北京市师达中学2022-2023学年高二上学期12月阶段性练习（月考）数学试题及答案

这是一份北京市师达中学2022-2023学年高二上学期12月阶段性练习（月考）数学试题及答案，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
北京市师达中学2022-2023学年高二上学期12月阶段性练习（月考）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知点，直线的斜率为1，则的值为（    ）A．1 B．2 C．3 D．42．已知圆，则其圆心和半径分别为（    ）A． B． C． D．3．直线的倾斜角是．A． B． C． D．4．椭圆的两个焦点为，且是椭圆上的一点，则三角形的周长是（    ）A．1 B． C． D．5．已知直线相互垂直，则值是（    ）A． B． C．1 D．26．已知，则原点到平面的距离是（    ）A． B． C． D．7．圆截轴所得弦的长度等于（    ）A．2 B． C．4 D．8．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，异面直线A1D与D1C所成的角为(　　)A．30° B．45° C．60° D．90°9．若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的位置关系是（    ）A．垂直 B．平行C．相交但不垂直 D．平行或线在面内10．若为圆上任意两点，为直线上一个动点，则的最大值是（    ）A． B． C． D． 二、填空题11．椭圆的焦距是_________.12．过点且与直线平行的直线方程为__________.13．求经过两点的椭圆的标准方程为__________.14．若实数x、y满足， 则 的最大值是_____________________.15．曲线，给出下列结论：①曲线关于原点对称；②曲线关于坐标轴对称；③曲线上只经过6个整数点（即横､纵坐标均为整数的点）；④曲线上任意一点到原点的距离都不大于.其中，所有正确结论的序号是__________. 三、解答题16．如图，在正方体中， E为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．17．已知三个顶点是（1）求边上的垂直平分线的直线方程；（2）求的面积18．已知圆，点.(1)判断点与圆的位置关系；(2)求过点的切线方程；19．若椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，过作轴的垂线与椭圆相交于两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)求三角形的面积.20．如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，且为的中点.(1)求证：；(2)求二面角的余弦值；(3)在线段上是否存在点使得平面？若存在，请指明点的位置；若不存在，请说明理由.21．已知圆，直线.(1)若直线与圆交于两点，，求的值.(2)求证：无论取什么实数，直线与圆恒交于两点；(3)求直线被圆截得的最短弦长，以及此时直线的方程.
参考答案：1．B【分析】根据斜率公式容易得出答案.【详解】由斜率公式：故选：B2．C【分析】将圆的一般式化为标准式，然后求圆心和半径即可.【详解】圆的方程可整理为，所以圆心为，半径为.故选：C.3．D【详解】由直线方程可知直线的斜率，设直线的倾斜角是，则，又，所以．故选．4．D【分析】根据椭圆的定义先求出的值，又可得三角形的周长.【详解】故选：D5．C【分析】两直线垂直，当它们斜率都存在时，斜率之积为，代入数据可得答案.【详解】由可得∵故选：C6．A【分析】先求出平面的法向量，再用点到平面的距离公式可得答案.【详解】设其法向量为，取得又故选：A7．C【分析】先求出圆心到轴的距离，再根据几何法求圆的弦长公式可得答案.【详解】圆，所以圆心到轴的距离为由弦长公式：故选：C8．C【分析】根据D1C与A1B平行，异面直线A1D与D1C所成的角即为∠BA1D，即可求解.【详解】如图，连接A1B，DB，异面直线A1D与D1C所成的角即为∠BA1D，由正方体可知A1B＝DB＝A1D，所以∠BA1D＝60°.【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角及其求法，属于中档题.9．A【分析】根据得到与共线，即可得到直线与平面垂直.【详解】因为，所以与共线，直线与平面垂直.故选：A.10．B【分析】由图上易知，当不动时，为两切线角最大，再将的最值问题转化为的最值问题可求.【详解】如图，为两切线，为直线上一个点，所以当为两切线是取等号；又，故只需求，,又，故选：B11．2【详解】分析：由椭圆方程可求，然后由可求，进而可求焦距详解：∵椭圆 ∴.即答案为2．点睛：本题主要考查了椭圆的性质的简单应用，属基础题12．【分析】两直线平行则它们的斜率相等，然后再将数据代入直线的点斜式方程可得.【详解】化简得：故答案为：13．【分析】由顶点的绝对值大小可分辨的值，进而写出椭圆的标准方程.【详解】故答案为：14．##【分析】由题可知表示圆上的点与原点之间的距离的平方，根据圆的性质即得.