2022年武汉中考数学终极押题密卷3

这是一份2022年武汉中考数学终极押题密卷3，共34页。
A．2B．﹣2C．12D．−12
2．（3分）（2022•青山区模拟）不透明的袋子中装有3个白球和1个黑球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出2个球，下列事件是必然事件的是（ ）
A．2个球都是白球B．2个球都是黑球
C．2个球中有白球D．2个球中有黑球
3．（3分）（2020•天水）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）（2022•江夏区模拟）下列几何体是由5个相同的小正方体搭成的，从左往右看得到的视图是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）（2018•扬州）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）（2022•青山区模拟）小明想在2个“冰墩墩”和1个“雪容融”里随机选取两个吉祥物作为冬奥会纪念品，小明选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”的概率是（ ）
A．12B．13C．23D．16
7．（3分）（2022•江汉区模拟）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（ ）
A．7x+7=y9(x−1)=yB．7x+7=y9(x+1)=y
C．7x−7=y9(x−1)=yD．7x−7=y9(x+1)=y
8．（3分）（2015•永州）如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD＝∠ACBB．∠ADB＝∠ABCC．AB2＝AD•ACD．ADAB=ABBC
9．（3分）（2022•武昌区模拟）AB是⊙O的直径，PB、PC分别切⊙O于点B、C，弦CD∥AB，若PB＝AB＝10，则CD的长为（ ）
A．6B．37C．52D．53−3
10．（3分）（2022•青山区模拟）在平面直角坐标系中，直线y=−x+2022与双曲线y=−674x交于点P（m，n），则代数式2022m−m+2n的值是（ ）
A．2022B．−2022C．2022D．﹣2022
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2008•泰安）计算9的结果是 ．
12．（3分）（2021•嘉峪关）若点A（﹣3，y1），B（﹣4，y2）在反比例函数y=a2+1x的图象上，则y1 y2．（填“＞”或“＜”或“＝”）
13．（3分）（2022•武昌区模拟）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在反比例函数y=−|k|−2x（k是常数）的图象上，若y3＜y2＜0＜y1，则x1，x2，x3的大小关系是 ．
14．（3分）（2022•青山区模拟）如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为183m的地面上，若测角仪的高度为1.5m，测得教学楼的顶部A处的仰角为30°，则教学楼的高度是 ．
15．（3分）（2022•江汉区模拟）下列关于抛物线y＝mx2﹣2x+1（m为常数，且m≠0）的四个结论：
①若m＞0，则抛物线与直线y＝﹣2x﹣2没有公共点；
②若m＝1，则当x＞1时，y随x的增大而减小；
③若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；
④当m的值变化时，抛物线的顶点始终在同一条直线上．
其中正确的结论是 （填写序号）．
16．（3分）（2022•江夏区模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，点P在射线AD上，过点P作PF⊥AE，垂足为F．当点P在射线AD上运动时，若以P、F、E为顶点的三角形与△ABE相似，则PA的值为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（2022•武昌区模拟）解不等式组3x≤2x+3①5x+1≥2x−5②，请按下列步骤完成解答：
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
18．（8分）（2022•青山区模拟）如图，E在四边形ABCD的边CD的延长线上，连接BE交AD于F，已知∠A＝∠C，∠1+∠2＝180°，求证：AB∥CD．
19．（8分）（2022•江汉区模拟）为了解学生寒假阅读情况，某学校进行了问卷调查，对部分学生假期的阅读总时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t（小时），阅读总时间分为四个类别：A（0＜t＜12），B（12≤t＜24），C（24≤t＜36），D（t≥36），将分类结果制成如下两幅统计图（尚不完整）．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样的样本容量为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中α的值为 ，圆心角β的度数为 ；
