，点E在AB上，且∠BCE＝∠BAC．
（1）求证：AC＝AE
（2）若AD＝，cos∠BCE＝，求BE的长．

【考点】全等三角形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形．
【专题】图形的全等；圆的有关概念及性质；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】（1）设CE与⊙O交于点F，连接AF，根据直径所对的圆周角是直角可得∠AFC＝90°，从而可得∠CAF+∠ACF＝90°，进而利用同角的余角相等可得∠CAF＝∠BCE，然后根据已知∠BCE＝∠BAC，可得∠CAF＝∠EAF，从而利用ASA证明△ACF≌△AEF，最后利用全等三角形的性质即可解答；
（2）连接AD，利用（1）的结论可得cos∠BCE＝cos∠CAF＝＝，从而可设AF＝2k，AC＝k，进而利用勾股定理可得CF＝k，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得CE＝2CF＝2k，从而利用等腰三角形的性质可得cos∠ACF＝cos∠DEC，进而可得＝，求出k的值，即可求出AC，AE的长，最后根据cos∠CAD＝cos∠CAB，进而计算即可解答．
【解答】（1）证明：设CE与⊙O交于点F，连接AF，

∵AC是⊙O的直径，
∴∠AFC＝90°，
∴∠CAF+∠ACF＝90°，∠AFE＝180°﹣∠AFC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACF+∠BCE＝90°，
∴∠CAF＝∠BCE，
∵∠BCE＝∠BAC，
∴∠CAF＝∠BAC，
∴∠CAF＝∠EAF，
∵AF＝AF，
∴△ACF≌△AEF（ASA），
∴AC＝AE；
（2）连接AD，

∵∠CAF＝∠EAF，
∴cos∠BCE＝cos∠CAF＝＝，
在Rt△ACF中，设AF＝2k，AC＝k，
∴CF＝＝＝k，
∵AC＝AE，AF⊥CE，
∴∠ACE＝∠AEC，CE＝2CF＝2k，
∴cos∠ACF＝cos∠DEC，
∴＝，
∴＝，
∴k＝，
∴AE＝AC＝k＝3，
∵cos∠CAD＝cos∠CAB，
∴＝，
＝，
∴AB＝5，
∴BE＝AB﹣AE＝5﹣3＝2，
∴BE的长为2．
【点评】本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，熟练掌握解直角三角形，以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22．（12分）（2018秋•思明区校级期中）若实数a，b满足a+b＝1时，就称点P（a，b）为“平衡点”．
（1）判断点A（3，﹣4）、是不是平衡点；
（2）已知抛物线y＝x2+（p﹣t﹣1）x+q+t﹣3（t＞3）上有且只有一个“平衡点”，且当﹣2≤p≤3时，q的最小值为t，求t的值．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】（1）只需将横纵坐标相加后是否等于1即可判断；
（2）由题意可设该平衡点为（a，1﹣a），代入抛物线中，由于有且只有一个平衡点，所以Δ＝0，再利用题目的条件即可求出t的值．
【解答】解：（1）由题意可知：A不是平衡点，B是平衡点；
（2）设抛物线的平衡点为（a，1﹣a），
把（a，1﹣a）代入y＝x2+（p﹣t﹣1）x+q+t﹣；
∴化简后可得：a2+（p﹣t）a+q+t﹣4＝0，
由于有且只有一个平衡点，
∴关于a的一元二次方程中，Δ＝0，
∴化简后为q＝（p﹣t）2+4﹣t，
∴q是p的二次函数，对称轴为p＝t＞3，
∵﹣2≤p≤3，
∴q随p的增大而减小，
∴当p＝3时，q可取得最小值，
∴（3﹣t）2+4﹣t＝t，
∴解得：t＝4±，
∵t＞3，
∴t＝4+．
【点评】本题考查二次函数的综合问题，涉及新定义问题，一元二次方程，二次函数最值问题等知识，综合程度高．
23．（12分）（2022春•金水区校级月考）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
【问题发现】例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆⊙A，如图2所示，则C，D两点必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，∠BDC是⊙A的圆周角，则∠BDC＝　45　°．

【初步运用】
（1）如图3，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB＝30°（不写作法，保留作图痕迹）你作图过程中用到哪些数学原理？请写出一条．
【问题拓展】
（2）如图4，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝m，M为边CD上的点．若满足∠AMB＝45°的点M恰好有两个，则m的取值范围为 　2≤m＜+1　．
【考点】圆的综合题．
【专题】代数几何综合题；推理能力．
【分析】【问题发现】由圆周角定理可得出答案；
【初步运用】（1）作出等边三角形OAB，由圆周角定理作出图形即可；
（2）在BC上截取BF＝BA＝2，连接AF，以AF为直径⊙O，由图形可知BF≤m＜BQ，由勾股定理求出BF和BQ的长，则可得出答案．
【解答】解：【问题发现】∵∠BAC是⊙A的圆心角，∠BDC是⊙A的圆周角，∠BAC＝90°，
∴∠BDC＝∠BAC＝45°；
故答案为：45

【初步运用】（1）作图如下：
由图知，∠AP1B＝∠AOB＝30°；同理∠AP2B＝30°．

数学原理：①三边相等的三角形时等边三角形；
②等边三角形的三个内角都是60°；
③同弧所对的圆周角是圆心角的一半．

（2）在BC上截取BF＝BA＝2，连接AF，以AF为直径⊙O，如图所示：

∵BA＝BF＝2，
∴AF＝2，
∴⊙O的半径为，即OF＝OG＝，
∵OG⊥EF，
∴FH＝1，
∴OH＝1，
∴GH＝﹣1，
∴BF≤m＜BQ，
∴2≤m＜2+﹣1，即2≤m＜+1，
故答案为：2≤m＜+1．
【点评】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的性质、圆周角定理、作图、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键