【详解】将方程化为，表示以为圆心，半径为3的圆，表示圆上的点与原点之间的距离，故表示圆上的点与原点之间的距离的平方，由可知原点（0,0）在圆内，且原点与圆心之间的距离为，所以的最大值为，所以的最大值为．故答案为：.15．①③④【分析】将横纵坐标前面加负号看其曲线方程是否变化可以判断1、2命题；运用不等式估计可以判断3、4命题真假.【详解】将换成得：，化简得所以曲线关于原点对称，①对；将换成得：化简得所以曲线不关于轴对称，将换成，同理可得也不关于轴对称，②错；当时，个；当时，无整数根；当时，，综上：经过的整点有六个整点，③对；当且仅当时取等，④对；故答案为：①③④【点睛】对于二次方程的曲线问题，我们要参考圆锥曲线的研究思路以及方法，或者采用不等式估计其范围.16．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；也可利用空间向量计算证明；（Ⅱ）可以将平面扩展，将线面角转化，利用几何方法作出线面角，然后计算；也可以建立空间直角坐标系，利用空间向量计算求解 .【详解】（Ⅰ）[方法一]：几何法如下图所示：在正方体中，且，且，且，所以，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面；[方法二]:空间向量坐标法以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则、、、，，，设平面的法向量为，由，得，令，则，，则.又∵向量,,又平面，平面；（Ⅱ）[方法一]：几何法延长到，使得，连接，交于，又∵，∴四边形为平行四边形，∴，又∵,∴,所以平面即平面,连接，作,垂足为,连接,∵平面,平面,∴，又∵,∴直线平面,又∵直线平面,∴平面平面,∴在平面中的射影在直线上,∴直线为直线在平面中的射影，∠为直线与平面所成的角，根据直线直线，可知∠为直线与平面所成的角.设正方体的棱长为2，则,,∴,∴,∴,即直线与平面所成角的正弦值为.[方法二]：向量法接续（I)的向量方法，求得平面平面的法向量，又∵,∴，∴直线与平面所成角的正弦值为.[方法三]：几何法+体积法 如图，设的中点为F，延长，易证三线交于一点P．因为，所以直线与平面所成的角，即直线与平面所成的角．设正方体的棱长为2，在中，易得，可得．由，得，整理得．所以．所以直线与平面所成角的正弦值为．[方法四]：纯体积法设正方体的棱长为2，点到平面的距离为h，在中，，，所以，易得．由，得，解得，设直线与平面所成的角为，所以．【整体点评】（Ⅰ）的方法一使用线面平行的判定定理证明，方法二使用空间向量坐标运算进行证明；（II）第一种方法中使用纯几何方法，适合于没有学习空间向量之前的方法，有利用培养学生的集合论证和空间想象能力，第二种方法使用空间向量方法，两小题前后连贯，利用计算论证和求解，定为最优解法；方法三在几何法的基础上综合使用体积方法，计算较为简洁；方法四不作任何辅助线，仅利用正余弦定理和体积公式进行计算，省却了辅助线和几何的论证，不失为一种优美的方法.17．（1）；（2）【分析】（1）由题意可得BC的中点和BC的斜率，由垂直关系可得垂直平分线的斜率，由点斜式可得方程，化为一般式即可；（2）由（1）得BC的方程，可得A到BC的距离，再求得BC的长度，代入三角形的面积公式可得答案．【详解】（1），，则所求直线的斜率为： 又的中点的坐标为，所以边的上的中垂线所在的直线方程为：；（2）直线的方程为：，则点到直线的距离为：，，.【点睛】本题考查直线的一般式方程和三角形的面积，及点到直线的距离，属于基础题．18．(1)点在圆外；(2)或 【分析】（1）配方法确定圆心和半径，然后计算出的值，与半径的进行比较可确定位置关系；（2）设出直线的点斜式方程，相切说明圆心到直线的距离等于半径，可解得斜率，进而得到切线方程.【详解】（1）将配方得圆心为点在圆外；（2）当切线斜率不存在时，满足相切；当切线的斜率存在时综上所述：切线方程为：或19．(1)(2)3 【分析】（1）根据椭圆的焦点坐标可得再结合椭圆过点，可解出椭圆的标准方程；（2）联立直线与椭圆方程可求出两点的纵坐标，进而得出三角形的面积.【详解】（1）由题知焦点坐标分别是，设椭圆方程为：将代入得：解得，（2）过作轴的垂线，其方程为，与联立解得：20．(1)证明见详解；(2)；(3)存在，为中点. 【分析】（1）根据线面垂直可得线线垂直，可证；（2）先用垂线法找出二面角的平面角，再解三角形即可；（3）经过分析易知，为中点，只需证明中点时，平面即可.【详解】（1）平面，平面,又又平面，又平面,得证.（2）为中点，过作于，连，在中，为中点又平面，平面,为二面角的平面角，在直角梯形中，又在中，二面角的余弦值为.（3）的中点为为的中位线，，为平行四边形，又平面,平面平面.21．(1)(2)证明见详解(3)， 【分析】（1）根据弦长公式可求出圆心到直线的距离，再根据距离公式可得的值；（2）直线经过某定点，证明此定点在圆内部即可；（3）弦长最短时，说明定点是弦的中点，可求出直线方程.【详解】（1）依题意，圆心，根据圆的弦长公式解之：（2）由直线方程解得定点，又，在圆内，无论取什么实数，直线与圆恒交于两点得证.（3）由弦长公式此时此时综上：【点睛】证明一条直线与一个圆恒有交点，只需证明这条直线经过某个定点，该定点在圆内即可；过圆内定点的弦中，最长的是直径，最短的是与直径垂直的那一条.