（4）若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？
20．（8分）（2022•江夏区模拟）如图是由边长为1的正方形构成的网格，每一个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点在格点上，仅用无刻度直尺在给定的网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
（1）将线段AB绕A点顺时针旋转90°得到线段AC，连接BC；
（2）在BC上取一点D，使BD=12CD；
（3）在AB上取点E，若∠AEC＝∠BED，请直接写出tan∠BCE＝ ．
21．（8分）（2022•武昌区模拟）在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB的边OB在x轴上，点C在边AB上，已知点A（4，4），点C（6，1）．
（1）直接写出sin∠OBA＝ ，tanA＝ ；
（2）正方形EFGH是△OAB的内接正方形，其中点F在AB上，点E在OA上，点G、H在OB上，仅用无刻度直尺在图1中作出点F和点E；
（3）将线段BA绕点B逆时针旋转，使得点A的对应点P落在边OA上，仅用无刻度直尺在图2中作出点P的位置．
22．（10分）（2021•黄冈）红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元，一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x（单位：元），月销售量为y（单位：万件）．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？
（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元，月销售最大利润是78万元，求a的值．
23．（10分）（2022•江汉区模拟）【问题背景】（1）如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，BH⊥AC于H，求证：△AHB∽△BHC；
【变式迁移】（2）如图2，已知∠ABC＝∠D＝90°，E为BD上一点，且AE＝AB，若ABBC=45，求BECD的值；
【拓展创新】（3）如图3，四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝BC，E为边CD上一点，且AE＝AB，BE⊥CD，直接写出DECE的值．
24．（12分）（2022•江夏区模拟）如图，抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=−12，且抛物线经过A、B两点，交x轴于另一点C．
（1）已知：A（﹣2，0），B（0，2）；
①求抛物线的解析式；
②过点A作直线AB的垂线交y轴于点D，平移直线AD交抛物线于点E、F两点，连结EO、FO．若△EFO为以EF为斜边的直角三角形，求平移后的直线的解析式．
（2）在（1）的条件下，设对称轴直线x=−12与x轴交于M，点P为抛物线上对称轴左侧一点，直线PM交抛物线于另一点Q，点P关于抛物线对称轴对称点H，直线HQ交抛物线对称轴于G点，在点P运动过程中GM长是否为一定值，若为定值，请求出其值，若不为定值，请求出其变化范围．
2022年武汉中考数学终极押题密卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2020•武汉）实数﹣2的相反数是（ ）
A．2B．﹣2C．12D．−12
【考点】实数的性质；相反数．
【专题】实数；数感．
【分析】由相反数的定义可知：﹣2的相反数是2．
【解答】解：实数﹣2的相反数是2，
故选：A．
【点评】本题考查相反数的定义；熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2．（3分）（2022•青山区模拟）不透明的袋子中装有3个白球和1个黑球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出2个球，下列事件是必然事件的是（ ）
A．2个球都是白球B．2个球都是黑球
C．2个球中有白球D．2个球中有黑球
【考点】随机事件．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、2个球都是白球，是随机事件，不符合题意；
B、2个球都是黑球，是随机事件，不符合题意；
C、2个球中有白球，是必然事件，符合题意；
D、2个球中有黑球，是随机事件，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（3分）（2020•天水）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．（3分）（2022•江夏区模拟）下列几何体是由5个相同的小正方体搭成的，从左往右看得到的视图是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；几何直观．
【分析】根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左面看得到的图形是左视图．
5．（3分）（2018•扬州）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，第三层左边一个小正方形，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
6．（3分）（2022•青山区模拟）小明想在2个“冰墩墩”和1个“雪容融”里随机选取两个吉祥物作为冬奥会纪念品，小明选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”的概率是（ ）
A．12B．13C．23D．16
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；推理能力．
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，小明选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”结果有4种，再由概率公式求解即可
【解答】解：根据题意画图如下：
共有6种等可能的情况数，其中选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”的有4种，
则小明选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”额概率是46=23．
故选：C．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．（3分）（2022•江汉区模拟）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（ ）
A．7x+7=y9(x−1)=yB．7x+7=y9(x+1)=y
C．7x−7=y9(x−1)=yD．7x−7=y9(x+1)=y
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】应用意识．
【分析】设该店有客房x间，房客y人；根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可．
【解答】解：设该店有客房x间，房客y人；
根据题意得：7x+7=y9(x−1)=y，
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意得出方程组是解决问题的关键．
8．（3分）（2015•永州）如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD＝∠ACBB．∠ADB＝∠ABCC．AB2＝AD•ACD．ADAB=ABBC
【考点】相似三角形的判定．
【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．
【解答】解：A、∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C、∵AB2＝AD•AC，∴ACAB=ABAD，∠A＝∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
D、ADAB=ABBC不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
9．（3分）（2022•武昌区模拟）AB是⊙O的直径，PB、PC分别切⊙O于点B、C，弦CD∥AB，若PB＝AB＝10，则CD的长为（ ）
A．6B．37C．52D．53−3
【考点】切线的性质；勾股定理；三角形中位线定理；垂径定理．
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；推理能力．
【分析】过点O作OF⊥CD于点F，延长CD交BP于点E，连接OC，则∠CFO＝∠DFO＝90°，CD＝2CF，根据切线的性质得到PB＝PC，∠OCP＝90°，∠ABP＝90°，结合平行线的性质推出∠FCO＝∠P，进而得到△OCF∽△CPE，四边形OBEF是矩形，根据相似三角形的性质及矩形的性质得到BE＝OF，OF=12CE，根据勾股定理得到OF＝4，CF＝3，据此即可得解．
【解答】解：过点O作OF⊥CD于点F，延长CD交BP于点E，连接OC，
∵OF⊥CD，
∴∠CFO＝∠DFO＝90°，CD＝2CF，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCP＝90°，
∴∠PCE+∠FCO＝90°，
∵PB是⊙O的切线，
∴OB⊥PB，
∴∠ABP＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠CEP＝∠ABP＝90°，
∴∠CEB＝90°，
∴∠PCE+∠P＝90°，
∴∠FCO＝∠P，
又∵∠CFO＝∠CEP＝90°，
∴△OCF∽△CPE，
∴OFCE=OCPC，
∵PB、PC分别切⊙O于点B、C，
∴PB＝PC，
∵PB＝AB＝10，
∴OC＝5=12PC，
∴OF=12CE，
∵∠DFO＝∠ABP＝∠CEB＝90°，
∴四边形OBEF是矩形，
∴BE＝OF，
在△CDP中，PC2＝PE2+CE2，
∴102＝（10﹣OF）2+（2OF）2，
∴OF＝4或OF＝0（舍去），
∴CF=OC2−OF2=52−42=3，
∴CD＝2CF＝6．
故选：A．
【点评】此题考查了切线的性质，熟记切线的性质定理、垂径定理并作出合理的辅助线是解题的关键．
10．（3分）（2022•青山区模拟）在平面直角坐标系中，直线y=−x+2022与双曲线y=−674x交于点P（m，n），则代数式2022m−m+2n的值是（ ）
A．2022B．−2022C．2022D．﹣2022
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】将点P（m，n）分别代入y=−x+2022与y=−674x，得出n＝﹣m+2022，mn＝﹣674 ①，把n＝﹣m+2022代入mn＝﹣674，整理得出m2=2022m+674 ②，把2022m−m+2n变形为2022−m2+2mnm，将①②代入计算即可．
【解答】解：∵直线y=−x+2022与双曲线y=−674x交于点P（m，n），
∴n＝﹣m+2022，n=−674m，
∴mn＝﹣674 ①，
把n＝﹣m+2022代入mn＝﹣674，
得m（﹣m+2022）＝﹣674，
∴﹣m2+2022m＝﹣674，
∴m2=2022m+674 ②，
∴2022m−m+2n
=2022−m2+2mnm
=2022−(2022m+674)+2×(−674)m
=−2022．
故选：B．
【点评】本题考查了函数图象上点的坐标特征，分式的化简求值，得到mn＝﹣674以及m2=2022m+674是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2008•泰安）计算9的结果是 3 ．
【考点】算术平方根．
【分析】由9表示9的算术平方根，根据算术平方根的定义即可求出结果．
【解答】解：∵32＝9，
∴9=3．
故填3．
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
12．（3分）（2021•嘉峪关）若点A（﹣3，y1），B（﹣4，y2）在反比例函数y=a2+1x的图象上，则y1 ＜ y2．（填“＞”或“＜”或“＝”）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的图象；反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】反比例函数y=a2+1x的图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，判断出y的值的大小关系．
【解答】解：∵k＝a2+1＞0，
∴反比例函数y=a2+1x的图象在一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵点A（﹣3，y1），B（﹣4，y2）同在第三象限，且﹣3＞﹣4，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
【点评】本题考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性是解决问题的关键，
13．（3分）（2022•武昌区模拟）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在反比例函数y=−|k|−2x（k是常数）的图象上，若y3＜y2＜0＜y1，则x1，x2，x3的大小关系是 x1＜x3＜x2 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】根据反比例函数的性质得到反比例函数图象分布在第二、四象限，所以x1为负数，最小，然后利用在每一象限，y随x的增大而增大得到x2与x3的大小．
【解答】解：∵﹣|k|﹣2＜0，
∴反比例函数图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，
∵y3＜y2＜0＜y1，
∴x1＜x3＜x2．
故答案为：x1＜x3＜x2．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
14．（3分）（2022•青山区模拟）如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为183m的地面上，若测角仪的高度为1.5m，测得教学楼的顶部A处的仰角为30°，则教学楼的高度是 19.5m ．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用．
【分析】作DE⊥AB于E，根据正切的定义求出AE，解答即可．
【解答】解：作DE⊥AB于E，
在Rt△ADC中，tan∠ADE=AEDE，
∴AE＝DE•tan∠ADE＝183×33=18，
∴AB＝AE+EB＝18+1.5＝19.5（m），
故答案为：19.5m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
15．（3分）（2022•江汉区模拟）下列关于抛物线y＝mx2﹣2x+1（m为常数，且m≠0）的四个结论：
①若m＞0，则抛物线与直线y＝﹣2x﹣2没有公共点；
②若m＝1，则当x＞1时，y随x的增大而减小；
③若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；
④当m的值变化时，抛物线的顶点始终在同一条直线上．
其中正确的结论是 ①③④ （填写序号）．
【考点】抛物线与x轴的交点；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】计算方程mx2﹣2x+1＝﹣2x﹣2的根的判别式得到Δ＝﹣12m，则当m＞0时，Δ＜0，于是可对①进行判断；当m＝1时，抛物线y＝x2﹣2x+1的对称轴为直线x＝1，则根据二次函数的性质可对②进行判断；根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4m＞0，解得m＜1，由于x＝0时，y＝1＞0；当x＝1时，y＝m﹣1＜0，从而可对③进行判断；利用配方法得到y＝m（x−1m）2+1−1m，抛物线的顶点坐标为（1m，1−1m），利用顶点的横纵坐标的和为1可得到抛物线的顶点在直线y＝﹣x+1上，于是可对④进行判断．
【解答】解：mx2﹣2x+1＝﹣2x﹣2，
整理得mx2+3＝0，
∵Δ＝02﹣12m＝﹣12m
∴当m＞0时，Δ＜0，此时抛物线与直线y＝﹣2x﹣2没有公共点，所以①正确；
当m＝1时，抛物线y＝x2﹣2x+1的对称轴为直线x＝1，
∵抛物线开口向上，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，所以②错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4m＞0，
解得m＜1，
∵x＝0时，y＝1＞0；当x＝1时，y＝m﹣2+1＝m﹣1＜0，
∴抛物线与x轴有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，所以③正确；
∵y＝mx2﹣2x+1＝m（x−1m）2+1−1m，
∴抛物线的顶点坐标为（1m，1−1m），
∴抛物线的顶点在直线y＝﹣x+1上，所以④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了一次函数的性质和二次函数的性质．
16．（3分）（2022•江夏区模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，点P在射线AD上，过点P作PF⊥AE，垂足为F．当点P在射线AD上运动时，若以P、F、E为顶点的三角形与△ABE相似，则PA的值为 2或5 ．
【考点】相似三角形的判定；正方形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力．
【分析】分两种情况讨论，由相似三角形的判定和矩形的性质可求解．
【解答】解：∵E是BC的中点，
∴BE＝2，
如图，若△EFP∽△ABE，则∠PEF＝∠EAB．
∴PE∥AB．
∴四边形ABEP为矩形．
∴PA＝EB＝2，
如图，若△PFE∽△ABE，则∠PEF＝∠AEB．
∵∠PAF＝∠AEB，
∴∠PEF＝∠PAF．
∴PE＝PA．
∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点．
∵AE=AB2+BE2=4+16=25，
∴EF=12AE=5．
∵PEAE=EFBE，即PE25=52，
∴PE＝5，
综上所述：AP的值为2或5，
故答案为：2或5．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（2022•武昌区模拟）解不等式组3x≤2x+3①5x+1≥2x−5②，请按下列步骤完成解答：
（Ⅰ）解不等式①，得 x≤3 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x≥﹣2 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ﹣2≤x≤3 ．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≤3，
（Ⅱ）解不等式②，得x≥﹣2，
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣2≤x≤3．
故答案为：x≤3，x≥﹣2，﹣2≤x≤3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（8分）（2022•青山区模拟）如图，E在四边形ABCD的边CD的延长线上，连接BE交AD于F，已知∠A＝∠C，∠1+∠2＝180°，求证：AB∥CD．
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】根据“同旁内角互补，两直线平行”得到AD∥BC，根据平行线的性质推出∠A＝∠3，即可判定AB∥CD．
【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°，
∴AD∥BC，
∴∠3＝∠C，
∵∠A＝∠C，
∴∠A＝∠3，
∴AB∥CD．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记“同旁内角互补，两直线平行”及“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．
19．（8分）（2022•江汉区模拟）为了解学生寒假阅读情况，某学校进行了问卷调查，对部分学生假期的阅读总时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t（小时），阅读总时间分为四个类别：A（0＜t＜12），B（12≤t＜24），C（24≤t＜36），D（t≥36），将分类结果制成如下两幅统计图（尚不完整）．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样的样本容量为 60 ；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中α的值为 20 ，圆心角β的度数为 144° ；
（4）若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？
【考点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；条形统计图；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【分析】（1）根据D组的人数和百分比即可求出样本容量；
（2）根据C组所占的百分比即可求出C组的人数；
（3）根据A组的人数即可求出A组所占的百分比，根据C组所占的百分比即可求出对应的圆心角；
（4）先算出低于24小时的学生的百分比，再估算出全校低于24小时的学生的人数．
【解答】解：（1）本次抽样的人数610%=60（人），
∴样本容量为60，
故答案为：60；
（2）C组的人数为40%×60＝24（人），
补全统计图如下：
（3）A组所占的百分比为1260×100%＝20%，
∴a的值为20，
β＝40%×360°＝144°，
故答案为：20，144°；
（4）总时间少于24小时的学生的百分比为12+1860×100%＝50%，
∴估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有2000×50%＝1000（名），
答：估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有1000名．
【点评】本题主要考查统计图形的应用，能看懂统计图是关键，一般求总量所用的公式是一个已知分量除以它所占的百分比，第一问基本都是求总量，所以要记住，估算的公式是总人数乘以满足要求的人数所占的百分比，这两种问题中考比较爱考，记住公式，平时要多加练习．
20．（8分）（2022•江夏区模拟）如图是由边长为1的正方形构成的网格，每一个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点在格点上，仅用无刻度直尺在给定的网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
（1）将线段AB绕A点顺时针旋转90°得到线段AC，连接BC；
（2）在BC上取一点D，使BD=12CD；
（3）在AB上取点E，若∠AEC＝∠BED，请直接写出tan∠BCE＝ 13 ．
【考点】作图﹣旋转变换；解直角三角形．
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可；
（3）作点C关于AB的对称点T，连接DT交AB于点E，点E即为所求，连接BT，根据∠ECB＝∠ETB，求出tan∠ECB即可．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求；
（2）如图，点D即为所求；
（3）如图，点E即为所求．
tan∠ECB＝tan∠ETB=BDBT−13，
故答案为：13．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．（8分）（2022•武昌区模拟）在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB的边OB在x轴上，点C在边AB上，已知点A（4，4），点C（6，1）．
（1）直接写出sin∠OBA＝ 31313 ，tanA＝ 5 ；
（2）正方形EFGH是△OAB的内接正方形，其中点F在AB上，点E在OA上，点G、H在OB上，仅用无刻度直尺在图1中作出点F和点E；
（3）将线段BA绕点B逆时针旋转，使得点A的对应点P落在边OA上，仅用无刻度直尺在图2中作出点P的位置．
【考点】三角形综合题．
【专题】作图题；网格型；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力．
【分析】（1）分别构建直角三角形，根据锐角三角函数定义可解答；
（2）先根据正方形的性质，设边长为x，可得EF＝EG＝x，由平行相似列比例式可得x=52，计算AEOE=35，取格点根据相似三角形的性质可得答案；
（3）作辅助线，构建等腰直角三角形OPT，设OT＝a，根据勾股定理和AB＝PB计算a的值，再求AP与OP的比，取格点E'和F'并连接可得点P．
【解答】解：（1）如图1，取格点D（4，0），过点B作BM⊥AB于M，
设直线AC的解析式为：y＝kx+b，
把点A（4，4），点C（6，1）代入y＝kx+b中得：4k+b=46k+b=1，
解得：k=−32b=10，
∴直线AC的解析式为：y=−32x+10，
当y＝0时，y=−32x+10＝0，
∴x=203，
∴BD=203−4=83，
由勾股定理得：AB=42+(83)2=4133，
∴sin∠OBA=ADAB=44133=31313，
S△AOB=12OB•AD=12OA•BM，
∴OB•AD＝OA•BM，
∴203×4＝42×BM，
∴BM=1023，
∵△AOD是等腰直角三角形
∴△OBM也是等腰直角三角形
∴OM＝BM=1023，
∴AM＝42−1023=223，
∴tanA=BMAM=1023223=5，
故答案为：31313，5；
（2）如图2，设正方形的边长为x，则EF＝EG＝x，
∵EF∥OB，
∴△AEF∽△AOB，
∴EFOB=ANAD，即x203=4−x4，
解得：x=52，
∴AEAO=52203=38，
∴AEOE=35，
如图3，取格点A'，B'，C'，H，连接A'H交AO于点E，连接B'C'交AB于F，
则点E和F即为所求；
（3）如图4，过点P作PT⊥OB于T，
设OT＝a，则PT＝a，BT=203−a，
由勾股定理得：PT2+BT2＝PB2＝AB2，
∴a2+（203−a）2＝（4133）2，
解得：a1＝4（舍），a2=83，
∴PT＝OT=83，
∴OP=823，
∴AP＝42−823=423，
∴APOP=423823=12；
如图5，取格点E'，F'，连接E'F'交OA于点P，则点P即为所求．
【点评】本题是网格型作图问题，考查无刻度直尺的作图，同时还考查了解直角三角形，三角形相似的性质和判定，一次函数的性质等知识，解题的关键是运用相似计算线段的比，从而确定所求作的点的位置，属于中考新型的作图题．
22．（10分）（2021•黄冈）红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元，一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x（单位：元），月销售量为y（单位：万件）．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？
（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元，月销售最大利润是78万元，求a的值．
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【专题】函数思想；方程思想；应用意识．
【分析】（1）根据题意写出销售量和销售单价之间的关系式即可；
（2）根据销售量和销售单价之间的关系列出销售利润和单价之间的关系式求最值即可；
（3）根据（2）中的函数和月销售单价不高于70元/件的取值范围，确定a值即可．
【解答】解：（1）由题知，①当40≤x≤50时，y＝5，
②当50＜x≤100时，y＝5﹣（x﹣50）×0.1＝10﹣0.1x，
∴y与x之间的函数关系式为：y=5(40≤x≤50)10−0.1x(50＜x≤100)；
（2）设月销售利润为z，由题知，
①当40≤x≤50时，x＝50时利润最大，
此时z＝（50﹣40）×5＝50（万元），
②当50＜x≤100时，z＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（10﹣0.1x）＝﹣0.1x2+14x﹣400＝﹣0.1（x﹣70）2+90，
∴当x＝70时，z有最大值为90万元，
即当月销售单价是70元时，月销售利润最大，最大利润是90万元；
（3）由题知，利润z＝（x﹣40﹣a）（10﹣0.1x）＝﹣0.1x2+（14+0.1a）x﹣400﹣10a，
此函数的对称轴为：直线x=−14+0.1a2×(−0.1)=70+0.5a＞70，
∴当月销售单价是70元时，月销售利润最大，
即（70﹣40﹣a）×（10﹣0.1×70）＝78，
解得a＝4，
∴a的值为4．
【点评】本题主要考查一次函数性质和二次函数的性质及方程的应用，熟练应用二次函数求最值是解题的关键．
23．（10分）（2022•江汉区模拟）【问题背景】（1）如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，BH⊥AC于H，求证：△AHB∽△BHC；
【变式迁移】（2）如图2，已知∠ABC＝∠D＝90°，E为BD上一点，且AE＝AB，若ABBC=45，求BECD的值；
【拓展创新】（3）如图3，四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝BC，E为边CD上一点，且AE＝AB，BE⊥CD，直接写出DECE的值．
【考点】相似形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】（1）利用同角的余角相等得∠ABH＝∠C，即可证明结论；
（2）过点A作AF⊥BE于点F，利用两个角相等证明△ABF∽△BCD，得BFCD=ABBC，从而得出答案；
（3）过点A作AH⊥BE于点H，延长BE，AD相交于点N，设BH＝x（x＞0），则EH＝x，BE＝2x，首先利用AAS证明△AHB≌△BEC，得AH＝BE＝2x，BH＝CE＝x，再根据△AHB∽△NHA，得NH＝4x，NE＝NH﹣EH＝4x﹣x＝3x，最后根据△NED∽△BEC，进而解决问题．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，BH⊥AC，
∴∠AHB＝∠BHC＝90°，
∠A+∠C＝90°，∠A+∠ABH＝90°，
∴∠ABH＝∠C，
∴△AHB∽△BHC；
（2）如图，过点A作AF⊥BE于点F，
则∠AFB＝90°，
∵AE＝AB，AF⊥BE，
∴BF＝EF=12BE，
∵∠ABC＝∠D＝90°，∠AFB＝90°，
∴∠AFB＝∠D＝90°，
∠ABF+∠CBD＝90°，
∠C+∠CBD＝90°，
∴∠ABF＝∠C，
∴△ABF∽△BCD，
∴BFCD=ABBC，
又∵ABBC=45，
∴12BECD=45，
∴BECD=85；
（3）如图，过点A作AH⊥BE于点H，延长BE，AD相交于点N，
∵AE＝AB，AH⊥BE，
∴BH＝EH=12BE，
设BH＝x（x＞0），则EH＝x，BE＝2x，
∵AH⊥BE，∠ABC＝90°，BE⊥CD，
∴∠AHB＝∠BEC＝90°，
∠ABH+∠CBE＝90°，
∠C+∠CBE＝90°，
∴∠ABH＝∠C，
在△AHB与△BEC中，
∠AHB=∠BEC∠ABH=∠CAB=BC，
∴△AHB≌△BEC（AAS），
∴AH＝BE＝2x，BH＝CE＝x，
∵AH⊥BE，∠DAB＝90°，
∴∠AHB＝∠NHA＝90°，
∠ABH+∠N＝90°，∠N+∠NAH＝90°，
∴∠ABH＝∠NAH，
∴△AHB∽△NHA，
∴AHNH=BHAH，
∴2xNH=x2x，
∴NH＝4x，
∴NE＝NH﹣EH＝4x﹣x＝3x，
∵∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴AN∥BC，
∴∠N＝∠CBE，
又∵∠NED＝∠BEC，
∴△NED∽△BEC，
∴DECE=NEBE=3x2x=32．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，利用前面探索的结论和方法解决新问题是解题的关键．
24．（12分）（2022•江夏区模拟）如图，抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=−12，且抛物线经过A、B两点，交x轴于另一点C．
（1）已知：A（﹣2，0），B（0，2）；
①求抛物线的解析式；
②过点A作直线AB的垂线交y轴于点D，平移直线AD交抛物线于点E、F两点，连结EO、FO．若△EFO为以EF为斜边的直角三角形，求平移后的直线的解析式．
（2）在（1）的条件下，设对称轴直线x=−12与x轴交于M，点P为抛物线上对称轴左侧一点，直线PM交抛物线于另一点Q，点P关于抛物线对称轴对称点H，直线HQ交抛物线对称轴于G点，在点P运动过程中GM长是否为一定值，若为定值，请求出其值，若不为定值，请求出其变化范围．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）①先根据对称轴和A点、B点坐标，代入解析式中，求解方程组即可；
②画出平移后的直线根据∠EOF＝90°，作EM和FN分别垂直x轴，根据△EOM∽△OFN，对应边成比例，列方程求解即可；
（2）根据抛物线上P、H两点关于对称轴对称，可推出∠QMC＝∠HMC，分别设QM、HM的解析式与抛物线联立，求出Q、H点坐标，解得直线QH的解析式，代入G点横坐标，即可求出Q纵坐标．
【解答】解：（1）①∵抛物线过A（﹣2，0），B（0，2），且对称轴为x=−12，
∴c=24a−2b+c=0−b2a=−12，
解方程组得，
a=−1b=−1c=2，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+2．
②平移后的图像如下图所示：
∵直线AB解析式为：y＝x+2，且AB⊥AD，
∴直线AD的解析式设为y＝﹣x+b，代入A（﹣2，0），
∴b＝﹣2，
∴AD解析式为：y＝﹣x﹣2，
设AD平移后的解析式为：y＝﹣x﹣2+m，
联立y＝﹣x2﹣x+2，
解得x=±4−m，
∴E（−4−m，4−m−2−m），F（4−m，−4−m−2+m），
过点E作EM⊥x轴于M，过点F作FN⊥x轴于点N，
则∠EOM+∠OEM＝90°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠EOM+FON＝90°，
∴∠OEM＝∠FON，
∴△EOM∽△OFN，
∴EM：ON＝MO：FN，
即（4−m−2−m）：4−m=4−m：（−4−m−2+m），
解得，m＝1±5，
∴平移后的直线解析式为：y=−x−1+5或y=−x−1−5．
（2）连接MH，如图3所示，
∵点P与点H关于抛物线对称轴对称，
∴∠PMT＝∠HMT，
∴∠AMP＝∠CMH，
又∵∠QMC＝∠AMP，
∴∠QMC＝∠CMH，
∴可设PM的解析式为y＝kx+b1，MH的解析式为y＝﹣kx+b2，分别代入M（−12，0），
得b1=12k，b2=−12k，
∴PM解析式为：y=kx+12k，
MH的解析式为：y=−kx−12k，
联立y=kx+12ky=−x2−x+2，解得，
x=−(k+1)±k2+92，
∴Q（−(k+1)+k2+92，−k2+kk2+92），
同理可得H（k−1+k2+92，−k2−kk2+92），
设直线QH的解析式为y＝k'x+b'，
代入Q、H点坐标，
∴直线QH解析式为：y=−k2+9x+9−k2+92，
当x=−12时，得y=92．
∴G(−12，92)，
∴在点P运动过程中GM长是定值92．
【点评】本题考查了二次函数表达式，二次函数与直角三角形的综合以及定值问题等，分类讨论以及用解析法解决定值问题是解决本题的关键